Wreath Macdonald polynomials as eigenstates
本文利用shuffle代数方法，证明wreath Macdonald多项式在量子环面代数顶点表示中可对角化水平Heisenberg子代数，并给出其存在性的新证明。
2025-02-20 math.CO math.QA math.RT
On the expansion of certain vector-valued characters of $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ with respect to the Gelfand-Tsetlin basis
麦克唐纳多项式是一类重要的对称函数，与许多不同的领域有联系。埃廷霍夫和基里洛夫证明了这些函数和表示论之间的密切联系：他们证明了麦克唐纳多项式是作为量子群的不可约表示的（适当规范化的）向量值特征标出现的。在本文中，我们提供了这些字符的分支规则。的系数表示的偏Macdonald多项式与plethystic替换。我们使用我们的分支规则，给一个扩展的字符相对于Gelfand-Tsetlin的基础。最后，我们详细研究了$q=0$的情况下，其中的系数因子很好，并有一定的$p$ -进计数方面的解释。
2014-09-23 math.CO math.RT
Representations of cyclotomic oriented Brauer categories
设$A$是特征为$p\ge 0$的任意代数闭域$\Bbbk$上与分圆定向Brauer范畴相关联的局部酉代数.利用$A $的局部有限维表示范畴给出了李代数$\mathfrak g$的最低可积权和最高可积权表示的张量积分类（在Losev和Webster的一般意义下），其中$\mathfrak g$是$\mathfrak {sl}_\infty$的副本的直和（分别为，$ \hat{\mathfrak {sl}}_p$），如果$p=0$（分别，$p>0$）。当$\Bbbk=\mathbb C$时，[3]中预期了这样的结果，并且当水平为$1$时，Brundan先前在[2]中证明了该结果。
2021-07-03 math.RT
Categorification of DAHA and Macdonald polynomials
本文提出与仿射李代数相关的Double Affine Hecke Algebra及其多项式表示和Macdonald多项式的范畴化，通过导出范畴中的函子复合范畴化Demazure算子，并构造模复形使其欧拉示性数等于Macdonald多项式。
2024-09-30 math.AG math.QA math.RT
Degenerate cyclotomic Hecke algebras and higher level Heisenberg categorification
我们将幺半范畴$\mathcal{H}^λ$与$\widehat{\mathfrak{sl}}_p$或$\mathfrak{sl}_\infty$的每个主积分权重$λ$相关联。这些范畴，定义在平面图方面，自然地作用于与$λ$相关的退化分圆Hecke代数的模范畴。证明了在$\mathfrak{sl}_\infty$情形下，水平$d$ Heisenberg代数嵌入到$\mathcal{H}^λ$的Grothendieck环中，其中$d$是$λ$的水平.范畴$\mathcal{H}^λ$可以看作是描述退化分圆Hecke代数的模范畴之间的归纳和限制函子以及它们的自然变换的图演算。作为这个工具的一个应用，我们证明了退化分圆Hecke代数中心化子的一个新结果。
2018-03-14 math.RT
On the (super)cocenter of Cyclotomic Sergeev algebras
本文研究了循环赛格耶夫代数的（超）cocenter性质，给出了整数基和生成集，确定了不同层次下的代数结构与维数上界。
2025-01-30 math.GR math.RT
Affine Pieri rule for periodic Macdonald spherical functions and fusion rings
本研究针对非扭及扭仿射李代数（不含$\u200d\widehat{BC}_n$型），提出周期Macdonald球面函数基的仿射Pieri法则，该法则在$\u200d\hat{A}_{n-1}$型下可重现已知结果并退化为共形场论融合环的经典Pieri公式。
2023-05-03 math-ph math.MP math.QA
Quasi-Polynomial Extensions of Nonsymmetric Macdonald-Koornwinder Polynomials
本文扩展了拟多项式表示至Sahi的5参数双仿射Hecke代数，并引入非对称Koornwinder多项式的拟多项式扩展，其极限与metaplectic Iwahori-Whittaker函数相关。
2025-10-14 math.RT
p-DG cyclotomic nilHecke algebras II
本文在早期范畴化两个 Weyl 模张量积的工作基础上，进一步对量子 $\mathfrak{sl}_2$ 在素单位根处的基本表示的张量积进行了范畴化。
2021-12-01 math.KT math.QA math.RT
Decomposition matrices of cyclotomic $q$-web categories
School of Mathematical Science, Tongji University（同济大学数学科学学院）；Department of Mathematics, University of Virginia（弗吉尼亚大学数学系）
该研究构造了介于分圆Hecke代数与分圆q-Schur代数之间的分圆q-网自同态代数的胞腔结构，证明其模范畴的Grothendieck群同构于量子仿射$\boldsymbol{\text{gl}}_p$的可积最高权模，推广了相关经典成果。
2026-08-10 math.QA math.RT
Cyclotomic Expansion of Generalized Jones Polynomials
在第一和第三作者的工作中，我们提出了一个猜想：$S^3$中任意纽结的Kauffman括号skein模带有秩1双仿射Hecke代数$SH_{q,t_1, t_2}$的自然作用，依赖于3个参数$q, t_1, t_2$ .因此，对于一个结$K$满足这个猜想，我们定义了一个三变量多项式不变$J^K_n(q,t_1,t_2)$推广经典的有色琼斯多项式$J^K_n(q)$。本文给出了广义Jones多项式$J^K_n(q,t_1,t_2)$的显式公式，并给出了广义Jones多项式的量子群解释。我们的公式推广了K.哈比罗：在经典的情况下，它们暗示了$J^K_n(q,t_1,t_2)$的完整性，并且事实上，对于任意的结$K$是有意义的，而与它是否满足我们先前的猜想无关。当其中一个Hecke变形参数为1时，证明了$J^K_n(q,t_1)$的（广义）分圆展开式的系数由$A_1$型的Macdonald正交多项式决定.
2019-11-12 math.QA math.RT
$\mathfrak{gl}_n$-webs, categorification and Khovanov-Rozansky homologies
Aarhus University（奥胡斯大学）
本文利用范畴化 q-skew Howe 对偶性，为 $\mathfrak{gl}_n$-web 代数 $H_n(\vec{k})$ 构造显式基，并应用于建立厚分圆 KLR 代数的幂等截断与 $H_n(\vec{k})$ 之间的同构，以及 $\mathfrak{gl}_n$-web 的 2-同态空间的显式分次细胞基，从而给出可计算的着色 Khovanov-Rozansky $\mathfrak{gl}_n$-链环同调。
2020-10-02 math.GT math.QA math.RT
Generalized Macdonald functions and quantum toroidal gl(1) algebra
本研究将普通Macdonald对称函数的$e_1$-Pieri规则、与Whittaker向量相关恒等式等公式推广到量子环面$\rm \frak{gl}(1)$代数对应的广义情形，提出五项关系与Fourier/Hopf配对的推广，并证明了广义Macdonald核的因子化猜想。
2025-10-02 hep-th math-ph math.CO
On the maximal and minimal degree components of the cocenter of the cyclotomic KLR algebras
本文将圆KLR代数余中心非零度分量的存在条件推广至任意基域、Kac-Moody李代数与多项式，推广了相关生成元结果，并证明度0分量维数与可积最高权模权空间维数相等且给出其基。
2024-01-04 math.RT
Simple Representations of BPS Algebras: the case of $Y(\widehat{\mathfrak{gl}}_2)$
本文研究BPS代数的简单表示问题，以$Y(\widehat{\mathfrak{gl}}_2)$为例，结合Uglov多项式与Macdonald多项式的ℏ展开关系，构建了该Yangian的显式表示，并揭示了奇偶时间变量的表示差异特性。
2024-02-27 hep-th math-ph math.MP
New runner removal theorems for the cyclotomic Hecke algebras of type $G(r,1,n)$
Key Laboratory of Algebraic Lie Theory and Analysis of Ministry of Education, School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（教育部代数李理论与分析重点实验室，北京理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
本文利用 Uglov 映射，将 James-Mathas 和 Fayers 关于对称群 Iwahori-Hecke 代数分解数的 runner 添加定理推广到 $G(r,1,n)$ 型分圆 Hecke 代数。
2026-09-18 math.RA math.RT
Trace decategorification of tensor product algebras
证明了在ADE型中，量子群的不可约项的张量积的Webster分类的迹同构于当前代数$\dot{U}(\mathfrak{g}[t])$的Weyl模的张量积.这推广了Beliakova、Habiro、Lauda和Webster的结果，他们证明了范畴化的量子群$\dot{\mathcal{U}}^*(\mathfrak{g})$的迹同构于$\dot{U}(\mathfrak{g}[t])$，而$\dot{\mathcal{U}}^*(\mathfrak{g})$的分圆商的迹（它范畴化了量子群的一个不可约的）同构于$\dot{U}(\mathfrak{g}[t])$的Weyl模。我们使用的变形参数的基础上韦伯斯特的技术展开2表示。
2019-03-20 math.QA math.RT
Super Macdonald polynomials and BPS state counting on the blow-up
本文研究 $\mathbb{P}^2$ 爆破上的 BPS 态计数，利用超分拆标记的不动点及 Nekrasov 因子计算配分函数和量子环面代数矩阵元，并验证其与超 Macdonald 多项式 Pieri 法则一致。
2025-09-27 hep-th math-ph math.MP
Traces of intertwiners for quantum affine algebras and difference equations (after Etingof-Schiffmann-Varchenko)
本文修正了Etingof-Schiffmann-Varchenko关于无扭量子仿射代数在相反余积和标准分次上的缠绕迹的结果，并给出了完整的证明.更精确地说，我们证明了$U_q(\hat{\mathfrak{g}})$的某些归一化广义迹解决了四个q-差分方程的交换系统：Macdonald-Ruijsenaars，对偶Macdonald-Ruijsenaars，q-KZB和对偶q-KZB方程。此外，我们还证明了这些重整化迹函数的对称性。我们的修改的动机是它们出现在作者最近的工作。
2016-09-28 math-ph math.MP math.QA
Quantum continuous $\mathfrak{gl}_\infty$: Semi-infinite construction of representations
我们开始研究量子连续$\mathfrak{gl}_\infty$的表示论，记作$\mathcal E$。这个代数依赖于两个参数，并且是作用在单变量Laurent多项式空间上的差分算子的李代数的包络代数的变形版本。$\mathcal E$的基本表示由连续参数$u\in {\mathbb C}$标记。$\mathcal E$的表示论具有许多与$\mathfrak{gl}_\infty$的表示论相似的性质：向量表示，Fock模，模的半无限构造。利用向量表示的张量积，对所有$N$，构造了从$\mathcal E$到球面双仿射Hecke代数$S\ddot H_N$的满同态.在这个建设中的一个关键步骤是一个自然基地的识别与麦克唐纳多项式的向量表示的张量积。我们还表明，Fock表示之一是同构的模块构建较早的$K$理论的希尔伯特计划。
2010-02-16 math.QA math.RT
Spin q-Whittaker polynomials and deformed quantum Toda
自旋$q$ -惠特克对称多项式标记为分区$λ$最近介绍了Borodin和惠勒（arXiv：1701.06292）在可积$\mathfrak{sl}_2$顶点模型的上下文中。它们是$t=0$ Macdonald多项式的单参数变形。本文提出了一种新的、更方便的自旋$q$-Whittaker多项式的修正，并找到了两个对角作用于这些具有特征值的多项式的Macdonald型$q$ -差分算子，分别为$q^{-λ_1}$和$q^{λ_N}$（其中$λ$是多项式的标号）.我们研究了基于自旋$q$ -Whittaker多项式的交错阵列上的概率测度，并将其观测量与已知的随机粒子系统如$q$ -Hahn TASEP进行了匹配.在$q\nearrow 1$的标度极限下，自旋$q$多项式变成了$\mathfrak{gl}_n$ Whittaker函数的一个新的单参数变形。重新标度的Pieri型规则引起量子Toda哈密顿量的单参数变形。变形的哈密顿量对角地作用在我们新的自旋惠特克函数上。在随机方面，作为$q\nearrow 1$，我们发现了Barraquand和Corwin（arXiv：1503.04117）的β聚合物模型的多级扩展，并将其与自旋惠特克函数联系起来。
2020-04-19 math-ph math.CO math.MP
Computing the R-matrix of the quantum toroidal algebra
研究了量子环面代数$U_{q,t}(\ddot{\mathfrak{gl}}_1)$在Fock表象下的R-矩阵问题。利用R-矩阵$R(u)$（$u$是谱参数）与Macdonald算子理论之间的联系，我们得到了$R(u)$的算子和矩阵形式的显式表达式.这些公式用Macdonald算子的本征值来表示，Macdonald算子完全描述了$R(u)$对谱参数$u$的函数依赖性。然后我们考虑几何R-矩阵（由框架层模空间上的K-理论稳定基理论得到），期望它与$R(u)$相一致，从而给出研究R-矩阵作为u的函数的极点的另一种方法.
2021-12-16 math-ph math.MP math.QA
Traces of intertwiners for quantum affine sl_2 and Felder-Varchenko functions
我们证明了在三维赋值表示中Etingof-Schiffmann-Varchenko的$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ -交织迹收敛于一定的参数区域，并给出了$q$ -KZB热方程的Felder-Varchenko超几何解的表示论构造.这给出了第一个证明，这样的跟踪功能收敛，并解决了第一种情况下的Etingof-Varchenko猜想。作为应用，我们证明了缠绕模迹的对称性，并证明了Felder-Varchenko猜想：缠绕模的椭圆Macdonald多项式与Etingof-Kirillov Jr.定义为不可约可积$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$ -模上迹的仿射Macdonald多项式有关。在三角极限和经典极限中，我们恢复了Etingof-Kirillov Jr.的结果。还有艾廷奥夫·瓦琴科我们的方法依赖于相干态的方法之间的相互作用，适用于自由场实现的$q$ -Wakimoto模块的松尾，收敛性能给出的theta超几何积分的Felder-Varchenko，和合理性属性起源于表示理论的定义的跟踪功能。
2015-12-06 math-ph math.MP math.QA
Difference equations for graded characters from quantum cluster algebra
本文引入一组新的$q$ -差分算子作为对称多项式族上的提升算子，这些对称多项式族是当前代数${\mathfrak g}[u]$ KR-模\cite{FL}的分次张量积的特征，用于${\mathfrak g}=A_r$ .这些算子是Kirillov-Noumi \cite{kinoum} Macdonald提升算子在对偶$q$ -Whittaker极限$t\to\infty$中的推广。它们构成了量子$Q$系统的一种表示形式，其类型为$A$ \cite{qKR}。这个系统是量子簇代数的子代数，也是一个离散的可积系统，其守恒量类似于$U_q({\mathfrak sl}_{r+1})$的Casimir，充当上述对称多项式族的差分算子。在基本模的乘积的特殊情况下，特征标是I类$q$ -Whittaker函数，或1级Demazure模或Weyl模的特征标。守恒量对这些性质的作用给出了差分量子Toda方程\cite{Etingof}。对于KR-模的任意张量积，我们得到了后者的一个推广。
2016-06-05 math-ph math.CO math.MP
Spherical transform and Jacobi polynomials on root systems of type BC
设$R$是一般正重数的$\mathfrak a=\mathbb R^r$中的BC型根系.我们在$\mathbb R^r$上引入了一个正则权函数，它在对称域上对应于Berezin变换的积分核.我们计算了它的球面变换，并证明了一定的Bernstein-Sato型公式。这概括了Unterberger-Upmeier，van Dijk-Pevsner，Neretin和作者的早期工作。紧环面上的Jacobi型Heckman-Opdam正交多项式对应于权函数，变量变换后，它们在非紧空间$\mathfrak a$上形成正交系.我们考虑它们的球面变换，并证明它们是Macdonald-Koornwinder多项式乘以标准权函数的球面变换。对于秩一的情况，这是由Koornwinder早先证明的。
2005-04-26 math.CA math.RT
Supersymmetric polynomials and algebro-combinatorial duality
本文为超对称 Schur、Jack 和 Macdonald 多项式族建立了系统的组合学定义，并证明超 Macdonald 多项式构成量子环面代数超类比的一个表示，同时讨论了 Young 表和 Kostka 数的超对称修正。
2024-09-19 hep-th math-ph math.CO
Categorification of Quantum Generalized Kac-Moody Algebras and Crystal Bases
构造了Khovanov-Lauda-Rouquier代数$R$及其分圆子$R^λ$，并研究了它们的结构.设$U_\A(\g)$是与Borcherds-Cartan矩阵$A=(a_{ij})_{i,j \in I}$相关联的量子广义Kac-Moody代数的积分形式，$K_0(R)$是广义生成的投射分次$R$ -模的Grothedieck群.本文证明了存在一个单射代数同态$Φ: U_\A^-(\g) \to K_0(R)$，并且如果对所有的$i\in I$都有$a_{ii}\ne 0$，则$Φ$是一个同构.令$B(\infty)$和$B(λ)$分别是$U_q^-(\g)$和$V(λ)$的晶体，其中$V(λ)$是不可约的最高权$U_q(\g)$ -模。我们分别用$\mathfrak{B}(\infty)$和$\mathfrak{B}(λ)$表示$R$和$R^λ$上不可约分次模的同构类.如果对所有的$i\in I$都有$a_{ii}\ne 0$，我们定义了$\mathfrak{B}(\infty)$和$\mathfrak{B}(λ)$上的$U_q(\g)$ -晶体结构，并证明了存在晶体同构$\mathfrak{B}(\infty) \simeq B(\infty)$和$\mathfrak{B}(λ) \simeq B(λ)$ .我们的方法的关键成分之一是广义Kac-Moody代数的完美基理…
2012-08-20 math.RT
Not even Khovanov homology
我们构造了一个超范畴，它可以看作是$A$型KLR代数（加厚）的斜版本。我们使用我们的超范畴构建同调不变量的缠结，并表明，对于每一个链接我们的不变量给出了一个链接同调论超范畴的琼斯多项式。我们的同源性是不同的，甚至Khovanov同源性，我们提出的证据支持的猜想，它是同构的奇Khovanov同源性。我们还表明，我们的超范畴的分圆子给出的不可约的有限维表示的水平2的$\mathfrak{gl}_n$的supercriterionations。
2020-11-16 math.GT math.QA math.RT
Categorification of the adjoint action of quantum groups
设$U$是一个量子化的包络代数。考虑了$U$的一个$\mathfrak{sl}_2$ -子代数在$U^+$的一个子代数上的伴随作用，该子代数对该作用是极大可积的.我们将这种表示在Hecke代数的上下文中进行分类。得到了与$\mathfrak{sl}_2$相关的2-范畴在一类模范畴上的作用.我们的方法类似于Kang-Kashiwara通过分圆代数对最高权模的分解。其中一个主要的新特点是相容性的范畴行动与monoidal结构，分类概念的导子代数。作为某些结果的应用，我们对高阶量子Serre关系进行了分类，将Stošić的结果推广到非简单的情形.
2020-01-30 math.QA math.RT
Automorphisms of quantum toroidal algebras from an action of the extended double affine braid group
本文构造扩展双仿射辫群对量子环面代数的作用，并利用其产生交换水平和垂直子代数的自同构，推广了 Miki 在 A 型中的结果。
2024-03-15 math.QA math.RA math.RT
Quantum toroidal algebras and solvable structures in gauge/string theory
本文综述了量子环面代数在二维共形场论、超对称规范理论与弦理论可解结构中的作用，详细探讨$\mathfrak{gl}_1$量子环面代数表示论及其在拓扑顶点与$qq$-字符等代数表述中的应用。
2024-01-10 hep-th math-ph math.MP
Log-concavity of characters of parabolic Verma modules, and of restricted Kostant partition functions
本文证明 A 型半单李代数上所有抛物 Verma 模的移位特征标为反归一化 Lorentzian，并通过无环多重图的受限 Kostant 分拆函数给出机制，同时界定该性质的极大性并部分解决相关猜想。
2025-10-21 math.CO math.RT
Knot invariants and higher representation theory
我们构造了纽结不变量，对量子群的所有表示的量子纽结变量进行了分类。我们证明了这些不变量与Khovanov对sl_2和sl_3定义的不变量以及Mazenuk-Stroppel和Sussan对sl_n定义的不变量相一致。我们的技巧是研究2-量子群的2-表示（在Rouquier和Khovanov-Lauda意义下），它们是不可约表示的张量积的分类。这些是某些有限维代数的表示范畴，具有明确的图解表示，推广了KLR代数的分圆商。当所考虑的李代数是$\mathfrak{sl}_n$时，我们证明了这些范畴对于gl_k与抛物范畴O的某些子范畴一致.我们还研究了这些范畴的更精细的结构：它们是标准分层的，并且满足关于它们的自对偶模的双中心化子性质。分层的标准模作为函子的测试对象起着重要的作用，就像Vermas在更经典的表示论中所做的那样。这些表象的存在对先前研究的结构有影响。它允许我们证明Khovanov和Lauda的2-范畴在所有可对称化类型中的非退化性（它的Hom空间具有期望维数），并且分圆的Hecke代数是对称的Frobenius。在Reshetikhin和Turaev的工作中，量子群的表示之间的编织和（共）评价映射被用来定义多项式结不变量。我们证明了张量积的代数化是通过函子对这些映射进行分类而实现的，从而可以构造双阶纽结同调，其阶化欧拉示性数是原多项式纽结不变量.
2015-08-12 math.GT math.QA math.RT
