From Approximate Factorization to Root Isolation with Application to Cylindrical Algebraic Decomposition
我们提出了一种算法，用于隔离的根的任意复杂的多项式$p$，也适用于多项式的多个根的不同的根的数量$k$作为输入的一部分。它输出$k$成对不相交的磁盘，每个磁盘包含$p$的不同根之一及其多重性。该算法使用近似因式分解作为子程序。此外，我们应用新的根隔离算法最近的算法计算的拓扑结构的一个真正的平面代数曲线指定为零集的二元整数多项式和隔离的二元多项式系统的真正的解决方案。对于输入多项式的次数$n$和位大小$τ$，我们提高了目前最好的运行时间从$\tO(n^{9}τ+n^{8}τ^{2})$（确定性）的$\tO(n^{6}+n^{5}τ)$（随机）的拓扑计算和从$\tO(n^{8}+n^{7}τ)$（确定性）的$\tO(n^{6}+n^{5}τ)$（随机）解决二元系统。
2014-01-23 cs.SC
Improved complexity bounds for real root isolation using Continued Fractions
我们考虑的问题，隔离的平方与整数系数的多项式的实根使用（变种）的连分式算法（CF）。本文介绍了一种计算一元多项式正实根下界的新方法。这使我们能够导出$\sOB(d^6 + d^4τ^2 + d^3τ^2)$的最坏情况界限，用于使用CF的经典变体\cite{Akritas:implementation}隔离具有整数系数的多项式的实根，其中$d$是多项式的次数，$τ$是其系数的最大位大小。这将Sharma \cite{sharma-tcs-2008}的上界提高了一个因子$d^3$，并与Mehlhorn和Ray \cite{mr-jsc-2009}为CF的另一个变体推导的上界相匹配;它还与基于细分的求解器的最差情况下的上界相匹配。
2011-06-07 cs.SC
Sparse Univariate Polynomials with Many Roots Over Finite Fields
假设$q$是一个素数幂，$f\in\mathbb{F}_q[x]$是一个一元多项式，它的单式项和次数都是$<q-1$。为了建立笛卡尔规则的有限域模拟，Bi，Cheng和Rojas（2013）证明了$2(q-1)^{\frac{t-2}{t-1}}$在$\mathbb{F}^*_q$中覆盖$f$根所需的$\mathbb{F}^*_q$陪集数量上的上界。在这里，我们给出了显式$f$的根结构接近这个界限：对于$q$的一个素数的$(t-1)$ -st功率，我们给出了一个显式$t$ -nomial消失$q^{\frac{t-2}{t-1}}$不同陪集的$\mathbb{F}^*_q$。在素域$\mathbb{F}_p$上，我们提供的计算数据表明，构造具有多个根的显式稀疏多项式是困难的。然而，假设广义黎曼假设，我们发现显式三项式有$Ω\left(\frac{\log p}{\log \log p}\right)$不同的根在$\mathbb{F}_p$。
2016-07-06 cs.SC math.NT
Univariate real root isolation in an extension field
我们提出的算法，复杂性和实现结果的问题隔离的一元多项式的实根在$B_α \in L[y]$，其中$L=\QQ(α)$是一个简单的代数扩展的有理数。我们考虑两种方法来解决这个问题。在第一种方法中，使用结果计算，我们执行一个减少到一个多项式的整数系数。我们计算的根的分离界限，并使用它们，我们推断，我们可以隔离在$\sOB(N^{10})$，其中$N$是上界的输入多项式的所有数量（次数和位大小）的$B_α$的实根。在第二种方法中，我们隔离了直接作用于输入多项式的实根。我们计算改进的分离界的真正的根，我们证明他们是最佳的，在温和的假设。为了隔离的根，我们考虑修改的Sturm算法，和Sagraloff介绍的\func{descartes}算法的修改版本。对于前者，我们证明了$\sOB(N^8)$的复杂性界，对于后者，我们证明了$\sOB(N^{7})$的复杂性界.我们实现的算法在\func{C}的核心库的\mathematica的一部分，我们说明了他们的效率在各种数据集。最后，我们提出的复杂性结果的第一种方法，其中系数属于多个扩展的一般情况下。
2011-05-09 cs.MS cs.NA cs.SC
A Condition for Multiplicity Structure of Univariate Polynomials
我们考虑的问题，找到一个条件的一元多项式具有给定的多重性结构时，不同的根的数量是给定的。众所周知，通过使用重复的参数gcd，这样的条件可以写成几个多项式方程和系数中的一个不等式的合取。在本文中，我们给出了一个新的条件，它不是基于重复的gcd。此外，还证明了该条件下多项式的个数是最优的，且多项式的次数比以前基于重复gcd的条件下的次数小。
2020-08-01 cs.SC
Improved complexity bounds for real root isolation using Continued Fractions
我们考虑的问题，隔离的平方与整数系数的多项式的实根使用（变种）的连分式算法（CF）。本文介绍了一种计算一元多项式正实根下界的新方法。这使我们能够推导出一个最坏情况下的界限$\sOB(d^6 + d^4τ^2 + d^3τ^2)$隔离的实根多项式的整数系数使用经典的CF的变体，其中$d$是多项式的次数和$τ$的最大位大小的系数。这将Sharma \cite{sharma-tcs-2008}之前的边界改进了一个因子$d^3$，并与Mehlhorn和Ray \cite{mr-jsc-2009}为CF的另一个变体推导的边界相匹配;它还与基于细分的求解器的最差情况边界相匹配。我们提出了一个新的变种CF，我们称之为iCF，隔离的实根的多项式与整数系数在$\sOB(d^5+d^4τ)$，从而提高了目前已知的约束问题的一个因素$d$。如果多项式只有实根，那么我们的界限就变成了$\sOB(d^4+d^3τ+ d^2τ^2)$，从而与Reif \cite{r-focs-1993}和Ben-Or和Tiwari \cite{bt-joc-1990}的数值算法的界限相匹配。实际上，后一个界限在更一般的设置中成立，即在相当温和的假设下，即$Ω(d/\lg^c{d})$，其中$c\geq 0$是常数，根有助于多项式的系数列表的符号变化。这是唯一的约束精确算法，匹配的数值算法之一，潘\cite{Pan02jsc}…
2011-04-26 cs.SC
logcf: An Efficient Tool for Real Root Isolation
本文重新讨论了一个基于连分式的一元多项式实根分离算法。它遵循了文森特，乌斯本斯基，柯林斯和阿克里塔斯，约翰逊和克兰迪克的工作。我们使用了一些技巧，特别是一个新的算法来计算正根的上界。从而改进了孤立实根的算法。我们的方法计算正根的上界的复杂性是O（nlog（u+1）），其中u是满足定理3的最佳上界，n是多项式的次数。我们的方法已经实现为一个软件包logcf使用C++语言。对于许多基准测试，logcf比Mathematica的RootIntervals函数快两到三倍。它比另一个基于连续分数的软件CF快得多，CF似乎是最快的开放软件之一，可以实现精确的真正的根隔离。对于那些只有实根的基准测试，logcf比基于数值计算的Sleeve和eigensolve快得多。
2012-09-17 cs.SC math.AG
Applications of Continuous Amortization to Bisection-based Root Isolation
连续摊销是一种计算算法复杂度的技术，它首先由作者Burr，Krahmer，& Yap（2009）提出。连续摊销可以导致更简单，更直接的复杂性分析，它被用于Burr，Krahmer，& Yap（2009），Burr & Krahmer（2012）和Sharma & Yap（2012），为简单的根隔离算法提供复杂性界限。本文极大地扩展了连续摊销的范围，作为一个总体技术，可以用来计算复杂性的许多根隔离技术在一个简单的方式。此外，连续摊销的技术扩展到更高的维度和算法的位复杂度的计算。在本文中，六个连续摊销计算计算复杂性界限（无论是在细分树的大小或位复杂性）的几个算法（包括算法的基础上斯特姆序列，笛卡尔的符号规则，多项式评估）;在每种情况下，连续摊销实现最佳的复杂性界限。
2013-09-23 cs.DS cs.SC
Continued Fraction Expansion of Real Roots of Polynomial Systems
本文提出了一种新的算法，用于隔离多元多项式系统的实根，在单项式基础上。它的灵感来自于现有的细分方法在伯恩斯坦基础;它可以被看作是推广的单变量连分式算法或替代作为一个完全模拟伯恩斯坦细分在单项基础。细分域的表示是通过单应性完成的，这使得我们可以只使用整数运算，并有效地处理无界区域。我们使用单变量边界函数，投影和预处理技术，以减少搜索的域。由此产生的框具有优化的有理坐标，对应于实根的连分式展开的第一项。文生定理的多元多项式的一个扩展被证明和用于终止的算法。新的复杂性界限提供了一个简化版本的算法。初步的C++实现计算的例子说明了这种方法。
2010-11-11 cs.SC
Root isolation for analytic functions using cubic hermite interpolation
G.A.A.T.I. Université de la Polynésie Française（法属波利尼西亚大学 G.A.A.T.I.）
提出一种基于三次Hermite插值启发式测试的解析函数根隔离算法，结合区间细分，虽无严格认证，但实验表明高效且几乎总是正确。
2026-10-05 cs.NA cs.SC math.NA
Subresultant of several univariate polynomials
本文将两元多项式子结式理论推广到任意多个多项式，给出基于根的定义、系数表达式，并展示其在参数化 GCD 与根重数中的应用。
2023-04-27 cs.SC math.AC math.AG
New data structure for univariate polynomial approximation and applications to root isolation, numerical multipoint evaluation, and other problems
我们提出了一种新的数据结构，以近似准确和有效的多项式$f$度$d$作为一个列表的系数。它的属性，使我们能够提高国家的最先进的边界上的位复杂性的根隔离和近似多点评估的问题。该数据结构还导致了检测病态多项式的新的几何准则，这意味着多项式的零点的标准条件数在小于$1/2$或大于$2$的模的根的数目中至少是指数的。给定次数为$d$的多项式$f$，其中$\|f\|_1 \leq 2^τ$用于$τ\geq 1$，隔离其所有复数根或在$d$点处对其求值可以用准线性数量的算术运算来完成。然而，考虑到比特复杂度，即使对于条件良好的多项式并且当所需的精度较低时，现有技术的算法也至少需要$d^{3/2}$比特操作。给定一个正整数$m$，我们可以计算我们的新数据结构，并在单位磁盘中的$d$点处评估$f$，其绝对误差小于$\widetilde O(d(τ+m))$位操作中的$2^{-m}$，其中$\widetilde O(\cdot)$意味着我们省略对数因子。如果$κ$是$f$的零的绝对条件数，则可以在$\widetilde O(d(τ+ \log κ))$位运算中分离出$f$的所有根.此外，我们的算法是简单的实现。为了逼近多项式的复数根，我们在\verb中实现了一个小的原型|Python/NumPy|对于具有随机系数的高次多项式，这比最先进的求解器\verb /MPSolve/快一个数量级。
2021-11-29 cs.NA cs.SC math.NA
Real Polynomial Root-finding by Means of Matrix and Polynomial Iterations
一元多项式求根是一个经典的课题，对现代计算仍然很重要。人们常常只求实系数多项式的实根。如果多项式没有非实根，它们可以以低计算成本近似，但对于高次多项式，非实根通常比实根多得多。这一挑战早已为人所知，人们也对这一问题进行了深入研究。尽管如此，我们产生了一些新的想法和技术，并获得显着的加速已知的算法。为了实现我们的进步，我们利用矩阵和多项式，随机矩阵计算，和复杂的平面几何的计算之间的相关性，扩展矩阵符号迭代的技术，并使用输入多项式的伴随矩阵的结构。我们用基准多项式和随机矩阵进行的广泛测试的结果是相当令人鼓舞的。特别是在我们的测试中，我们的算法收敛所需的迭代次数增长非常缓慢（如果有的话），因为我们将单变量输入多项式的次数和输入矩阵的维数从64增加到1024。
2017-04-13 cs.SC
Numerical method for real root isolation of semi-algebraic system and its applications
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Chinese Academy of Science（中国科学院）
基于同伦连续法和区间牛顿法，提出一种高效算法用于隔离半代数系统的实根，相比传统符号方法大幅降低计算成本。
2013-03-22 cs.NA cs.SC math.NA
On Isolating Roots in a Multiple Field Extension
本文研究系数位于有理数多重代数扩张中的一元多项式根隔离，给出聚合界、算法及位复杂度，并通过经认证的数值预处理处理重根情形。
2023-06-07 cs.SC
Computing Igusa's local zeta function of univariates in deterministic polynomial-time
Igusa的局部zeta函数$Z_{f,p}(s)$是计算所有$k$的$f(\mathbf x) \bmod p^k$的整数根$N_{k}(f)$的生成函数。在解析数论中，$Z_{f,p}$是$\mathbb{Q}(p^s)$中的有理函数是一个著名的结果。本文对一元多项式$f$给出了这一事实的初等证明。我们的证明是建设性的，因为它给出了一个封闭形式的表达根数$N_{k}(f)$。我们的证明，当与最近的根计数算法（Dwivedi，Mittal，Saxena，CCC，2019）相结合时，产生了第一个确定性多（$|f|, \log p$）时间算法来计算$Z_{f,p}(s)$。以前，算法仅在$f$在$\mathbb{Q}_p$上完全分裂的情况下是已知的;它需要有理根以使用树的生成函数的概念（Zúñiga-Galindo，J.Int.Seq.，2003年）。
2020-06-16 cs.CC cs.DS cs.SC
Computations with one and two real algebraic numbers
我们目前的算法和复杂性的计算结果与一个和两个真正的代数数，以及真正的解决一元多项式和二元多项式系统的整数系数使用Sturm-Habicht序列。我们的主要结果，在单变量的情况下，关注的问题，真正的根隔离（Th。19)和联立不等式（Cor.26）以及二元系统的实解问题（Th.42）、符号估计问题（Th. 37)同时不等式（Cor。43）。
2005-12-18 cs.MS cs.SC
Parametric "Non-nested" Discriminants for Multiplicities of Univariate Polynomials
针对一元多项式复根重数分类问题，本文提出一种不依赖重复参数化 gcd 的新型非嵌套判别式，相较传统嵌套行列式结构更简单且最大次数更低。
2023-04-22 cs.SC math.AC
Deflation and Certified Isolation of Singular Zeros of Polynomial Systems
我们开发了一个新的符号数字算法的奇异孤立点的认证，使用其相关的本地环结构和认证的数值计算。提出了一种改进的求解逆系统的方法，避免了冗余计算，减少了求解中间线性系统的规模。我们得到一个一步放气技术，从描述的多重结构的差异。收缩系统可用于牛顿迭代格式，具有二次收敛性。从一个多项式系统和一个足够小的邻域出发，应用一个精心选择的符号扰动，我们得到了一个准则的存在性和唯一性的奇异根的一个给定的多重结构。标准验证方法，例如利用区间算术和不动点定理证明了存在唯一的具有奇异根的扰动系统。拓扑度计算和隐曲线实分支分析的应用说明了该方法。
2011-01-17 cs.SC
A complexity chasm for solving univariate sparse polynomial equations over $p$-adic fields
我们揭示了一个复杂的鸿沟，分离三项式和四项式的情况下，解决单变量稀疏多项式方程在某些局部领域。首先，对任意固定域$K\in\{\mathbb{Q}_2,\mathbb{Q}_3,\mathbb{Q}_5,\ldots\}$，证明了在经典图灵模型中，任意多项式$f\in\mathbb{Z}[x]$，只要$3$单项式项、次数$d$和系数的绝对值不超过$H$，都可以在确定时间$O(\log^{O(1)}(dH))$内在$K$上求解. (The最好的先前算法在$\log d$中是复杂性指数的，甚至对于仅在$\mathbb{Q}_p$中计数根。特别地，我们的算法生成$\mathbb{Q}$中的近似值，其比特长度为$O(\log^{O(1)}(dH))$到$K$中的$f$的所有根，并且这些近似值在牛顿迭代下二次收敛。另一方面，我们给出了一个统一的四项式族，需要$Ω(d\log H)$数字来区分其根在$K$中的基$p$扩展。
2021-06-06 cs.CC cs.SC math.NT
Accelerated Subdivision for Clustering Roots of Polynomials given by Evaluation Oracles
在我们寻求的设计，分析和实现的细分算法，找到复杂的根源，一元多项式的神谕，他们的评价，我们提出了子算法，允许大幅加速细分复杂的根源聚类这样的多项式。我们依赖于柯西和近似的权力总和的根源在一个固定的复杂的磁盘，可以计算在一个小数目的评价-polylogarithmic的程度。我们描述了根排除，根计数，根半径近似和一个程序，用于收缩盘向集群的根它包含，称为$\varepsilon$压缩。为了证明我们的算法的效率，我们将它们结合在一个原型根聚类算法。对于计算集群的根的多项式，可以快速评估，我们的实现竞争优势与用户的选择根查找，MPsolve。
2022-06-17 cs.SC
Near Optimal Subdivision Algorithms for Real Root Isolation
Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）；TU Hamburg（汉堡工业大学）
本文提出改进细分算法实根隔离运行时间的方法，通过Ostrowski结果检测根簇并利用牛顿迭代收敛，结合细分递归实现，提供更高效的算法分析。
2015-01-30 cs.NA cs.SC math.NA
Counting Roots of Polynomials Over Prime Power Rings
假设$p$是素数，$t$是正整数，而$f\!\in\!\mathbb{Z}[x]$是一个一元多项式的次数$d$与系数的绝对值$<\!p^t$。我们证明了对于任何固定的$t$，我们可以在确定的时间$(d+\log p)^{O(1)}$中计算$f$的$\mathbb{Z}/(p^t)$中的根的数目。这种固定参数的易处理性似乎是$t\!\geq\!3$的新特性。算术几何的结果是，我们可以有效地计算Igusa zeta函数$Z$，对于一元多项式，假设$Z$的次数是固定的。
2017-11-03 cs.CC cs.SC math.NT
Beyond Worst-Case Analysis for Root Isolation Algorithms
一元多项式实根的分离是符号计算中的一个基本问题，也是计算数学中最重要的问题之一。这个问题有着悠久的历史，装饰着许多巧妙的算法，并成为一个活跃的研究领域。然而，最坏情况下的寻根算法的分析并不相关的实际性能。我们开发了一个平滑的分析框架多项式与整数系数之间的差距，复杂性估计和实际性能。在此设置中，我们推导出DESCARTES求解器隔离多项式的实根的预期位复杂度，其中系数均匀分布，为$\widetilde{\mathcal{O}}_B(d^2 + d τ)$，其中$d$是多项式的次数，$τ$是系数的位大小。
2022-06-23 cs.CC cs.SC math.AG
On mu-Symmetric Polynomials
本文研究一元多项式的根的函数，其中根具有给定的重数结构$μ$。传统上，根函数的研究通过对称多项式的理论，我们将这一理论推广到$μ$ -对称多项式。我们的动机来自Becker等人的一个猜想。（ISSAC 2016）关于$μ$ -特定根函数$D^+(μ)$的对称性，称为D+。为了研究这个猜想，人们希望有快速的算法来检查一个给定的根函数是否是$μ$对称的。我们设计了三个这样的算法：一个基于格罗布纳基，另一个基于预处理和约简，第三个基于求解线性方程组。我们在Maple中实现了它们，实验表明后两种算法的速度明显快于第一种算法。
2020-01-21 cs.SC
SqFreeEVAL: An (almost) optimal real-root isolation algorithm
设f是一元实系数多项式，f在R[X]中.基于代数技术的细分算法（例如，Sturm或Descartes方法）被广泛用于隔离给定区间内f的实根。在本文中，我们考虑一个简单的细分算法，其基元是纯数值的（例如，功能评估）。该算法的复杂度是自适应的，因为该算法基于本地数据进行决策。自适应算法（特别是自适应算法）的复杂性分析是计算机科学面临的新挑战。在本文中，我们计算的尺寸的细分树的SqFreeEVAL算法。SqFreeEVAL算法是一种基于评估的数值算法，在多个社区中广为人知。该算法本身很简单，但先前计算其复杂性的尝试已被证明是相当技术性的，并产生了次优的结果。我们的主要结果是一个简单的O（d（L+ln d））上界的细分树的大小为SqFreeEVAL算法的基准问题隔离的所有实根的整数多项式f的度d，其系数可以写在最多L位。我们的证明使用了两种基于摊销的技术：首先，我们使用标准马勒-达文波特根界的代数摊销技术来解释d和L的积分。其次，我们使用一个连续摊销技术的基础上的积分来限制的大小的细分树。本文是第一次使用新的分析技术的连续摊销，以获得最先进的复杂性界限。
2011-02-25 cs.DS cs.SC
Beyond Worst-Case Analysis for Symbolic Computation: Root Isolation Algorithms
本文首次将超越最坏情况分析引入符号计算，针对单变量多项式实根隔离问题建立整数系数多项式的平滑分析框架，证明了笛卡尔算法的（准）线性期望与平滑复杂度界限，从而解释了其实际高效性，并进一步分析了 Sturm 求解器、ANewDsc 及稀疏多项式符号算法。
2025-06-04 cs.CC cs.SC math.AG
On the Complexity of Real Root Isolation
本文提出了一种新的方法来分离实系数无平方多项式$F=\sum_{i=0}^n A_i x^i$的实根。假设$F$的每个系数可以近似于任何指定的误差界。所提出的方法是精确的、完整的和确定的。由于它与笛卡尔方法相似，我们也认为它实用且易于实现。与以前的方法相比，我们的新方法实现了显着更好的位复杂度。它进一步表明，隔离真正的根$F$的硬度是完全由根的几何形状，而不是由复杂性或系数的大小。对于$F$具有整数系数的最大位大小$τ$的特殊情况，我们的位复杂度上的界限写为$\tilde{O}(n^3τ^2)$，其通过因子$n=deg F$改进了已知的现有实用算法的最佳界限。新方法的关键思想是运行笛卡尔方法的近似版本，在每个细分步骤中，我们只考虑中间结果的近似到一定的精度。我们给出了一个上界的最大精度是隔离的根$F$。对于整数多项式，该界限比使用精确算法解释位复杂度的改进界限时所需的精度低一个因子$n$。
2011-04-07 cs.CG cs.DS cs.NA
Exact SOHS decompositions of trigonometric univariate polynomials with Gaussian coefficients
针对高斯整数系数一元三角多项式的正定性验证需求，提出三种混合数值-符号SOHS精确分解算法，证明其多项式复杂度，并通过基准测试和FIR滤波器设计验证了性能。
2023-10-04 cs.SC math.OC
Fast Computation of the Roots of Polynomials Over the Ring of Power Series
给出了计算正合域$\mathbb{K}$上一元幂级数环上多项式的所有根的一个算法。更确切地说，给定精度$d$和系数是$x$中的幂级数的多项式$Q$，该算法计算所有幂级数$f(x)$的表示，使得$Q(f(x)) = 0 \bmod x^d$。该算法无条件地工作，特别是也与多个根，牛顿迭代失败。我们的主要动机来自编码理论，其中出现了这个问题的实例，并且必须处理多个根。我们的算法的成本界匹配的最坏情况下的输入和输出大小$d °(Q)$，对数因子。这改进了以前的算法，这些算法在$d$和$°(Q)$中的至少一个中是二次的。我们的算法是由Alekhnovich（2005）的分而治之算法的改进，其中递归步骤的成本通过计算$Q$的因子得到更好的控制，该因子在保持根的同时具有较小的度。
2017-05-30 cs.SC
A note about "Faster algorithms for computing Hong's bound on absolute positiveness" by K. Mehlhorn and S. Ray
本文给出了一个计算一元多项式正根的洪氏界的线性时间算法。Mehlhorn和S. Ray在一篇文章“Faster algorithms for computing Hong's bound on absolute positiveness”中指出，这是不正确的。我们提供了一个更正的版本。
2016-11-20 cs.SC
A Near-Optimal Subdivision Algorithm for Complex Root Isolation based on the Pellet Test and Newton Iteration
MPI for Informatics, Saarland Informatics Campus（德国马克斯·普朗克计算机科学研究所）；MPC-VCC and Saarbrücken Graduate School of Computer Science（萨尔布吕肯计算机科学研究学院）；Institute of Mathematical Sciences Chennai（印度马德拉斯数学科学研究所）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
本文提出一种基于Pellet测试和牛顿迭代的子区域算法，用于复根隔离，通过分析根的几何特性，实现近最优的子区域步骤，该算法在复杂度上优于传统方法，且不依赖分治技术。
2016-11-08 cs.NA cs.SC math.NA
Efficiently Computing Real Roots of Sparse Polynomials
本文提出了一种计算稀疏多项式$f\in\mathbb{R}[x]$的实根的有效算法。它是假设任意好的近似的非零系数的系数预言器的装置。对于一个给定的正整数$L$，我们的算法返回不相交的磁盘$Δ_{1},\ldots,Δ_{s}\subset\mathbb{C}$，与$s<2k$，中心在实轴和半径小于$2^{-L}$连同正整数$μ_{1},\ldots,μ_{s}$，使每个磁盘$Δ_{i}$包含$f$的$μ_{i}$根与重计数。此外，还确保$f$的每个实根都包含在其中一个磁盘中。如果$f$只有简单的实根，我们的算法也可以用来隔离所有的实根。我们的算法的位复杂度在$k$和$\log n$中是多项式的，在$L$和$τ$中是近似线性的，其中$2^{-τ}$和$2^τ$构成了$f$的非零系数绝对值的上下界，$n$是$f$的次数。对于根隔离，位复杂度在$k$和$\log n$中是多项式的，并且在$τ$和$\logσ^{-1}$中是近线性的，其中$σ$表示实根的分离。
2017-04-23 cs.SC
Polynomial root clustering and explicit deflation
我们寻求一元多项式$P$与实或复系数的复根。我们解决这个问题的基础上，最近的算法，使用细分，并有一个接近最佳的复杂性。当只寻找给定感兴趣区域（ROI）中的根时，它们特别有效。我们提出了两个改进的根查找。第一个是适用于多项式只有真正的系数;他们的根是真实的或出现在复共轭对。我们展示了如何适应细分方案，将计算工作集中在ROI的虚阳性部分。在第二个改进中，我们收缩了$P$，以减少其程度和细分的算术成本。
2019-11-15 cs.NA cs.SC math.NA
Complexity Analysis of Root Clustering for a Complex Polynomial
设$F(z)$为任意复多项式。我们引入了局部根聚类问题，计算复平面上$B_0$的盒形区域中$F(z)$的根的自然$\varepsilon$-簇集.这可以看作是经典的根隔离问题的扩展。我们的贡献是双重的：我们提供了一个有效的认证细分算法，这个问题，我们提供了一个位复杂性分析的基础上的局部几何形状的根簇。我们的计算模型假设，任意好的近似值的系数$F$提供了一个oracle的成本读取的系数。我们的算法技术来自一篇配套论文（Becker等人，2018年），并基于Pellet测试，Graeffe和牛顿迭代，并独立于Schönhage的分裂圆方法。我们的算法是相对简单的，并承诺在实践中是有效的。
2021-05-11 cs.CG cs.SC
New practical advances in polynomial root clustering
我们报告了一个正在进行的工作聚类算法的一元多项式$p$的程度$d$与实或复系数的复杂的根。在他们以前的最好的细分算法，我们的根查找器是强大的，即使是多根的多项式给出了一个黑盒子的近似其系数，和他们的复杂性至少成比例地减少根的数量在一个区域的兴趣（ROI）在复杂的平面上，如一个磁盘或一个正方形，但我们大大加强了以前的算法的主要成分。也就是说，我们的新计数测试基本上相当于多项式$p$及其导数$p'$的评估，这是一个主要的好处，例如，对于稀疏多项式$p$。此外，通过在大约$\log(d)$点处进行评估（与先前的$d$阶记录相比），我们输出了其轮廓附近没有$p$根的盘中的根的正确数量。此外，我们大大软化后者的要求与已知的细分算法。我们的第二个和不太重要的贡献涉及细分算法的多项式与实系数。我们的测试证明了所提出的算法的力量。
2019-11-15 cs.NA cs.SC math.NA
Randomized Polynomial-Time Root Counting in Prime Power Rings
假设$k,p\!\in\!\mathbb{N}$具有$p$素数，并且$f\!\in\!\mathbb{Z}[x]$是次数为$d$且所有系数的绝对值小于$p^k$的一元多项式。我们给出了一个拉斯维加斯随机算法，计算根的数目$f$在$\mathbb{Z}/\!\left(p^k\right)$内的时间$d^3(k\log p)^{2+o(1)}$。(We事实上，它证明了一个更复杂复杂、稍微好一点的复杂度界。）在$k$中，以前最好的通用算法具有（确定性）复杂度指数。我们还提出了一些实验数据显示我们的算法的潜在的实用性。
2019-02-14 cs.CC cs.SC math.NT
Computing Real Roots of Real Polynomials
计算一元多项式的根是计算代数的一个基本和长期研究的问题，在数学，工程，计算机科学和自然科学中有应用。对于隔离以及近似所有复根，已知的最佳算法是基于近似多项式分解的几乎最优方法，由Pan在2002年引入。潘的因式分解算法可以追溯到Schoenhage在1982年提出的分裂圆方法。潘的方法的主要缺点是，它是相当复杂的，所有的根必须在同一时间计算。对于重要的特殊情况，只有真正的根必须计算，更简单的方法在实践中使用，但是，他们大大落后于潘的方法的复杂性。在本文中，我们解决了这个矛盾，通过引入一个混合的笛卡尔方法和牛顿迭代，表示ANEWDSC，这是比潘的方法简单，但实现了一个运行时间可比it. We算法计算隔离间隔的任何真正的平方自由多项式的真正的根，由一个预言，提供了任意良好的近似多项式的系数。ANEWDSC也可以用于只隔离给定区间中的根，并将隔离区间细化到任意小的大小;它为后一项任务实现了接近最佳的复杂性。
2015-03-11 cs.NA cs.SC math.NA
Computing Real Roots of Real Polynomials ... and now For Real!
最近的工作介绍了一种渐近快速细分算法，表示ANewDsc，隔离的一元实多项式的实根。该方法结合了笛卡尔符号法则来检验区间的根的存在性，牛顿迭代法来加速收敛，而近似计算则降低了对精度的要求。它实现了记录界的最坏情况下的复杂性所考虑的问题，匹配的复杂性潘的方法计算所有复杂的根和提高后的复杂性，其他细分方法的几个数量级。在本文中，我们报告了在RS根隔离器上实现ANewDsc的情况。RS是经典笛卡尔方法的高效实现，目前在Maple中用作默认的实根求解器。我们描述了ANewDsc和RS中的关键设计变化，这些变化导致了高性能的实现，而不会损害底层算法的理论复杂性。通过摘录我们广泛收集的基准测试，可在http：//anewdsc.mpi-inf.mpg. de/在线获得，我们说明了ANewDsc相对于其他细分方法的性能理论增益也转移到实践中。这些实验还表明，我们的新实现优于RS和成熟的竞争对手的数量级臭名昭著的硬实例与集群根。对于所有其他实例，我们通过集成额外的优化和自动化来避免几乎任何开销。
2016-05-02 cs.MS cs.NA cs.SC
