Direct constructions for general families of cyclic mutually nearly orthogonal Latin squares
如果$L$在$M$上的叠加产生一个$n\times n$阵列$A=[(l(i,j),m(i,j))]$，其中每个有序对$(x,y)$、$0\leq x,y\leq n-1$和$x\neq y$至少出现一次，而有序对$(x,x+n/2)$正好出现两次，则称两个偶数阶$n$且具有条目$\{0,1,2,\ldots,n-1\}$的拉丁方$L=[l(i,j)]$和$M=[m(i,j)]$几乎正交。本文给出了$48k+14$，$48k+22$，$48k+38$和$48k+46$阶的三个循环相互正交拉丁方的一般族的存在性的直接构造.所采用的技术是基于差分方法的原则，所以我们也建立了无限类的“准差”集这些订单。
2014-01-30 math.CO
Unbiased orthogonal designs
引入了无偏正交设计的概念，作为无偏Hadamard矩阵、无偏加权矩阵和拟无偏加权矩阵的推广。我们提供了相互无偏正交设计的上界和几个结构。作为应用，得到了各参数的相互准无偏权矩阵。
2016-01-18 math.CO
Mutually orthogonal cycle systems
图$Γ$的${\ell}$ -圈系统${\mathcal F}$是划分$Γ$的边集的${\ell}$ -圈的集合.如果来自${\mathcal F}\cup {\mathcal F}'$的两个不同的循环不共享多于一个的边，则两个这样的循环系统${\mathcal F}$和${\mathcal F}'$被称为{ \em正交}。正交循环系统自然地产生于面$2$ -Colonial polyhdra，并且在更高的亏格中产生于具有一定序的Heffter阵列。$Γ$的一组成对正交的$\ell$ -循环系统称为$Γ$的一组相互正交的循环系统。令$μ(\ell,n)$（分别为$μ'(\ell,n)$）是最大整数$μ$，使得存在一组$μ$相互正交（循环）的$\ell$ -循环系统的完全图$K_n$。我们表明，如果$\ell\geq 4$是甚至和$n\equiv 1\pmod{2\ell}$，然后$μ'(\ell,n)$，因此$μ(\ell,n)$，是有界的$n/\ell^2$的一个常数倍以下。相比之下，我们得到以下上界：$μ(\ell,n)\leq n-2$ ;当$\ell \geq 4$时，$μ(\ell,n)\leq (n-2)(n-3)/(2(\ell-3))$;当$\ell>n/\sqrt{2}$时，$μ(\ell,n)\leq 1$;当$n \geq 4$时，$μ'(\ell,n)\le…
2022-03-02 math.CO
Improvements for lower bounds of mutually orthogonal Latin squares of sizes $54$, $96$ and $108$
本文通过构造可分置换码和差分矩阵，将54、96、108阶两两正交拉丁方（MOLS）的下界分别改进为至少8、10、9个，并纠正了文献中n=45的错误。
2024-11-30 math.CO
The correspondence between mutually unbiased bases and mutually orthogonal extraordinary supersquares
我们研究相互无偏基地和相互正交的非凡超方，更广泛的一类广场，其中不包含只有拉丁广场之间的联系。我们证明了在$d=8$维上有四种相互正交的非常超方的完备集。我们介绍的物理条纹的概念，并表明，这是相当于非凡的超正方形。构造了求互无偏基和物理条纹的一般算法，并证明了互无偏物理条纹的完备集等价于互正交非常超正方形的完备集。我们应用该算法的两个例子：一个为两个量子比特系统（$d=4$）和一个为三个量子比特系统（$d=8$），通过使用第二类完整的相互正交的非凡的8阶超正方体。
2014-04-23 math-ph math.CO math.MP
Large sets of mutually orthogonal quantum Latin squares
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Ghent University（根特大学）
研究相互正交的量子拉丁方的规模问题，通过构造非经典集改进了其上下界，证明n阶的n - 2个MOQLS必然是经典的。
2026-07-28 math.CO quant-ph
Enumerating extensions of mutually orthogonal Latin squares
两个$n \times n$拉丁方$L_1, L_2$被称为正交的，如果对于每个符号的有序对$(x,y)$，存在坐标$(i,j)$使得$L_1(i,j) = x$和$L_2(i,j) = y$。$k$ -MOLS是$k$两两-正交拉丁方的序列，这些对象的存在性和计数已经吸引了大量的关注。Keevash和Luria最近的工作为所有固定的$k$提供了关于$k$ -MOLS数目的对数渐近紧界。为了研究$k$与$n$一起增长时的情况，我们限制了$k$ -MOLS可以扩展到$(k+1)$ -MOLS的方式的数量。这些界限对于常数$k$也是紧的，并且允许我们推导出所有$k$的$k$ -MOLS总数的上限。这些界限甚至对于$n$中的线性$k$也接近于紧，并且容易推广到更广泛的一类gerechte设计，其中包括数独平方。
2019-10-07 math.CO
Mutually orthogonal frequency rectangles
FR $(m,n;q)$类型的频率矩形是一个$m \times n$矩阵，使得来自一组大小$q$的每个符号在每一行中出现$n/q$次数，在每一列中出现$m/q$次数。相同类型的两个频率矩形被称为正交的，如果在叠加时，每个可能的有序符号对出现相同的次数。其中每对正交的一组$k$频率矩形称为一组相互正交的频率矩形，用$k$-MOFR $(m,n;q)$表示。我们证明了一个$k$-MOFR $(2,2n;2)$和一个正交表OA $(2n,k,2,2)$是等价的。我们还表明，一个OA $(mn,k,2,2)$意味着存在一个$k$ -MOFR $(2m,2n;2)$。我们构造$(4a-2)$ -MOFR $(4,2a;2)$假设存在的阿达玛矩阵的顺序$4a$。一个$k$ -MOFR $(m,n;q)$被称为是$t$-正交的，如果每个子集的大小$t$，当叠加时，包含每个$q^t$可能有序$t$ -元组的条目正好$mn/q^t$倍。有限域$\mathbb{F}_q$上的向量集称为$t$独立的，如果每个大小为$t$的子集是线性独立的。我们描述了一种方法，以获得一组$t$ -正交$k$ -MOFR $(q^M, q^N, q)$对应于一组$t$ -独立的矢量在$(\mathbb{F}_q)^{M+N}$。我们还讨论了$t$ -独立向量的集合上界和下界，并给出了长度为$N \leq 16$的二进制向量…
2022-12-21 math.CO
Construction of the mutually orthogonal extraordinary supersquares
我们的目的是确定完整的一组相互正交的广场秩序$d$，这是不必要的拉丁文。本文引入了超平方序$d$的概念，它是借助于生成子群在$\mathbb{F}_d\times \mathbb{F}_d$中定义的.本文给出了一种构造相互正交超方的方法。此外，我们还研究了一类特殊的平方族--非常超平方的正交性，它的生成子群是非常的。$\mathbb{F}_d\times \mathbb{F}_d$中的非常子群在量子信息处理领域，特别是在互无偏基的研究中具有重要意义。我们确定了最一般的完备的相互正交的非常超方的4阶，其中包括在所谓的第一型和第二型。众所周知的$d-1$相互正交的拉丁方的情况只是一种特殊情况，即I型。
2013-12-16 math-ph math.CO math.MP
Maximal Orthoplectic Fusion Frames from Mutually Unbiased Bases and Block Designs
在实或复欧几里得空间中构造最优线填充是一项极其困难的任务，因为它包括寻找最大等角线集的问题。在等角线是不可能的制度，一些最佳包装是已知的，例如，那些实现正交绑定相关的最大集的相互无偏基地。在本文中，我们调查包装的子空间，而不是线，并确定在这种情况下的极大性的影响。我们利用存在的真实或复杂的最大相互无偏基地的组合设计策略，以找到最佳的子空间包装，实现orthoplex界。我们还表明，相互无偏基地的最大集合之间的转换与某些平衡不完全区组设计和格拉斯曼2-设计的坐标投影。最大正交融合框架的例子已经出现在Shor，Sloane和Zauner的作品中。它们在真实情况下是4的幂，在复杂情况下是2的幂。
2016-07-15 math.CO math.FA
Difference Covering Arrays and Pseudo-Orthogonal Latin Squares
差分阵列用于软件测试、认证码和数据压缩等应用。伪正交拉丁方用于试验设计。一类特殊的伪正交拉丁方是在2002年首次讨论的互近正交拉丁方（MNOLS），其一般构造在2007年给出。本文从差分覆盖阵列出发，发展了行完备MNOLS。我们将使用这种联系来解决偶数阶的3个相互伪正交拉丁方的集合的谱问题，除了146阶。
2015-02-09 math.CO
Constructions of self-orthogonal and LCD subspace codes
本文研究自正交与LCD子空间码的构造问题，提出从满足特定条件的矩阵集合构造这两类子空间码的一般方法，并基于相互拟无偏称重矩阵、链接设计系统及Deza图等给出具体构造。
2024-07-08 math.CO
Isometry invariant permutation codes and mutually orthogonal Latin squares
本文利用MOLS与可分置换码的对应关系，通过对称群等距群子群及其轨道代表构造多组高距离置换码，改进n=35、48、63、96时MOLS数量下界。
2019-03-05 math.CO
Building Correlation Immune Functions from Sets of Mutually Orthogonal Cellular Automata
相关免疫布尔函数在密码学中实现有效的侧信道攻击掩蔽对策中起着重要作用。本文研究了利用相互正交元胞自动机族构造相关免疫函数的方法。首先，我们证明了与MOCA家族相关的正交表（OA）可以扩展为强度至少为2的二进制OA。为了证明这一结果，我们利用的正交标号de Bruijn图的MOCA的特征。然后，我们使用由此产生的二进制OA来定义二阶相关免疫函数的支持。接下来，我们执行一些计算实验来构造所有这样的函数直到$n=12$变量，并且观察到它们的相关免疫阶实际上更大，总是至少为3。最后，我们讨论这些结果如何为未来的研究开辟有趣的前景，就搜索新的相关免疫函数和二元正交表。
2022-07-17 cs.CR math.CO
Transitive Sets of Mutually Orthogonal Latin Squares
本文研究了传递的互正交拉丁方集，发现单纯传递情况下MacNeish猜想成立，并提出了一种新构造方法。
2026-01-29 cs.DM math.CO math.GR
Parity of Sets of Mutually Orthogonal Latin Squares
每个拉丁方都有三个属性，可以是偶数或奇数，但其中任何两个属性决定了第三个属性。因此，拉丁方的奇偶校验具有2比特的信息内容。我们将奇偶校验的定义从拉丁方扩展到相互正交拉丁方（MOLS）和相应的正交表（OA）。假设$\mathrm{OA}(k,n)$的奇偶校验具有$\dim(k,n)$比特的信息内容。我们证明了$\dim(k,n) \leq {k \choose 2}-1$ .对于对应于投影平面的情况，我们证明了一个更严格的界限，即$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}$当$n$是奇数和$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}-1$当$n$是偶数。利用存在的MOLS与subMOLS，我们证明了，如果$\dim(k,n)={k \choose 2}-1$，那么$\dim(k,N) = {k \choose 2}-1$对所有足够大的$N$。令$\mathrm{OA}$的系综是通过将OA的任何三列解释为拉丁方而导出的拉丁方的集合。我们证明了许多限制的拉丁方的数量，每个奇偶校验的合奏的$\mathrm{OA}(k,n)$可以包含。这些限制取决于$n\mod4$，并给出了一些关于为什么构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面比构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面更困难的见解。例如，我们证明，当$n \not= 2\mod 4$它是…
2017-03-14 math.CO
Maximal sets of mutually orthogonal frequency squares and Doehlert-Klee designs
本文证明了二元相互正交频率方阵（MOFS）集合等价于特定的Doehlert-Klee设计，并利用该联系及循环生成方法给出了类型极大二元MOFS集合的新构造。
2025-11-02 math.CO
Mutually Orthogonal Latin Squares based on Cellular Automata
研究了有限域上由元胞自动机生成的相互正交拉丁方集合。在介绍了由$q$元素的字母表上的直径$d$的双置换局部规则定义的CA如何生成$q^{d-1}$阶拉丁方之后，我们研究了两个CA生成一对正交拉丁方的条件。特别地，我们证明了有限域$\mathbb{F}_q$上两个线性双置换CA（LBCA）所诱导的拉丁方是正交的当且仅当与它们的局部规则相关联的多项式是互质的.接下来，我们通过计算$\mathbb{F}_q$上具有非零常数项和次数$n$的互质多项式对来枚举所有这样的正交拉丁方对。最后，我们提出了一个由LBCA生成的MOLS与不可约多项式的构造，并证明了所得集的极大性，以及一个下界，这是渐近接近他们的实际数量。
2019-10-31 cs.DM math.CO nlin.CG
Mutually orthogonal binary frequency squares
\emph{frequency square}是一个矩阵，其中每一行和每一列都是相同的多组符号的置换。我们只考虑{ \em二进制}频率平方的顺序$n$与$n/2$零和$n/2$的每一行和列。两个这样的频率平方是\emph{orthogonal}，如果当叠加时，4个可能的有序条目对中的每一个出现的频率相等。在这种情况下，我们说，一个$k$-MOFS $(n)$是一组$k$二进制频率平方的顺序$n$，其中每对平方是正交的。一个$k$-MOFS $(n)$必须满足$k\le(n-1)^2$，任何达到这个界限的MOFS都被称为\emph{complete} .对于任何$n$，存在一个Hadamard矩阵的顺序$n$，我们表明，存在至少$2^{n^2/4-O(n\log n)}$同构类的完整的MOFS $(n)$。对于$2<n\equiv2\pmod4$，我们证明了存在一个$17$-MOFS $(n)$，但不存在完全的MOFS $(n)$ . $k$ -maxMOFS $(n)$是不包含在任何$(k+1)$ -MOFS $(n)$中的$k$ -MOFS $(n)$。通过计算机枚举，我们确定存在$k$ -maxMOFS $(6)$当且仅当$k\in\{1,17\}$或$5\le k\le 15$。我们发现，同构有一个唯一的$1$ -maxMOFS $(n)$，如果$n\equiv2\pmod4…
2019-12-19 math.CO
Permutation polynomials induced from permutations of subfields, and some complete sets of mutually orthogonal latin squares
本文给出了一种由子域置换得到有限域上置换多项式的一般方法。通过将这种技巧应用于子域上最简单的置换多项式类，我们得到了几个新的置换多项式族。其中一些具有额外的性质，即f（x）和f（x）+x都诱导场的置换，这具有组合后果。我们使用我们的置换多项式来展示相互正交拉丁方的完整集合。此外，我们解决了开放的问题，从最近的一份文件，吴和林，我们更简单的证明更一般的版本的结果在最近的两份文件。
2013-12-09 cs.IT math.CO math.IT
Enumeration of Sets of Mutually Orthogonal Latin Rectangles
本文枚举 k≤n≤7 时非同痕的 t 个相互正交 k×n 拉丁矩形集合，定义并追踪齐次、传递及逐步传递结构，并据此说明除 Hughes 平面外阶数至多 9 的射影平面均可由逐步传递 MOLR 构造。
2024-01-19 cs.DM math.CO
Orthogonal Quantum Latin Squares with Maximal Cardinality from Full-Rank Factorizations
Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文利用有限阿贝尔群的特征与满秩分解及乘积构造，证明了两个无限阶族存在具有最大基数的正交量子拉丁方对。
2026-09-25 math.CO
The Enumeration of Cyclic MNOLS
本文研究了相互近似正交拉丁方（$\text{MNOLS}$）的集合，它是对相互正交拉丁方的正交条件的一种改进.特别地，我们找到最大$μ$，使得存在一组$μ$循环$\text{MNOLS}$的顺序$n$为$n \leq 18$，以及提供一个完整的枚举的集合和列表的$μ$循环$\text{MNOLS}$的顺序$n$下的各种等价物与$n \leq 18$。这否定地解决了提出最大$μ$的猜想，对于该最大$μ$，存在阶为$n$的$μ$循环$\text{MNOLS}$的集合是$\lceil n/4\rceil +1$。
2018-11-05 math.CO
Mutually orthogonal binary frequency squares of mixed type
本文研究混合型二元频率方集合的互正交性，推广了 MOFS 基数的经典上界，并利用大于 2 的模的论证给出新的类型极大性充分条件。
2022-12-04 math.CO
Equiangular lines, mutually unbiased bases, and spin models
我们利用差集来构造复空间中有趣的直线集。利用（v，k，1）-差集，当k-1是素数幂时，我们得到了C^k中的k^2-k+1等角线.利用参数为（k，n，k，l）的半正则相对差集，我们构造了C^k中n+1个互无偏基的集合.我们展示了如何从交换半域构造这些差集，并且可以通过这种方式获得几个已知的相互无偏基的最大集，解决了关于最大集的单性的猜想。我们还相互无偏基地自旋模型。
2011-05-07 math.CO quant-ph
On the minimum number of entries in a pair of maximal orthogonal partial Latin squares
ARC Centre of Excellence for Plant Success in Nature and Agriculture（植物在自然与农业中成功卓越中心）；School of Mathematics and Physics, University of Queensland（昆士兰大学数理学院）；School of Mathematics and Statistics, The Open University（开放大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Koç University（科奇大学数学系）
研究证明了一对最大正交偏拉丁方中填充值的下限为$n^2/3$，并确定了该下限的唯一结构形式。
2026-02-10 math.CO
Integer and Constraint Programming Revisited for Mutually Orthogonal Latin Squares
Carleton University（卡尔顿大学）；University of Windsor（温莎大学）
在本文中，我们提供的结果，使用整数规划（IP）和约束规划（CP）搜索相互正交拉丁方（MOLS）的集合。这两种编程范式以前都曾成功地用于搜索MOLS，但近年来IP和CP求解器的求解器有了显着改进，并且缺乏现代IP和CP求解器在MOLS问题上的表现数据。使用最先进的解算器作为黑盒，我们能够快速找到最多10个顺序的MOLS对（或证明它们不存在）。此外，我们制定了一个扩展的对称破缺方法，以及改进的直接CP编码的求解器的有效性。我们还分析了使用CP和IP求解器来搜索三重MOLS的有效性，比较我们的时间与以前发表的那些，并估计使用这种方法来解决长期悬而未决的问题，确定存在的三重MOLS的顺序十的运行时间。
2021-03-19 cs.AI cs.DM math.CO
Classification of ternary maximal self-orthogonal codes of length 25
Shizuoka University（静冈大学）；Tohoku University（东北大学）
本文对长度为25的三元最大自正交码进行了完整分类，扩展了此前长度至24的分类结果。
2026-05-13 cs.IT math.CO math.IT
Symplectic spreads, planar functions and mutually unbiased bases
UAE University（阿联酋大学）；Institute of Mathematics（数学研究所）
本文通过辛展开和伪平面函数提出新的方法，构造了特殊李代数的正交分解和互正交基的完整集合。
2014-10-22 cs.IT math.CO math.IT
Weighted complex projective 2-designs from bases: optimal state determination by orthogonal measurements
本文介绍了由标准正交基族的并构造加权复2-设计的问题。如果相同基的元素之间的权重保持不变，那么这样的设计可以被解释为相互无偏基的完整集合的推广，当设计由d+1个维度d的基组成时是等价的。我们表明，为了量子态确定的目的，这些设计指定了一个最佳的正交测量的集合。使用高度非线性函数的阿贝尔群，我们构造明确的例子从d+2正交基只要d+1是一个素数的权力，涵盖尺寸d=6，10，和12，例如，没有完整的相互无偏基地迄今为止被发现。
2007-05-17 math.CO quant-ph
Mutually orthogonal anti-Latin squares
Tokai Senior High School（东海高中）；School of Data Science, The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学深圳数据科学学院）；Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究科）
本文研究相互正交反拉丁方的最大规模$N_A(d)$，结合经典相互正交拉丁方的最大规模$N_L(d)$确定其取值，证明$d\geq3$时$N_A(d)$与$N_L(d)$的关系，且对$3\leq d\leq9$给出明确数值。
2026-09-01 cs.IT math.CO math.IT
Canonical mirror models for maximal orthogonal Grassmannians
本文利用已有方法及其推广，通过极大正交格拉斯曼流形OG(n+1,2n+2)，完成了所有余极小齐次空间典范镜像模型的构造。
2023-12-29 math.AG math.CO
Borsuk-Ulam type theorem for Stiefel manifolds and orthogonal mass partitions
本文推广Borsuk-Ulam定理到Stiefel流形，并应用于证明在给定m个测度时存在k个相互正交的超平面，使得任意n个超平面将每个测度分成2^n等份，并给出d的下界。
2026-09-29 math.AT math.CO math.MG
Orthogonal maximal abelian *-subalgebras of the 6x6 matrices
通过对所有6阶自伴复Hadamard矩阵进行分类，构造了$M_6(\mathbb C)$的新的正交极大交换$*$ -子代数对.特别是，我们展示了一个非仿射单参数家庭的非等价的阿达玛矩阵的顺序6。在本文的最后一部分，我们提出了其他以前未知的例子复杂的阿达玛矩阵的高阶。
2006-09-03 math.CO math.OA quant-ph
Compositional inverses, complete mappings, orthogonal Latin squares and bent functions
我们研究置换多项式，完全映射，相互正交拉丁方和弯曲向量函数的合成逆。最近在[33]中得到了有限域上线性化置换二项式的合成逆。在[29]中还注意到，计算子空间的双射的逆可以应用于确定与线性化多项式相关的某些置换类的合成逆。本文给出了一类置换迹映射核的线性化二项式的合成逆。作为这个结果的应用，我们给出了一类完全映射的合成逆。这个完全映射类改进了[34]中给出的一个最近的构造。我们还递归地构造了一类涉及多迹函数的完全映射。最后利用这些完全映射导出了一组相互正交拉丁方，并从Maiorana-McFarland类构造了一类$p$ -元bent向量函数.
2014-09-23 cs.IT math.CO math.IT
