Chabauty-Coleman experiments for genus 3 hyperelliptic curves
我们描述了一个计算有理点格为3的超椭圆曲线$C$定义在$\mathbb{Q}$的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩1。利用Chabauty和Coleman的方法，提出并在Sage中实现了一个计算两个Coleman积分的零轨迹的算法，并分析了由这些积分的消失所切出的有限集。我们运行的算法约17,000曲线从即将到来的数据库属3超椭圆曲线，并讨论了一些有趣的例子，其中零集包括全球点没有发现在$C(\mathbb{Q})$。
2018-05-09 math.AG math.NT
The Chabauty-Coleman bound at a prime of bad reduction and clifford bounds for geometric rank functions
设X是亏格g ≥ 2的数域K上的曲线，$\pp$是O_K在非分歧有理素数p> 2 r上的素数，J是X的Jacobian，r=秩J（K），$\scrX$是X在$\pp$上的正则真模型.设r<g。我们证明了#X（K）<=# \scrX（F_{\pp}）+2r，将改进的Chabauty-Coleman界推广到坏约化的情形.新的技术见解是隔离变量的经典秩的一个因子的曲线更适合奇异曲线和满足克利福德定理。
2013-01-25 math.AG math.NT
p-adic elliptic polylogarithms and cubic Chabauty
Boston University（波士顿大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
研究p进椭圆多项式对数在立方查巴图方法中的应用，通过p进log和局部p进高度构造有限集，验证Kim猜想新实例。
2026-04-22 math.AG math.NT
A refined Chabauty--Coleman bound for surfaces
本文利用 Caro 和 Pasten 的方法，改进了亏格为 3 的超椭圆曲线所对应曲面 $W_2$ 上有理点数目的 Chabauty-Coleman 界，并结合 Siksek 的工作在选定例子中确定了有理点。
2025-02-03 math.AG math.NT
Affine Chabauty II
Boston University（波士顿大学）；Carl von Ossietzky Universität Oldenburg（奥尔登堡卡尔·冯·奥西茨基大学）
基于仿射Chabauty方法，提出确定仿射曲线上S-整点集的算法，通过构造对数微分并证明p-adic留数定理实现。
2026-06-17 math.NT
Bounds on the Chabauty--Kim Locus of Hyperbolic Curves
在两个猜想成立的前提下，利用有效Chabauty--Kim方法给出亏格不小于2的光滑射影曲线的p进Chabauty--Kim轨迹及有理点个数的显式上界，推广了此前相关方法得到的界。
2023-10-09 math.NT
Linear quadratic Chabauty
Charles University（查理大学）；University of Groningen（格罗宁根大学）
本文提出一种新的二次柴布尔方法，用于计算某些偶次双曲曲线上的整数点。通过非平凡的零度除子限制$p$-adic高度为线性函数，并利用Coleman积分提取整数点。
2025-11-28 math.NT
Quadratic Chabauty and rational points I: p-adic heights
我们给出的第一个明确的例子超出了Chabauty-Coleman方法，金的nonabelian Chabauty程序确定的一组有理点的曲线定义在$\mathbb{Q}$或二次数域。我们通过研究$p$ -进高度在显式非阿贝尔Chabauty中的作用来实现这一点。
2018-05-01 math.AG math.NT
An effective Chabauty-Kim theorem
Chabauty-Kim方法是一种在一定技术条件下求曲线上的有理点的方法，推广了Chabauty对Mordell猜想的证明，适用于Mordell-Weil秩小于其亏格的曲线。我们展示了如何Chabauty-金方法，当这些技术条件满足深度2，可应用于绑定的数量有理点的曲线上的更高的秩。这提供了一个非交换的推广科尔曼的有效Chabauty定理。
2018-05-11 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty for Modular Curves
设$X/\mathbb{Q}$是亏格为$g \ge 2$的曲线，其Jacobian为$J$，$\ell$是良好约化的素数.利用Selmer簇，Kim定义了一个降序序列\[ X(\mathbb{Q}_\ell) \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_1 \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_2 \supseteq \cdots \]，它包含$X$的有理点。由于科尔曼的工作，“Chabauty集”$X(\mathbb{Q}_\ell)_1$被称为是有限的，提供了$J$的Mordell-Weil秩小于$g$。在这种情况下，人们有一个实用的策略，往往成功地计算$X$的有理点集。Balakrishnan和Dogra最近证明了“二次Chabauty集”$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$是有限的，只要Mordell-Weil秩小于$g + ρ-1$，其中$ρ$是$J/\mathbb{Q}$的Néron-Severi秩。鉴于这一点，这是有趣的家庭曲线，其中$ρ\ge 2$，因此二次Chabauty更有可能成功比经典Chabauty。本文证明了亏格至少为3的所有模曲线都是如此。
2017-04-03 math.NT
Refined Chabauty--Kim computations for the thrice-punctured line over $\mathbb{Z}[1/6]$
针对 $\mathbb{Z}[1/6]$ 上的三穿孔直线，本文构造新的 Coleman 函数并给出精细 Chabauty–Kim 轨迹计算算法，在所有 $p<10{,}000$ 的辅助素数下验证了 Kim 猜想。
2024-07-13 math.NT
Computing rational points on rank 0 genus 3 hyperelliptic curves
计算$\mathbb{Q}$上亏格$3$奇次超椭圆曲线$C$上的有理点，这些曲线的Jacobian为Mordell-Weil秩$0$ .该计算应用Chabauty-Coleman方法来找到$p$ -adic积分的某个系统的零点集，该系统已知是有限的并且包括有理点$C(\mathbb{Q})$的集合。我们在Sage中实现了一种算法，以在$5870$曲线数据库上执行Chabauty-Coleman方法。
2020-09-23 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty for (bi)elliptic curves and Kim's conjecture
我们探讨了一些有关的问题，二次Chabauty方法确定积分点的双曲曲线。我们删除了半稳定性的假设，在描述的二次Chabauty集$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2$包含整点$\mathcal{X}(\mathbb{Z})$的秩最多$1$的椭圆曲线。出于金的猜想，我们然后从理论上和计算上研究集理论的差异$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2\setminus \mathcal{X}(\mathbb{Z})$。我们还考虑了Balakrishnan-Dogra的显式二次Chabauty的有理点的亏格2双椭圆曲线的算法问题。作为一个例子，我们提供了一个新的解决方案的丢番图，这是第一次解决了Wetherell。在计算上，与之前的二次Chabauty方法的主要区别是使用$p$ -adic σ函数代替双Coleman积分。
2020-06-20 math.AG math.NT
Rational points on hyperelliptic Atkin-Lehner quotients of modular curves and their coverings
我们完成了所有$64$极大Atkin-Lehner商$X_0(N)^*$上的所有$\mathbb{Q}$ -有理点的计算，使得商是超椭圆的。为了实现这一点，我们使用各种方法的组合，即经典的Chabauty-科尔曼，椭圆曲线Chabauty，二次Chabauty，和双椭圆二次Chabauty方法结合Mordell-Weil筛。另外，对于无平方的$N$，我们将所有的$\mathbb{Q}$ -有理点分为尖点、CM点（包括CM域和$j$ -不变量）和例外点.我们进一步指出如何使用它来计算$\mathbb{Q}$ -有理点的所有模块覆盖。
2022-09-23 math.AG math.NT
Effective Chabauty for symmetric powers of curves
Faltings定理指出亏格$g \geq 2$的曲线有2个有理点。利用Faltings、Mumford、Parshin和Raynaud的思想，人们得到了有理点个数的上界，但是这个上界太大，不能在任何合理的意义上使用。在1985年，科尔曼表明，Chabauty的方法，它的作品时，Mordell-Weil秩的雅可比曲线小于$g$，可以用来给一个很好的有效界的数量有理点的曲线属$g > 1$。本文从非阿基米德几何学的观点出发，证明了当曲线的Jacobian的Mordell-Weil秩至多为$g-d$且满足一定的严格解析条件时，也可以给出$X$的$d$ -次对称幂的特殊集之外的有理点的有效界，其中$X$是亏格$g > d$的曲线.
2016-06-16 math.AG math.NT
Geometric quadratic Chabauty and $p$-adic heights
本文针对亏格大于1的有理曲线，在满足秩条件下，将几何二次Chabauty方法转化为p进高度与p进积分的语言，给出对应算法，证明其生成的p进点集包含于上同调方法的结果并描述差异。
2024-03-06 math.AG math.NT
Rational Points of some genus $3$ curves from the rank $0$ quotient strategy
本文提出一种算法，用于计算亏格3曲线中作为秩0亏格1曲线二次覆盖情形的全部有理点，并在Magma中实现，在约4万条曲线上验证，找到了达到Stoll上界的实例。
2023-11-01 math.NT
Classifying Galois groups of small iterates via rational points
我们建立了$c\in\mathbb{Q}$的$ϕ_c(x)=x^2+c$的小迭代的伽罗瓦群的满射性定理。为了做到这一点，我们使用明确的技术，从理论的有理点的曲线，包括方法的Chabauty-Coleman和Mordell-Weil筛。例如，我们成功地找到所有有理点的超椭圆曲线的属$7$，秩$5$雅可比，其点参数化二次多项式与一个“新的小”伽罗瓦群在第五阶段的迭代。
2017-09-26 math.NT
Generalised height pairings and the Albanese kernel
本文研究深度二Chabauty-Coleman-Kim方法中广义高度配对的定义域与计算问题，证明若曲线X的Albanese核为挠群，则存在算法计算Jacobian上有理点对的广义高度配对。
2026-06-15 math.AG math.NT
Diophantine and tropical geometry, and uniformity of rational points on curves
我们描述了最近的工作连接组合学和热带/非阿基米德几何丢番图几何，特别是曲线上的有理点和曲线的扭转包的一致性几何。该方法的Chabauty-科尔曼在于这种连接的核心，我们强调澄清，热带几何提供整个理论的$p$ -进积分，特别是比较解析延拓的$p$ -进积分和分析零的积分域承认monodromy。
2017-01-06 math.AG math.NT
Independence of rational points on twists of a given curve
本文研究了数域K上固定曲线C的扭线C'上的有理点个数的界，条件是C'的Jacobian J'上的K-有理点群的秩小于C'的亏格.主要结果是，在一些显式给定的许多可能的例外情况下，我们有一个形式为2 r + c的界，其中r是J '（K）的秩，c是依赖于C的常数。为了证明，我们使用了Chabauty-Coleman方法的一个改进;主要的新成分是将它用于K_v的一个扩域，其中v是C '的一个坏约化的地方。
2006-03-23 math.NT
On quadratic periodic points of quadratic polynomials
有理系数二次多项式的预周期点个数的界是算术动力学中一致有界猜想的一种情形。在这里，我们提供了一个一般的框架，可以减少寻找周期点，这样的多项式在伽罗瓦扩展$\mathbb{Q}$找到周期点的有理数。此外，我们提出的证据表明，有没有这样的多项式（线性共轭）与周期点的确切周期5在二次域通过搜索点的代数曲线，分类二次周期点的确切周期5，并建议应用的方法Chabauty和科尔曼进一步的进展。
2015-04-16 math.DS math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves II
该研究提出精细化方法证明带单有理魏尔斯特拉斯点的超椭圆曲线的Chabauty--Coleman--Kim集合有限性，给出模2 Bloch--Kato塞尔默群的2进与实进塞尔默条件计算方法，验证了多数LMFDB中秩2亏格2曲线的有限性，还得到超椭圆曲线雅可比簇二次下降的域论描述。
2024-03-12 math.NT
The Complete Classification of Rational Preperiodic Points of Quadratic Polynomials over Q: A Refined Conjecture
我们分类的图，可以发生的图的有理preperiodic点的二次多项式在$\bold Q$，假设的猜想，这是不可能有合理的点周期$4$或更高。特别是，我们在此假设下，preperiodic点的数量是最多~$9$。小导体的椭圆曲线和亏格$2$模曲线$X_1(13)$、$X_1(16)$和$X_1(18)$都是作为对具有各种预周期点组合的二次多项式进行分类的曲线而出现的。为了完成分类，我们计算合理的点上的非模块的亏格~$2$曲线进行$2$下降的雅可比矩阵，然后应用一个变种的方法的Chabauty和科尔曼。
1995-12-11 math.DS math.NT
Cycles of Quadratic Polynomials and Rational Points on a Genus-Two Curve
证明了当$N$足够大时，在周期为$N$的有理周期点的$\bold Q[z]$中不存在二次多项式. Morton用$N=4$证明了不存在，证明了对周期为4的周期点进行分类的亏格$2$代数曲线是$X_1(16)$的双有理曲线，而$X_1(16)$的有理点是预先计算好的.我们证明了没有与$N=5$。这里的相关曲线有亏格~ $14$，但它有亏格~ $2$商，其有理点，我们通过执行一个~ $2$ -下降的雅可比矩阵和应用Chabauty和Coleman的方法的改进计算。我们希望我们的计算将作为一个模型，为其他人谁需要计算超椭圆曲线上的有理点。我们还描述了三种可能的Gal $_{\bold Q}$ -稳定的$5$ -圈，并证明了对于无穷多个$N$，存在Gal $_{\bold Q}$ -稳定的$N$ -圈.进一步，我们证明亏格~ $14$曲线及其商不是模的，从而回答了Morton的一个问题.最后，我们给出了关于$N=6$的部分结果.
1995-08-04 math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves I
本文提出了一种通过 Galois 协同论方法确定超椭圆曲线 Jacobian 的 Bloch-Kato Selmer 组秩的方法，并利用该方法回答了关于有理点的问题。
2026-02-27 math.AG math.NT
$M_{0,5}$: Towards the Chabauty-Kim method in higher dimensions
本文研究 Chabauty–Kim 方法向高维的推广，在半权重4的 ZZ[1/6] 情形下，利用权重优势构造并计算出曲面 $M_{0,5}$ 上首个非平凡 Kim 函数。
2023-06-06 math.AG math.NT
p-Adic sigma functions and heights on Jacobians of genus 2 curves
设$C$是数域$K$上的亏格$2$超椭圆曲线，其Weierstrass点$\infty$在无穷远处，$J$是其雅可比矩阵，$Θ$是关于$\infty$的θ因子，$p$是任意素数.利用除数$2Θ$的Néron函数的$p$-adic模拟，给出了$p$-adic高度$h_p\colon J(\overline{\mathbb{Q}})\to \mathbb{Q}_p$的显式构造.我们定义这样的Néron函数使用除法多项式和概括的布莱克斯塔德的$p$ -进西格玛函数的正式组的$J$。我们证明了我们的$p$ -adic Néron函数$λ_v$在$K$的非阿基米德位置$v$是图像，在适当的迹映射下，除数$Θ$ à la Colmez的对称$v$ -adic Green函数。我们使用它来将$λ_v$和$h_p$与局部和全局扩展的Coleman-Gross（以及因此的Nekovásness）$p$ -adic高度配对相关联。我们提供了我们的实现示例，包括大于$10^6$的素数$p$的示例，并解释了如何使用类似的技术来计算$p$ -独立于约化类型的$C$上第一、第二和第三类微分的进积分。作为应用，我们还给出了在某些亏格$4$双超椭圆曲线上有理点处消失的显式二次Chabauty函数.
2023-02-07 math.NT
Rational Solids with Equal Surface Area and Volume
Harvard University（哈佛大学）；University of Delaware（特拉华大学）
本文对具有有理底边长和高、且表面积与体积均相等的正四棱锥和正四棱柱进行分类，证明仅存在唯一此类对，通过二次Chabauty计算结合Mordell-Weil筛法解决亏格2双椭圆曲线的有理点问题，还给出正圆锥与正圆柱的类似分类。
2026-09-28 math.NT
Rational Points on a Family of Genus 3 Hyperelliptic Curves
本文研究一族亏格 3 超椭圆曲线的有理点，改进 Dem'yanenko–Manin 方法并结合根数约束 Jacobian 分解中椭圆曲线的秩，从而比 Chabauty–Coleman 方法更高效地确定 \\(C_a(\mathbb Q)\\)。
2025-10-20 math.AG math.NT
On finiteness conjectures for endomorphism algebras of abelian surfaces
证明了有界维数的\Q上GL_2-型交换簇的单自同态代数的同构类有100多个.我们探讨这个猜想时，特殊的四元数自同态代数的交换曲面给出一个模的解释，将这个问题转化为丢番图算术的Shimura曲线嵌入希尔伯特表面。我们解决这些曲线的局部和全局的方法，包括Chabauty技术的显式方程的志村曲线上产生的问题。
2007-07-20 math.AG math.NT
p-adic integrals and linearly dependent points on families of curves I
本文证明曲线族的大纤维幂中低秩点集非Zariski稠密，给出弱线性界，并推广到等平凡族和S-单位方程，方法基于族中Chabauty-Coleman方法及Ax-Schanuel定理。
2023-10-13 math.AG math.NT
On the non-commutative endomorphism rings of abelian surfaces
Coleman的一个猜想暗示了只有有理数上的n个四元数代数才能是可定义在$\mathbf{Q}$上的复数上的交换曲面的自同态$\mathbf{Q}$ -代数。人们可能会认为这是高斯类数问题的高维版本。在此之前，没有人排除过$\mathbf{Q}$上的四元数代数，而这些代数还没有被Albert分类排除。我们排除了无穷多个这样的四元数代数，证明了对于无穷多个$D$，Atkin-Lehner商Shimura曲线$X^D/w_D$没有$\mathbf{Q}$ -有理点。我们的主要方法是使用$X^D$之上的水平结构图来创建用于下降阻塞的扭转。证明了许多关于Shimura曲线的Diophantine和解析结果。
2017-01-20 math.NT
Most odd degree hyperelliptic curves have only one rational point
考虑曲线y ^2 =f（x）的光滑投影模型C，其中f（x）在Z[x]中是一元的，且是2g+1次可分的。我们证明了，对于g >= 3，这些正分数只有一个有理点，在无穷远无穷远点。我们证明了这个分数的下界，趋于1的g趋于无穷大。最后，我们表明，C（Q）可以算法计算这样的曲线的一部分。该方法可以概括如下：利用p-adic分析和McCallum的思想，我们发展了Chabauty方法的一个重新表述，表明某些可计算条件意味着#C（Q）=1;另一方面，利用进一步的p-adic分析，算术曲面理论，关于超椭圆曲线上挠点的一个新结果，关键的是非零2-Selmer群元素的Bhargava-Gross等分布定理，我们证明了当p=2时，这些条件经常满足.
2014-06-15 math.NT
Uniform bounds for the number of rational points on curves of small Mordell--Weil rank
设$X$是度为$d = [F:Q]$的数域$F$上亏格为$g\geq 2$的曲线.关于$X$的$F$ -有理点的个数$\#X(F)$上的一致有界$N(g,d)$的存在性问题是算术几何中一个突出的公开问题，由[CHM 97]已知，它是由Battieri-Lang猜想导出的.一个相关的猜想假定存在关于$X$的Jacobian $J$在Abel-Jacobi映射下位于$X$的像上的几何扭点个数的一致界$N_{{\rm tors},\dagger}(g,d)$.对于固定的$X$，Manin-Mumford证明了这个量是有限的，Raynaud [Ray 83]也证明了这个量是有限的。当$X$具有Mordell-Weil秩$r\leq g-3$时，给出了$\#X(F)$的一个显式一致界.这将Stoll最近的工作推广到任意曲线的小秩超椭圆曲线上的统一界。利用同样的技巧，我们给出了一个明确的，无条件的一致界的$F$ -有理扭点的$J$躺在图像的$X$下的Abel-Jacobi映射。当$X$的约化类型是高度退化的时，我们还给出了落在$X$上的$J$的几何扭点个数的显式一致界.我们的方法结合Chabauty-科尔曼的$p$进积分，非阿基米德潜在的理论上的Berkovich曲线，和理论的线性系统和因子的度量图。
2017-01-06 math.AG math.NT
Finiteness of hyperelliptic and superelliptic curves with CM Jacobians
本文研究了超椭圆曲线的Coleman-Oort猜想，即，由仿射方程$y^n=F(x)$定义的曲线，其中$F$是可分多项式。证明了在同构之前至多有1000条具有CM Jacobian的固定亏格$g\geq 8$的超椭圆曲线。该证明依赖于Siegel模簇中Shimura子簇的几何结构和Higgs束与超曲面的稳定性。
2016-11-25 math.AG math.NT
