Beyond ECH capacities
嵌入接触同调（ECH）容性是将一个四维带边界辛流形辛嵌入到另一个四维带边界辛流形的障碍.已知当域和目标是椭圆体（由McDuff证明）时，以及更一般地当域是“凹复曲面域”并且目标是“凸复曲面域”（由Cristofaro-Gardiner证明）时，这些障碍物是尖锐的。然而，ECH容量通常不会产生尖锐的障碍，例如在许多情况下，当域是多盘时。本文使用更精细的信息，ECH给更强的辛嵌入障碍时，域是一个polydisk，或更一般的凸环面域。我们使用这些新的障碍，以reprove Hind-Lisi的结果辛嵌入到一个球的多圆盘，并推广到阻碍一些辛嵌入到一个椭球的多圆盘。我们还得到了一个新的障碍，辛嵌入一个多圆盘到另一个，特别是证明了四维情况下的Schlenk猜想。
2015-04-04 math.SG
Quantitative embedded contact homology
定义“Liouville域”为具有接触型边界的紧精确辛流形。我们使用嵌入接触同调分配给每个四维Liouville域（或其子集）的一个序列的实数，我们称之为“ECH容量”。刘维域的ECH能力定义在其边界的“ECH谱”，它衡量的数量辛行动需要代表某些类嵌入接触的同源。使用协边映射嵌入接触的同源性（定义在联合工作与Taubes），我们表明，ECH的能力是单调的辛嵌入。我们计算的ECH能力的椭球，polydisks，某些子集的余切束T2，和不相交的工会的例子，其中ECH能力是已知的。由此产生的辛嵌入障碍是尖锐的，在一些有趣的情况下，例如问题的椭球嵌入到一个球（如工作所示的麦克达夫-施伦克）或嵌入一个不相交的联盟的球到一个球。我们还提出了一个猜想，根据该猜想，刘维域的ECH能力的渐近恢复其辛体积的状态和证据。
2010-09-09 math.SG
ECH capacities of concave singular toric domains
本文推广四维环面域至边界为透镜空间 L(n,1) 的奇异环面域，并计算一类凹奇异环面域的 ECH 容量，结果可用于研究其去奇异化空间中的嵌入问题。
2025-09-27 math.SG
Algebraic capacities
我们研究不变量来自某些优化问题的nef因子的表面。这些优化问题出现在工作中的作者和合作者绑障碍之间的嵌入辛4流形的问题的积极性（可能奇异）代数曲面。我们开发了这些不变量的一般框架，并证明了其结构和渐近性的基本结果。我们描述了这些不变量的连接嵌入接触同调（ECH）和Ruelle不变量在辛几何，并在极小超曲面的研究中的最小-最大宽度。我们使用这些连接的第一个，以获得最佳界限的子领先的ECH能力的渐近许多复曲面域。
2020-11-18 math.AG math.SG
The ECH capacities for the rotating Kepler problem
在本文中，我将计算的ECH容量的旋转开普勒问题时，能量小于或等于临界能量值$-\dfrac{3}{2}$。为了计算ECH-容量，我将使用旋转开普勒问题的特殊凹复曲面域，这在[arXiv：2108.04581]中解释，并获得特殊凹复曲面域的权重。我将使用一种新方法通过新树[arXiv：2108.04581]计算权重，然后给它们一个进行计算所需的命令。权值是属于能量参数的连续函数。所以我们可以用这个方法来计算，所有低于临界能量的能级。最后，我们将证明第一个权重是所有能量$c \leq -\dfrac{3}{2}$的最大权重，并将看到临界能量的ECH容量计算的数值例子。
2022-02-11 math-ph math.DS math.MP
Infinite ECH Capacities and Anosov Flows
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文建立了嵌入接触同调(ECH)与Anosov流动力学之间的联系，证明了许多辛4-流形的ECH容量无限，并给出了Reeb Anosov和Hamilton Anosov流存在的Floer理论障碍，应用于辛4-流形中亏格≥2的嵌入Lagrangian的存在性约束。
2026-07-23 math.DS math.GT math.SG
Symplectic embeddings from concave toric domains into convex ones
嵌入接触同调给出了四维辛嵌入的一系列障碍，称为ECH容量。在“辛嵌入到四维凹复曲面域”中，作者Choi，Frenkel，Hutchings和Ramos计算了所有“凹复曲面域”的ECH容量，并表明这些在几个有趣的情况下给出了尖锐的障碍。我们表明，这些障碍是尖锐的所有辛嵌入凹复曲面域到“凸”的。在Choi的附录中，我们证明了凸环面域的ECH容量的一个新公式，它表明它们是由相应的球集合的ECH容量决定的。
2019-07-15 math.SG
Computing the $U$ maps on ECH of prequantization bundles
本文研究闭辛曲面上预量子化圆丛的嵌入接触同调的U-模结构，给出U-映射显式描述，计算ECH谱及辛除子补集的ECH容量，证明闭积分辛流形的ECH容量无穷。
2026-08-25 math.GT math.SG
Algebraic capacities as tropical polynomials over the reduced $c_1$-positive symplectic cone
本文用驯化辛形式与近复结构重新表述代数容量，证明其仅依赖上同调类，引入热带多项式描述容量，并给出光滑环面曲面上代数容量与ECH容量对应的纯辛证明。
2024-09-20 math.SG
The Hofer conjecture on embedding symplectic ellipsoids
本文证明了一个开的四维椭球辛嵌入另一个开的四维椭球当且仅当第一个开的四维椭球的ECH容量不大于第二个开的四维椭球。这证明了一个猜想，由于哈塞尔。该论点使用的等效椭球嵌入问题与球嵌入问题，最近建立的麦克达夫。其方法的灵感来自Hutchings最近的嵌入式接触同源性（ECH）容量的结果，但没有使用它们。
2011-03-01 math.SG
An estimate on energy of min-max Seiberg-Witten Floer generators
本文改进极小极大 Seiberg-Witten Floer 生成元的能量估计，从而无需辛 4 维流形中的嵌入球即可直接证明 ECH 容量恢复体积，并进一步估计收敛速度。
2018-01-20 math.GT math.SG
On symplectic capacities of toric domains
复曲面域是$(\mathbb{C}^n,ω_{\text{std}})$的子集，其在$\mathbb{C}^n$上的$\mathbb{T}^n$的标准旋转作用下不变。对于一个复曲面域$U$从某一大类，这个行动是不自由的，我们找到一个相应的复曲面域$V$的标准行动是自由的，并为$c(U)=c(V)$的任何辛容量$c$。Michael Hutchings给出了一个组合公式来计算他的嵌入接触同调辛容量为某些复曲面四流形上的$\mathbb{T}^2$ -行动是自由的。我们的定理允许人们将这个公式推广到一类作用不自由的环面域。我们应用我们的定理来计算ECH能力的某些交叉点的椭圆，并发现这些能力给尖锐的障碍，辛嵌入这些椭圆相交到球。
2014-08-03 math.SG
Symplectic embeddings into four-dimensional concave toric domains
ECH容性是将一个带边带边流形辛嵌入到另一个带边流形中的障碍。我们计算了一个大的家庭辛四流形的边界，称为“凹复曲面域”的ECH能力。例子包括$\mathbb{R}^4$中两个椭球的（不相交）并集。我们使用这些计算，以找到尖锐的障碍，某些辛嵌入涉及凹复曲面域。举例来说：（1）我们计算了每个凹复曲面区域的Gromov宽度;（2）我们证明了椭球到椭球和圆柱的并集中的许多包含是“最优的”;（3）我们发现了球填充到椭球和圆柱的某些并集中的尖锐障碍。
2014-02-17 math.SG
Obstructions in Symplectic Embedding Problems for Four-Dimensional Convex Toric Domains
本文推广Hutchings的ECH方法，研究四维凸环面域及其并集的辛嵌入障碍，并利用交正性发现新障碍，阻碍嵌入间同伦的存在。
2026-10-07 math.SG
Symplectic embeddings of polydisks
本文给出了圆盘乘积（多圆盘）在四维球上的辛嵌入的新障碍。多圆盘P（r，s）是面积为r的圆盘与面积为s的圆盘的乘积。容量为a的球，记为B（a），是具有πr^2 \le a的球。我们证明了P（1，2）嵌入B^4（a）当且仅当a至少为3。这表明在B^4（3）中包含P（1，2）是最优的。\ge 3的必要性意味着，对于这个特定的嵌入问题，Ekeland-Hacker和ECH容量都不会产生明显的障碍。我们将其与椭球嵌入到球中的情况进行对比，此时ECH容量给出了完整的障碍物列表[McDuff 2011]。我们的障碍不是来自辛的能力，而是从pseudoholorphic叶理，因此技术似乎是特殊的4维。
2013-04-10 math.SG
Symplectic embeddings of toric domains with boundary a lens space
本研究给出凹透镜空间的嵌入切触复形组合描述，定义带奇点的广义凹环面域，利用ECC计算其ECH容量，并给出可恢复该容量的辛流形填充方式。
2024-05-16 math.DG math.SG
Symplectic embeddings into disk cotangent bundles
本文计算了圆盘余切丛$D^*S^2$和$D^*\mathbb{R} P^2$的嵌入接触同调容度。我们还发现尖锐的辛嵌入到这些领域。特别地，我们计算它们的Gromov宽度。为了做到这一点，我们明确计算的ECH链复形的$S^*S^2$和$S^* \mathbb{R} P^2$使用的直接限制参数的作用受Bourgeois的Morse-Bott方法和思想从尼尔森-韦勒的工作的ECH预量子化束。此外，我们使用可积系统技术来寻找显式辛嵌入。特别地，我们证明了一个半球和一个穿孔球的圆盘余切丛分别与一个开球和一个辛双圆盘辛同构。
2021-10-05 math.SG
The generating function of the embedding capacity for 4-dimensional symplectic ellipsoids
最近，麦克达夫表明，一个四维椭圆体到另一个四维椭圆体的辛嵌入的存在性可以通过比较它们相应的ECH容量序列来确定。本文证明了这些序列可以编码成一个生成函数，从而给出了McDuff定理的几个新的等价公式。
2011-02-28 math.CO math.SG
The special concave toric domain for the rotating Kepler problem
针对能量≤-3/2的旋转开普勒问题（RKP），通过两种辛正则化识别相空间有界分量，构造特殊凹环面域（SCTD）及组合树结构，推进辛嵌入理解并提供哈密顿动力学研究新工具。
2025-08-20 math.DG math.DS math.SG
Recent progress on symplectic embedding problems in four dimensions
本文综述了四维辛流形何时可以辛嵌入到另一个四维辛流形的研究进展。2010年，麦克达夫建立了一个数论准则，证明了一个四维椭球体到另一个四维椭球体的辛嵌入的存在性。这与先前已知的球的不相交并集何时可以辛嵌入到球中的标准有关。新的“ECH容量”理论给出了四维辛嵌入的一般性障碍，这些障碍在上述情况下变得尖锐。
2011-02-15 math.SG
Obstruction to Symplectic Embeddings between Toric Domains
Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与统计学院）；Shenzhen International Center for Mathematics, SUSTech（南方科技大学深圳国际数学中心）
该研究利用嵌入接触同调，扩展Hutchings准则得到三类凸域辛嵌入的障碍，经应用验证其部分障碍强于ECH容量导出的障碍。
2026-08-31 math.SG
Noncontractible loops of symplectic embeddings between convex toric domains
给定两个四维椭球，其辛尺寸满足一个指定的不等式，我们证明了两个椭球之间的辛嵌入的某个环是不可收缩的。关于辛椭圆体的陈述是更一般结果的特殊情况。给定两个凸环面域，其第一和第二ECH容量满足一个指定的不等式，我们证明了这两个凸环面域之间的辛嵌入的某个环是不可收缩的.我们将展示如何构建的循环变得收缩，如果目标域变得足够大。证明涉及到研究某些模空间的全纯圆柱族的辛协边所产生的家庭辛嵌入。
2018-09-11 math.SG
Geometry and dynamics on Liouville domains in $T^*\mathbb T^2$
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文构建了Liouville域在$T^*\mathbb T^2$上的类比框架，基于系统比引入新的凸性概念，利用辛几何工具研究了Liouville域的子类关系，揭示了其大尺度几何特性，并验证了归一化容量的一致性。
2026-03-31 math.DS math.SG
Curvy points, the perimeter, and the complexity of convex toric domains
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Barnard College（巴纳德学院）
研究环面边界的曲率和周长对四维辛填充问题的影响，证明ECH容量次主导渐近恢复周长，周长阻碍完全填充，并分类具有无限阶梯的光滑凸环面域。
2026-07-03 math.SG
Ehrhart polynomials and symplectic embeddings of ellipsoids
McDuff和Schlenk确定了一个四维椭球何时可以辛嵌入一个球，并发现部分答案是由一个无限的“斐波那契阶梯”给出的。类似地，Frenkel和Müller确定了四维椭球何时可以辛嵌入椭球E（1，2）中，并发现部分答案由“佩尔阶梯”给出。“ECH容量给一个四维椭球体辛嵌入另一个四维椭球体带来了障碍，麦克达夫证明了这个障碍是尖锐的。我们利用这个结果给出了McDuff-Schlenk和Frenkel-Müller阶梯的新证明，并证明了嵌入到椭球E（1，3/2）中会产生另一个无限阶梯.我们的证明涉及这些楼梯的一个独立的利益称为“周期崩溃”的Ehrhart准多项式的组合现象。在附录中，我们利用McDuff定理证明了当a >= 6时，将椭球E（1，a）嵌入到E（1，3/2）的标度中的唯一障碍是体积，并给出了嵌入到E（1，1）和E（1，2）标度中的类似结果的新证明。
2013-07-21 math.CO math.SG
