The maximum multiplicity of an eigenvalue of symmetric matrices with a given graph
对于图G，M（G）表示由G的边给出其零-非零模式的对称矩阵的特征值的最大重数。我们引入了两个组合图参数T^-（G）和T^+（G），分别给出了M（G）的一个下界和一个上界，并证明了这些界是尖锐的.
2016-07-05 math.CO
Characterization of graphs with some normalized Laplacian eigenvalue of multiplicity n-3
具有很少不同特征值的图已经被广泛研究。在本文中，我们专注于另一个相关的主题：图的某些特征值的大重数的特征。具体地说，这里考虑了图的归一化拉普拉斯矩阵。设$ρ_{n-1}(G)$和$ν(G)$分别是图$G$的次小归一化拉普拉斯特征值和独立数。作为主要结论，我们确定了两类具有重数为$n-3$的正规拉普拉斯特征值的$n$ -点连通图：具有$ρ_{n-1}(G)=-1$的图和具有$ρ_{n-1}(G)\neq -1$和$ν(G)\neq 2$的图.此外，还证明了这些图是由它们的谱决定的。
2019-12-31 math.CO
The Graphs for which the Maximum Multiplicity of an Eigenvalue is Two
刻画了所有简单无向图$G$，使得任何具有图$G$的实对称矩阵的重数不大于2。所有这样的图都是部分2-树（这是从相当一般的域的结果得出的），但只有某些部分2-树保证最大重数为2。在部分线性2-树中，它们只是那些顶点可以被两条“平行”的诱导路覆盖的树。剩下的保证最大重数为2的图由某些确定的非线性的"例外"部分2-树家族组成。
2007-01-20 math.CO
The full chracterazation of the graphs with a L-eigenvalue of multiplicity $n-3$
设$\mathcal{G}(n,k)$是一个具有重数$k$的拉普拉斯特征值的$n$阶连通图的集合.众所周知，$\mathcal{G}(n,n-1)=\{K_n\}$。Das确定了$\mathcal{G}(n,n-2)$的图，Mohammadian等人确定了$\mathcal{G}(n,n-3)$具有四个不同Laplacian特征值的图.本文确定了$\mathcal{G}(n,n-3)$具有三个不同Laplacian特征值的图，从而完成了$\mathcal{G}(n,n-3)$中图的完全刻画.
2017-12-01 math.CO
Ordered multiplicity inverse eigenvalue problem for graphs on six vertices
对于一个图$G$，我们关联一个家庭的实对称矩阵，$\mathcal{S}(G)$，其中任何$M \in \mathcal{S}(G)$，$M$的非零非对角项的位置由$G$的邻接结构。图的有序重数逆本征值问题（IEPG）是关于求出$\mathcal{S}(G)$中矩阵的所有可达的特征重数的有序表。对于六阶连通图，我们给出了有序重数图的IEPG的一个完整的解决方案。我们还表明，虽然$K_{m,n}$与$\min(m,n)\ge 3$达到一个特定的有序多重性列表，它不能这样做与任意的频谱。
2017-10-08 math.CO
Full characterization of graphs having certain normalized Laplacian eigenvalue of multiplicity $n-3$
设$G$是一个阶为$n$的连通简单图.令$ρ_1(G)\geq ρ_2(G)\geq \cdots \geq ρ_{n-1}(G)> ρ_n(G)=0$为$G$的归一化拉普拉斯矩阵$\mathcal{L}(G)$的特征值。用$m(ρ_i)$表示归一化拉普拉斯特征值$ρ_i$的重数。设$ν(G)$为$G$的独立数。本文给出了具有重数为$n-3$的正规Laplacian特征值的图的一个完全刻画，从而回答了[S. Sun，K.C. Das，关于图的归一化拉普拉斯特征值的多重性，线性代数应用609（2021）365-385]，$i.e.,$，不存在具有$m(ρ_1)=n-3$（$n\geq 6$）和$ν(G)=2$的图。此外，我们还证实了所有具有$m(ρ_1)=n-3$的图都是由它们的归一化拉普拉斯谱决定的。
2020-12-22 math.CO
The multiplicity of the zero Laplacian eigenvalue of uniform hypertrees
该研究通过刻画含割点或悬挂边的一致超图的 Laplacian 特征多项式及 Laplacian 匹配多项式，确定一致超树零 Laplacian 特征值的重数，并证明已有文献中的相关猜想。
2023-09-30 math.CO
Graph reduction techniques and the multiplicity of the Laplacian eigenvalues
令$M=[m_{ij}]$是$n\times m$实矩阵，$ρ$是非零实数，并且$A$是对称实矩阵。我们用$D(M)$表示$n\times n$对角矩阵$diag(\sum_{j=1}^{m}m_{1j},\ldots,\sum_{j=1}^{m}m_{nj})$，用$L_{A}^ρ$表示广义拉普拉斯矩阵$D(A)-ρA$。Grone等人的一个著名结果指出，通过将$P_{3}$的一个端点连接到图的任意顶点，不会改变拉普拉斯特征值$1$的重数。对于给定的广义Laplacian特征值$μ$，我们推广了这个定理和其它一些结果。此外，我们给出了Saito和Woei关于某些Laplacian特征值的重数与悬垂路之间关系的一个猜想的两个证明。
2016-09-08 math.CO
A zero forcing technique for bounding sums of eigenvalue multiplicities
给定一个图$G$，人们可能会问：“在$G$的所有加权邻接矩阵上，什么特征值集合是可能的？“（边的权重是正的或负的，而对角线项可以是任何实数。这被称为图的逆本征值问题（IEP- $G$）。这个问题的一个温和的放松考虑多重性列表，而不是确切的特征值本身。也就是说，给定一个图$G$在$n$的顶点上，以及$n$的一个有序划分$\mathbf{m}= (m_1, \ldots, m_\ell)$，是否存在一个加权邻接矩阵，其中第$i$个不同的特征值具有重数$m_i$？这被称为有序多重性IEP- $G$。最近的工作解决了所有6顶点图的有序重数IEP- $G$。在这项工作中，我们开发了迫零方法的有序多重性IEP- $G$在众多不同的情况下。也就是说，我们利用迫零参数的权力图，以实现连续的多重性的界限。我们能够提供一般的边界上的特征值的重数和图。这包括新的边界上的连续特征值的多重性的总和，以及更具体的树木的界限。利用这些结果，我们验证了前面关于六个顶点上的IEP- $G$的结果。此外，应用我们的技术，反对称矩阵，我们能够确定所有可能的有序重列表的反对称矩阵的连通图上的五个顶点。
2021-04-13 math.CO
Multiplicity Bounds for Arbitrary Eigenvalues of Connected Signed Graphs
本文研究了连通有向图任意特征值的多重性界，通过环长建立了精确上界，并给出了极值族的交换等价条件。
2025-12-10 math.CO
The multiplicity of the Laplacian eigenvalue $2$ in some bicyclic graphs
图$G$的拉普拉斯矩阵记为$L(G)=D(G)-A(G)$，其中$D(G)=diag(d(v_{1}),\ldots , d(v_{n}))$是对角矩阵，$A(G)$是$G$的邻接矩阵。设$G_1$和$G_2$是两个图。两个图$G_1$和$G_2$的单边连接是具有$V(G)=V(G_1)\cup V(G_2)$和$E(G)= E(G_1)\cup E(G_2)\cup \{e=uv\}$的图$G=G_1\odot_{uv} G_2$，其中$u\in V(G_1)$和$v\in V(G_2)$。利用Laplacian特征多项式，研究了单圈图$G_1$和$G_2$的Laplacian特征值中含有$2$时，$G_1\odot_{uv} G_2$的Laplacian特征值$2$的重数.研究了当$G_1$和$G_2$都有$2$作为Laplacian特征值时，$G=G_1\odot_{uv} G_2$中存在$2$的结构条件，而当$G_1$和$G_2$中至多有一个有$2$作为Laplacian特征值时，本文研究了当$G_1$和$G_2$中至多有一个有$2$作为Laplacian特征值时，$G=G_1\odot_{uv} G_2$中存在Laplacian特征值$2$的结构条件.
2020-03-07 math.CO
The multiplicity of eigenvalues of nonnegative tensors and hypergraphs
Center for Pure Mathematics, School of Mathematical Sciences, Anhui University（安徽大学数学科学学院纯数学中心）
本文证实Hu-Ye猜想对弱不可约非负张量的两类特征值成立，刻画了几类超图特征值中该猜想的等号条件，并提出关于超图特征值重数的新猜想。
2026-08-14 math.CO
Trees with extremal Laplacian eigenvalue multiplicity
本文完整刻画了拉普拉斯特征值重数达到悬挂顶点数减一的树，证明其要么为路径，要么所有悬挂顶点间距离满足特定同余条件，并由此给出特征值1达到该极值重数的充要条件。
2025-07-21 math.CO
Graphs with high second eigenvalue multiplicity
Jiang，Tidor，Yao，Zhang和Zhao最近证明了连通有界度图具有次线性第二特征值重数（总是指邻接矩阵）。这一结果是解决具有固定角度的等角线问题的关键步骤。这就引出了一个自然的问题：连通有界度$n$ -顶点图的最大第二特征值重数是多少？最著名的上界是$O(n/\log\log n)$。以前已知的最好的下界是$n^{1/3}$的顺序（无限多$n$），来自$\text{PSL}(2,q)$上的凯莱图。在这里，我们给出的结构显示了一个下界的顺序$\sqrt{n/\log n}$。我们还构造了第二特征值重数至少为$n^{2/5}-1$的Cayley图.早期的技术表明，在第二特征值的$O(1/\log n)$内最多有$O(n/\log\log n)$特征值（计数多重性）。我们给出了一个结构，表明这个近似第二特征值重数的上界紧到一个常数因子。这表明了对上界本征值多重性的早期技术的障碍。
2023-02-21 math.CO math.GR
Equiangular lines and large multiplicity of fixed second eigenvalue
通过对江和Polyanskii以及江、Tidor、姚、张和赵的一个问题的讨论，我们证明了无穷多个角$θ$的存在，其中$θ$中在原点与成对角$θ$相交的最大直线数超过$n+Ω(\log\log n)$，但至多为$n+o(n)$ .为了实现这一点，我们构造，为各种真正的$λ$和整数$d$，$d$ -正则图的第二个特征值正好$λ$和任意大的第二个特征值重数。我们构造的中心是具有集中性质的二部图的因子分布。
2023-02-23 math.CO math.MG
Connected graphs with large multiplicity of $-1$ in the spectrum of the eccentricity matrix
受邻接矩阵大重数特征值相关结论启发，本文刻画了离心率矩阵谱中特征值$-1$重数为$n-i$（$i\leq5$）的$n$顶点连通图，结果对中位特征值问题研究也有意义。
2024-09-11 math.CO
On the multiplicity of 1 as a Laplacian eigenvalue of a graph
本文研究图的拉普拉斯特征值1的重数，通过约化图方法证明约化树和约化单圈图的重数上界，并完全刻画达到上界的图类。
2025-07-08 math.CO
Achievable multiplicity partitions in the inverse eigenvalue problem of a graph
与图$G$相关联的是所有实值对称矩阵的集合$\mathcal{S}(G)$，当图的对应顶点相邻时，这些实值对称矩阵的非对角项精确地为非零，并且对角项可以自由选择。如果$G$有$n$顶点，则$\mathcal{S}(G)$中任何矩阵的特征值的重数划分为$n$ ;这称为重数划分。我们研究图的多重分区只有两个整数是可能的。刻画了图$G$的特征，其中在$\mathcal{S}(G)$中存在一个矩阵，且其划分为$[n-2,2]$.我们找到了图族$G$，其中有一个矩阵在$\mathcal{S}(G)$与重划分$[n-k,k]$的$k\geq 2$。我们主要研究完全多部图的推广。我们提供了一些方法来构造家庭的图与给定的多重分区从较小的这样的图。我们还给出了在多重划分$[n-k,k]$的$\mathcal{S}(G)$中具有矩阵的图的构造，以显示刻画这些图的复杂性。
2020-10-31 math.CO math.SP
Partially metric association schemes with a multiplicity three
一个结合方案称为部分度量的，如果它有一个连接关系，其距离为2的关系也是该方案的关系。本文确定了重数为3的对称部分度量结合方案。除了与正则完全$4$ -部图有关的结合方案外，我们还得到了与柏拉图立体有关的结合方案、十二面体的二部双重结合方案以及与立方体的著名的$2$ -弧传递覆盖有关的三个结合方案：Möbius-Kantor图、Nauru图和Foster图F048 A.为了得到这一结果，我们还确定了重数为3且连接关系为3的对称结合方案。此外，我们构造了一个无限族的三次弧传递的$2$ -行走-正则图的特征值与重数为3，产生的非交换的结合计划的对称关系的价为3和一个特征值与重数为3。
2017-01-12 math.CO
The multiplicity of a Hermitian eigenvalue on graphs
本文研究图上 Hermitian 矩阵特征值重数的上界，证明重数不超过 $2θ(G)+p(G)$，并完整刻画达到 $2θ(G)+p(G)-1$ 的图，推广了 Wang 等人的结果并解决了其开放问题。
2023-06-24 math.CO
On the spectrum and energy of Seidel matrix for chain graphs
研究了连通链图的Seidel矩阵$S$的各种谱性质。证明了$-1$总是$S$的一个特征值，并且$S$的所有其它特征值的重数至多为2.给出了链图的Seidel特征值$-1$的重数、不同特征值的最小个数、特征值界、特征多项式、Seidel能量的上下上界.同时还表明，本文得到的能量界比Haemers给出的能量界更好。我们还得到了一些特殊的$n$阶链图的最小Seidel能量。我们也给出了一些开放的问题。
2022-04-30 math.CO
Inverse eigenvalue and related problems for hollow matrices described by graphs
本文研究由图表征的空心矩阵的特征值反问题，给出了路径和完全二部图的完整解，并探讨了相关子问题如有序重数列表、最大重数和最小不同特征值数目。
2022-02-08 math.CO
On the second-largest modulus among the eigenvalues of a power hypergraph
本文确定了幂超图特征值中第二大模，并证明其对应射影特征簇维数为零，且代数重数与几何重数相等，用最弱边数表示。
2025-03-27 math.CO
The inverse eigenvalue problem of a graph: Multiplicities and minors
给定图$G$的逆本征值问题是确定实对称矩阵的所有可能的谱，这些矩阵的非对角元素由$G$中的邻接决定。Barrett等人在[8]中介绍了强谱性质（SSP）和强多重性质（SMP）。在那篇论文中，它表明，如果一个图有一个矩阵的SSP（或SMP），那么一个超图有一个矩阵具有相同的谱（或有序重列表），如果必要的话，简单的特征值，即子图单调性。在本文中，我们扩展到一种形式的未成年人单调性，限制新的特征值出现。这些思想被应用于解决所有五阶图的逆本征值问题，并刻画了至多有一个重本征值的图的禁止子式。
2017-07-31 math.CO
Equiangular lines via improved eigenvalue multiplicity
本文利用图第二大特征值重数的改进上界，确定了大维欧氏空间中特定公共角下等角线的最大数量，并将已有维度阈值由双指数级降至指数级。
2025-02-18 math.CO
Nonnegative rank of a matrix with one negative eigenvalue
我们证明了具有一个负特征值的秩为3的对称矩阵可以具有任意大的非负秩。
2013-08-04 math.CO
Multiplicity bounds for nonzero upper-Laplacian eigenvalues of simplicial complexes
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文为单纯复形的上拉普拉斯算子非零特征值重数建立上界，并刻画达到等号的复形，同时证明 Faria 不等式的高维类比，推广了图拉普拉斯结果。
2026-09-25 math.CO
Spectral arbitrariness for trees fails spectacularly
如果$G$是一个图，而$\mathbf{m}$是一个有序重数表，它至少可以由一个具有图$G$的对称矩阵实现，那么对于$\mathbf{m}$的所有这样的实现矩阵的特征值我们能说什么？有时人们很容易期望，特别是在$G$是一棵树的情况下，多重特征值的任何间距都应该是可实现的。2004年，F. Barioli和S. Fallat提出了第一个反例：一棵16个顶点的树和一个有序的多重性列表，其中每一个实现的特征值集都服从一个非平凡的线性约束。我们扩展这一点，给一个无限的家庭的树和有序的多重性列表，其实现特征值的集合是非常高度的约束，最多5度的自由，无论大小的树在这个家庭。特别是，我们给出了第一个例子的多重性列表的树施加非平凡的非线性特征值的约束，并产生一个有序的多重性列表，这是由一组独特的特征值实现的，移动和缩放。
2023-01-26 math.CO math.SP
A relation between multiplicity of nonzero eigenvalues and the matching number of graph
本文将树上非零特征值重数与诱导匹配数的不等式关系推广到任意连通图，利用代数方法证明 $m_λ(G)\leq β'(G)+c(G)$，并刻画了等号成立及差为 $1$ 时的图类。
2024-01-14 math.CO
Equiangular lines and eigenvalue multiplicities
本文综述固定夹角等角线的最大数量问题，并阐明其与图的第二特征值重数问题之间的关联。
2024-10-28 math.CO
The Second Largest Eigenvalue of Stiffness Matrices of Normalized Complete Frameworks
School of Mathematics and Statistics, Central South University（中南大学数学与统计学院）
研究顶点在单位球面上且质心在原点的完全框架\(L(K_n,p)\)的第二大特征值，证明当\(d\geq2\)且\(p\)像含至少三点时该值为\(n/2\)，还构造例子表明猜想中重数不正确，揭示特征值与重数对底层点配置的不同特性。
2026-07-08 math.CO
Integer eigenvalues of the $n$-Queens graph
本文研究$n$-皇后图的整数特征值，证明$n-4$为特征值并给出其重数下界，对奇数$n$还构造了额外整数特征值及其特征向量，并提出相关猜想。
2023-05-10 math.CO
Co-edge-regular graphs with four eigenvalues and unbounded coherent rank
Tilburg University（蒂尔堡大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文构造了无穷多具有四个不同特征值的共边正则图，其相干秩至少为q+4，从而证明相干秩在四特征值共边正则图中无上界。
2026-06-19 math.CO
Multiplicity of Laplacian eigenvalue 1 of a graph
School of Management, Qufu Normal University（曲阜师范大学管理学院）
研究图的拉普拉斯特征值1的重数上界，通过约化操作转化为准悬挂点度为2的约化图，给出树和一般连通图的上界并刻画极图。
2026-06-11 math.CO
The coherent rank of a graph with three eigenvalues
本文刻画了具有三个不同特征值且相干秩为8和9的图，发现新双正则图，证明三正则图相干秩至少为14，并引入推测无穷的双正则图族。
2024-06-25 math.CO
Spanning trees and even integer eigenvalues of graphs
对于图$G$，设$L(G)$和$Q(G)$分别是$G$的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵，$τ(G)$是$G$的生成树个数.我们证明了，如果$G$有一个奇数的顶点和$τ(G)$是不可分的$4$，那么（i）$L(G)$没有偶数本征值，（ii）$Q(G)$没有整数本征值$λ\equiv2\pmod4$，和（iii）$Q(G)$最多有一个本征值$λ\equiv0\pmod4$，这样的本征值是简单的。作为一个结果，我们扩展了以前的结果由古特曼和Sciriha和Bapat的线性图的邻接矩阵的零。我们还证明了如果$τ(G)=2^ts$的$s$是奇数，则$Q(G)$的任何偶数特征值的重数至多是$t+1$ .除其他事项外，我们证明，如果$L(G)$或$Q(G)$有一个偶数特征值的重至少$2$，那么$τ(G)$是可分的$4$。作为这一结果的一个非常特殊的情况，Zhou等[On the nullity of connected graphs with least energy at least $-2$，Appl. Anal. 7（2013），250- 261]关于单圈图的线图的邻接矩阵的零性的讨论如下。
2014-01-29 math.CO
Integer Carathéodory results with bounded multiplicity
本文研究单纯锥的整数Carathéodory秩与重数的关系，证明重数不超过五的单纯锥具有整数Carathéodory性质，并给出依赖维数和重数的新上界，同时构造了若干具有该性质的特殊锥。
2024-02-23 math.CO math.OC
$k$-NIM trees: Characterization and Enumeration
在那些图是给定树$T$的实对称矩阵中，由特征值所能达到的最大重数$M(T)$已知为$T$的路径覆盖数。我们说一棵树是$k$，如果当一个特征值的重数为小于最大重数的$k-1$时，所有其他重数都是$1$。NIM树被称为NIM树，并且NIM树的特征是已知的。在这里，我们为每个$k$树提供了一个图论特征，并对它们进行了计数。从这一特征可以看出，$k$树只在$k=1,2,3$时存在于$n$顶点上.在例子$k=3$中，唯一的$3$-NIM树是简单星.
2022-08-11 math.CO
Minimal graphs with eigenvalue multiplicity of $n-d$
本文基于星补理论，证明了非路径图若特征值重数达到 $n-d$ 则该特征值必属于 $\{0,-1\}$，并完全刻画了 $m_G(-1)=n-d$ 的极小图。
2023-11-24 math.CO math.SP
Support of Closed Walks and Second Eigenvalue Multiplicity of the Normalized Adjacency Matrix
该研究给出了最大度Δ的连通图及d-正则图的规范化邻接矩阵第二特征值重数的上界，并通过随机闭游走支撑集的多项式下界及Perron特征向量的新下界完成证明。
2023-06-16 cs.DM math.CO math.MG
Multiplicity of the trivial representation in rank-selected homology of the partition lattice
研究了秩选择分划格$Π_n^S$的（上）同调上的对称群表示$β_S$中平凡表示的重数$b_S(n)$。我们将可能的秩集$S$分为三种情况：（1）$1\not\in S$，（2）$i\ge 1$的$S=1,..., i$和（3）$i,l\ge 1$，$j_1 > i+1$的$S=1,..., i,j_1,..., j_l$。Hanlon先前表明，$b_S(n)=0$用于$S=1,..., i$。我们使用一个分区$Δ(Π_n)/S_n$由于赫什证实了一个猜想Sundaram的$b_S(n)>0$为$1\not\in S$。另一方面，我们使用一个过滤的复杂的频谱序列来显示$b_S(n)=0$为$S=1,..., i,j_1,..., j_l$，除非存在某种类型的链支持$S$。$Δ(Π_n)/S_n$的划分使我们能够证明存在这样一个链的大类秩集$S=1,..., i,j_1,..., j_l$确实满足$b_S(n)>0$。我们还推广$Δ(Π_n)/S_n$的分区$Δ(Π_n)/S_λ$，当$λ= (n-1,1)$，这种分区导致证明的猜想Sundaram关于$S_1\times S_{n-1}$ -表示的同源性的分划格。
2003-11-16 math.CO math.RT
Visualizing the Support of Kostant's Weight Multiplicity Formula for the Rank Two Lie Algebras
本文针对 Kostant 权重重数公式中多数交错项为零的问题，用几何方法刻画并可视化秩二李代数 so_4(C)、so_5(C)、sp_4(C) 与 g_2 的 Weyl 交错集。
2019-08-22 math.CO math.RT
