Equal Splits of Vertex-Weighted Trees
Corinne Mulvey
给定一棵树的加权顶点，有时可以在允许的误差范围内将树分成两个相等加权的子树。我们给出了一个快速算法，找到一个边缘，打破了树成等权重的组件或确定没有这样的边缘。
Given a tree of weighted vertices, it is sometimes possible to break the tree into two equally-weighted subtrees within an allowable error. We give a fast algorithm that finds an edge which breaks the tree into equal-weight components or determines there is no such edge.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Vertex energies of splitting and shadow graphs
本文研究分裂图和影图中顶点能量的分布，推导出显式表达式并分析其与基础图行为的比较。
On the Hilton-Zhao vertex-splitting conjecture
本文研究了Hilton-Zhao顶点分裂猜想，证明了当图的最大度Δ(G)≥(2n-2)/3时，分裂后的图是边染色临界图。
Two-disjoint-cycle-cover vertex pancyclicity of split-star networks
本文研究分裂星网络S_n^2的两不交圈覆盖顶点泛圈性，证明对于n≥4，S_n^2是2-DCC顶点[3,n!/2]-泛圈的。
Eigenvalue Interlacing of Bipartite Graphs and Construction of Expander Code using Vertex-split of a Bipartite Graph
该研究证明了二分图邻接矩阵与二分商矩阵的特征值交错关系及特征值界，提出二分图顶点分裂法构造渐近良好Expander码，证明了相关连通性与扩张性结论。
A Vertex-Weighted Tutte Symmetric Function, and Constructing Graphs with Equal Chromatic Symmetric Function
本文主要分为两个部分。首先，我们考虑Tutte对称函数$XB$，色对称函数的推广。我们引入了一个顶点加权版本的$XB$，并表明，这个功能承认删除压缩关系。我们还表明，顶点加权$XB$承认生成树和生成森林的扩展推广的Tutte多项式连接$XB$到其他图形功能。其次，我们给出了几种构造具有等色和Tutte对称函数的非同构图的方法，并给出了具体的例子。
A probabilistic bijection between twenty-vertex configurations with a free west boundary and Gelfand-Tsetlin patterns avoiding three equal entries in a row
本文研究了二十顶点配置与避免连续三个相等条目的格尔福德-茨特林模式之间的双射关系，通过构造概率双射来解释这两种枚举之间的联系，并推导出二十顶点配置的计数公式。
Hardness of Vertex Splitting: Cographs, Chordal Graphs, and Beyond
研究顶点分裂操作，证明余图顶点分裂、(P_t)-自由顶点分裂、弦图顶点分裂及单位区间顶点分裂是NP完全的，结果扩展到排他和浅变体，在指数时间假设下给出这些问题不存在特定时间复杂度算法的结论。
An improvement to the vertex-splitting conjecture
对于简单图$G$，分别用$n$、$Δ(G)$和$χ'(G)$表示它的阶、最大度和色指数。一个2类连通图$G$是边色临界的，如果对$G$的每条边$e$都有$χ'(G-e)<Δ(G)+1$.如果是$|E(G)|>Δ(G) \lfloor n/2 \rfloor$，则将$G$定义为过满。显然，过满图是第二类，任何从偶数阶正则图通过分裂顶点得到的图都是过满图。设$G$是一个$n$ -点连通的正则类1图，其图具有$Δ(G) >n/3$ . Hilton和Zhao在1997年证明了如果$G$的一个顶点分裂为两个顶点得到$G^*$，则$G^*$是边色临界的，并验证了关于图$G$具有$Δ(G)\ge \frac{n}{2}(\sqrt{7}-1)\approx 0.82n$的猜想.图$G^*$很容易被证明是过满的，因此猜想的困难在于证明删除它的每一条边都会降低色指数。除了在2002年Song证明了猜想对一类特殊的图$G$成立，并且$Δ(G)\ge \frac{n}{2}$成立外，其他关于这个猜想的研究一直没有取得进展。本文用$Δ(G) \ge 0.75n$证明了图$G$的猜想.
On the 2-Linkage Problem for Split Digraphs
本文证明了6强分裂有向图和5强半完全分裂有向图均为2-连通，解决了相关问题。
Vertex-primitive digraphs having vertices with almost equal neighbourhoods
我们考虑两个顶点具有几乎相等邻域的顶点本原有向图（即，一个顶点的邻域而不是另一个顶点的邻域的顶点集很小）。我们证明了这样的有向图的结构结果，然后将其应用于回答一个问题的Araújo和卡梅隆同步组。
Unavoidable vertex-minors in large prime graphs
一个图是素图（关于分裂分解），如果它的顶点集不允许一个具有|A|，|B| >= 2的划分（A，B）（称为分裂），使得连接A和B的边集导出一个完全二部图。我们证明了，对于每个n，存在N，使得每个素图在至少N个顶点包含一个顶点子同构于一个周期的长度为n或图组成的两个不相交的大小为n的团加入一个匹配。
A simple $(2+ε)$-approximation algorithm for Split Vertex Deletion
分裂图是指其顶点集可以划分为团集和稳定集的图。给定一个图$G$和权函数$w: V(G) \to \mathbb{Q}_{\geq 0}$，分裂顶点删除（SVD）问题要求找到一个最小权顶点集$X$，使得$G-X$是一个分裂图。很容易证明一个图是分裂图当且仅当它不包含$4$ -圈、$5$ -圈或两边匹配作为导出子图。因此，SVD承认一个简单的$5$近似算法。另一方面，对于每一个$δ>0$，SVD不承认一个$(2-δ)$ -近似算法，除非P=NP或唯一博弈猜想失败。对于每个$ε>0$，Lokshtanov，Misra，Panolan，Philip和Saurabh最近给出了SVD的随机$(2+ε)$近似算法。在这项工作中，我们给出了一个非常简单的确定性$(2+ε)$ -近似算法的SVD。
Trees with Equal Total Domination and Game Total Domination Numbers
在本文中，我们继续研究图中的全控制对策[Graphs Combin. 31（5）（2015），1453- 1462]，其中玩家Dominator和Staller交替地选择$G$的顶点。每个顶点的选择必须严格增加完全支配的顶点数，其中一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是邻居。该过程最终产生$G$的全支配集$S$，其中每个顶点完全被$S$中的顶点支配。$G$的博弈总控制数$γ_{\rm tg}(G)$（分别为Staller-start game total dominance number，$γ_{\rm tg}'(G)$）是当Dominator（分别为Staller）开始博弈且双方都处于最优状态时所选择的顶点数。对于一般的图$G$，有时候是$γ_{\rm tg}(G) > γ_{\rm tg}'(G)$。证明了如果$G$是一个没有孤立点的森林，则$γ_{\rm tg}(G) \le γ_{\rm tg}'(G)$ .利用这个结果，我们刻画了具有相等全控制数和对策全控制数的树。
Graphs with no induced five-vertex path or antipath
我们证明了图$G$不包含诱导$5$ -顶点路和诱导$5$ -顶点路的补图当且仅当$G$是由$5$ -圈和分裂图通过重复应用下列操作得到的：替换，分裂统一，分裂统一的补充，其中分裂统一是一个新的类保持操作。
The List Distinguishing Number Equals the Distinguishing Number for Interval Graphs
图$G$的\textit{distinguishing coloring}是顶点的着色，使得$G$的每个非平凡自同构将某个顶点映射到具有不同颜色的顶点。$G$的\textit{distinguishing number}是最小$k$，使得$G$具有区别着色，其中每个顶点被分配来自$\{1,\ldots,k\}$的颜色。到$G$的\textit{list assignment}是颜色列表到$G$的顶点的分配$L=\{L(v)\}_{v\in V(G)}$。$G$的\textit{distinguishing $L$-coloring}是$G$的区别着色，其中每个顶点$v$的颜色来自$L(v)$。$G$的{ \it列表区分数}是最小的$k$，使得对$G$的每个列表分配，其中所有$v\in V(G)$的$|L(v)|=k$产生$G$的区分$L$ -着色。证明了如果$G$是区间图，则它的可区别数与列可区别数相等.
Arc-disjoint in- and out-branchings in semicomplete split digraphs
本文证明了每个2-弧强半完全分裂有向图对于任意顶点u, v都包含弧不相交的好(u,v)-对，证实了Bang-Jensen和Wang的猜想。
Incongruent equipartitions of the plane into quadrangles of equal perimeter
一个关于R的问题。Nandakumar，我们表明，欧几里德平面可以分割成相互不一致的凸四边形的相同面积和相同的周长。作为一个副产品，我们获得顶点到顶点的剖分的平面由相互不全等的三角形的单位面积，任意接近的周期性顶点到顶点的平铺由等边三角形。
On the Zagreb indices of the line graph and line cut-vertex graph of subdivision of unicyclic graphs
本文借助细分概念，研究环-星图这类单圈图的线图及线割点图的Zagreb指数与余指数。
Non-split Domination Cover Pebbling Number for Some Class of Middle Graphs
该研究围绕图论中的非分裂控制覆盖铺砌数展开，明确相关定义，推导基础结论，证明非分裂控制数的NP完全性，最终确定若干类中间图的非分裂控制覆盖铺砌数。
A note on bipartite graphs whose [1, k]-domination number equal to their number of vertices
图$G$的顶点集$V$的子集$D$称为$[1,k]$ -控制集，如果来自$V-D$的每个顶点至少与$D$的一个顶点相邻且至多与$k$的顶点相邻.顶点数最少的$[1,k]$ -控制集称为$γ_{[1,k]}$ -集，其顶点数是$G$的$[1,k]$ -控制数$γ_{[1,k]}(G)$.在这个简短的说明中，我们表明，决策问题是否$γ_{[1,k]}(G)=n$是$NP$ -硬的问题，即使是二部图。对于任意整数$n\geq (k+1)(2k+3)$，给出了一个$n$阶满足$γ_{[1,k]}(G)=n$的二部图$G$的简单构造.
On minimum $ (K_{1,r};k) $-vertex stable graphs on the exact number of vertices
一个图$ G $称为$ (H;k) $ -顶点稳定的，如果$ G $包含一个同构于$ H $的~子图，即使去掉了它的所有顶点及其关联边.我们用$ \text{stab}(H;k) $表示所有$ (H;k) $ -点稳定图的最小尺寸。本文考虑了一种~情形，其中结构$ H $是~星图$ K_{1,r} $，且$ G $的顶点数是正的，\ie等于$ 1 + r + k $ .我们将证明，在上述假设下，$ \text{stab}(K_{1,r};k) $等于$ \frac{1}{2}(k + 1)(2r + k) $、$ \frac{1}{2}\big((r + k)^{2} - 1\big) $或$ \frac{1}{2}(r + k)^{2} $。此外，我们将刻画所有的极值图。
Characterization of Split Comparability Graphs
本文通过顶点标号刻画了分裂可比较图，并据此证明其置换表示数至多为3，从而为序理论中分裂序维数至多为3的结果提供了替代证明。
The vertex Folkman number $F_v(3,3;5)$ equals~$8$
研究确定了顶点Folkman数$F_v(3,3;5)$为8，通过构造一个无$K_5$的图，并证明其满足特定的着色条件。
Splitting the K-Terminal Reliability
设G=（V，E）是一个图，K是G的一组终端点.假设G的边以给定的概率独立失效。K-终端可靠度R（G，K）是K中所有顶点相互连接的概率。本文利用格理论的方法，给出了R（G，K）在G的一个分离点集上的一个有效分裂公式。
On the vertex cover number of 3 uniform hypergraph
给定一个超图H（V;E），如果V中的一个顶点集S的每条边至少有一个顶点在S中，则称S为顶点覆盖。顶点覆盖数是顶点覆盖的最小基数，用t（H）表示。本文证明了对任意3个一致连通超图H（V;E），t（H）≤（2 m +1）/3成立，其中m是边数.此外，等式成立当且仅当H（V;E）是完美匹配的超树。
Regular finite planar maps with equal edges
不存在所有边都具有相同长度且每个顶点恰好在5条边上的有限平面映射。
The achromatic number of $K_6\square K_q$ equals $2q+3$ if $q\ge41$ is odd
设$G$是一个图，$C$是一个有限色集.顶点着色$f:V(G)\to C$是完备的，只要对于任意两种不同的颜色$c_1,c_2\in C$，存在$v_1v_2\in E(G)$，使得$f(v_i)=c_i$，$i=1,2$。$G$的消色差数是$G$的一个正常完全顶点着色中的最大颜色数$\mathrm{achr}(G)$。本文证明了：若$q\ge41$为奇数，则$K_6$与$K_q$的笛卡尔积的消色差数为$2q+3$ .
Vertex and edge orbits of Fibonacci and Lucas cubes
斐波那契立方体$Γ_n$是从$n$立方体$Q_n$中去掉所有包含两个连续1的顶点得到的。此外，如果删除以1开始和结束的顶点，则获得Lucas立方体$Λ_n$。在自同构群的作用下，确定了Fibonacci立方体和Lucas立方体的顶点轨道和边轨道的数目，轨道的大小集合，以及每种大小的轨道的数目.具体地，$Λ_n$的顶点轨道的大小的集合是$\{k \ge 1;\ k \divides n\} \cup\, \{k \ge 18;\ k \divides 2n\}$，大小为$k$的$Λ_n$的顶点轨道的数目等于$\sum_{d\divides k}μ\left(\frac{k}{d}\right) F_{\lfloor \frac{d}{2}\rfloor + 2}$，其中$k$是奇数并且整除$n$，并且$Λ_n$的边缘轨道的数目等于$Γ_{n-3}$的顶点轨道的数目。弦和本原弦的二面角变换是证明这些结果的必要工具。
On graphs whose domination number is equal to chromatic and dominator chromatic numbers
对于图$G = (V(G), E(G))$，控制集$D$是$V(G)$的顶点子集，其中$V(G) \setminus D$的每个顶点都与$D$中的一个顶点相邻。$G$的控制数是$G$的控制集的最小基数，用$γ(G)$表示。$G$的着色是划分$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$，使得每个$V_{i}$在独立的集合中。色数是$G$的所有着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$中最小的$k$，记为$χ(G)$。一个着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$被称为支配者，如果对于所有的$V_{i}$，每个顶点$v \in V_{i}$在$V_{i}$中是单例的或与$V_{j}$的每个顶点相邻。$G$的支配色数是$G$的所有支配色中的最小$k$，记为$χ_{d}(G)$。此外，如果$γ(G) = χ(G) = χ_{d}(G) = k$，则图$G$是$D(k)$。本文证明了对于$n \geq 4k - 3$，总存在$n$阶的$D(k)$图.进一步证明了当$k \in \{3, 4\}$.也就是说，我们证明了，对于一个非平凡的平面图$G$，图$G$是$D(k)$当且仅当$G$是$K_{2, q}$，其中$q \geq 2$。
A Construction of Uniquely Colourable Graphs with Equal Colour Class Sizes
唯一的$k$ -色类图是指顶点集只被一个划分为至多$k$色类的图。本文研究了唯一$k$ -列图的一些构造，并给出了一个具有相等色类大小的无$K_k$唯一$k$ -列图的构造.
Algorithms for the rainbow vertex coloring problem on graph classes
给定一个顶点着色图，如果一条路径的所有内部顶点都有不同的颜色，我们称该路径为彩虹顶点路径。如果图的每一对顶点之间存在彩虹顶点路，则该图是彩虹顶点连通的。在彩虹顶点着色（RVC）问题中，我们想决定给定图的顶点是否可以用至多$k$颜色着色，使得图成为彩虹顶点连通的。这个问题是NP完全的，即使在非常有限的情况下，很少有有效的算法是已知的it. In这项工作中，我们给出了多项式时间算法的RVC置换图，权力的树和分裂强弦图。后一类的算法也适用于该问题的强变体，其中每个顶点对之间的彩虹顶点路径必须是最短路径。我们补充分裂强弦图的多项式时间可解性结果表明，对于任何固定的$p\geq 3$的问题的两个变种成为NP-完全时，限制分裂$(S_3,\ldots,S_p)$ -免费的图形，其中$S_q$表示的$q$ -太阳图。
Split-Twin Extensions Preserving Seymour Vertices
研究Seymour第二邻域猜想中Pisa图的结构，提出分解公式并验证小阶数图的分类。
Finding Balance: Split Graphs and Related Classes
一个图是分裂图，如果它的顶点集可以划分为一个团和一个独立集。一个分裂图是不平衡的，如果存在两个这样的分区是不同的。Cheng，Collins和Trenk（2016）发现了以下有趣的计数事实：$n$顶点上的未标记，不平衡分裂图可以放置到双射中，所有未标记分裂图都在$n-1$或更少的顶点上。在本文中，我们把这些概念和定理不同的组合设置：最小集覆盖，二部图与一个杰出的块和偏序集的高度1。
Extremal trees of given degree sequence or segment sequence with respect to Steiner 3-eccentricity
图$G$中顶点的Steiner $k$ -偏心率是包含该顶点的所有$k$ -子集上的最大Steiner距离。给出了树的Steiner 3-偏心率的一些一般性质。设$\mathbb{T}_n$是所有$n$ -顶点树的集合，$\mathbb{T}_{n,Δ}$是给定最大度等于$Δ$的$n$ -顶点树的集合，$\mathbb{T}_n^k$是给定最大度恰等于$k$的$n$-顶点树的集合，$\mathbb{T}_{n,Δ}^k$是给定最大度恰等于$Δ.$的$n$ -顶点树的集合。本文首先确定了具有给定度序列的$n$ -顶点树的平均Steiner 3-偏心率的精确上界。给出了相应的极图的特征。因此，结合优控制理论，我们得到了$\mathbb{T}_n$（分别为. $\mathbb{T}_{n,Δ}$，$\mathbb{T}_n^k, \mathbb{T}_{n,Δ}^k$）具有最大平均Steiner 3偏心率。然后我们刻画了具有最大平均Steiner 3-偏心率的给定线段序列的唯一$n$ -顶点树。类似地，确定具有给定数目的具有最大平均Steiner 3-偏心率的段的$n$ -顶点树。
Vertex-flames in countable rooted digraphs preserving an Erdős-Menger separation for each vertex
由Lovász的一个定理得出，如果$ D $是一个有$ r\in V(D) $的有限有向图，则存在$ D $的一个生成子有向图$ E $，使得对于每个顶点$ v\neq r $，以下量相等：$ D $中从$ r $到$ v $的局部连通度，$ E $中从$ r $到$ v $的局部连通度，以及$ E $中$ v $的入度。在无限组合学中，基数往往是一个过于粗糙的度量，以获得深入的结果，它更富有成效的是捕捉结构性质，而不仅仅是某些数量之间的等式。最著名的例子是门格尔定理对无限有向图的推广。我们以这种精神推广了上面Lovász的结果。我们的主要结果是：每一个可数的$ r $-根有向图$ D $都有一个生成子有向图$ E $，它具有以下性质.对于每个$ v\neq r $，$ E $包含内部不相交的$ r\rightarrow v $路径的系统$ \mathcal{R}_v $，使得$ E $中的$ v $的进入边缘恰好是$ \mathcal{R}_v $中的路径的最后边缘。此外，路径系统$ \mathcal{R}_v $在$ D $中是"大"的，在Erdens-Menger意义上，即，可以从$ \mathcal{R}_{v} $中的每条路径中选择边或内部顶点，以这样的方式，得到的集合将$ D $中的$ v $与$ r $分开。
Testing Equality in Communication Graphs
设$G=(V,E)$是具有$k$顶点的连通无向图.假设在图的每个顶点上都有一个玩家拥有一个$n$位串。每个参与者都可以根据商定的通信协议与其邻居进行通信，参与者必须确定性地决定他们的输入是否都相等。在解决这个问题的协议中，传输的最小可能比特总数是多少？在许多情况下，我们确定这个最小值为低阶加法项（但不是所有的图）。特别地，我们证明了对于任何Hamilton $k$ -顶点图，它都是$kn/2+o(n)$;对于任何$2$ -边连通图，如果$m$边中没有两个邻顶点的度超过$2$，它都是$mn/2+o(n)$ .证明结合图论的思想与工具，从加性数论。
No two starlikes have equal index
图的指数是它的邻接矩阵的最大特征值。星形树是一棵树，它有唯一的度为$r>2$的顶点。我们展示了如何用$n>3$对星形树进行索引排序。特别地，星形树的指数都是不同的。
Graphs with span 1 and shortest optimal walks
本文研究图的跨度变体，证明顶点与边跨度差至多1，给出基于围长的下界，刻画强顶点跨度为1的图类（含区间图），并提出求最短最优游走步数的算法。
The Overfull Conjecture on Split-Comparability Graphs
本文证明了分裂相似图$G$的色指数等于$Δ(G) + 1$当且仅当$G$是邻域过满图.这意味着过满猜想对分裂可比较图类的有效性。
Total dominating sequences in trees, split graphs, and under modular decomposition
一个图$G$中没有孤立点的顶点序列称为全控制序列，如果序列中的每个顶点都完全控制至少一个不完全被序列中的前一个顶点控制的顶点，并且在末端$G$的所有顶点都是全控制的（根据定义，一个顶点完全控制它的邻居）。全控制序列的最大长度称为$G$的Grundy全控制数，$γ_{\rm gr}^t(G)$，如[B. Brešar，M.A. Henning和D. F. Rall，Total dominant sequences in graphs，Discrete Math.339（2016），1165- 1676].在本文中，我们继续调查这一概念，主要是从算法的角度来看。虽然它是已知的，决策版本的问题是NP-完全的二分图，我们表明，这也是真的，如果我们限制分裂图。基于公式$γ_{\rm gr}^t(T)=2τ(T)$，给出了一个确定任意树$T$的Grundy全控制数的线性时间算法，其中$τ(T)$是$T$的顶点覆盖数.对二部距离遗传图给出了一个类似的有效算法。使用图的模块化分解，我们提出了一个框架，获得多项式算法，这个问题的类图具有相对简单的模块化子图。特别地，给出了一个确定$P_4$ -整洁图的Grundy全控制数的线性算法.此外，我们证明了一个实现的结果，展示了一个家庭的图$G_k$，使$γ_{\rm gr}^t(G_k)=k$，对任何$k\in{\mathbb{Z}^+}\setminus…
Characterization of graphs with distinguishing number equal list distinguishing number
图$G$的可区别数$D(G)$是最小整数$d$，使得$G$具有一个顶点标号，该顶点标号为仅由平凡自同构保持的$d$标号。对$G$的列表分配是标签列表对$G$的顶点的分配$L = \{L(v)\}_{v\in V (G)}$。$G$的区别$L$ -标记是$G$的区别标记，其中每个顶点$v$的标记来自$L(v)$。$G$的列表区分数$D_l(G)$是最小$k$，使得对$G$的每个列表分配（其中，对于所有$v \in V (G)$的$|L(v)| = k$产生$G$的区分$L$标记）。本文确定了两类图的列表可区别数。我们还刻画了可区别数等于列表可区别数的图。最后，我们表明，这种特性的工作，为其他列表号码的一个图。
Vertex decomposability and regularity of very well-covered graphs
一个图$G$是好覆盖的，如果它没有孤立点，并且所有的极大独立集具有相同的基数。如果这个基数的另外两倍等于$|V(G)|$，则图$G$被称为非常好覆盖的。非常好覆盖图类包含二部好覆盖图。最近在\cite{CRT}中证明了一个非常好覆盖的图$G$是Cohen-Macaulay当且仅当它是纯可壳的。本文改进了这一结果，证明了$G$是Cohen-Macaulay的当且仅当它是纯顶点可分解的.另外，如果$I(G)$表示$G$的边理想，我们证明了$R/I(G)$的Castelnuovo-Mumford正则性等于$G$的最大3-不相交边数.这改进了Kummini关于非混合二部图的结果。
On vertex-edge and independent vertex-edge domination
给定一个图$G = (V,E)$，一个顶点$u \in V$ ve-支配与$N_G[u]$的任何顶点关联的所有边.一个集合$S \subseteq V$是ve-支配集，如果对于所有的边$e\in E$，存在一个顶点$u \in S$使得$u$ ve-支配$e$.刘易斯[博士论文，2007]提出了一个线性时间算法的ve-支配问题的树。在本文中，首先，我们构造了一个例子，所提出的算法失败。然后，我们提出了一个线性时间算法的块图，这是一个超类的树的v-控制问题。我们还证明了无向路图的最小ve-支配集的求法是NP-完全的。最后，我们刻画了具有相等ve-控制数和独立ve-控制数的树。
On the Parameterized Complexity of Computing Balanced Partitions in Graphs
平衡划分是将图聚类为给定数量的相等大小的部分。例如，二分问题要求删除最多k条边，以便将顶点划分为两个相等大小的部分。证明了在给定删除集的条件下，对分对于到常数宽度的距离是FPT的。这意味着FPT算法的一些充分研究的参数，如簇顶点删除数和反馈顶点集。然而，我们表明，二分法不承认这些参数的多项式大小的内核。对于顶点二分问题，需要移除顶点以获得两个大小相等的部分。我们表明，这个问题是FPT的删除顶点数k，如果解决方案将图切割成一个常数c的连通组件。后一个条件是不可避免的，因为我们还证明了顶点二分是W[1]-hard w.r.t.（k，c）。我们的算法寻找平分可以很容易地适应于寻找划分成d个相等大小的部分，这需要额外的运行时间因子n^{O（d）}。我们表明，大幅加速是不可能的，因为相应的任务是W[1]-硬w.r.t. d，即使在最大程度的森林2。然而，我们可以证明它是顶点覆盖数的FPT。
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