Notes on the Hodge Conjecture for Fermat Varieties
Genival da Silva
我们回顾了一个组合的方法来霍奇猜想的费马品种，并宣布新的情况下，猜想是真的。
We review a combinatoric approach to the Hodge Conjecture for Fermat Varieties and announce new cases where the conjecture is true.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Lengths of Hodge characters in Fermat varieties
本文通过引入长度缩减算法和提升操作，将Fermat簇的Hodge猜想简化为限制例外元组长度，并证明了度数小于65（除44、51、52）的所有Fermat簇的猜想。
Small codimension components of the Hodge locus containing the Fermat variety
我们刻画了偶数维$n$的射影空间$\mathbb{P}^{n+1}$的光滑度$d$超曲面的Hodge轨迹的最小余维分量，该超曲面通过费马簇（含$d\neq 3,4,6$）.它们对应于包含维度为$\frac{n}{2}$的线性代数循环的超曲面的轨迹。进一步证明了在所有与通过Fermat的非线性圈相关联的局部Hodge轨迹中，与$(1,1,\ldots,1,2)$型完全交圈相关联的局部Hodge轨迹都能达到它们的Zapriki切空间的最小可能余维数.这回答了一个猜想的Movasati，并概括了一个结果Voisin约第一个差距的余维的组成部分的诺特-莱夫谢茨轨迹到任意尺寸，只要他们包含的费马品种。
Projective spaces in Fermat varieties
我们给出了一个简短的系统概述的几个结果有关的Néron-塞维里格的费马品种和Delsarte表面。
The transcendental lattice of the sextic Fermat surface
证明了六次Fermat曲面的超越格上的积分极化Hodge结构是可分解的。这反驳了一个猜想库利科夫有关霍奇理论的方法来证明不合理的非常普遍的立方四重。
Integral Hodge conjecture for Fermat varieties
我们描述了一个算法，它验证是否线性代数周期的费马品种产生格的霍奇周期。计算机实现这证实了积分霍奇猜想四次和五次费马fourfolds。我们的算法是基于计算的列表的初等因子的两个格的线性代数循环，和格的霍奇周期写在消失的周期，并观察到这两个列表是相同的。
On the topology of projective subspaces in complex Fermat varieties
设X是维数n=2d且次数m>2的复Fermat簇。研究了X的中同调群的子模，其整系数由包含在X中的标准d维子空间类生成，并给出了该子模的同调性的代数（或组合）判据.
Fermat varieties and the periods of some hypersurfaces
所有给定次数和维数的光滑超曲面的簇都以费马超曲面为自然的基点。为了研究此类变体的周期图，我们首先确定费马超曲面（作为超曲面自同构群上的模）的原始上同调的积分极化霍奇结构。然后，我们集中在3度的情况下，并表明，周期映射的三次四倍分析的R。Laza和作者给出了低维三次超曲面周期映射的完整信息。特别地，我们因此恢复Allcock-Carlson-Toledo的结果在三次曲面的情况下。
Companion varieties for root systems and Fermat arrangements
意外超曲面是某些特殊线性系的一个品牌名称。它们是在2017年左右引入的，自那时以来一直是深入研究的领域。他们吸引了大量的关注，因为他们的密切紧身衣，以各种其他领域的数学，包括向量丛，安排超平面，几何的投影品种。我们的研究动机是什么现在被称为BMSS对偶，这是一种新的方式来推导出已经构建的投射品种。最后作者在设置$B_3$根系允许的意外曲线时提出了伴随曲面的概念。在这里，我们将这个结构扩展到各个方向。我们重新访问的配置点相关的根系或费马安排，我们研究的相关品种和他们的同伴的几何形状。
Hodge theory on generalized normal crossing varieties
本文将Hodge理论中的一些结果推广到广义正规交叉簇上。
Nontrivial algebraic cycles in the Jacobian varieties of some quotients of Fermat curves
我们得到了费马曲线的某些导数的某些调和体积值的迹映象。这就提供了一种算法，即第k个Ceresa圈所调用的代数圈在雅可比簇中不代数等价于零。
Jacobi sums, Fermat Jacobians, and ranks of abelian varieties over towers of function fields
本文的目的是给出函数域k（t）上的阿贝尔簇的一些例子，这些簇在扩展塔中具有有界秩，例如k（t^{1/d}），其中d是变化的。一路上，我们证明了一些新的结果，费马曲线可能是独立的利益。
On the Hodge structure of degenerating hypersurfaces in toric varieties
介绍了一种代数方法来描述射影复曲面簇中退化超曲面的Hodge滤子。为此，我们证明了复曲面簇的真等变态射的对数微分形式的一些基本性质。
Mixed Hodge Structures of cluster varieties of dimension 3
本文计算光滑三维簇簇的混合霍奇数，证明其为混合泰特型，并研究奇异簇簇的上同调与交上同调的混合霍奇结构。
Quotients of Calabi-Yau Generalized Fermat manifolds and Log Enriques varieties
本文通过刻画Calabi-Yau型广义费马流形的无不动点自同构商，构造了对数Enriques簇与Enriques流形，证明其为已知两类Calabi-Yau型Enriques流形族中一类的子族，且与另一类的第二Betti数不同。
The Hodge Conjecture for general Prym varieties
证明了一般Prym簇的Hodge圈空间是由它的Neron-Severi群生成的。
An inductive approach to the Hodge conjecture for abelian varieties
我们描述了一个归纳的方法，最适合的阿贝尔簇与一个虚二次域的行动。
Hodge Theory and Higgs Bundle on Moduli Spaces of Smooth Varieties with Semi-Ample Canonical Line Bundles, Negativity and Hyperbolicity
这是一篇关于霍奇理论在具有半充分标准线丛的光滑射影簇的模空间上的最新发展的解释性文章。
Low degree Hodge theory for klt varieties
若X是具有klt个奇点的复射影簇，则前两个奇异上同调群上的混合Hodge结构是纯的.我们描述的霍奇分解的自反微分形式。应用包括Lefschetz（1，1）定理和弱类似的Hodge-Riemann双线性关系的klt品种。
Kuga-Satake varieties and the Hodge conjecture
本文介绍了Kuga-Satake簇，并讨论了与之相关的Hodge猜想的一些问题。Kuga-Satake簇是与一定权重的两个Hodge结构相关联的阿贝尔簇，例如K3曲面的第二上同调群。我们给一个详细的帐户建设的久贺佐竹品种和他们的分解简单的子品种。我们回顾了霍奇猜想，我们指出了霍奇猜想之间的连接交换四倍和Kuga-Satake品种。讨论了Hodge猜想对第二上同调群具有Kuga-Satake簇的曲面几何的影响.我们的结论与最近的一些结果的Kuga-Satake品种的霍奇结构上的一个虚二次域的作用。
Tropical Abelian varieties, Weil classes and the Hodge Conjecture
我们详细地描述了M. Kontsevich如何可以尝试找到一个反例霍奇猜想使用热带几何。
Tate twists of Hodge structures arising from abelian varieties of type IV
我们证明了某些阿贝尔簇A具有这样的性质：对于A的上同调中的每个Hodge结构V，V的每个有效Tate扭曲都发生在某些阿贝尔簇的上同调中。我们推出了一般霍奇猜想的某些非单阿贝尔簇的IV型。
The Hodge conjecture for Fermat fourfolds of odd degree at most 199
该研究通过计算机辅助方法，结合几何闭包准则与霍奇轨道普查，证明了次数不超过199的奇次数费马四重曲面的霍奇猜想，分离出13个特殊轨道并验证了相关代数性。
Torsion cycles on Fermat varieties
本文通过埃尔利克的方法重新证明了罗赫利奇关于费马曲线的定理，并将其推广到更高维度的无同源循环和高智周期。
Positivity of Hodge bundles of abelian varieties over some function fields
本文的主要结果是关于整体函数域上阿贝尔簇的Hodge丛的正性。作为应用，我们得到了有限域上曲面的Tate-Shafarevich群和Tate猜想的部分结果.
On fake linear cycles inside Fermat varieties
本文引入并刻画了费马簇中的假线性闭链，证明其仅在次数为3、4、6时存在且无穷多，并利用伽罗瓦作用与IVHS二阶不变量揭示了其病态几何性质，推广了关于霍奇轨迹最小余维数分支的已有结果。
Hodge classes on abelian varieties of low dimension
本文研究复阿贝尔簇上的Hodge类.我们证明了一些一般的结果，使我们在某些情况下，计算霍奇群的产品阿贝尔簇$X = X_1 \times X_2$一旦我们知道霍奇群的两个因素。利用这些结果，我们可以计算维数为$\leq 5$的所有阿贝尔簇的Hodge群.我们证明了任何这样的阿贝尔簇$X$的Hodge环都是由$X$上的因子类和Weil类生成的.
Vanishing for Hodge ideals on toric varieties
在这篇文章中，我们构造了光滑复曲面簇上全纯微分形式层的p次外幂的Koszul型分解，并利用它证明了光滑投射复曲面簇上与有效\mathbb{Q} -因子相关的Hodge理想的Nadel-type消灭定理.这推广了Mustagieni和Popa的早期结果。
Mixed Hodge Complexes on Algebraic Varieties
引入代数簇上的混合Hodge复形的概念，改进了Du Bois的滤子复形，并将Deligne的混合Hodge结构理论与混合Hodge模理论联系起来.这被认为是正确的，但这是非常不平凡的，因为混合霍奇模的理论不适用于单纯方案。杜波依斯奇异性的一些应用。
On the Log Hodge Theory of Toroidal Varieties and a Partial Proof of the Absolute Hodge Conjecture
本文构建加权环面结构与 Hodge 类障碍理论，借助 $E_1$-退化结果建立范畴 Hodge 对应，证明一类有理加权射影环面簇的绝对 Hodge 猜想。
Algebraicity of Hodge classes on some generalized Prym Varieties
本文通过重新审视Chad Schoen在特定Prym簇上构造的代数环，利用无分歧几何类域论证明某些广义Prym簇上Hodge类的代数性。
On the types of the mixed Hodge structures of character varieties
本文证明了特征标簇的混合Hodge结构是Hodge-Tate型的，并且证明了混合Hodge多项式与通有特征值的选择无关，这是Hausel，Letellier和Rodriguez-Villegas的一个猜想.此外，我们还研究了半稳定抛物Higgs丛的模空间和半稳定正则奇异抛物联络的模空间的混合Hodge结构。我们证明了这些模空间的混合Hodge结构是纯的。
The order of the top Chern class of the Hodge bundle on the moduli space of abelian varieties
给出了主极化阿贝尔簇模空间上Hodge丛的顶Chern类的阶的上、下界。
On the Hodge conjecture for hypersurfaces in toric varieties
我们证明了奇维单射影复曲面簇中的一般超曲面满足Hodge猜想（包括射影空间），证明了其组合性质。这给出了织田猜想和霍奇猜想之间的联系。我们还给出了一个明确的标准，这取决于程度非常一般的超曲面的组合条件进行验证。
The top Chern class of the Hodge bundle on the moduli space of abelian varieties
给出了主极化阿贝尔簇模空间上Hodge丛的顶Chern类的阶的上、下界。我们也给出了一个推广到更高的属的著名公式$12 λ_1=δ$的亏格1。
On the integral Hodge conjecture for varieties with trivial Chow group
本文构造了全周群有限秩却违反整 Hodge 猜想的复光滑射影簇，并证明此类反例也可定义在数域上。
Grassmannian BGG Complexes and Hodge numbers of irregular varieties
本文研究了文献arXiv：1211.2486中引入的Grassmannian BGG复形的正合性，得到了一些不规则簇的Hodge数之间的不等式.特别地，我们得到了阿贝尔簇的光滑子簇的Hodge数的精确下界，并改进了Lazarsfeld，Popa和Lombardi关于三重和四重的结果.
Chen-Jiang decompositions for projective varieties, without Hodge modules
本文给出了Pareschi，Popa和Schnell关于光滑射影簇的典范丛沿到阿贝尔簇的态射的直象容许Chen-Jiang分解的一个定理的新证明，而不需要使用Hodge模理论.
On the Beilinson-Hodge conjecture for $H^2$ and rational varieties
Beilinson-Hodge猜想证明了循环映射$$H^n_M(X,\Q(n)) \to {\rm Hom}_{MHS}(\Q(-n),H^n(X,\Q))$$对所有正整数$n$和所有光滑复代数簇$X$的满射性。对于$n=2$，如果$X$是有理数，则证明了猜想.
On the monodromies and the limit mixed Hodge structures of families of algebraic varieties
研究了复平面上穿孔圆盘上完全交簇族的单值性和极限混合Hodge结构。为此，我们用一些牛顿多面体的几何数据来表示它们的运动邻近纤维。特别地，将非常明确地描述这种族的单值性的极限混合Hodge数和Jordan正规形的某些部分。
Stratifications and foliations for good reductions of Shimura varieties of Hodge type
Wedhorn使用具有PEL结构的BT- $m$定义并研究了PEL Shimura品种的水平$m$ -分层，然后Vasiu使用Shimura $F$ -晶体定义并研究了一般Hodge型Shimura品种。叶理的理论是由奥尔特建立的西格尔模块化品种，曼托万的PEL志村品种。在Hamacher的工作中，计算PEL Shimura簇的Newton层的维数起着重要的作用。我们研究水平$m$分层好约化在$p>2$的志村品种的霍奇型通过构建一定的torsors与等变态射，并将它们截断显示。然后，我们使用所获得的结果扩展到这些减少的叶理理论。因此，结合聂、朱的结果，我们得到了牛顿地层的维数公式。
Congruences for the number of rational points, Hodge type and motivic conjectures for Fano varieties
这是一篇为《库博杂志》撰写的调查文章。讨论了有限域上有理点的存在性和个数，复数上的Hodge型，以及控制这些不变量的动机结构.我们提出了一个几何版本。
Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture
我们知道半正则子簇满足变分Hodge猜想，即，给定一族光滑投射簇$π:\mathcal{X} \to B$、一个特殊纤维$\mathcal{X}_o$和一个半正则子簇$Z \subset \mathcal{X}_o$，对应于$Z$的上同调类保持为Hodge类（因为$\mathcal{X}_o$沿着$B$变形）当且仅当$Z$保持为代数圈。在这篇文章中，我们调查这样的子品种的例子。特别地，我们证明了任何维数为$n$的光滑射影簇$Z$是$\mathbb{P}^{2n+1}$中足够大次数的光滑射影超曲面的半正则子簇。
Non-abelian Hodge theory for non-proper varieties and the linear Shafarevich conjecture
本文综述了非交换Hodge理论在非 proper 代数变种中的最新进展，并利用这些工具构造代数Shafarevich映射，证明了对于任何代数变种的线性Shafarevich猜想版本。
Gromov-Witten Theory of Quotient of Fermat Calabi-Yau varieties
基于K构造了加权齐次多项式的全局B模型。齐藤的原始形态理论。我们的主要动机是给出与Gromov-Witten不变量和Fan-Jarvis-Ruan-Witten不变量相关的所谓全局镜像对称猜想的严格陈述。此外，我们的建设使我们能够推广的概念，拟模形式和全纯异常方程。最后，我们证明了费马多项式的整体镜像对称猜想。
Around a class version of the Hodge index theorem for singular varieties
本文概述了奇异复代数簇霍奇指标定理特征类版本的最新进展，澄清了文献中L类概念的关系，并给出了该猜想成立的多种新情况，包括紧 toric 簇、Schubert 簇等。
Hodge theory of cubic fourfolds, their Fano varieties, and associated K3 categories
这些是在学校的讲座笔记“超曲面的双有理几何”在加尔尼亚诺在2018年3月。主要目标是讨论与三次四重函数自然相关的霍奇结构。重点是霍奇和晶格理论方面的许多技术细节制定明确。更多的几何或衍生结果只是暗示。
Multiplicative sub-Hodge structures of conjugate varieties
对于不包含在虚二次数域中的复数的任意子域K，我们构造了K-有理（p，p）-类代数不同构的共轭簇.这与霍奇猜想相比较，霍奇猜想预测当K包含在虚二次数域中时同构;此外，它表明复上同调代数上的复霍奇结构在Aut（\C）-作用于簇下不是不变的。证明了单连通共轭簇在其第二实上同调群上的多线性交形式不是（弱）同构的。使用这些，我们检测非同胚共轭品种的任何基本群和任何双有理等价类的尺寸至少为10。
Sections of the Hodge bundle over Ekedahl-Oort strata of Shimura varieties of Hodge type
在Hodge型Shimura簇的每个Ekedahl-Oort层上构造了Hodge丛幂的典范非零整体瓣.特别是，我们恢复的Ekedahl-Oort地层的准亲和性。在射影情形下，这给出了埃克达尔-奥尔特地层非空性的一个非常简短的证明。根据S. Nie的一个结果，牛顿层也是非空的。我们还推导出这样一个事实，即$μ$ -普通轨迹是由它的图像的Ekedahl-Oort层通过任何嵌入。
A counterexample to the Hodge conjecture for Kaehler varieties
总结：霍奇猜想是问光滑射影流形上的有理霍奇类是否由代数子集类生成，或者等价地由相干层的陈类生成。在紧致Kaehler流形上，若代数子集被解析子集取代，则Hodge猜想是不成立的。在这里，我们表明，它甚至是假的，对于Kaehler流形，霍奇类生成的陈类的相干层。我们还表明，有限自由分解一般不存在的凝聚层紧Kaehler流形。
An Exploration of Degeneracy in Abelian Varieties of Fermat Type
本文研究费马类型阿贝尔簇的退化现象，通过Mumford-Tate群、Hodge群和Sato-Tate群分析退化特征，证明当m为奇合数时，超椭圆曲线的雅可比簇退化。
Cycles Representing The Top Chern Class of the Hodge Bundle on the Moduli Space of Abelian Varieties
我们将著名的亏格1的公式$12 λ=δ$推广到更高的亏格。我们还计算类的某些阶层的佐竹紧化的重言式环的下推的元素。
On the singularity of the Demjanenko matrix of quotients of Fermat curves
给定一个素数$\ell\geq 3$和一个正整数$k \le \ell-2$，可以定义一个矩阵$D_{k,\ell}$，即所谓的Demjanenko矩阵，其秩等于指数为$\ell$的费马曲线的某个商的雅可比矩阵${\mathrm Jac}({\mathcal C}_{k,\ell})$的霍奇群的维数。对于一个固定的$\ell$，$D_{k,\ell}$是奇异的$k$的存在性（等价地，${\mathrm Jac}({\mathcal C}_{k,\ell})$的Hodge群的秩不是最大的）已经在文献中被广泛研究。当$\ell$趋于无穷大时，我们给出了这样的$k$个数的渐近公式.
On the Hodge conjecture for quasi-smooth intersections in toric varieties
对一类复曲面簇的若干子簇建立了Hodge猜想。首先，我们研究了投射单纯环面簇中的拟光滑交，这是一个合适的概念，推广光滑完备交子簇在环面环境中，特别是拟光滑超曲面。本文证明了在适当的条件下，Hodge猜想对一个非常一般的拟光滑交子簇成立，推广了第一作者和Grassi在[3]中关于拟光滑超曲面的工作.我们还证明了对于Noether-Lefschetz轨迹上适当的拟光滑超曲面，Hodge猜想渐近成立，其中“渐近”意味着超曲面的次数足够大。这推广到复曲面变种Otwinowska的结果在[15]。
Hodge symmetry and Lefschetz theorems for singular varieties
该研究证明奇点代数簇拓扑与霍奇理论新结果，揭示奇点复杂度条件与霍奇-杜波依斯菱形对称性的关联，关联有理同调流形理论并在低维有理奇点代数簇中刻画了它。
Intersection complexes of toric varieties and mixed Hodge modules
证明了混合Hodge模范畴中环面簇的交复形的结构定理。这个定理是由于伯恩斯坦，Khovanskii和麦克弗森为基础的复合物与合理的系数。作为推论，非退化复曲面的欧拉示性数Hodge数可以由欧拉示性数的次全Hodge数和牛顿多面体的组合数据来确定.这是隐含地使用在一个明确的公式由Batyrev-鲍里索夫。注意，Danilov-Khovanskii已经给出了牛顿多面体的欧拉示性数小计Hodge数的公式。该结构定理还暗示了非退化环面超曲面的标准紧化的中上同调上的权滤子的分次幂函数的Hodge水平严格小于一般情况下的Hodge水平（除了中权）.这给出了Danilov-Khovanskii关于非退化环面超曲面的前沿Hodge数公式的另一个证明。
Mixed Hodge structures and representations of fundamental groups of algebraic varieties
给定一个复簇$X$，一个线性代数群$G$和基本群$π\_1(X,x)$到$G$的表示$ρ$，利用混合Hodge图和$L\_\infty$代数方法，给出了一个在$ρ$上构造$π\_1(X,x)$到$G$的表示簇的形式局部环上的函子混合Hodge结构的框架.我们把它应用于两种几何情形：当$X$是紧K{ä}hler且$ρ$是Hodge结构的一个变体的单值时，或当$X$是光滑拟射影且$ρ$有有限象时.
On the integral Hodge conjecture for real varieties, I
我们制定了“真正的整体霍奇猜想”，一个版本的整体霍奇猜想的真正品种，并提出了它的有效性问题的循环1维uniruled和卡-丘三倍和合理连接的品种。我们把它与确定Borel-Haefliger圈类映射的1-圈的象的问题、确定无实点的实簇是否包含偶几何亏格的曲线的问题以及计算实三重1-圈的Chow群的挠率的问题联系起来。在此过程中，我们得到了一些新的结果。
Calabi-Yau attractor varieties and degeneration of Hodge structure
研究了一般椭圆CY 3-折叠族的弦理论通量紧化的结构。研究了IIB型弦理论中通量紧化的吸引子点在周期域边界分量上的轨迹。具体来说，我们给出方程描述这个轨迹通过渐近的幂零轨道的周期域。我们的方法是渐近霍奇理论和物理学中使用的数值周期向量的技术的混合。
Differential Forms and Hodge Structures on Singular Varieties
研究奇异复代数变种上的微分形式概念及其与Hodge滤波器的关联，引入并研究称为准有理的奇异性，探讨孤立奇异性条件。
Hodge Conjecture via Singular Varieties
本文利用光滑射影簇与奇异超曲面的双有理关系，证明具有 $A_n$ 奇点的奇数维超曲面满足两种 Hodge 猜想，且其消解满足经典 Hodge 猜想。
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