Maker-Breaker-Crossing-Game on the Triangular Grid-graph
我们研究的$(p,q)$ -制造商断路器跨越游戏介绍日和Falgas Ravry在'制造商断路器渗流游戏I：跨越网格'。在他们的论文中描述的游戏涉及两个玩家Maker和Breaker，他们轮流声称p和q分别是图中尚未声明的边。Maker旨在创建一条从最左边顶点到最右边顶点的水平路径，而Breaker旨在防止这种情况。该游戏是更一般的香农切换游戏的一个版本，在正方形网格图上进行。我们考虑在三角形网格图$Δ_{(m,n)}$（m个顶点，n个顶点高）上进行的相同博弈，并针对给定的$(p,q,m,n)$，寻找Maker或Breaker的获胜策略。我们建立了一个类似的策略，使用的一天和Falgas Ravry表明：$\bullet$足够高的网格和$p\geq q$制造商有一个获胜的策略，$(p,q)$交叉游戏$Δ_{(m,n)}$。$\bullet$对于足够宽的网格和$4p\leq q$，Breaker在$Δ_{(m,n)}$上的$(p,q)$穿越游戏中有一个获胜的策略。
2022-01-06 math.CO
Some Maker-Breaker games on hypergraphs
该研究针对n顶点完全k-均匀超图上的带偏置Maker-Breaker博弈，分析了Maker以最小度m、满秩关联矩阵、Berge哈密顿环、完美匹配或哈密顿ℓ-环为目标性质的博弈情况。
2025-09-02 math.CO
Structure-biased Maker-Breaker Games
本研究提出结构偏置的Maker-Breaker博弈变体，要求Breaker每回合选取特定结构的边，并确立了三角形、连通性和哈密顿性博弈在团、匹配和星偏置下的阈值偏置数量级，表明结构对Breaker构成重大障碍。
2025-05-27 math.CO
Building spanning trees quickly in Maker-Breaker games
对于n个顶点的树T，我们研究了在n个顶点的完全图的边集上进行的Maker-Breaker博弈，只要Maker建立的图包含T的副本，她就赢了。我们证明，如果T有界的最大程度，那么制造商可以赢得这个游戏在n+1步。此外，我们证明，制造商可以建立几乎每一个树n顶点在n-1移动，并提供非平凡的例子，家庭的树，制造商不能建立在n-1移动。
2013-04-15 math.CO
The Maker-Breaker Rado game on a random set of integers
给定一个维数为$\ell \times k$的整数值矩阵$A$和一个维数为$\ell$的整数值向量$b$，在一组整数$X$上的庄家-断路器$(A,b)$ -博弈是庄家和断路器轮流从$X$中索取先前未被索取的整数的博弈，庄家的目标是获得系统$Ax=b$的解，而断路器的目标是防止这种情况发生。当$X$是$\{1,\dots,n\}$的一个随机子集，其中每个数字都独立于所有其他数字以概率$p$被包括在内时，我们确定当游戏是Maker或Breaker获胜时的阈值概率$p_0$，对于一大类矩阵和向量。该类包括但不限于$Ax=b$对应于单个线性方程的所有对$(A,b)$。制造商的胜利声明还扩展到更广泛的一类矩阵，其中包括那些满足雷达分割定理。
2018-11-27 math.CO
The Maker-Breaker directed triangle game
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Indian Institute of Science Education and Research, Pune（印度科学教育研究所浦那分校）
本文研究了定向三角制作者-破坏者游戏，分析了在奇数 tournaments 上的阈值和随机 tournaments 上的获胜策略，以及引入了翻转偏置机制。
2026-04-16 math.CO math.PR
Maker-Breaker domination game played on corona products of graphs
本文研究了在图的冠积上进行制作者-打破者支配游戏，确定了相关支配数并给出了界限。
2024-09-30 math.CO
A Constructive Winning Maker Strategy in the Maker-Breaker $C_4$-Game
本文为 $C_4$-Maker-Breaker 博弈提出了首个构造性 Maker 策略，证明当 $q < 0.16 n^{2/3}$ 时 Maker 必胜，该常数相比此前随机策略有显著提升。
2024-06-26 math.CO
Solving the General Case of Rank-3 Maker-Breaker Games in Polynomial Time
在一个超图上进行一个秩为3的Maker-Breaker博弈，其中所有的超边都是至多3个顶点的集合。游戏的两个玩家，称为制造者和破坏者，交替移动。在他的回合中，制造者选择一个顶点从所有超边中退出，而断路器在她的回合中选择一个顶点并删除包含该顶点的所有超边。当制造者的回合结束时，一些超边被完全覆盖，即该超边的最后剩余顶点被撤回，则制造者获胜。当断路器在她的回合结束时，所有超边都被删除时，断路器获胜。解决庄家-断路器游戏是选择最佳移动的计算问题，或者等价地，决定哪个玩家在配置中具有获胜策略。解决两个退化情况的秩3对策的复杂性已被证明是多项式。在本文中，我们证明了一般情况下的秩3 Maker-Breaker对策也是可解的多项式时间。
2022-09-22 cs.CC math.CO
Fast strategies in Maker-Breaker games played on random boards
在本文中，我们分析了经典的Maker-Breaker游戏上的边缘集稀疏随机板$G\sim \gnp$。我们考虑了哈密尔顿性博弈、完美匹配博弈和$k$ -连通性博弈。我们证明，对于$p(n)\geq \text{polylog}(n)/n$，董事会$G\sim \gnp$通常是这样的，制造商可以赢得这些游戏渐近尽可能快，即在$n+o(n)$，$n/2+o(n)$和$kn/2+o(n)$移动。
2012-03-15 math.CO
The random strategy in Maker-Breaker graph minor games
在一个$(1:b)$偏向制造者-破坏者博弈中，一个策略对一个参与者来说有多好，可以通过选择合适的反策略，对手可以赢得的偏向范围来衡量。Bednarska和Adamuczak证明了在$H$ -子图博弈中，Maker的一致随机策略是高概率最优的.在这里，我们证明了一个类似的结果为$H$ -图小游戏，我们研究的选择$H$的随机策略是在一个因素的$1+o(1)$是最佳的。
2019-07-10 math.CO
The Maker-Breaker percolation game on the square lattice
我们研究了Day和Falgas-Ravry在$\mathbb{Z}^2$上引入的$(m,b)$ Maker-Breaker渗流博弈。作为我们的第一个结果，我们表明，断路器有一个获胜的策略，为$(m,b)$ -游戏时，$b \geq (2-\frac{1}{14} + o(1))m$，打破比率$2$障碍证明日和Falgas-Ravry。在进一步回答Day和Falgas-Ravry的问题时，我们证明了Breaker可以赢得$(m,2m)$ -博弈，即使他允许Maker在博弈开始前对任意整数$c$要求$c$的边，而且他可以赢得相当快（作为$c$的函数）。最后，我们考虑了通常的键渗流过程与参数$p$后，在$\mathbb{Z}^2$上进行的游戏。我们表明，当$p$不是太大，比$1/2$，断路器几乎肯定有一个获胜的策略，为$(1,1)$ -游戏，即使制造商被允许选择的起源后，董事会确定。
2021-05-26 math.CO
Maker-Breaker total domination game
图中的Maker-Breaker全控制博弈是Duchêne，Gledel，Parreau和Renault最近研究的Maker-Breaker控制博弈的自然对应。这两个游戏都是组合制造者-破坏者游戏的实例。在图$G$上，两个局中人轮流选择图$G$的顶点，进行制造者-破坏者全控制博弈。第一个玩家，统治者，选择一个顶点，以完全支配$G$，而另一个玩家，Staller，禁止顶点统治者，以防止他达到他的目标。它表明，有无限多个连接的三次图中，Staller赢了，没有最小度条件是足以保证主导者赢得时，Staller开始游戏。一个合并引理的建立和使用，以确定在网格上玩的游戏的结果。仙人掌也根据游戏的结果进行分类。游戏和超图之间的联系。证明了该对策在分裂图和二部图上是PSPACE-完全的。也提出了一些问题和疑问。
2019-02-01 math.CO
Generating random graphs in biased Maker-Breaker games
我们提出了一个一般的方法连接有偏见的制造商-断路器游戏和随机图中的局部弹性问题。我们利用这种方法来证明新的结果，并得出一些已知的结果偏置制造商-断路器游戏。特别是，我们表明，对于$b=o\left(\sqrt{n}\right)$，制造商可以建立一个泛循环图（即，一个图，其中包含每一个可能的长度的循环），而发挥$(1:b)$游戏$E(K_n)$。作为另一个应用程序，我们表明，对于$b=Θ\left(n/\ln n\right)$，在$E(K_n)$上玩$(1:b)$游戏，Maker可以构建一个图，其中包含所有具有最大度$Δ=O(1)$的生成树的副本，具有线性长度的裸路径（树$T$中的裸路径是$T$中所有内部顶点的度恰好为2的路径）。
2015-09-09 math.CO
Fast strategies in biased Maker--Breaker games
研究有偏 Maker–Breaker 博弈中 Maker 在完美匹配和哈密顿圈博弈中获胜所需的最少步数，给出了依赖于 Breaker 偏差 $b$ 的界限。
2018-10-04 math.CO
Chasing the Threshold Bias of the 3-AP Game
在制造者-破坏者游戏中，有两个玩家，制造者和破坏者，如果他们创造了一个指定的结构，制造者获胜，而破坏者如果他们阻止制造者无限期地获胜，则获胜。$3$ -term算术数列，或$3$-AP，是三个不同整数$a, b, c$的序列，使得$b-a = c-b$。$3$ -AP游戏是在$[n]$上进行的有偏见的制造者-破坏者游戏，其中每一轮破坏者为每个制造者的一个整数选择$q$未声明的整数。Maker试图选择点，使其具有$3$ -AP，而Breaker试图阻止此操作。主要问题是确定阈值偏差$q^*(n)$，即Breaker具有获胜策略的最小值$q=q(n)$。Kusch、Rué、Spiegel和Szabó最初提出了这个问题，并证明了$\sqrt{n/12-1/6}\leq q^*(n)\leq \sqrt{3n}$。我们发现新的策略，使制造商和断路器，改善现有的界限，以\[ (1+o(1))\sqrt{\frac{n}{5.6}} \leq q^*(n) \leq \sqrt{2n} +O(1). \]
2022-01-12 math.CO
Some online Maker-Breaker games
本文研究随机排列且未知的在线Maker-Breaker购买博弈，分析Maker以最低成本购得目标集族成员而Breaker抬高成本的策略与结果。
2024-07-02 math.CO
Hitting time results for Maker-Breaker games
我们研究了在随机图的边集上进行的Maker-Breaker博弈。具体来说，我们考虑随机图过程，并分析第一次在一个典型的随机图过程中，制造商开始有一个获胜的策略，他的最终图承认一些属性$\mP$。我们专注于三个自然属性的制造商的图，即$k$ -顶点连接，承认一个完美的匹配，是哈密尔顿。我们证明了如下的最优首中时结果：在随机图过程第一次达到最小度$2k$时，Maker有很高的概率赢得$k$ -顶点连通性博弈;在随机图过程第一次达到最小度$2$时，Maker有很高的概率赢得完美匹配博弈;在随机图过程第一次达到最小度$4$时，Maker以高概率恰好赢得了Hamilton性博弈。后两项声明解决了Stojaković和Szabó的指控。
2010-08-11 cs.DM math.CO math.PR
A new Bound for the Maker-Breaker Triangle Game
Chvátal和Erdás（1978）提出的三角博弈是最著名的组合博弈之一。对于$n,q\in\mathbb{N}$，$(n,q)$ -三角博弈由两个参与者在完全图$K_n$上进行，称为Maker和Breaker。或者Maker声明一条边，然后Breaker声明图的$q$边。如果庄家能占据三角形的所有三条边，他就赢了，否则庄家赢了。Chvátal和Erdás（1978）证明了对于$q<\sqrt{2n+2}-5/2\approx 1.414\sqrt{n}$ Maker有一个获胜策略，对于$q\geq 2\sqrt{n}$ Breaker有一个获胜策略。从那时起，寻找三角博弈的阈值偏差的确切前导常数的问题一直是组合博弈论中著名的公开问题之一。事实上，对于任何有圈的图，这个常数都是未知的，我们甚至不知道这样的常数是否存在。Balogh和Samotij（2011）通过随机化方法，将Breaker获胜策略的Chvátal-Erdibs常数从$2$略微改进为$1.935$。自那时以来，没有取得任何进展。在这项工作中，我们提出了一个新的确定性策略断路器的胜利时，$n$是足够大的和$q\geq\sqrt{(8/3+o(1))n}\approx 1.633\sqrt{n}$，显着减少差距的下限。在以前的策略中，Breaker选择他的边，使得一个节点是Maker选择的最后一条边的一部分，而剩余的节…
2018-12-04 math.CO
Fast embedding of spanning trees in biased Maker-Breaker games
给定$n$顶点上的树$T=(V,E)$，我们考虑$(1 : q)$ Maker-Breaker树嵌入博弈${\mathcal T}_n$。这个博弈的棋盘是完全图在$n$顶点上的边集。Maker赢得${\mathcal T}_n$当且仅当他能够声明$T$副本的所有边。我们证明了存在实数$α, ε> 0$，使得对于足够大的$n$和$n$顶点上的每棵树$T$，最大程度地在大多数$n^ε$上，对于每个$q \leq n^α$，Maker都有一个$(1 : q)$游戏${\mathcal T}_n$的获胜策略。此外，我们证明了制造商可以赢得这个游戏内$n + o(n)$移动这显然是渐近最优的。
2010-10-14 math.CO
Maker Breaker Games on a Budget
TU Wien（维也纳工业大学）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文提出预算版Maker Breaker三角形博弈，证明其阈值偏差精确为⌈√(2n-2)-3/2⌉，并首次给出K_4博弈的显式上下界。
2026-09-30 math.CO
Maker-Breaker total domination game on cubic graphs
研究连通三次图上的Maker-Breaker全控制游戏，刻画了至少6个顶点的图中Dominator与Staller的胜负条件。
2022-05-29 math.CO
Walker-Breaker games
我们介绍和分析的步行者断路器游戏，制造商断路器游戏的一个变种，其中制造商被约束到选择边的一个给定的图G中的步行或路径，访问尽可能多的顶点的目标尽可能的底层图。
2014-05-07 math.CO
A One-Third Bound for the Maker--Breaker Degree Game
Princeton University（普林斯顿大学）；University of California Irvine（加州大学欧文分校）；California Institute of Technology（加州理工学院）
该研究针对Maker--Breaker度博弈问题，通过引入虚拟平衡过程、乘性风险编码及维持风险向量在Shearer区域的策略，证明了秩r超图下Breaker可实现最小度下界d/(r+1)−√(d log d)，将图情形的经典下界从d/4提升至d/3−√(d log d)。
2026-08-24 math.CO
Constructive Winning Breaker Strategies in the Maker-Breaker $C_k$-Game
Kiel University（基尔大学）
针对Maker-Breaker子图博弈，提出Breaker的建设性获胜策略，证明当偏倚满足条件时Breaker获胜，并给出$k$-圈博弈中渐近最优的显式界。
2026-07-03 math.CO
Maker playing against an invisible Breaker
该研究首次提出Maker-Breaker位置博弈的幻影版本，研究棋盘为K_n边集、Maker不知对手选择的(a:b)有偏博弈，为四类经典博弈双方设计随机策略，刻画了Maker渐近几乎必胜的偏置条件。
2025-07-30 math.CO
Pairing strategies for the Maker-Breaker game on the hypercube with subcubes as winning sets
研究超立方体上以子立方体为获胜集的Maker-Breaker博弈，提出配对策略证明当n为4的幂且k≥n/4+1，或对所有n≥3且k≥⌊3n/7⌋+1时Breaker必胜。
2023-06-28 math.CO
Maker-Breaker domination game
我们介绍了Maker-Breaker控制游戏，一个图上的两个玩家的游戏。在轮到他时，第一个玩家Dominator选择一个顶点来控制图，而另一个玩家Staller禁止Dominator选择一个顶点来阻止他达到他的目标。两名球员轮流上场，不会错过他们的回合。这个游戏是一个特殊的例子，所谓的庄家，断路器游戏，这是在这里研究的组合背景下。在本文中，我们首先证明了决策的Maker-Breaker控制游戏的赢家是PSPACE完全的，即使是二分图和分裂图。然后，它表明，该问题是多项式的上图和树。特别是，我们定义了一个战略的支配者，是来自一个变化的支配集问题，称为配对支配集问题。
2018-09-18 cs.DM math.CO
Maker-Breaker games on $ K_{ω_1}$ and $K_{ω,ω_1}$
该研究探讨两类无穷图上的Maker-Breaker博弈，证明博弈结果依赖于集合论公理框架，给出不同公理体系下双方的必胜策略结论。
2022-06-23 math.CO math.LO
Ramsey-type results for Maker-Breaker games
Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）
本文将极小拉姆齐图的概念拓展至Maker-Breaker博弈设定，刻画了存在无穷多极小可胜图的图类，证明了其最小最小度的紧界，揭示了两类设定的异同。
2026-09-03 math.CO
Maker-Breaker Percolation Games II: Escaping to Infinity
设$Λ$是一个无限连通图，$v_0$是$Λ$的一个顶点.我们考虑下面的位置博弈。两名球员，制造者和断路器，轮流发挥。最初，$Λ$的所有边都标记为不安全。在她的每一个回合中，Maker将$p$不安全的边标记为安全，而在他的每一个回合中，Breaker将$q$不安全的边从图形中删除。如果在游戏中的任何时候，包含$v_0$的组件变为有限，则断路器获胜。否则，如果Maker能够确保$v_0$无限期地保持在无限分量中，那么我们说她有一个获胜策略。这个博弈可以被认为是著名的香农交换博弈的一个变体。给定$(p,q)$和$(Λ, v_0)$，我们想知道：这两个参与者中哪一个有获胜策略？本文的主要结果是：当$Λ= \mathbb{Z}^2$和$v_0$是任意顶点时，Maker在$p\geq 2q$时有获胜策略，而Breaker在$2p\leq q$时有获胜策略.另外，当$Λ$是无限$d$ -正则树时，我们完全确定了两个参与者中的哪一个对每对$(p,q)$都有获胜策略.最后，我们给出了一般图和格的一些结果，并提出了一些开放的问题。
2020-06-26 math.CO
Rainbow connectivity Maker-Breaker game
Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）；Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Sciences, University of Novi Sad（诺维萨德大学理学院数学与信息学系）
本文研究了在图系统上的彩虹连通性制造-破坏游戏，确定了阈值偏置并推翻了相关猜想。
2026-03-10 math.CO
Maker-Breaker domination game critical graphs
本文研究了制造-破坏支配游戏中的临界图，探讨了其存在性及在先手能快速获胜情况下的特征化。
2025-02-19 math.CO
Criticality for Maker-Breaker domination games with predomination
本文研究带预支配的 Maker-Breaker 支配博弈临界性，刻画 Staller 获胜及 MBD 临界预支配树，给出线性时间判定算法，并扩展到仙人掌图与临界超图。
2025-03-14 math.CO
Erdős-Szekeres Maker-Breaker Games
Charles University, Czech Republic（捷克查理大学）；University of Novi Sad, Serbia（塞尔维亚诺维萨德大学）；ELTE Eötvös Loránd University（匈牙利罗兰大学）；University College London, UK（英国伦敦大学学院）；Czech Technical University in Prague, Czech Republic（捷克布拉格工业大学）；University of Auckland, New Zealand（新西兰奥克兰大学）
本文研究了源于平面几何埃尔德什-塞克雷斯问题的制胜者-失败者游戏，探讨了在不同规则下制胜者如何保证获得空凸多边形，解决了开放性问题。
2026-03-16 math.CO
Solving Maker-Breaker Games on 5-uniform hypergraphs is PSPACE-complete
本文证明在5-一致超图上判定Maker-Breaker博弈胜负是PSPACE完全问题，通过从顶点度≤3的二分有向图广义地理游戏进行多项式归约，改进了此前6-一致超图的结果。
2025-02-27 cs.DM math.CO
Maker-Breaker total domination number
本文引入Maker-Breaker全支配游戏的Dominator先手与Staller先手不变量，给出紧界，并构造连通图实现相关参数间的任意指定取值。
2025-07-23 math.CO
Maker-Breaker games on infinite graphs with precolored edges
本文研究可数无限完全图上带预着色边的Maker-Breaker游戏，针对保色与保模式两类游戏，分别给出获胜条件、完整刻画及Maker有胜策的模式，部分解答了相关学者的问题。
2026-08-25 math.CO
An $n$-in-a-row type game
我们考虑一个制造商-断路器类型的游戏在飞机上，其中每个球员采取$t$点对他们的$t^\textrm{th}$回合。如果庄家在一条线上（任何方向）获得$n$点，而其间没有任何断路器的点，则庄家获胜。我们发现，尽管制造商的明显优势，断路器可以防止制造商赢得，直到他的$n^\textrm{th}$回合。我们实际上证明了一个更强的结果：断路器只需要在他的$t^\textrm{th}$回合中使用$ω(\log t)$点来阻止Maker获胜，直到这个时候。我们还考虑了Maker在其他速度下获得的点数增长的情况，特别是当Maker在他的$t^\textrm{th}$回合获得$t^α$点数时。
2015-01-07 math.CO
A note on monotonicity in Maker-Breaker graph colouring games
本文研究Maker-Breaker图着色博弈的单调性，肯定回答了树状度博弈的单调性问题，证明有序顶点着色博弈不具单调性，并为连通版本的两个开放问题提供反例。
2024-11-08 math.CO
Maker-Breaker Percolation Games I: Crossing Grids
受渗流理论中的问题的启发，我们研究了以下两人位置博弈。设$Λ_{m \times n}$是一个矩形网格图，每行中有$m$顶点，每列中有$n$顶点。两名球员，制造者和断路器，轮流发挥。在她的每一个回合中，Maker声称$p$（尚未被声称的）板边$Λ_{m \times n}$，而在他的每一个回合中，Breaker声称$q$（尚未被声称的）板边并销毁它们。如果Maker成功占领将棋盘左侧连接到右侧的交叉路径的所有边缘，则Maker获胜，否则Breaker获胜。我们把这个游戏叫做在$Λ_{m \times n}$上的$(p,q)$穿越游戏.给定$m,n\in \mathbb{N}$，Maker在$Λ_{m \times n}$上的$(p,q)$交叉游戏中，对哪些对$(p,q)$有获胜策略？$(1,1)$ -情况完全对应于流行的Bridg-it游戏，这是很好理解的，因为它是旧香农切换游戏的特殊情况。本文研究了一般的$(p,q)$ -情形。我们的主要结果是建立以下过渡：$\bullet$如果$p\geqslant 2q$，那么Maker在任意长版本的最西棋盘上赢得游戏，即Maker对于任何$m\in \mathbb{N}$在$Λ_{m \times(q+1)}$上的$(2q, q)$交叉游戏都有获胜策略; $\bullet$如果$p\leqslant 2q-1$，则对于板的每个宽度$n$，断…
2020-01-31 math.CO
Maker-Breaker Metric Resolving Games on Graphs
令$d(x,y)$表示具有顶点集$V$的图$G$中顶点$x$和$y$之间的最短路径的长度。对于正整数$k$，设$d_k(x,y)=\min\{d(x,y), k+1\}$和$R_k\{x,y\}=\{z\in V: d_k(x,z) \neq d_k(y,z)\}$。如果$S \cap R_k\{x,y\} \neq\emptyset$用于不同的$x,y\in V$，则集合$S \subseteq V$是$G$的\emph{distance-$k$ resolving set}。本文研究了在图$G$上由Maker和Breaker两个参与者交替选择$G$的一个尚未选择的顶点的Maker-Breaker距离- $k$解决对策（MB $k$ RG）. Maker通过选择形成$G$的距离- $k$解析集的顶点来获胜，而Breaker通过阻止Maker获胜来获胜。我们用$O_{R,k}(G)$表示MB $k$ RG的结果。令$\mathcal{M}$、$\mathcal{B}$和$\mathcal{N}$分别表示在MB $k$ RG中庄家、断路器和第一个玩家具有获胜策略的结果。给定图$G$，参数$O_{R,k}(G)$是$k$的非减函数，其余域为$\{-1=\mathcal{B}, 0=\mathcal{N}, 1=\mathcal{M}\}$ .我们展示对$G$和$k$，使有序对$(O_{…
2022-12-28 math.CO
Two constructions relating to conjectures of Beck on positional games
在本文中，我们构造了两个超图，它们具有以下性质。我们首先构造了一个超图$G_{CP}$，并证明了在$G_{CP}$上，Breaker赢得了Maker-Breaker博弈，而在$G_{CP}$上，Breaker赢得了Breaker-Picker博弈。这证明了贝克的一个（非正式陈述的）猜想是错误的。我们的第二个构造涉及贝克的邻域猜想，它（在其最弱的形式）指出，存在$c > 1$，使断路器赢得制造商-断路器游戏的任何$n$ -均匀超图$G$的最大程度最多$c^n$。我们考虑n=4的情形，构造一个最大顶点度为3的4-图$G_4$，使得Maker在$G_4$上赢得Maker-Breaker博弈.这回答了领导者的一个问题。
2012-12-13 math.CO
Maker Can Construct a Sparse Graph on a Small Board
我们研究稀疏图的边缘上的Maker/Breaker游戏。Maker和Breaker轮流声明给定图H的先前未声明的边。Maker的目标是占据给定的目标图G，而Breaker试图阻止Maker实现他的目标。定义了一个函数f，证明了对任意n阶d-正则图G，存在一个至多有f（d）n条边的图H，使得Maker在H上的对策中可以占有G的一个副本.
2011-06-16 cs.DM math.CO
Blockers for Triangulations of a Convex Polygon and a Geometric Maker-Breaker Game
设$G$是一个顶点集$P$构成凸多边形$C$的完全凸几何图，$F$是$G$的一族子图. $F$的阻塞器是一组尽可能小的边，其中包含$F$的每个元素的公共边。以前的工作确定了各种家庭$F$的非交叉子图，包括家庭的所有完美匹配，所有的生成树，所有的Hamilton路径等，在本文中，我们提出了一个完整的表征家庭$B$的家庭$T$的三角剖分的$C$的阻断剂。特别是，我们表明，$|B|=F_{2n-8}$，其中$F_k$是在斐波那契序列和$n=|P|$的$k$ 'th元素。我们使用我们的特征，以获得一个严格的结果，在一个几何Maker-Breaker游戏中，董事会是一个凸$n$ -gon $C$和制造商的对角线集试图占据一个三角形的$C$。也就是说，我们表明，在$(1:1)$三角博弈中，制造商可以确保赢得$n-3$移动，并在$(1:2)$三角博弈中，断路器可以确保赢得$n-3$移动。特别是，游戏的阈值偏差是$2$。
2017-12-31 math.CO
Hamiltonian Maker-Breaker games on small graphs
University of Novi Sad（诺威萨大学）
我们看看在一个完整的图$K_n$，其中制造商的目标是要求一个哈密顿圈的边缘集上玩的无偏制造商-断路器哈密尔顿性游戏。首先，我们证明，独立于谁开始，制造商可以赢得游戏的$n = 8$和$n = 9$。然后，我们使用归纳论证来证明，无论谁先开始，Maker都可以赢得游戏，当且仅当$n \geq 8$。这特别肯定地解决了帕帕约安努长期以来的猜测。我们还研究了两个与Hamilton对策相关的标准位置对策。对于哈密尔顿路径博弈，我们证明了Maker可以声明一条哈密尔顿路径当且仅当$n \geq 5$，与谁开始无关.接下来，我们来看看固定哈密顿路径博弈，其中Maker的目标是在两个预定的顶点之间声明一条哈密顿路径。我们证明了如果Maker开始游戏，当且仅当$n \geq 7$时他赢，如果Breaker开始游戏，当且仅当$n \geq 8$时Maker赢。使用这个结果，我们能够提高以前最好的上限上的最小数量的边缘上的图的$n$顶点可以有，知道制造商可以赢得制造商-断路器的汉密尔顿性游戏发挥其边缘。为了解决小（有限）板上的上述游戏的结果，我们设计了有效地搜索游戏树的算法，然后在计算机的帮助下获得我们的结果。
2018-08-07 cs.AI cs.DM math.CO
Maker-Breaker Strong Resolving Game
本文研究图上的 Maker-Breaker 强解析博弈，分析其一般结果及与解析博弈结果的关系，并确定该博弈在 corona 乘积图、Cartesian 乘积图和 modular 乘积图等图类上的胜负结果。
2024-10-24 math.CO
Efficient winning strategies in random-turn Maker-Breaker games
我们考虑Peres，Schramm，Sheffield和Wilson在2007年提出的随机回合位置博弈。$p$ -random-turn positioning game是一种两人博弈，其玩法与普通的位置博弈相同，不同之处在于不是交替轮流，而是在每轮之前掷硬币来决定下一个移动的玩家的身份（玩家I移动的概率是$p$）。我们分析了几个经典的制造商-断路器游戏的随机回合版本，如游戏盒（Chvátal和Erd \H OS在1987年推出），汉密尔顿循环游戏和$k$ -顶点连通性游戏（都在$K_n$的边集上玩）。对于这些游戏中的每一个，我们提供了一个（随机）有效的策略，通常确保他赢得了$p$的最小值的渐近顺序，他通常赢得了比赛，假设双方球员的最优策略。
2014-08-25 math.CO
Biased Weak Polyform Achievement Games
在一个有偏向的弱$(a,b)$多形成就游戏中，庄家和破局者分别在无限棋盘上交替标记$a,b$先前未标记的单元格。制作者的目标是标记一组与多形体一致的单元。破坏者试图阻止制造者实现这一目标。$(a,b)$游戏的获胜庄家策略可以从涉及庄家和破局者的较少分数的游戏的获胜策略构建。介绍了一种新型的断路器策略--优先级策略。获胜者是针对所有$(a,b)$对的polyamonds和polyominoes（最大尺寸为4）确定的。
2011-07-10 cs.GT math.CO
Connector-Breaker games on random boards
目前，完全图$K_n$和随机图$G\sim G_{n,p}$上的Maker-Breaker连通性博弈已经得到了很好的研究.最近，London和Pluhár提出了一个变体，在这个变体中，Maker总是需要以这样一种方式选择她的边，即她的图保持连接。根据他们的结果，对于这个连接的游戏版本，$K_n$上的阈值偏差和$G\sim G_{n,p}$上赢得游戏的阈值概率与通常的制造者-破坏者版本的相应值大不相同，假设制造者的偏差是$1$。然而，他们观察到，如果允许Maker在每轮中声称两个边缘，则在$K_n$上播放的两个版本的阈值偏差仍然是相同的顺序。自然，这让London和Pluhár问，当在$G_{n,p}$上玩$(2:2)$游戏时，是否可以观察到类似的现象。我们证明，这是不是这种情况下，并确定阈值概率赢得这个游戏的大小为$n^{-2/3+o(1)}$。
2019-11-05 math.CO
Biased Games On Random Boards
在本文中，我们分析了有偏见的制造商-断路器游戏和避免者-执行者游戏，都发挥了随机板$G\sim \gnp$的边缘集。在制造者-破坏者游戏中，有两个玩家，分别被称为制造者和破坏者。在每一轮中，Maker声明$G$的一个先前未声明的边缘，而Breaker则通过声明$b$先前未声明的边缘来响应。我们考虑的Hamilton游戏，完美匹配游戏和$k$ -顶点连通性游戏，其中制造商的目标是建立一个图，拥有相关的属性。避免者-执行者博弈是制造者-破坏者博弈的反向模拟，略有修改，其中两个玩家每次移动时分别声明至少1条和至少$b$先前未声明的边，而避免者旨在避免构建具有相关属性的图。Maker-Breaker游戏被称为“偏置单调”，也就是说，如果Maker赢得了$(1,b)$游戏，他也赢得了$(1,b-1)$游戏。因此，将一个游戏的关键偏差$b^*$定义为游戏的“断点”是有意义的。也就是说，每当$b\leq b^*$出现时，Maker都会赢得$(1,b)$游戏，否则就会失败。关键偏差的类似定义存在于回避者-实施者游戏中：在这里，游戏$b^*$的关键偏差是这样的：对于每一个$b > b^*$，回避者都赢得$(1,b)$游戏，否则就输了。我们证明，对于每一个$p=ω(\frac{\ln n}{n})$，$G\sim\gnp$是典型的，所有上述庄家-断路器游戏的临界偏差是渐近$b^*=\frac{np}{…
2012-10-29 math.CO
Maker-Breaker domination number
制造者-破坏者支配博弈是由支配者和施特勒在图$G$上进行的。玩家交替地选择在游戏过程中尚未选择的$G$的顶点。如果在某一点上，支配者选择的顶点形成支配集，则支配者获胜。如果支配者不能形成支配集，则拖延者获胜。本文引入了$G$的Maker-Breaker控制数$γ_{\rm MB}(G)$，它是指当支配者具有获胜策略并且是第一个下局时，支配者赢得比赛的最小走法数。如果Staller先演奏，则相应的不变量表示为$γ_{\rm MB}'(G)$。比较这两个不变量，我们发现它们的行为与相关的博弈控制数有很大的不同。不变量$γ_{\rm MB}(G)$也与控制数进行了比较。利用Erdens-Selfridge准则，我们找到了一类图$G$，其中$γ_{\rm MB}(G) > γ(G)$成立.引入残差图并用于绑定/确定$γ_{\rm MB}(G)$和$γ_{\rm MB}'(G)$。使用残差图，$γ_{\rm MB}(T)$和$γ_{\rm MB}'(T)$确定任意树。还得到了圈的不变量和并图的有界不变量。一个开放的问题和进一步调查的方向清单。
2019-03-13 math.CO
Incidence, a Scoring Positional Game on Graphs
位置博弈是由黑尔斯和朱厄特在1963年提出的，并在此后的文献中得到了广泛的研究。这些游戏是在超图上进行的，两个玩家交替选择超图的一个无人认领的顶点。在Maker-Breaker约定中，如果Maker设法完全占据一个超边，她就赢了，否则，Breaker就是赢家。在创客-创客大会中，第一个采取超边的玩家获胜。在这两种情况下，游戏会在Maker采用超边后立即停止。根据定义，这个游戏家族不处理分数，不能代表玩家想要最大化数量的游戏。在这项工作中，我们介绍了得分位置游戏，包括在一个超图上玩，直到所有的顶点都被要求，并通过定义的分数作为一个玩家已经完全采取的超边的数量。我们在这里集中在发病率，一个得分位置游戏上的2均匀超图，即无向图。在这个游戏中，两个参与者交替声明图的顶点，并对他们拥有两端顶点的边的数量进行评分。在制造者-破坏者版本中，制造者的目标是最大化她拥有的边数，而破坏者的目标是最小化它。在制造者-制造者版本中，两个玩家都试图比对手拿更多的边。我们首先给出一些一般结果得分位置游戏，使他们的成员在米尔诺的宇宙和一些一般的界限上的分数。我们证明，令人惊讶的是，计算得分的制造商，断路器版本的发病率是PSPACE完全的，而在制造商，制造商公约，相对得分可以在多项式时间内获得。此外，对于Maker-Breaker约定，我们通过使用Milnor宇宙的一些等价性给出了路径上的得分公式。这个结果意味着…
2022-11-02 math.CO
Maker-Breaker is solved in polynomial time on hypergraphs of rank 3
Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）；Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）
本文研究秩为3的超图上的Maker-Breaker博弈，通过关键子超图集交集给出结果结构特征与双方最优策略描述，由此导出多项式时间算法，解决该博弈复杂性问题，还得出Maker若有获胜策略能在顶点数对数轮数内获胜的结论。
2026-07-14 cs.DM math.CO
