Computing Igusa's local zeta function of univariates in deterministic polynomial-time
Igusa的局部zeta函数$Z_{f,p}(s)$是计算所有$k$的$f(\mathbf x) \bmod p^k$的整数根$N_{k}(f)$的生成函数。在解析数论中，$Z_{f,p}$是$\mathbb{Q}(p^s)$中的有理函数是一个著名的结果。本文对一元多项式$f$给出了这一事实的初等证明。我们的证明是建设性的，因为它给出了一个封闭形式的表达根数$N_{k}(f)$。我们的证明，当与最近的根计数算法（Dwivedi，Mittal，Saxena，CCC，2019）相结合时，产生了第一个确定性多（$|f|, \log p$）时间算法来计算$Z_{f,p}(s)$。以前，算法仅在$f$在$\mathbb{Q}_p$上完全分裂的情况下是已知的;它需要有理根以使用树的生成函数的概念（Zúñiga-Galindo，J.Int.Seq.，2003年）。
2020-06-16 cs.CC cs.DS cs.SC
Computing Canonical Bases of Modules of Univariate Relations
我们研究了一元关系集$(p_1,\ldots,p_m) \in \mathbb{K}[x]^{m}$的规范基的计算，使得$p_1 f_1 + \cdots + p_m f_m = 0$ ;在这里，输入元素$f_1,\ldots,f_m$是从商$\mathbb{K}[x]^n/\mathcal{M}$，其中$\mathcal{M}$是一个$\mathbb{K}[x]$ -模块的秩$n$给出的基础$\mathbf{M}\in\mathbb{K}[x]^{n\times n}$在厄米形式。我们利用$\mathbf{M}$的三角形形状来推广一种分而治之的方法，这种方法起源于快速最小近似基算法。除了这种方法的最新技术，我们依靠高阶提升来执行$\mathbf{P}\mathbf{F} \bmod \mathbf{M}$形式的多项式矩阵的快速模积。我们的算法使用$\mathbb{K}$中的$O\tilde{~}(m^{ω-1}D + n^ω D/m)$操作，其中$D = \mathrm{deg}(\det(\mathbf{M}))$是$\mathbb{K}[x]^n/\mathcal{M}$的$\mathbb{K}$ -向量空间维数，$O\tilde{~}(\cdot)$表示省略对数因子，$ω$是矩阵乘法的指数。这在以前仅针对对角矩阵$\mathbf{M}$实现。此外，我们的算法可以用来计算移位…
2017-05-30 cs.SC
A note about "Faster algorithms for computing Hong's bound on absolute positiveness" by K. Mehlhorn and S. Ray
本文给出了一个计算一元多项式正根的洪氏界的线性时间算法。Mehlhorn和S. Ray在一篇文章“Faster algorithms for computing Hong's bound on absolute positiveness”中指出，这是不正确的。我们提供了一个更正的版本。
2016-11-20 cs.SC
Computing and Using Minimal Polynomials
给定一个多项式环中的零维理想I，许多计算都是从在I中寻找一元多项式开始的。搜索I中的一元多项式是考虑P/I中元素的极小多项式的特殊情况。众所周知，极小多项式可以通过消去法计算，因此这被认为是一个“已解决的问题”。但作为许多计算的关键，它值得研究它的意义，它的优化，它的应用（例如测试零维理想是否是根，主要或最大）。我们提出了计算P/I中元素的极小多项式的有效算法。对于系数在Q中的特定情况，我们展示了如何使用模块化方法来获得有保证的结果。我们还提出了一些应用程序的极小多项式，即算法计算根式和准素分解的零维理想，也为测试的激进性和极大性。
2019-08-07 cs.SC math.AC
Computing the determinant of a matrix with polynomial entries by approximation
在科学计算和工程领域中，经常会遇到用一元和多元多项式计算矩阵行列式的问题。本文提出了一种用符号和数值混合计算方法计算多项式元矩阵行列式的有效算法。该算法依赖于误差控制的牛顿插值法求解范德蒙方程组。它也是基于一种新的方法来估计的程度的变量，和度同态方法降维。此外，该方法的并行化自然出现。
2015-04-12 cs.SC
Subresultants of Several Univariate Polynomials in Newton Basis
针对多个 Newton 基一元多项式，论文利用友矩阵构造特殊矩阵并推广行列式多项式，给出保持 Newton 基的子结式公式，并用于基保持的 gcd 计算。
2024-09-10 cs.SC math.AC
Accelerated Approximation of the Complex Roots and Factors of a Univariate Polynomial
Pan（1995）和（2002）的算法在近乎最佳的算术和布尔时间内逼近复杂一元多项式的根，但要求计算精度超过多项式的次数。当阶数较大时，这将导致数值稳定性问题。然而，我们观察到，这样的困难消失在算法的初始阶段，在我们目前的论文中，我们扩展到根查找在一个接近最佳的算术和布尔复杂性的界限内，提供了一些温和的初始隔离的根的输入多项式已被确保。此外，我们的算法是接近最佳的近似的根孤立在一个固定的圆盘，广场或其他区域的复平面上，而不是所有的复根的多项式。此外，该算法可以应用于一个由黑盒给出的多项式的评估（即使其系数是未知的）;它承诺是多项式的根查找和因式分解的实用价值，后者的任务本身的利益。我们还提供了一个新的支持缠绕数算法，使我们的进展，以获得温和的初始近似的根。最后，我们总结我们的算法和他们的扩展到孤立的多根和根簇的近似。
2016-11-09 cs.SC
Computing Popov and Hermite forms of rectangular polynomial matrices
本文研究了一元多项式上矩阵的两种范式：Popov型和Hermite型的计算。对于矩阵的平方和非奇异，确定性算法与满意的成本界是已知的。在这里，我们提出了确定性，快速算法的矩形输入矩阵。所获得的波波夫形式的成本界匹配以前最好的已知的随机算法，而成本界的Hermite形式的改进，以前最好的已知的一个因素，这至少是最大的输入矩阵的维数。
2018-05-17 cs.SC
Algorithms for Weighted Sums of Squares Decomposition of Non-negative Univariate Polynomials
众所周知，每个非负的一元实多项式都可以写成两个实系数多项式的平方和。当我们允许一个1000平方的加权和而不是两个平方的和时，我们可以选择表示中的所有系数都位于由多项式的系数生成的域中。本文从理论和实际两个方面对计算一元有理系数多项式的加权平方和分解的两种算法进行了描述、分析和比较。第一个算法，由于第三作者依赖于实根隔离，正多项式的二次逼近和无平方分解，但其复杂性没有分析。我们提供位复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法。它们在输入一元多项式的次数上是指数的，在其复杂度的最大位大小上是线性的。这种分析是使用量词消去和根隔离界限得到的。第二种算法，由于Chevillard，Harrison，Joldes和Lauter，依赖于复根隔离和无平方分解，并已被引入用于证明多项式在计算机算术中的积极性。同样，它的复杂性没有得到分析。我们提供比特复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法，这是多项式的输入多项式的程度和线性的最大比特大小的复杂性。这种分析是使用韦达公式和根隔离界。最后，我们报告我们的实现这两个算法。而第二个算法，正如预期的复杂性结果，更有效的例子，我们展示了家庭的非负多项式的第一个算法是更好的。
2017-06-13 cs.SC
Reading Rational Univariate Representations on lexicographic Groebner bases
本文提出从二元消元理想的字典序Gröbner基中直接读取有理单变量表示（RUR）的闭式方法，无需理想处于形状位置，并基于FGLM核心给出简单算法，实验表明其与不认证参数化的先进实现竞争。
2025-05-23 cs.SC math.AC
Exact SOHS decompositions of trigonometric univariate polynomials with Gaussian coefficients
针对高斯整数系数一元三角多项式的正定性验证需求，提出三种混合数值-符号SOHS精确分解算法，证明其多项式复杂度，并通过基准测试和FIR滤波器设计验证了性能。
2023-10-04 cs.SC math.OC
A fast, deterministic algorithm for computing a Hermite Normal Form of a polynomial matrix
给定域$\mathbb{K}$上的一元多项式方阵$\mathbf{F} \in \mathbb{K}[x]^{n \times n}$，给出了求$\mathbf{F}$的Hermite范式的一个快速的确定性算法，其复杂度为$O^{\sim}\left(n^ωd\right)$，其中$d$是$\mathbf{F}$的次数.这里，软- $O$表示法是大- $O$，去除了对数因子，$ω$是矩阵乘法的指数。该方法依赖于用于确定其Hermite范式的对角项的快速算法，具有作为与$s$的$O^{\sim}\left(n^ωs\right)$操作的成本的$\mathbf{F}$的列度的平均值。
2016-02-05 cs.SC
Univariate Contraction and Multivariate Desingularization of Ore Ideals
具有多项式系数的Ore算子形成表示D-有限函数的常见代数抽象。它们形成Ore环$K(x)[D_x]$，其中$K$是恒定场。设$K$是某个主理想整环$R$的商域.环$R[x][D_x]$由没有“分母”的$K(x)[D_x]$中的元素组成。给定$L \in K(x)[D_x]$，它在$K(x)[D_x]$中生成左理想$I$。我们称$I \cap R[x][D_x]$为$I$的单变量压缩。当$L$是线性常微分或差分算子时，我们利用Chen，Jaroschek，Kauers和Singer提出的去奇异算子设计了$L$的一个压缩算法.当$L$是常微分算子且$R = K$是常微分算子时，我们的算法比已知的算法更初等.在其他情况下，我们的结果是新的。我们提出了完全去奇异化算子的概念，研究了它们的性质，并设计了一个计算它们的算法。完全去奇异化算子在证明整数序列和检验Krattenthaler猜想的特殊情况等方面有着有趣的应用。一个D-有限系统是一组有限的多元线性齐次偏微分方程，其解空间是有限维的。对于这样的系统，我们给出了一个奇点的概念，在多项式出现在他们。我们表明，一个点是一个奇点的系统，除非它承认一个基础的幂级数的解决方案，其中的起始单项式是尽可能小的一些长期秩序。然后，一个奇点是明显的，如果系统承认一个完整的基础上的幂级数的解决方案，其中的起始项不是尽可能小。我们证明，在多变量的情况下，可以删…
2017-10-20 cs.SC
Root Isolation of Zero-dimensional Polynomial Systems with Linear Univariate Representation
本文给出了零维多项式方程组根的一元线性表示，其中方程组的根表示为若干个一元多项式方程的根的线性组合。这种表示的主要优点是根的精度可以很容易地控制。事实上，基于线性一元表示，我们可以给出一元方程的根所需的精确精度，以便在给定精度下获得方程组的根。因此，零维多项式方程组的根隔离算法可以很容易地从其线性单变量表示导出。
2011-02-23 cs.SC
A Condition for Multiplicity Structure of Univariate Polynomials
我们考虑的问题，找到一个条件的一元多项式具有给定的多重性结构时，不同的根的数量是给定的。众所周知，通过使用重复的参数gcd，这样的条件可以写成几个多项式方程和系数中的一个不等式的合取。在本文中，我们给出了一个新的条件，它不是基于重复的gcd。此外，还证明了该条件下多项式的个数是最优的，且多项式的次数比以前基于重复gcd的条件下的次数小。
2020-08-01 cs.SC
Computing explicit isomorphisms with full matrix algebras over $\mathbb{F}_q(x)$
我们提出了一个多项式时间的$f$算法（一个确定性的算法，它使用一个预言的分解一元多项式的$\mathbb{F}_q$）计算同构（如果有任何）的有限维$\mathbb{F}_q(x)$ -代数$A$给出的结构常数与$n$的代数$n$矩阵的条目从$\mathbb{F}_q(x)$。该方法基于计算$A$的一个有限$\mathbb{F}_q$ -子代数，它是一个最大$\mathbb{F}_q[x]$ -阶和一个最大$R$ -阶的交集，其中$R$是$\mathbb{F}_q(x)$的子环，由分母次数不小于分子次数的多项式的分数组成.
2017-01-02 cs.SC math.NT math.RA
Modular composition & polynomial GCD in the border of small, shallow circuits
本文研究了在无限域上多项式模运算和GCD的计算问题，证明其在近线性大小和多项式对数深度的代数电路中可实现。
2026-01-27 cs.CC cs.SC
Revisit Sparse Polynomial Interpolation based on Randomized Kronecker Substitution
本文给出了有限域上多元黑箱多项式的一种新的基于约简的插值算法。该方法基于两个主要成分。给出了一种新的蒙特卡罗方法，将任意环上的黑盒多元多项式插值化为黑盒一元多项式插值。当与各种单变量插值算法相结合时，该约简算法在大多数情况下导致具有更好或相同复杂度的多变量插值算法。我们还提出了一种改进的有限域上的一元Ben-or和Tierki算法，它比Lagrange插值算法具有更好的总复杂度。结合本文的约简方法和改进的一元Ben-or和Tianxi算法，给出了一种Monte Carlo多元插值算法，该算法对于有限域上的黑盒多项式稀疏插值在大多数情况下具有较好的总复杂度.
2018-07-17 cs.SC
Bézout Subresultants for Univariate Polynomials in General Basis
针对非标准基下子结式研究不足的问题，本文提出一般基下单变量多项式的Bézout子结式公式，可覆盖多种非标准基且保留标准基子结式的核心性质，助力保基算法发展。
2023-05-06 cs.SC
Computing Clipped Products
本文研究乘积中指定跨度系数或数位的计算问题，推广中间乘积概念，并重点讨论经典乘法与Karatsuba乘法的组合方法以提升系统性能。
2024-07-04 cs.NA cs.SC math.NA
A Signature-based Algorithm for computing Computing Gröbner Bases over Principal Ideal Domains
基于签名的算法已经成为域上多项式系统的格罗布纳基计算的标准方法，但如何将这些技术扩展到一般环中的系数还没有很好地理解。在本文中，我们提出了一个概念证明的签名为基础的算法计算格罗布纳基交换整环上。它改编自Möller算法（1988）的一般版本，该算法考虑在每一步通过多个多项式进行约简。该算法使用非递减签名执行约简，并且特别地，不会发生签名丢弃。当系数是从一个主要的理想域（例如，环的整数或环的一元多项式在一个字段），我们证明了正确性和终止的算法，我们展示了如何使用签名属性来实现经典的基于签名的标准，以消除一些冗余的减少。特别地，如果输入是规则序列，则算法在没有任何减少到0的情况下操作。我们已经在Magma中编写了该算法的玩具实现。早期的实验结果表明，该算法甚至可能是正确的，并终止于一个更一般的设置，多项式在一个唯一的因式分解域（例如，环的多元多项式在一个字段或PID）。
2019-05-27 cs.SC
Computing the Rank and a Small Nullspace Basis of a Polynomial Matrix
我们把一元多项式矩阵的秩和零空间基的计算问题归结为多项式矩阵乘法问题。对于域K上的一个n × n阶d矩阵，我们给出了一个秩和零空间算法，其运算次数与两个n维和d阶矩阵相乘的运算次数大致相同。如果后面的乘法在MM（n，d）=softO（n^omega d）操作中完成，其中omega是K上矩阵乘法的指数，则该算法在K中使用softO（MM（n，d））操作。softO表示法表示一些缺失的对数因子。该方法是随机的拉斯维加斯认证。我们部分地通过矩阵Hensel高阶提升和矩阵最小分式重构的结合，以及通过在被视为K[x]-模的零空间中计算最小或小度向量来实现我们的结果
2005-05-11 cs.CC cs.SC
An Algorithm for Discriminating the Complete Multiplicities of a Parametric Univariate Polynomial
本文针对单变量多项式参数完全重数问题，提出基于增量 gcd 和非嵌套子结式的新算法，避免次数指数膨胀，生成更简单条件，并在较大规模问题上比经典重复 gcd 方法更快。
2024-12-29 cs.SC
Computing submatrices of the Hermite normal form of a structured polynomial matrix
Sorbonne Université, CNRS, LIP6（索邦大学，法国国家科学研究中心，LIP6）
本文提出利用位移结构加速计算结构多项式矩阵Hermite规范形子矩阵的方法，通过评估-插值实现高效计算。
2026-09-07 cs.SC
Criteria for Finite Difference Groebner Bases of Normal Binomial Difference Ideals
本文给出了一元差分多项式环F{y}中正规二项差分多项式理想具有有限差分Groebner基的判定准则，以及在满足这些判定准则时计算有限差分Groebner基的算法.这些准则的新颖之处在于将差多项式理想的复杂性质归结为Z[x]中一元多项式的基本性质。
2017-01-23 cs.SC
Parametric "Non-nested" Discriminants for Multiplicities of Univariate Polynomials
针对一元多项式复根重数分类问题，本文提出一种不依赖重复参数化 gcd 的新型非嵌套判别式，相较传统嵌套行列式结构更简单且最大次数更低。
2023-04-22 cs.SC math.AC
Lexicographic Groebner bases of bivariate polynomials modulo a univariate one
设T（x）在k[x]中是一个单调的非常数多项式，记R=k[x] /（T）为商环.考虑R[y]中的两个二元多项式a（x，y），b（x，y）。在第一部分中，T = p^e被假定为是一个不可约多项式p的幂。一个新的算法，计算理想（a，b，p^e）的最小字典Groebner基，介绍。第二部分扩展此算法时，T是一般的通过“本地/全球”的原则实现的“动态评价”的泛化，限制到目前为止，多项式T是squarefree。该算法根据“可逆/幂零”的情况区分产生分裂，扩展了经典动态求值中通常的“可逆/零”。该算法属于欧几里德族，其核心是a和b模T的子结式序列。特别是没有因式分解或Groebner基础计算是必要的。理论背景依赖于Lazard的结构定理的字典Groebner基地在两个变量。在Magma中实现了一个实现。基准测试清楚地显示了这种方法与Groebner方法相比的好处，有时是重要的。
2021-09-29 cs.SC math.AC
A complexity chasm for solving univariate sparse polynomial equations over $p$-adic fields
我们揭示了一个复杂的鸿沟，分离三项式和四项式的情况下，解决单变量稀疏多项式方程在某些局部领域。首先，对任意固定域$K\in\{\mathbb{Q}_2,\mathbb{Q}_3,\mathbb{Q}_5,\ldots\}$，证明了在经典图灵模型中，任意多项式$f\in\mathbb{Z}[x]$，只要$3$单项式项、次数$d$和系数的绝对值不超过$H$，都可以在确定时间$O(\log^{O(1)}(dH))$内在$K$上求解. (The最好的先前算法在$\log d$中是复杂性指数的，甚至对于仅在$\mathbb{Q}_p$中计数根。特别地，我们的算法生成$\mathbb{Q}$中的近似值，其比特长度为$O(\log^{O(1)}(dH))$到$K$中的$f$的所有根，并且这些近似值在牛顿迭代下二次收敛。另一方面，我们给出了一个统一的四项式族，需要$Ω(d\log H)$数字来区分其根在$K$中的基$p$扩展。
2021-06-06 cs.CC cs.SC math.NT
Computing low-degree factors of lacunary polynomials: a Newton-Puiseux approach
本文提出了一种计算特征为零的域上的多元缺项多项式的次数至多为$d$且具有重数的不可约因子的新算法。该算法减少了这种计算的次数最多$d$的一元缺项多项式的不可约因子的计算和低次多元多项式的因式分解。减少运行在输入多项式大小的时间多项式和$d$中。因此，我们得到了一个新的多项式时间算法的计算的低次因子，多重性，多元缺项多项式在数域上，但我们的方法也给出了部分结果的其他领域，如领域的$p$ -adic号码或绝对或近似因式分解。我们的约简的核心是使用输入多项式的牛顿多边形，其有效性是基于二元多项式的根的牛顿-普伊克斯展开。特别地，我们给出了$f(X,ϕ)$的赋值界，其中$f$是缺项多项式，$ϕ$是一个消失多项式具有低次的Pu_x级数.
2014-06-24 cs.CC cs.DS cs.SC
Computing minimal interpolation bases
我们考虑计算域上的一元多项式矩阵的问题，这些矩阵表示一般插值问题的最小解基，其中一些形式是[Van Barel和Bultheel，数值算法3，1992]中的向量M-Padé逼近问题和[Beckermann和Labahn，SIAM J. Matrix Anal. Appl.22，2000]。该问题的特殊例子包括Reed-Solomon码的Guruswami-Sudan硬判决和Kötter-Vardy软判决译码的二元插值步骤，折叠Reed-Solomon码的列表译码的多元插值步骤，以及Hermite-Padé近似。在上述文献中，该问题是使用基于递归关系的迭代算法来解决的。在这里，我们讨论了一个快速的，分而治之的版本，这个递归，利用快速矩阵计算的标量和多项式。这种新算法是确定性的，并且为了计算大小为$σ$的$m$向量之间的关系的移位最小基，它使用$O~( m^{ω-1} (σ+ |s|) )$字段操作，其中$ω$是矩阵乘法的指数，并且$|s|$是输入移位$s$的条目与$\min(s) = 0$的总和。这种复杂性的限制，特别是在早期的算法的情况下，双变量插值软解码，同时匹配最快的现有算法的同时厄米-帕德近似。
2016-06-13 cs.IT cs.SC math.IT
Multivariate sparse interpolation using randomized Kronecker substitutions
我们提出了新的技术减少一个多元稀疏多项式的一元多项式。这种简化的工作原理类似于经典的和广泛使用的克罗内克替换，除了我们根据多元多项式中非零项的数量随机选择度数，即它的稀疏性。由此产生的一元多项式通常具有比克罗内克替代多项式低得多的次数，代价是少量的项冲突。作为一个应用，我们给出了一个新的多元插值算法，它使用这些新技术以及任何现有的单变量插值算法。
2014-05-02 cs.DS cs.MS cs.SC
