On $3-2-1$ values of finite multiple harmonic $q$-series at roots of unity
Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood, Roberto Tauraso
本文主要回答了H. Bachmann，Y. Takeyama和K.田坂给出了循环和的两个定理，推广了已有的结果。
We mainly answer two open questions about finite multiple harmonic $q$-series on 3-2-1 indices at roots of unity, posed recently by H. Bachmann, Y. Takeyama, and K. Tasaka. Two conjectures regarding cyclic sums which generalize the given results are also provided.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some explicit values of a $q$-multiple zeta-star function at roots of unity
本文给出 $q$-多重 zeta-star 值在单位根处的显式公式，利用行列式或 Bell 多项式表达，并借助生成函数递推关系推广至其他类型值。
Refined Estimates Concerning Sumsets Contained in the Roots of Unity
我们证明了Paley图的团数至多为$\sqrt{p/2} + 1$，并且任何假定的二次剩余集的加法分解只能来自于余Sidon集.
Modular forms and elliptic curves over the field of fifth roots of unity
设F是五次单位根的分圆域。计算研究了F上椭圆曲线的模性。
On vanishing sums for roots of unity
考虑{ \bf C}中单位的$m$次根，其中$m>0$是整数。我们解决以下问题：对于什么值的$n$可以找到$n$这样的$m$次根单位（允许重复）加起来为零？我们证明了答案恰是$m$的素因子的具有非负整数系数的线性组合的集合。
Roots of unity and unreasonable differentiation
我们探讨当它是合法的微分多项式的单位单位根使用模运算。
On the vanishing of some mock theta functions at odd roots of unity
我们考虑的问题是否某些模拟θ函数消失的单位根与奇数阶。我们证明了任何这样的功能$f(q)$，存在一个常数$C>0$，使任何奇数$n>C$的功能$f(q)$没有消失的原始$n$次单位根。这使我们猜想，对于任何奇数正整数$n$，$f(q)$在本原单位根$n$处不为零。
Special values of finite multiple harmonic q-series at roots of unity
研究了有限重调和q-级数在单位根处的特殊值。这些对象最近介绍了作者和它表明，他们有连接到有限和对称的多重zeta值和Kaneko-Zagier猜想。本文给出了单位根上有限重调和q-级数的新的显式估计，并证明了它们的Ohno-Zagier型关系。
Note on vanishing power sums of roots of unity
对于给定的正整数$m$和$\ell$，给出了正整数$n$的完整列表，对于该正整数，存在$m$的单位根$x_1,\dots,x_n \in \mathbb{C}$使得$x_1^{\ell} + \cdots + x_n^{\ell}=0$ .这推广了Lam和Leung关于单位根的消失和的早期结果。进一步证明了对于具有$2 \leq n \leq m$的整数$n$，存在不同的$m$次单位根$x_1,\dots,x_n \in \mathbb{C}$使得$x_1^{\ell} + \cdots + x_n^{\ell}=0$ .
$p$-adic multiple zeta values at roots of unity and $p$-adic pro-unipotent harmonic actions - IV-1 : $p$-adic multiple zeta values at roots of unity extended to sequences of integers of any sign
本文研究了$(\mathbb{P}^{1} - \{0,μ_{N},\infty\})/ \mathbb{F}_{q}$的亲幂幺基本广群的$p$ -adic周期，即$p$ -adic在单位根处的多重zeta值.主要的工具是新的对象，我们称之为$p$ -进亲幂幺调和作用。在这一部分中，我们定义并研究了一些初等复解析函数的$p$ -adic类似物，它们在单位根处插值多个zeta值，如多个zeta函数。$p$ MZV $μ_{N}$ 's的指数包含正整数序列;在本IV-1中，通过考虑我们称为局部化的操作，（反演某些积分算子），并通过使用$\mathbb{P}^{1} - \{0,μ_{N},\infty\}$ pro-unipotent调和作用，我们将$p$的定义扩展到这些整数可以为负的指数，并且我们研究了这些广义的$p$ MZV $μ_{N}$。
Binary polynomial power sums vanishing at roots of unity
设$c_1(x),c_2(x),f_1(x),f_2(x)$为有理系数多项式。除了明显的例外，在多项式$c_1(x)f_1(x)^n+c_2(x)f_2(x)^n$和$n=1,2\ldots$的零点之间最多可以有200个单位根。我们估计这些根的阶数和多项式$c_i$和$f_i$的高度的单位。
Rademacher's conjecture and expansions at roots of unity of products generating restricted partitions
限制分区的生成函数是在每个单位单位根处具有罗朗展开的有限乘积。问题的行为，这些洛朗系数的大小增加的产品可以追溯到拉德马赫和他的工作分区。在Drmota，Gerhold的方法和作者以前的结果的基础上，我们完成了这一描述，并给出了每个系数在每个单位根的完全渐近展开.这些技术也被证明给西尔维斯特波的渐近性。
Identities of symmetry for generalized twisted Bernoulli polynomials twisted by unramified roots of unity
本文导出了与广义扭伯努利多项式和广义扭幂和有关的二元对称性的三个恒等式和三元对称性的八个恒等式，这两个恒等式都是由非分歧单位根扭的.分歧的单位根的情况下，以前处理。恒等式的推导是基于广义扭曲伯努利多项式的生成函数的$p$ -adic整式，关于Koblitz引入的测度，以及$p$ -adic积分的商，后者可以表示为广义扭曲幂和的指数母函数.
On the Root of Unity Ambiguity in a Formula for the Brumer--Stark Units
本文解决了布默-斯塔克单位公式中单位根歧义的问题，并去除了Dasgupta-Kakde结果中的假设。
Multi-polylogs at twelfth roots of unity and special values of Witten multiple zeta function attached to the exceptional Lie algebra G_2
本文研究例外李代数g_2的Witten重zeta函数。我们的主要结果表明，除了两种非正则情形外，它在非负整数处的特殊值总是可以表示为在12次单位根处求取的多重对数的有理线性组合.
Small sums of five roots of unity
出于问题的数论，迈尔森问如何小的总和5复杂的第n根的统一可以。我们通过扰动正五边形的顶点得到了O（n^{-4/3}）的一致界，无限次地改进为O（n^{-7/3}）。通过检查计算的n <= 221000的精确最小值，建议了相应的配置。这些最小值至少可以部分地通过从与接近有理逼近相关的多个竞争构型族中选择最佳示例来解释。
Roots of unity in definite quaternion orders
四元数代数中的交换序称为选择的，如果它嵌入到代数中的某些但不是全部的极大序模中。已知数域上给定的二次序至多在一个不定四元数代数中是选择性的。在这里，我们证明了由单位的立方根生成的阶对于任何类型数为3或更大的有理数上的定四元数代数是选择性的。证据延伸到其他几个密切相关的订单。
An analogue of Hirose's relation for finite multiple harmonic $q$-series at roots of unity
本文建立单位根上有限多重调和q级数的广濑关系类似物，并将其用于证明Hessami Pilehrood等人提出的循环和猜想。
Small sums of roots of unity
研究\(k\)项\(N\)次单位根非零和的最小值问题，给出\(N^{-\alpha_k}\)形式上界，\(\alpha_k\)随\(k\)增大，还探讨对部分\(N\)改进界的方法。
On roots of unity in orbits of rational functions
本文研究数域$\K$上的一元有理函数，该数域$\K$在分圆闭包$\K^c$中有无穷多个点，且其轨道包含一个单位根.我们的结果是类似于以前的结果Dvornicich和Zannier描述所有多项式有无穷多个preperiodic点在$\K^c$。
Odd-dimensional cohomology with finite coefficients and roots of unity
证明了有限系数光滑射影簇的适当扭曲奇维上同调群上的Galois作用的平凡性蕴涵着在簇的定义域中存在某些单位的原根.这段文字的灵感来自一个练习塞尔的讲座上的莫德尔-韦伊定理。
A remark on the Chebotarev theorem about roots of unity
令$Ω$是一个矩阵，其元素为$a_{i,j}=ω^{ij},$ $1\leq i,j \leq n,$，其中$ω=e^{2π\sqrt{-1}/n},$ $n\in \mathbb N.$ Chebotarev定理指出，如果$n$是素数，则$Ω$的任何子式都不为零。在本说明中，我们为复合$n.$提供了类似的声明
A Note on Average of Roots of Unity
我们考虑的问题的特点的所有功能$f$定义的整数集合上的模$n$的性质，一些$n$次根的平均值由$f$确定的单位总是一个代数整数。具有该性质的此类函数的示例是线性函数。我们表明，当$n$是一个素数，逆也成立。也就是说，任何具有此性质的函数都可以用线性多项式表示。最后，给出了主要结果在确定素数阶循环群$p$的自完全等距问题中的应用。
Identities of symmetry for generalized twisted Bernoulli polynomials twisted by ramified roots of unity
得到了与广义扭伯努利多项式和广义扭幂和有关的三元对称性的八个恒等式，这两个方程都是由分歧单位根扭的.所有这些都是新的，因为只有关于二元对称恒等式的结果。恒等式的推导是基于广义扭伯努利多项式的生成函数的$p$ -adic整式和$p$ -adic积分的商，后者可以表示为广义扭幂和的指数母函数.
Symmetry identites for generalized twisted Euler polynomials twisted by ramified roots of unity
本文导出了与广义扭欧拉多项式和交错广义扭幂和有关的三元对称性的八个恒等式，它们都是由分歧单位根扭的.所有这些都是新的，因为只有关于二元对称恒等式的结果。恒等式的推导是基于广义扭欧拉多项式的生成函数的$p$ -adic整式和$p$ -adic积分的商，该商可以表示为交替广义扭幂和的指数母函数。
A New Series Representation Involving Root Of Unity For The Values Of Riemann Zeta Function At Integer Arguments
本文给出了黎曼ζ函数在整数变元上值的一种新的级数表示，即：$ ζ(m)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{m(-1)^{n-1}Γ(1-ω_{m}n)...Γ(1-ω_{m}^{m-1}n)}{n!n^m}$，其中$n$是大于$1$的整数，$ω$是$m$的单位根.这个级数收敛得相当快。它是通过某种无穷部分分式分解技术得到的。利用这一技巧，我们还建立了其它与Γ函数有关的实用公式。
Classifying minimal vanishing sums of roots of unity
本文通过手工分类重量不超过16的根的单位根的最小消失和，揭示了超出1998年分类之外的新现象，并开发算法探索更高重量的分类扩展。
Full level structures revisited: pairs of roots of unity
我们对群方案$μ_p \times μ_p$引入了全层结构的概念，并证明了全水平结构的方案在$\Bbb{Z}$上是平坦的.
The dihedral Lie algebras and Galois symmetries of π_1^l(P^1 - 0, infinity and N-th roots of unity)
本文研究了伽罗瓦群在P^1-{0，无穷大，N阶单位根}基本群的pro-l-完备化上的作用.我们描述了伽罗瓦作用象的李代数，并与GL_m（m = 1，2，3，.）的模簇的几何有关.这个故事是多重多面体在单位根上的动机理论的l-adic方面，它推广了经典的割圆理论。
Counting roots of unity on the graphs of Laurent series over non-Archimedean local fields
该研究在非阿基米德局部域上对洛朗级数的单位根映射进行分类，并通过有效界限探讨了其与曼因-穆福德猜想的关系。
Rotations by roots of unity and Diophantine approximation
对于一个固定的整数$n$，我们研究的问题是否至少有一个数字$\Re Xω^k$，$1\leq k\leq n$，是$\varepsilon$ -接近整数，对于任何可能的值$X\in\mathbb{C}$，其中$ω$是一个原始的$n$ th根的单位。事实证明，总有一个$X$，上面的数字都集中在$1/2\bmod1$周围。与$1/2$的距离仅取决于$n$的局部性质，而不是其大小。这与最近解决的所谓“睡衣”问题有直接关系。
Modular Elliptic Curves over the Field of Twelfth Roots of Unity
本文对GL（2）的自守形式空间进行了广泛的研究，GL（2）的权为2，水平为N，N是由十二次方单位根生成的四次CM域的整数环中的理想。本文通过计算模N的上三角形矩阵的同余子群的群上同调，以及该空间所允许的相应的Hecke作用来进行研究。结合这Hecke数据与Faltings-Serre方法证明等价的伽罗瓦表示，我们能够提供第一个已知的例子，模块化椭圆曲线在这个领域。
Vanishing sums of roots of unity and the Favard length of self-similar product sets
本文改进了$N$ -次单位根的零和中元素个数的Lam-Leung下界的一个特例。利用这一结果，我们扩展Favard长度估计由于债券，Escheraba和Volberg一类新的有理产品康托集$\mathbb{R}^2$。
Roots of unity in orders
我们给确定性的多项式时间算法，给定一个命令，计算原始幂等元，并确定一组发电机组的单位根的顺序。此外，我们表明，离散对数问题的组的根的单位可以解决在多项式时间。作为辅助结果，我们解决了有限环中某些单位群的离散对数问题。我们的技术，这是从交换代数，可能有进一步的潜力，在密码学和计算机代数的背景下。
"Sixth root of unity" and Feynman diagrams: hypergeometric function approach point of view
本文简要讨论了广义超几何函数的ε展开式所产生的超越常数及其与“六次方单位根”的关系。"
Trace forms of Galois extensions in the presence of a fourth root of unity
我们研究的二次型，可以出现的伽罗瓦域扩张L/K的迹形式，假设K包含一个原始的4次单位根。M. Epkenhans解释说，任何这样的形式都是缩放的Pfister形式。证明了这个猜想，并对允许具有非双曲迹形式的G-Galois扩张L/K的有限群G进行了分类.我们也给出了这些结果的几个应用。
Evaluating Multiple Polylogarithm Values at Sixth Roots of Unity up to Weight Six
我们在单位的六次方根处评估多个多重对数值，直到权重为6，即具有$G(a_1,\ldots,a_w;1)$的形式，其中索引$a_i$等于零或单位的六次方根，其中$a_1\neq 1$。对于$w\leq 6$，我们提出了由$G(a_1,\ldots,a_w;1)$的实部和虚部生成的线性空间的基，并提出了一个表，用于将它们表示为基的元素的线性组合。
Splitting Hypergeometric Functions over Roots of Unity
本文在有限域、p进和经典背景下证明超几何函数可分裂为自变量相差单位根的低阶函数之和，并给出约化求和公式、特殊值求值及与模形式傅里叶系数的新联系。
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