Numerical method for real root isolation of semi-algebraic system and its applications
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Chinese Academy of Science（中国科学院）
基于同伦连续法和区间牛顿法，提出一种高效算法用于隔离半代数系统的实根，相比传统符号方法大幅降低计算成本。
2013-03-22 cs.NA cs.SC math.NA
Improved complexity bounds for real root isolation using Continued Fractions
我们考虑的问题，隔离的平方与整数系数的多项式的实根使用（变种）的连分式算法（CF）。本文介绍了一种计算一元多项式正实根下界的新方法。这使我们能够导出$\sOB(d^6 + d^4τ^2 + d^3τ^2)$的最坏情况界限，用于使用CF的经典变体\cite{Akritas:implementation}隔离具有整数系数的多项式的实根，其中$d$是多项式的次数，$τ$是其系数的最大位大小。这将Sharma \cite{sharma-tcs-2008}的上界提高了一个因子$d^3$，并与Mehlhorn和Ray \cite{mr-jsc-2009}为CF的另一个变体推导的上界相匹配;它还与基于细分的求解器的最差情况下的上界相匹配。
2011-06-07 cs.SC
Univariate polynomial real root isolation: Continued Fractions revisited
我们提出的算法，复杂性和实施结果有关的实根隔离的整数一元多项式使用连续分数扩展的实代数数。一个动机是解释该方法在实践中的良好性能。我们通过$d τ$的因子改进了以前已知的约束，其中$d$是多项式次数，$τ$约束系数位大小，从而通过精确的方法匹配当前记录的复杂度。也就是说，复杂性界限是$\sOB(d^4 τ^2)$，使用连分数扩展中整数的预期位大小的标准界限。我们展示了如何计算相同的复杂度内的多重性，并将该算法扩展到非平方自由多项式。最后，我们提出了一个有效的开源\texttt{C++}实现的代数库\synaps，并说明其效率相比，其他可用的软件。我们使用多项式系数bitsize高达8000和次数高达1000。
2006-04-17 cs.CC cs.MS cs.SC
Beyond Worst-Case Analysis for Root Isolation Algorithms
一元多项式实根的分离是符号计算中的一个基本问题，也是计算数学中最重要的问题之一。这个问题有着悠久的历史，装饰着许多巧妙的算法，并成为一个活跃的研究领域。然而，最坏情况下的寻根算法的分析并不相关的实际性能。我们开发了一个平滑的分析框架多项式与整数系数之间的差距，复杂性估计和实际性能。在此设置中，我们推导出DESCARTES求解器隔离多项式的实根的预期位复杂度，其中系数均匀分布，为$\widetilde{\mathcal{O}}_B(d^2 + d τ)$，其中$d$是多项式的次数，$τ$是系数的位大小。
2022-06-23 cs.CC cs.SC math.AG
Univariate real root isolation in an extension field
我们提出的算法，复杂性和实现结果的问题隔离的一元多项式的实根在$B_α \in L[y]$，其中$L=\QQ(α)$是一个简单的代数扩展的有理数。我们考虑两种方法来解决这个问题。在第一种方法中，使用结果计算，我们执行一个减少到一个多项式的整数系数。我们计算的根的分离界限，并使用它们，我们推断，我们可以隔离在$\sOB(N^{10})$，其中$N$是上界的输入多项式的所有数量（次数和位大小）的$B_α$的实根。在第二种方法中，我们隔离了直接作用于输入多项式的实根。我们计算改进的分离界的真正的根，我们证明他们是最佳的，在温和的假设。为了隔离的根，我们考虑修改的Sturm算法，和Sagraloff介绍的\func{descartes}算法的修改版本。对于前者，我们证明了$\sOB(N^8)$的复杂性界，对于后者，我们证明了$\sOB(N^{7})$的复杂性界.我们实现的算法在\func{C}的核心库的\mathematica的一部分，我们说明了他们的效率在各种数据集。最后，我们提出的复杂性结果的第一种方法，其中系数属于多个扩展的一般情况下。
2011-05-09 cs.MS cs.NA cs.SC
Improved complexity bounds for real root isolation using Continued Fractions
我们考虑的问题，隔离的平方与整数系数的多项式的实根使用（变种）的连分式算法（CF）。本文介绍了一种计算一元多项式正实根下界的新方法。这使我们能够推导出一个最坏情况下的界限$\sOB(d^6 + d^4τ^2 + d^3τ^2)$隔离的实根多项式的整数系数使用经典的CF的变体，其中$d$是多项式的次数和$τ$的最大位大小的系数。这将Sharma \cite{sharma-tcs-2008}之前的边界改进了一个因子$d^3$，并与Mehlhorn和Ray \cite{mr-jsc-2009}为CF的另一个变体推导的边界相匹配;它还与基于细分的求解器的最差情况边界相匹配。我们提出了一个新的变种CF，我们称之为iCF，隔离的实根的多项式与整数系数在$\sOB(d^5+d^4τ)$，从而提高了目前已知的约束问题的一个因素$d$。如果多项式只有实根，那么我们的界限就变成了$\sOB(d^4+d^3τ+ d^2τ^2)$，从而与Reif \cite{r-focs-1993}和Ben-Or和Tiwari \cite{bt-joc-1990}的数值算法的界限相匹配。实际上，后一个界限在更一般的设置中成立，即在相当温和的假设下，即$Ω(d/\lg^c{d})$，其中$c\geq 0$是常数，根有助于多项式的系数列表的符号变化。这是唯一的约束精确算法，匹配的数值算法之一，潘\cite{Pan02jsc}…
2011-04-26 cs.SC
Beyond Worst-Case Analysis for Symbolic Computation: Root Isolation Algorithms
本文首次将超越最坏情况分析引入符号计算，针对单变量多项式实根隔离问题建立整数系数多项式的平滑分析框架，证明了笛卡尔算法的（准）线性期望与平滑复杂度界限，从而解释了其实际高效性，并进一步分析了 Sturm 求解器、ANewDsc 及稀疏多项式符号算法。
2025-06-04 cs.CC cs.SC math.AG
Near Optimal Subdivision Algorithms for Real Root Isolation
Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）；TU Hamburg（汉堡工业大学）
本文提出改进细分算法实根隔离运行时间的方法，通过Ostrowski结果检测根簇并利用牛顿迭代收敛，结合细分递归实现，提供更高效的算法分析。
2015-01-30 cs.NA cs.SC math.NA
New data structure for univariate polynomial approximation and applications to root isolation, numerical multipoint evaluation, and other problems
我们提出了一种新的数据结构，以近似准确和有效的多项式$f$度$d$作为一个列表的系数。它的属性，使我们能够提高国家的最先进的边界上的位复杂性的根隔离和近似多点评估的问题。该数据结构还导致了检测病态多项式的新的几何准则，这意味着多项式的零点的标准条件数在小于$1/2$或大于$2$的模的根的数目中至少是指数的。给定次数为$d$的多项式$f$，其中$\|f\|_1 \leq 2^τ$用于$τ\geq 1$，隔离其所有复数根或在$d$点处对其求值可以用准线性数量的算术运算来完成。然而，考虑到比特复杂度，即使对于条件良好的多项式并且当所需的精度较低时，现有技术的算法也至少需要$d^{3/2}$比特操作。给定一个正整数$m$，我们可以计算我们的新数据结构，并在单位磁盘中的$d$点处评估$f$，其绝对误差小于$\widetilde O(d(τ+m))$位操作中的$2^{-m}$，其中$\widetilde O(\cdot)$意味着我们省略对数因子。如果$κ$是$f$的零的绝对条件数，则可以在$\widetilde O(d(τ+ \log κ))$位运算中分离出$f$的所有根.此外，我们的算法是简单的实现。为了逼近多项式的复数根，我们在\verb中实现了一个小的原型|Python/NumPy|对于具有随机系数的高次多项式，这比最先进的求解器\verb /MPSolve/快一个数量级。
2021-11-29 cs.NA cs.SC math.NA
On the Complexity of Real Root Isolation
本文提出了一种新的方法来分离实系数无平方多项式$F=\sum_{i=0}^n A_i x^i$的实根。假设$F$的每个系数可以近似于任何指定的误差界。所提出的方法是精确的、完整的和确定的。由于它与笛卡尔方法相似，我们也认为它实用且易于实现。与以前的方法相比，我们的新方法实现了显着更好的位复杂度。它进一步表明，隔离真正的根$F$的硬度是完全由根的几何形状，而不是由复杂性或系数的大小。对于$F$具有整数系数的最大位大小$τ$的特殊情况，我们的位复杂度上的界限写为$\tilde{O}(n^3τ^2)$，其通过因子$n=deg F$改进了已知的现有实用算法的最佳界限。新方法的关键思想是运行笛卡尔方法的近似版本，在每个细分步骤中，我们只考虑中间结果的近似到一定的精度。我们给出了一个上界的最大精度是隔离的根$F$。对于整数多项式，该界限比使用精确算法解释位复杂度的改进界限时所需的精度低一个因子$n$。
2011-04-07 cs.CG cs.DS cs.NA
SqFreeEVAL: An (almost) optimal real-root isolation algorithm
设f是一元实系数多项式，f在R[X]中.基于代数技术的细分算法（例如，Sturm或Descartes方法）被广泛用于隔离给定区间内f的实根。在本文中，我们考虑一个简单的细分算法，其基元是纯数值的（例如，功能评估）。该算法的复杂度是自适应的，因为该算法基于本地数据进行决策。自适应算法（特别是自适应算法）的复杂性分析是计算机科学面临的新挑战。在本文中，我们计算的尺寸的细分树的SqFreeEVAL算法。SqFreeEVAL算法是一种基于评估的数值算法，在多个社区中广为人知。该算法本身很简单，但先前计算其复杂性的尝试已被证明是相当技术性的，并产生了次优的结果。我们的主要结果是一个简单的O（d（L+ln d））上界的细分树的大小为SqFreeEVAL算法的基准问题隔离的所有实根的整数多项式f的度d，其系数可以写在最多L位。我们的证明使用了两种基于摊销的技术：首先，我们使用标准马勒-达文波特根界的代数摊销技术来解释d和L的积分。其次，我们使用一个连续摊销技术的基础上的积分来限制的大小的细分树。本文是第一次使用新的分析技术的连续摊销，以获得最先进的复杂性界限。
2011-02-25 cs.DS cs.SC
Deflation and Certified Isolation of Singular Zeros of Polynomial Systems
我们开发了一个新的符号数字算法的奇异孤立点的认证，使用其相关的本地环结构和认证的数值计算。提出了一种改进的求解逆系统的方法，避免了冗余计算，减少了求解中间线性系统的规模。我们得到一个一步放气技术，从描述的多重结构的差异。收缩系统可用于牛顿迭代格式，具有二次收敛性。从一个多项式系统和一个足够小的邻域出发，应用一个精心选择的符号扰动，我们得到了一个准则的存在性和唯一性的奇异根的一个给定的多重结构。标准验证方法，例如利用区间算术和不动点定理证明了存在唯一的具有奇异根的扰动系统。拓扑度计算和隐曲线实分支分析的应用说明了该方法。
2011-01-17 cs.SC
On Isolating Roots in a Multiple Field Extension
本文研究系数位于有理数多重代数扩张中的一元多项式根隔离，给出聚合界、算法及位复杂度，并通过经认证的数值预处理处理重根情形。
2023-06-07 cs.SC
Algorithms for Weighted Sums of Squares Decomposition of Non-negative Univariate Polynomials
众所周知，每个非负的一元实多项式都可以写成两个实系数多项式的平方和。当我们允许一个1000平方的加权和而不是两个平方的和时，我们可以选择表示中的所有系数都位于由多项式的系数生成的域中。本文从理论和实际两个方面对计算一元有理系数多项式的加权平方和分解的两种算法进行了描述、分析和比较。第一个算法，由于第三作者依赖于实根隔离，正多项式的二次逼近和无平方分解，但其复杂性没有分析。我们提供位复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法。它们在输入一元多项式的次数上是指数的，在其复杂度的最大位大小上是线性的。这种分析是使用量词消去和根隔离界限得到的。第二种算法，由于Chevillard，Harrison，Joldes和Lauter，依赖于复根隔离和无平方分解，并已被引入用于证明多项式在计算机算术中的积极性。同样，它的复杂性没有得到分析。我们提供比特复杂度估计，无论是在运行时间和输出大小的算法，这是多项式的输入多项式的程度和线性的最大比特大小的复杂性。这种分析是使用韦达公式和根隔离界。最后，我们报告我们的实现这两个算法。而第二个算法，正如预期的复杂性结果，更有效的例子，我们展示了家庭的非负多项式的第一个算法是更好的。
2017-06-13 cs.SC
A Near-Optimal Subdivision Algorithm for Complex Root Isolation based on the Pellet Test and Newton Iteration
MPI for Informatics, Saarland Informatics Campus（德国马克斯·普朗克计算机科学研究所）；MPC-VCC and Saarbrücken Graduate School of Computer Science（萨尔布吕肯计算机科学研究学院）；Institute of Mathematical Sciences Chennai（印度马德拉斯数学科学研究所）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
本文提出一种基于Pellet测试和牛顿迭代的子区域算法，用于复根隔离，通过分析根的几何特性，实现近最优的子区域步骤，该算法在复杂度上优于传统方法，且不依赖分治技术。
2016-11-08 cs.NA cs.SC math.NA
Complexity Analysis of Root Clustering for a Complex Polynomial
设$F(z)$为任意复多项式。我们引入了局部根聚类问题，计算复平面上$B_0$的盒形区域中$F(z)$的根的自然$\varepsilon$-簇集.这可以看作是经典的根隔离问题的扩展。我们的贡献是双重的：我们提供了一个有效的认证细分算法，这个问题，我们提供了一个位复杂性分析的基础上的局部几何形状的根簇。我们的计算模型假设，任意好的近似值的系数$F$提供了一个oracle的成本读取的系数。我们的算法技术来自一篇配套论文（Becker等人，2018年），并基于Pellet测试，Graeffe和牛顿迭代，并独立于Schönhage的分裂圆方法。我们的算法是相对简单的，并承诺在实践中是有效的。
2021-05-11 cs.CG cs.SC
Efficiently Computing Real Roots of Sparse Polynomials
本文提出了一种计算稀疏多项式$f\in\mathbb{R}[x]$的实根的有效算法。它是假设任意好的近似的非零系数的系数预言器的装置。对于一个给定的正整数$L$，我们的算法返回不相交的磁盘$Δ_{1},\ldots,Δ_{s}\subset\mathbb{C}$，与$s<2k$，中心在实轴和半径小于$2^{-L}$连同正整数$μ_{1},\ldots,μ_{s}$，使每个磁盘$Δ_{i}$包含$f$的$μ_{i}$根与重计数。此外，还确保$f$的每个实根都包含在其中一个磁盘中。如果$f$只有简单的实根，我们的算法也可以用来隔离所有的实根。我们的算法的位复杂度在$k$和$\log n$中是多项式的，在$L$和$τ$中是近似线性的，其中$2^{-τ}$和$2^τ$构成了$f$的非零系数绝对值的上下界，$n$是$f$的次数。对于根隔离，位复杂度在$k$和$\log n$中是多项式的，并且在$τ$和$\logσ^{-1}$中是近线性的，其中$σ$表示实根的分离。
2017-04-23 cs.SC
Accelerated Approximation of the Complex Roots and Factors of a Univariate Polynomial
Pan（1995）和（2002）的算法在近乎最佳的算术和布尔时间内逼近复杂一元多项式的根，但要求计算精度超过多项式的次数。当阶数较大时，这将导致数值稳定性问题。然而，我们观察到，这样的困难消失在算法的初始阶段，在我们目前的论文中，我们扩展到根查找在一个接近最佳的算术和布尔复杂性的界限内，提供了一些温和的初始隔离的根的输入多项式已被确保。此外，我们的算法是接近最佳的近似的根孤立在一个固定的圆盘，广场或其他区域的复平面上，而不是所有的复根的多项式。此外，该算法可以应用于一个由黑盒给出的多项式的评估（即使其系数是未知的）;它承诺是多项式的根查找和因式分解的实用价值，后者的任务本身的利益。我们还提供了一个新的支持缠绕数算法，使我们的进展，以获得温和的初始近似的根。最后，我们总结我们的算法和他们的扩展到孤立的多根和根簇的近似。
2016-11-09 cs.SC
Random polynomials and expected complexity of bisection methods for real solving
我们的概率分析揭示了以下问题：为什么随机多项式似乎有几个，以及分离的真正的根，平均？为什么实根隔离的精确算法可能比数值算法表现得更好？本文利用Kac和Edelman与Kostlan的结果来估计具有i.i.d.的次数$d$多项式的实根分离性。遵循两个零均值正态分布的系数：对于SO（2）多项式，第$i$个系数的方差为${d \choose i}$，而对于Weyl多项式，其方差为${1/i!}$。通过应用统计物理学的结果，我们得到了\func{sturm}求解器的预期（位）复杂度，$\sOB(r d^2 τ)$，其中$r$是实根的数量，$τ$是最大系数位大小。我们的边界比最坏情况下的记录严格两个数量级。我们还推导出最坏情况下的输出敏感界限。本文第二部分证明了当系数为i.i.d.时，Bernstein基上$d$次多项式的期望实根数为$\sqrt{2d}\pm\OO(1)$。具有中等标准差的变量。我们的论文的结论与实验结果证实了我们的分析。
2010-05-31 cs.SC
Generalizing The Davenport-Mahler-Mignotte Bound -- The Weighted Case
根分离界作为复杂性度量在理解计算代数中各种算法的行为中起着重要作用，例如，根隔离算法。一个经典的结果在单变量设置是达文波特-马勒-马格利特（DMM）界。一种方法是考虑一个有向无环图$(V,E)$在一个度$d$多项式$f(z) \in \mathbb{C}[z]$的根的子集上，其中边从一个较小绝对值的根指向一个较大绝对值的根，并且所有顶点的入度至多为1。则DMM界限是以下乘积的摊销下限：$\prod_{(α,β) \in E}|α-β|$。然而，下界涉及多项式$f$的判别式，并且如果多项式不是无平方的，则下界变得平凡。Eigenwillig（2008）通过使用合适的次判别式而不是判别式解决了这一问题。Escorcielo-Perrucci，2016，通过使用有限差分理论进一步删除了图上的入度约束。Emiris等人，2019年，已经推广了他们的结果，以处理乘积中项$|α-β|$的指数至多是任一根的重数的情况。在本文中，我们推广了这些结果，允许任意的正整数权重的边缘的图，即，对于权函数$w: E \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$，我们导出了$\prod_{(α,β) \in E}|α-β|^{w(α,β)}$的摊销下界。这种乘积出现在一些最近的根聚类算法的复杂度估计中（例如，Becker等人，2016），其中权重通常是根的重数的函数。由于其摊销的性质，我们的界限可…
2020-05-16 cs.SC
When Newton meets Descartes: A Simple and Fast Algorithm to Isolate the Real Roots of a Polynomial
MPI for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）
提出一种结合笛卡尔符号法则与牛顿迭代的算法DSC2，用于隔离单变元无平方多项式所有实根，实现二次收敛并达到最优复杂度。
2011-09-28 cs.NA cs.SC math.NA
On the asymptotic and practical complexity of solving bivariate systems over the reals
本文研究了约束良好的二元多项式方程组的精确实解。主要问题是隔离有理矩形中的所有公共实根，并确定它们的交集重数。我们提出了三种算法，并分析其渐近位复杂度，得到一个界的$\sOB(N^{14})$的纯粹的基于投影的方法，和$\sOB(N^{12})$的两个subresultant为基础的方法：这种符号忽略多对数因子，其中$N$界的程度和多项式的位大小。以前的记录绑定为$\sOB(N^{14})$。我们的主要工具是有符号子结果序列。我们利用最近的进展单变量根隔离的复杂性，并将其扩展到两个代数数上的二元多项式的符号评估，以及扩展域上的多项式的实根计数。我们的算法适用于问题的同时不等式，他们也计算拓扑的真正的平面代数曲线$\sOB(N^{12})$，而以前的界限是$\sOB(N^{14})$。所有的算法都已经在MAPLE中实现，并结合数值滤波。我们将它们与FGB/RS、SYNAPS的系统求解器以及计算曲线拓扑的MAPLE库INSULATE和TOP进行比较。我们的软件是最健壮的软件之一，它的运行时间与C/C++库相当，或者在一个小的常数因子内。关键词：实解，多项式系统，复杂性，MAPLE软件
2012-03-05 cs.DS cs.MS cs.NA
Computing the dimension of real algebraic sets
设$V$是$F = (f_1, \ldots, f_s)$在$\mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$中的实数公共解的集合，$D$是$f_i$的最大总次数.我们设计了一个算法，在输入$F$上计算$V$的维数。令$L$为$F$和$s=1$的求值复杂度，它使用$\mathbb{Q}$中的$O^\sim \big (L D^{n(d+3)+1}\big )$算术运算以及至多$D^n$次数的多项式的实根的至多$D^{n(d+1)}$隔离来运行。我们的算法依赖于$V$的真实几何，它的实际行为更多地取决于一些精心选择的映射的纤维中的拓扑变化的数量。因此，在实践中很少达到上述最坏情况的界限，在实际示例中，因子$D^{nd}$通常要低得多。我们报告的实施，显示其解决问题的能力，达到了国家的最先进的实现。
2021-06-13 cs.SC
Local Search for Solving Satisfiability of Polynomial Formulas
非线性实数算术理论的模可满足性（Satisfiability Modulo the Theory of Nonlinear Real Arithmetic，简称SMT，NRA）涉及多项式公式的可满足性，多项式公式是具有整数系数和实变量的多项式方程和不等式的无量词布尔组合。在本文中，我们提出了一个局部搜索算法的一个特殊子类的SMT（NRA），其中所有的约束是严格的不等式。一个重要的事实是，给定一个含有$n$变量的多项式公式，公式中多项式的零水平集将$n$维实空间分解为100个分量（单元），并且每个多项式在每个单元中具有常数符号。我们的算法的关键点是一个新的操作的基础上真正的根隔离，称为细胞跳跃，更新当前分配沿给定的方向，使分配可以“跳”从一个单元到另一个。一个单元格跳跃可以调整多个变量的值，而传统的局部搜索操作，如SAT的翻转和SMT的临界移动（LIA），只改变一个变量的值。为了平衡成功率和效率，我们还设计了两级操作选择。此外，我们的算法可以很容易地推广到一个更广泛的子类SMT（NRA）的多项式方程线性关于一些变量是允许的。实验结果表明，该算法与现有的SMT求解器相比具有很好的竞争力，尤其是在高次多项式的公式上。
2023-03-21 cs.LO cs.SC
