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arXiv 2005.07813math.CO
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有界偏差{-1，1}-矩阵的零和平方

Zero-sum squares in bounded discrepancy {-1,1}-matrices

Alma R. Arévalo, Amanda Montejano, Edgardo Roldán-Pensado

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摘要：

对于$n\ge 5$，我们证明了每一个$n\times n$矩阵$M=(a_{i,j})$的项目在$\{-1,1\}$和绝对差异$|\mathrm{disc}(M)|=|\sum a_{i,j}|\le n$包含一个零和平方除了分裂矩阵（直到对称性）。这里，正方形是$M$的$2\times 2$子矩阵，其具有用于某些$s\ge 1$的条目$a_{i,j}, a_{i+s,s}, a_{i,j+s}, a_{i+s,j+s}$，并且分裂矩阵是对角线上方的所有条目等于$-1$并且所有剩余条目等于$1$的矩阵。特别是，我们证明了$n\ge 5$的每一个零和$n\times n$矩阵的条目在$\{-1,1\}$包含一个零和平方。

英文摘要：

For $n\ge 5$, we prove that every $n\times n$ matrix $M=(a_{i,j})$ with entries in $\{-1,1\}$ and absolute discrepancy $|\mathrm{disc}(M)|=|\sum a_{i,j}|\le n$ contains a zero-sum square except for the split matrix (up to symmetries). Here, a square is a $2\times 2$ sub-matrix of $M$ with entries $a_{i,j}, a_{i+s,s}, a_{i,j+s}, a_{i+s,j+s}$ for some $s\ge 1$, and a split matrix is a matrix with all entries above the diagonal equal to $-1$ and all remaining entries equal to $1$. In particular, we show that for $n\ge 5$ every zero-sum $n\times n$ matrix with entries in $\{-1,1\}$ contains a zero-sum square.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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