A Generalization of Habicht's Theorem for Subresultants of Several Univariate Polynomials
本文推广了Habicht定理至多个一元多项式的子结式，解决了从两个到多个多项式推广中的挑战，提供了结构理解与高效计算的新工具。
2024-09-19 cs.SC
On the Number of Real Types of Univariate Polynomials
Saarland University（萨尔兰州立大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；University of Lorraine（洛林大学）；MPI-INF（德国马克斯·普朗克信息学研究所）
该研究针对一元多项式族的实类型计数问题，推导了给定次数界下的显式公式，给出单多项式情形下含斐波那契数的闭式表达，并借助黄金分割比刻画了实类型数量随次数增长的渐近特性。
2025-02-07 cs.SC
Bézout Subresultants for Univariate Polynomials in General Basis
针对非标准基下子结式研究不足的问题，本文提出一般基下单变量多项式的Bézout子结式公式，可覆盖多种非标准基且保留标准基子结式的核心性质，助力保基算法发展。
2023-05-06 cs.SC
Implementations of efficient univariate polynomial matrix algorithms and application to bivariate resultants
在过去的几年里，许多关于一元多项式矩阵的问题的复杂性界已经得到了改进。然而，对于大多数相关算法，有效的实现是不可用的，这留下了这些算法的实际影响的问题，例如，在诸如解码一些纠错码和求解多项式系统或结构化线性系统的应用上。在本文中，我们讨论了最基本的操作：乘法，截断反演，逼近，插值，内核，线性系统求解，行列式和基础减少的实施方面。我们专注于素数字段的字长模，依靠Shoup的C++库NTL。结合这些新工具来实现Villard算法的变体，用于通用二元多项式的结果（ISSAC 2018），我们在大参数方面获得了比现有技术更好的性能。
2019-05-10 cs.SC
Computing greatest common divisor of several parametric univariate polynomials via generalized subresultant polynomials
本文将子结式多项式从两个多项式推广到多个含参数一元多项式，并推广Sylvester与Habicht理论，提出计算参数化gcd的简洁高效算法，显著优于以往方法。
2024-09-06 cs.SC
Revisit Sparse Polynomial Interpolation based on Randomized Kronecker Substitution
本文给出了有限域上多元黑箱多项式的一种新的基于约简的插值算法。该方法基于两个主要成分。给出了一种新的蒙特卡罗方法，将任意环上的黑盒多元多项式插值化为黑盒一元多项式插值。当与各种单变量插值算法相结合时，该约简算法在大多数情况下导致具有更好或相同复杂度的多变量插值算法。我们还提出了一种改进的有限域上的一元Ben-or和Tierki算法，它比Lagrange插值算法具有更好的总复杂度。结合本文的约简方法和改进的一元Ben-or和Tianxi算法，给出了一种Monte Carlo多元插值算法，该算法对于有限域上的黑盒多项式稀疏插值在大多数情况下具有较好的总复杂度.
2018-07-17 cs.SC
Algorithms for Weighted Sums of Squares Decomposition of Non-negative Univariate Polynomials
众所周知，每个非负的一元实多项式都可以写成两个实系数多项式的平方和。当我们允许一个1000平方的加权和而不是两个平方的和时，我们可以选择表示中的所有系数都位于由多项式的系数生成的域中。本文从理论和实际两个方面对计算一元有理系数多项式的加权平方和分解的两种算法进行了描述、分析和比较。第一个算法，由于第三作者依赖于实根隔离，正多项式的二次逼近和无平方分解，但其复杂性没有分析。我们提供位复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法。它们在输入一元多项式的次数上是指数的，在其复杂度的最大位大小上是线性的。这种分析是使用量词消去和根隔离界限得到的。第二种算法，由于Chevillard，Harrison，Joldes和Lauter，依赖于复根隔离和无平方分解，并已被引入用于证明多项式在计算机算术中的积极性。同样，它的复杂性没有得到分析。我们提供比特复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法，这是多项式的输入多项式的程度和线性的最大比特大小的复杂性。这种分析是使用韦达公式和根隔离界。最后，我们报告我们的实现这两个算法。而第二个算法，正如预期的复杂性结果，更有效的例子，我们展示了家庭的非负多项式的第一个算法是更好的。
2017-06-13 cs.SC
Subresultant of several univariate polynomials
本文将两元多项式子结式理论推广到任意多个多项式，给出基于根的定义、系数表达式，并展示其在参数化 GCD 与根重数中的应用。
2023-04-27 cs.SC math.AC math.AG
Accelerated Approximation of the Complex Roots and Factors of a Univariate Polynomial
Pan（1995）和（2002）的算法在近乎最佳的算术和布尔时间内逼近复杂一元多项式的根，但要求计算精度超过多项式的次数。当阶数较大时，这将导致数值稳定性问题。然而，我们观察到，这样的困难消失在算法的初始阶段，在我们目前的论文中，我们扩展到根查找在一个接近最佳的算术和布尔复杂性的界限内，提供了一些温和的初始隔离的根的输入多项式已被确保。此外，我们的算法是接近最佳的近似的根孤立在一个固定的圆盘，广场或其他区域的复平面上，而不是所有的复根的多项式。此外，该算法可以应用于一个由黑盒给出的多项式的评估（即使其系数是未知的）;它承诺是多项式的根查找和因式分解的实用价值，后者的任务本身的利益。我们还提供了一个新的支持缠绕数算法，使我们的进展，以获得温和的初始近似的根。最后，我们总结我们的算法和他们的扩展到孤立的多根和根簇的近似。
2016-11-09 cs.SC
Sparse Polynomial Interpolation with Finitely Many Values for the Coefficients
本文给出了系数来自有限集的黑盒多项式f的新的稀疏插值算法。在单变量的情况下，我们从f（a）的一个评估中恢复f，对于足够大的数a。在多元情况下，我们引入了修改的克罗内克替换，以减少一个多元多项式的插值单变量的情况。这两种算法都具有多项式的比特复杂度。
2017-06-22 cs.SC
Computing Igusa's Local Zeta Functions of Univariate Polynomials, and Linear Feedback Shift Registers
本文给出了一个计算Igusa局部zeta函数$Z(s,f)$的多项式时间算法，该函数附加到一个单变量的多项式$f(x)\in \QTR{Bbb}{Z}[x]$上，该多项式具有分裂域$\QTR{Bbb}{Q}$和一个素数$p$ .基于Igusa局部zeta函数的计算，提出了一类新的线性反馈移位寄存器。
2003-09-26 cs.CR cs.SC
Certifying a probabilistic parallel modular algorithm for rational univariate representation
本文是关于求解多项式方程组的.它首先回顾了如何有效地做到这一点，具有非常高的正确性概率，通过重建一个合理的单变量表示（rur）使用Groebner revlex计算，Berlekamp-Massey算法和汉克尔线性系统并行求解模几个素数。然后介绍了一种对大多数多项式系统有效的rur认证新方法（定理\ref{prop:check}）。这些算法从版本1.7.0-13或1.7.0-17开始在https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/giac.html中实现，用于认证，它在多个CPU上具有领先的性能（2021年7月），至少对于开源软件来说。
2021-08-31 cs.SC
Interpolation by decomposable univariate polynomials
通常的一元插值问题是找到一个首一多项式f的次数为n，内插n个给定的值是很好理解的。本文研究了一个变体，其中f是复合的，比如说，一个复合的两个多项式的次数d和e，分别与de=n，因此d+e-1给定值。一些特殊情况很容易解决，对于一般情况，我们构造了它和一个特殊情况之间的同伦。我们计算的几何解决方案的代数曲线提出这个同伦，这也提供了一个答案的插值任务。计算时间是多项式的几何数据，如次数，这条曲线。结果是，对于几乎所有的输入，存在可分解的插值多项式。
2021-03-29 cs.SC math.AG
Multiplicity Preserving Triangular Set Decomposition of Two Polynomials
本文对两个多项式组提出了一个保重三角集分解算法。该算法将多项式系统定义的簇分解成三角形集合表示的非混合分量，这些分量可能具有负重数。在二元情形下，我们给出了一个完整的算法，将系统分解成多重性保持的正三角集。我们还分析了算法的复杂性在双变量的情况下。我们实现了我们的算法，并通过大量的实验证明了该方法的有效性。
2011-01-19 cs.SC
GPGCD, an Iterative Method for Calculating Approximate GCD, for Multiple Univariate Polynomials
我们提出了我们的GPGCD方法，计算近似最大公因数（GCD）的一元多项式的迭代法，多个多项式输入的扩展。对于给定的一对多项式和一个次数，我们的算法找到一对多项式，它具有给定次数的GCD，并且其系数与原始输入中的系数相比被扰动，使得扰动尽可能小，同时具有GCD。在我们的GPGCD方法中，近似GCD问题转化为一个约束最小化问题，然后用所谓的变形牛顿法，这是一个推广的梯度投影法，通过迭代搜索的解决方案。在本文中，我们扩展我们的方法接受两个以上的多项式的实系数作为输入。
2010-07-12 cs.SC math.AC
Subresultants of Several Univariate Polynomials in Newton Basis
针对多个 Newton 基一元多项式，论文利用友矩阵构造特殊矩阵并推广行列式多项式，给出保持 Newton 基的子结式公式，并用于基保持的 gcd 计算。
2024-09-10 cs.SC math.AC
Criteria for Finite Difference Groebner Bases of Normal Binomial Difference Ideals
本文给出了一元差分多项式环F{y}中正规二项差分多项式理想具有有限差分Groebner基的判定准则，以及在满足这些判定准则时计算有限差分Groebner基的算法.这些准则的新颖之处在于将差多项式理想的复杂性质归结为Z[x]中一元多项式的基本性质。
2017-01-23 cs.SC
The GPGCD Algorithm with the Bézout Matrix for Multiple Univariate Polynomials
我们提出了一个修改的GPGCD算法，这已经在我们以前的研究中，计算近似最大公因数（GCD）的两个以上的一元多项式与实系数和一个给定的次数。在将近似GCD问题转化为约束最小化问题时，与原多重多项式的GPGCD算法使用Sylvester子结式矩阵不同，该算法使用Bézout矩阵.实验结果表明，该算法比原来的GPGCD算法更有效的多个多项式保持几乎相同的精度，在大多数情况下。
2022-05-06 cs.NA cs.SC math.AC
Parametric "Non-nested" Discriminants for Multiplicities of Univariate Polynomials
针对一元多项式复根重数分类问题，本文提出一种不依赖重复参数化 gcd 的新型非嵌套判别式，相较传统嵌套行列式结构更简单且最大次数更低。
2023-04-22 cs.SC math.AC
GPGCD, an Iterative Method for Calculating Approximate GCD of Univariate Polynomials, with the Complex Coefficients
本文将计算一元多项式的近似最大公因数的迭代法GPGCD推广到复系数多项式。对于给定的一对多项式和一个次数，我们的算法找到一对多项式，它具有给定次数的GCD，并且其系数与原始输入中的系数相比被扰动，使得扰动尽可能小，同时具有GCD。在GPGCD方法中，近似GCD问题转化为一个约束极小化问题，然后用一个所谓的变形牛顿法求解，该方法是梯度投影法的推广，通过迭代搜索解。而我们原来的方法是设计的多项式与实系数，我们将其扩展到接受多项式与复系数在本文中。
2010-07-12 cs.SC math.AC
A Generic Position Based Method for Real Root Isolation of Zero-Dimensional Polynomial Systems
本文改进了零维二元多项式系统实根分离的局部一般位置法，并将其推广到一般的零维多项式系统.该方法主要涉及一元多项式方程的结式计算和实根分离。系统的根具有线性单变量表示。对于双变量情况，该方法的复杂度为$\tilde{O}_B(N^{10})$，其中分别为$N=\max(d,τ)$、$d$，$τ$分别是输入多项式的最大系数位大小。该算法在多变量情况下的概率为1。实验结果表明，该方法是有效的，特别是对于二元多项式系统。
2013-12-02 cs.SC
Roots multiplicity without companion matrices
给出了一种不使用伴随矩阵的多项式插值方法。这导致修改Guersenzvaig-Szechtman无平方分解算法，在理论和实践中更有效。
2017-03-17 cs.SC
Exact SOHS decompositions of trigonometric univariate polynomials with Gaussian coefficients
针对高斯整数系数一元三角多项式的正定性验证需求，提出三种混合数值-符号SOHS精确分解算法，证明其多项式复杂度，并通过基准测试和FIR滤波器设计验证了性能。
2023-10-04 cs.SC math.OC
Univariate polynomial real root isolation: Continued Fractions revisited
我们提出的算法，复杂性和实施结果有关的实根隔离的整数一元多项式使用连续分数扩展的实代数数。一个动机是解释该方法在实践中的良好性能。我们通过$d τ$的因子改进了以前已知的约束，其中$d$是多项式次数，$τ$约束系数位大小，从而通过精确的方法匹配当前记录的复杂度。也就是说，复杂性界限是$\sOB(d^4 τ^2)$，使用连分数扩展中整数的预期位大小的标准界限。我们展示了如何计算相同的复杂度内的多重性，并将该算法扩展到非平方自由多项式。最后，我们提出了一个有效的开源\texttt{C++}实现的代数库\synaps，并说明其效率相比，其他可用的软件。我们使用多项式系数bitsize高达8000和次数高达1000。
2006-04-17 cs.CC cs.MS cs.SC
GPGCD: An iterative method for calculating approximate GCD of univariate polynomials
给出了一种计算实系数或复系数一元多项式的近似最大公因数的迭代算法。对于给定的一对多项式和一个次数，我们的算法找到一对多项式，它具有给定次数的GCD，并且其系数与原始输入中的系数相比被扰动，使得扰动尽可能小，同时具有GCD。将近似GCD问题转化为一个约束极小化问题，然后用变形牛顿法迭代求解，该方法是梯度投影法的推广.我们证明，在一些测试情况下，我们的算法计算近似GCD的扰动一样小的结构总最小范数（STLN）方法和UVGCD方法的基础上计算的方法，而我们的方法运行速度显着比他们的约高达30或10倍，分别与他们的实施相比。我们还表明，我们的算法适当地处理一些病态多项式，其中有一个小或大的首项系数的GCD。
2016-05-11 cs.SC math.AC
Sparse Univariate Polynomials with Many Roots Over Finite Fields
假设$q$是一个素数幂，$f\in\mathbb{F}_q[x]$是一个一元多项式，它的单式项和次数都是$<q-1$。为了建立笛卡尔规则的有限域模拟，Bi，Cheng和Rojas（2013）证明了$2(q-1)^{\frac{t-2}{t-1}}$在$\mathbb{F}^*_q$中覆盖$f$根所需的$\mathbb{F}^*_q$陪集数量上的上界。在这里，我们给出了显式$f$的根结构接近这个界限：对于$q$的一个素数的$(t-1)$ -st功率，我们给出了一个显式$t$ -nomial消失$q^{\frac{t-2}{t-1}}$不同陪集的$\mathbb{F}^*_q$。在素域$\mathbb{F}_p$上，我们提供的计算数据表明，构造具有多个根的显式稀疏多项式是困难的。然而，假设广义黎曼假设，我们发现显式三项式有$Ω\left(\frac{\log p}{\log \log p}\right)$不同的根在$\mathbb{F}_p$。
2016-07-06 cs.SC math.NT
Multiplication of sparse Laurent polynomials and Poisson series on modern hardware architectures
在本文中，我们提出了两个算法的乘法稀疏洛朗多项式和泊松级数（后者是代数结构中常见的天体力学从应用微扰理论）。这两种算法都是先利用Kronecker代换技术将多元乘法化简为一元乘法，然后再利用教科书方法进行一元乘法运算。第一种算法，适合于适度稀疏乘法，使用从单变量乘法产生的单项式的指数作为系数的一维查找阵列中的平凡散列值。第二种算法适用于高度稀疏乘法，使用缓存优化的哈希表，该哈希表存储从使用指数作为键的乘法产生的系数-指数对。这两种算法已经实现了注意现代计算机硬件架构。特别关注的是，通过高速缓存阻塞技术和高速缓存友好的术语排序，有效地利用当代存储层次结构。第一种算法已经被并行化用于共享内存多核架构，而第二种算法正在被并行化的过程中。我们提出的基准比较我们的算法的例程的其他计算机代数系统，无论是在顺序和并行模式。
2010-04-26 cs.SC
Lexicographic Groebner bases of bivariate polynomials modulo a univariate one
设T（x）在k[x]中是一个单调的非常数多项式，记R=k[x] /（T）为商环.考虑R[y]中的两个二元多项式a（x，y），b（x，y）。在第一部分中，T = p^e被假定为是一个不可约多项式p的幂。一个新的算法，计算理想（a，b，p^e）的最小字典Groebner基，介绍。第二部分扩展此算法时，T是一般的通过“本地/全球”的原则实现的“动态评价”的泛化，限制到目前为止，多项式T是squarefree。该算法根据“可逆/幂零”的情况区分产生分裂，扩展了经典动态求值中通常的“可逆/零”。该算法属于欧几里德族，其核心是a和b模T的子结式序列。特别是没有因式分解或Groebner基础计算是必要的。理论背景依赖于Lazard的结构定理的字典Groebner基地在两个变量。在Magma中实现了一个实现。基准测试清楚地显示了这种方法与Groebner方法相比的好处，有时是重要的。
2021-09-29 cs.SC math.AC
A new algorithm for computing $μ$-bases of the univariate polynomial vector
本文刻划了Groebner基与u-基之间的关系：n元多项式的合合模关于项-位置单项式阶的任何极小Groebner基都是它的u-基。此外，基于gcd计算，我们用递归的方法构造了syzygy模的一个自由基。根据这种关系和所构造的自由基，给出了计算合合模u-基的一种新算法。在合理的假设下，算法的理论复杂度为O（n^3d^2），其中d是输入n个多项式的最大次数。我们已经在Maple中实现了该算法（MinGb）。实验数据以及与Song和Goldman（2009）开发的现有算法（SG算法）和Hong等人（2017）开发的现有算法（HHK算法）的性能比较表明，当n和d足够大时，MinGb算法比SG算法更高效，而MinGb算法和HHK算法都有各自的优势。
2020-12-30 cs.SC math.AG
A complexity chasm for solving univariate sparse polynomial equations over $p$-adic fields
我们揭示了一个复杂的鸿沟，分离三项式和四项式的情况下，解决单变量稀疏多项式方程在某些局部领域。首先，对任意固定域$K\in\{\mathbb{Q}_2,\mathbb{Q}_3,\mathbb{Q}_5,\ldots\}$，证明了在经典图灵模型中，任意多项式$f\in\mathbb{Z}[x]$，只要$3$单项式项、次数$d$和系数的绝对值不超过$H$，都可以在确定时间$O(\log^{O(1)}(dH))$内在$K$上求解. (The最好的先前算法在$\log d$中是复杂性指数的，甚至对于仅在$\mathbb{Q}_p$中计数根。特别地，我们的算法生成$\mathbb{Q}$中的近似值，其比特长度为$O(\log^{O(1)}(dH))$到$K$中的$f$的所有根，并且这些近似值在牛顿迭代下二次收敛。另一方面，我们给出了一个统一的四项式族，需要$Ω(d\log H)$数字来区分其根在$K$中的基$p$扩展。
2021-06-06 cs.CC cs.SC math.NT
Computing Igusa's local zeta function of univariates in deterministic polynomial-time
Igusa的局部zeta函数$Z_{f,p}(s)$是计算所有$k$的$f(\mathbf x) \bmod p^k$的整数根$N_{k}(f)$的生成函数。在解析数论中，$Z_{f,p}$是$\mathbb{Q}(p^s)$中的有理函数是一个著名的结果。本文对一元多项式$f$给出了这一事实的初等证明。我们的证明是建设性的，因为它给出了一个封闭形式的表达根数$N_{k}(f)$。我们的证明，当与最近的根计数算法（Dwivedi，Mittal，Saxena，CCC，2019）相结合时，产生了第一个确定性多（$|f|, \log p$）时间算法来计算$Z_{f,p}(s)$。以前，算法仅在$f$在$\mathbb{Q}_p$上完全分裂的情况下是已知的;它需要有理根以使用树的生成函数的概念（Zúñiga-Galindo，J.Int.Seq.，2003年）。
2020-06-16 cs.CC cs.DS cs.SC
Multivariate sparse interpolation using randomized Kronecker substitutions
我们提出了新的技术减少一个多元稀疏多项式的一元多项式。这种简化的工作原理类似于经典的和广泛使用的克罗内克替换，除了我们根据多元多项式中非零项的数量随机选择度数，即它的稀疏性。由此产生的一元多项式通常具有比克罗内克替代多项式低得多的次数，代价是少量的项冲突。作为一个应用，我们给出了一个新的多元插值算法，它使用这些新技术以及任何现有的单变量插值算法。
2014-05-02 cs.DS cs.MS cs.SC
Zero Decomposition with Multiplicity of Zero-Dimensional Polynomial Systems
本文给出了一个零分解定理和一个基于吴方法的零分解算法，该算法对给定的零维多项式系统计算具有重数的零分解。当系统满足一定条件时，其零点分解是三角形的。
2010-11-07 cs.LO cs.SC math.AG
Real Solution Isolation with Multiplicity of Zero-Dimensional Triangular Systems
现有的零维多项式系统的实解分离算法不计算解的重数。本文用自然的方法定义了零维三角多项式组解的重数，并证明了我们的定义与经典的局部（交）重数的定义是等价的.然后，我们提出了一个有效的和完整的算法，隔离实解的多重零维三角多项式系统使用我们的定义。该算法基于实代数系数多项式的区间算术和无平方因子分解。文中给出了文献中一些算例的计算结果。
2009-06-17 cs.MS cs.SC
Algorithm for computing $μ$-bases of univariate polynomials
本文给出了计算任意域$\mathbb{K}$上单变量$n$多项式的合冲模的$μ$ -基的一个新算法。该算法在概念上不同于Cox、Sederberg、Chen、Zheng和Wang为$n=3$开发的算法，以及Song和Goldman为任意$n$开发的算法。它涉及计算$\mathbb{K}$上的$ (2d+1)\times n(d+1)$矩阵的“部分”简化行梯队形式，其中$d$是输入多项式的最大次数。该算法的证明是基于标准的线性代数，是完全独立的。它包括一个存在的$μ$ -基础的证明，并作为一个结果提供了一个替代的证明的免费的syzygy模块。该算法的理论（最坏情况渐近）计算复杂性为$O(d^2n+d^3+n^2)$。我们已经实现了这个算法（HHK）和宋和高盛（SG）开发的一个。对随机输入的实验表明，当$d$对于固定的$n$变得足够大时，SG比HHK快，并且当$n$对于固定的$d$变得足够大时，HHK比SG快。
2017-03-08 cs.SC math.AC math.AG
Explicit factors of some iterated resultants and discriminants
本文分析了将一元结式迭代构造法应用于多元多项式的结果。我们认为输入多项式作为一个给定的程度的通用多项式，并表现出明确的分解成不可约因素的几个建设涉及两次迭代的单变量结果和判别式的整数通用环的系数的条目多项式。涉及从两个到四个通用多项式和结果或判别式在其变量之一的情况下进行处理。利用一元结式和判别式的基本性质以及对多项式次数的归纳，得到了不可约因子的分解。因此，每一个不可约因子都可以根据某个多元结果来单独和显式地计算。用这种方法，我们也得到了直接推论柯林斯和麦卡勒姆的一些结果，对应于多项式的情况下，其系数本身是通用的多项式在其他变量。最后给出了一个多项式迭代判别式的代数因式分解的几何解释。
2007-10-15 cs.SC math.AC math.AG
Computations with one and two real algebraic numbers
我们目前的算法和复杂性的计算结果与一个和两个真正的代数数，以及真正的解决一元多项式和二元多项式系统的整数系数使用Sturm-Habicht序列。我们的主要结果，在单变量的情况下，关注的问题，真正的根隔离（Th。19)和联立不等式（Cor.26）以及二元系统的实解问题（Th.42）、符号估计问题（Th. 37)同时不等式（Cor。43）。
2005-12-18 cs.MS cs.SC
Counting Roots of Polynomials Over Prime Power Rings
假设$p$是素数，$t$是正整数，而$f\!\in\!\mathbb{Z}[x]$是一个一元多项式的次数$d$与系数的绝对值$<\!p^t$。我们证明了对于任何固定的$t$，我们可以在确定的时间$(d+\log p)^{O(1)}$中计算$f$的$\mathbb{Z}/(p^t)$中的根的数目。这种固定参数的易处理性似乎是$t\!\geq\!3$的新特性。算术几何的结果是，我们可以有效地计算Igusa zeta函数$Z$，对于一元多项式，假设$Z$的次数是固定的。
2017-11-03 cs.CC cs.SC math.NT
Gröbner Bases for Linearized Polynomials
在这项工作中，我们发展理论的格罗布纳基的模环上的一元线性多项式的系数从有限域。
2014-06-18 cs.IT cs.SC math.IT
New data structure for univariate polynomial approximation and applications to root isolation, numerical multipoint evaluation, and other problems
我们提出了一种新的数据结构，以近似准确和有效的多项式$f$度$d$作为一个列表的系数。它的属性，使我们能够提高国家的最先进的边界上的位复杂性的根隔离和近似多点评估的问题。该数据结构还导致了检测病态多项式的新的几何准则，这意味着多项式的零点的标准条件数在小于$1/2$或大于$2$的模的根的数目中至少是指数的。给定次数为$d$的多项式$f$，其中$\|f\|_1 \leq 2^τ$用于$τ\geq 1$，隔离其所有复数根或在$d$点处对其求值可以用准线性数量的算术运算来完成。然而，考虑到比特复杂度，即使对于条件良好的多项式并且当所需的精度较低时，现有技术的算法也至少需要$d^{3/2}$比特操作。给定一个正整数$m$，我们可以计算我们的新数据结构，并在单位磁盘中的$d$点处评估$f$，其绝对误差小于$\widetilde O(d(τ+m))$位操作中的$2^{-m}$，其中$\widetilde O(\cdot)$意味着我们省略对数因子。如果$κ$是$f$的零的绝对条件数，则可以在$\widetilde O(d(τ+ \log κ))$位运算中分离出$f$的所有根.此外，我们的算法是简单的实现。为了逼近多项式的复数根，我们在\verb中实现了一个小的原型|Python/NumPy|对于具有随机系数的高次多项式，这比最先进的求解器\verb /MPSolve/快一个数量级。
2021-11-29 cs.NA cs.SC math.NA
Univariate real root isolation in an extension field
我们提出的算法，复杂性和实现结果的问题隔离的一元多项式的实根在$B_α \in L[y]$，其中$L=\QQ(α)$是一个简单的代数扩展的有理数。我们考虑两种方法来解决这个问题。在第一种方法中，使用结果计算，我们执行一个减少到一个多项式的整数系数。我们计算的根的分离界限，并使用它们，我们推断，我们可以隔离在$\sOB(N^{10})$，其中$N$是上界的输入多项式的所有数量（次数和位大小）的$B_α$的实根。在第二种方法中，我们隔离了直接作用于输入多项式的实根。我们计算改进的分离界的真正的根，我们证明他们是最佳的，在温和的假设。为了隔离的根，我们考虑修改的Sturm算法，和Sagraloff介绍的\func{descartes}算法的修改版本。对于前者，我们证明了$\sOB(N^8)$的复杂性界，对于后者，我们证明了$\sOB(N^{7})$的复杂性界.我们实现的算法在\func{C}的核心库的\mathematica的一部分，我们说明了他们的效率在各种数据集。最后，我们提出的复杂性结果的第一种方法，其中系数属于多个扩展的一般情况下。
2011-05-09 cs.MS cs.NA cs.SC
