关于有限型线性移位及其自同态
On linear shifts of finite type and their endomorphisms
AI总结：
本文研究群上线性子移位与线性元胞自动机，证明 K-线性 Markov 型等价于群代数 K[G] 单侧 Noetherian，并给出幂零性及极限集的新刻画。
摘要：
设 G 为一个群，A 为任意域 K 上的有限维向量空间。我们研究线性子移位 Σ⊂A^G 的有限性性质，以及线性元胞自动机 τ:Σ→Σ 的动力学行为。若对于 K 上的每个有限维向量空间 A，所有线性子移位 Σ⊂A^G 都是有限型的，我们就称 G 具有 K-线性 Markov 型。我们证明，G 具有 K-线性 Markov 型当且仅当群代数 K[G] 是单侧 Noetherian 的。我们证明，线性元胞自动机 τ 是幂零的当且仅当其极限集（即其各次迭代像的交）化为零构型。若 G 无限、有限生成且 Σ 是拓扑混合的，我们证明 τ 幂零当且仅当其极限集是有限维的。文中还依据预单射性得到了 τ 极限集的一个新刻画。
英文摘要：
Let $G$ be a group and let $A$ be a finite-dimensional vector space over an arbitrary field $K$. We study finiteness properties of linear subshifts $Σ\subset A^G$ and the dynamical behavior of linear cellular automata $τ\colon Σ\to Σ$. We say that $G$ is of $K$-linear Markov type if, for every finite-dimensional vector space $A$ over $K$, all linear subshifts $Σ\subset A^G$ are of finite type. We show that $G$ is of $K$-linear Markov type if and only if the group algebra $K[G]$ is one-sided Noetherian. We prove that a linear cellular automaton $τ$ is nilpotent if and only if its limit set, i.e., the intersection of the images of its iterates, reduces to the zero configuration. If $G$ is infinite, finitely generated, and $Σ$ is topologically mixing, we show that $τ$ is nilpotent if and only if its limit set is finite-dimensional. A new characterization of the limit set of $τ$ in terms of pre-injectivity is also obtained.
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