A conjecture of Barrett, Butler and Hall may be stated as follows: If $n \geq 3$ and $A \in \{0,1\}^{n \times n}$ (the family of $n \times n$ 0--1 matrices) is a nonsingular symmetric matrix, then the following two statements are equivalent: (a) All of the principal minors of $A$ of order $n-2$ are zero; and (b) $A^{-1}$ is a matrix all of whose entries have the same modulus and all of whose diagonal entries are equal. We show that this conjecture holds if $A$ does not have both a zero and a nonzero principal minor of order $n-4$ (if $n \geq 5$). The parity of the principal minors of nonsingular symmetric matrices $A \in \{0,1\}^{n \times n}$ whose principal minors of order $n-2$ are all zero is explored, establishing, in particular, that the determinants of such matrices are all even. For an arbitrary (not necessarily symmetric) nonsingular matrix $A \in \{0,1\}^{n \times n}$ with $n\geq 3$, we establish necessary conditions for $A^{-1}$ to be a matrix all of whose entries have the same modulus; examples of such conditions are the following: each row and column of $A$ has an even number of nonzero entries; each entry of $A^{-1}$ is the reciprocal of an even integer; $\det(A)$ is even; the difference between any two rows of $A$, as well as the difference between any two columns of $A$, has an even number of nonzero entries; if $A$ is symmetric, then $A$ has an even number of nonzero diagonal entries; if $A$ is symmetric and $\vec{a}_k$ is the $k$th column of $A$, then $A-\vec{a}_k\vec{a}_k^T$ has an even number of nonzero diagonal entries.
Circulant matrices with orthogonal rows and off-diagonal entries of absolute value $1$
已知具有对角元素$d\geq0$、非对角元素$\pm1$和正交行的实对称循环矩阵仅存在$2d+2$阶（以及$1$阶）[Turek and Goyeneche 2019]。在本文中，我们考虑了一个复杂的埃尔米特类似的这些矩阵。也就是说，我们研究了具有正交行，对角元$d\geq0$和任何绝对值$1$不在对角元上的复元的厄米特循环矩阵的存在性和构造。作为一个特殊的情况下，我们考虑矩阵的非对角元素是4次根的单位，我们证明了任何这样的矩阵与$d$不同于奇数的顺序是$n=2d+2$。我们还讨论了有限环$\mathbb{Z}_m$上对称循环矩阵的一个类似问题。作为我们的结果的应用，我们显示了一个密切的联系，相互无偏基地，在量子信息论的一个重要的开放问题。
An asymptotic property of large matrices with identically distributed Boolean independent entries
受近年来关于非交换元随机矩阵渐近独立关系的研究成果的启发，本文研究了布尔独立元同分布大型矩阵的极限分布和渐近独立关系.更准确地说，我们表明，在某些时刻的条件下，这样的随机矩阵是渐近$ B $ -对角和布尔相互独立。本文还给出了一个组合条件，在此条件下，这些矩阵是渐近布尔独立的矩阵置换的项目（从而推广了最近的结果在布尔概率）。特别是，我们认为随机矩阵是渐近布尔独立于他们的部分转置。本文的主要结果是基于组合技术。
On the Recognition of Strong-Robinsonian Incomplete Matrices
当一个矩阵的某些元素缺失时，它就是不完整的。罗宾逊不完全对称矩阵是一个不完全对称矩阵，其非缺失项在向对角线移动时不会沿行和列减少。一个Strong-Robinson不完全对称矩阵是一个不完全对称矩阵$A$，使得如果$a_{i,j}$和$a_{k,l}$是$A$和$i\leq k \leq l \leq j$的两个非缺失项，则为$a_{k,l} \geq a_{i,j}$。另一方面，一个不完全对称矩阵是强罗宾逊矩阵，如果它的行和列同时重新排序，产生一个强罗宾逊矩阵。在本文中，我们首先证明了存在一个不完全的Robinson矩阵，它不是Strong-Robinson矩阵。因此，这两个定义是不等价的。其次，研究了强Robinson不完备矩阵的识别问题。已知不完全Robinson矩阵的识别是NP-完全的。我们证明了不完全强Robinson矩阵的识别也是NP-完全的。然而，我们发现，识别强罗宾逊矩阵可以参数化的缺失条目的数量。事实上，我们提出了一个$O(|w|^bn^2)$识别算法的强罗宾逊矩阵，其中$b$是缺失条目的数量，$n$是矩阵的大小，和$|w|$是矩阵中不同值的数量。
