$x^p$ 的组合微分代数
Combinatorial Differential Algebra of $x^p$
AI总结：
本文通过将 $x^p$ 定义的仿射单项式方案的 jets 与完美图的稳定集多胞体关联，证明其坐标环维数为 Ehrhart 多项式，并推广 Zobnin 的微分 Gröbner 基到双变量情形，研究高维 jets 与三角剖分。
摘要：
我们将由 $x^p$ 定义的仿射单项式方案的 $n$-jets 与某个完美图的稳定集多胞体联系起来。我们证明，随着 $p$ 变化，该 $n$-jets 方案的某个子方案的坐标环作为 $\mathbb{C}$-向量空间的维数是次数为 $n+1$ 的多项式，即该图的稳定集多胞体的 Ehrhart 多项式。我们证明的一个主要成分是 Zobnin 的一个结果，他确定了由 $x^p$ 生成的微分理想的微分 Gröbner 基。我们将 Zobnin 的结果推广到双变量情形。我们研究 $(m,n)$-jets，即 jets 的高维类比，并将它们与正则单模三角剖分联系起来。
英文摘要：
We link $n$-jets of the affine monomial scheme defined by $x^p$ to the stable set polytope of some perfect graph. We prove that, as $p$ varies, the dimension of the coordinate ring of a certain subscheme of the scheme of $n$-jets as a $\mathbb{C}$-vector space is a polynomial of degree $n+1$, namely the Ehrhart polynomial of the stable set polytope of that graph. One main ingredient for our proof is a result of Zobnin who determined a differential Gröbner basis of the differential ideal generated by $x^p$. We generalize Zobnin's result to the bivariate case. We study $(m,n)$-jets, a higher-dimensional analog of jets, and relate them to regular unimodular triangulations.
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