0-1 matrices with zero trace whose squares are 0-1 matrices
Zejun Huang, Zhenhua Lyu
本文给出了当$n$为0 - 1矩阵时，迹为零的0 - 1矩阵的非零元素的最大个数。达到这个最大数量的极值矩阵的特点。
In this paper, we determine the maximum number of nonzero entries in 0-1 matrices of order $n$ with zero trace whose squares are 0-1 matrices when $n\ge 8$. The extremal matrices attaining this maximum number are also characterized.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sparse recovery guarantees for block orthogonal binary matrices constructed via Generalized Euler Squares
近年来，确定性矩阵的构造作为随机矩阵的替代方案已经得到普及，因为它们为稀疏信号的恢复提供了保证。特别是，二进制矩阵的建设已经取得了意义，由于其潜在的硬件友好的实现和吸引人的应用。我们目前的工作旨在构造非相干二元矩阵的正交块与小块相干。我们证明了由欧拉平方构成的二元矩阵具有块正交性和低块相干性。为了获得更好的长宽比，本文推广了欧拉平方的概念，得到了一类新的确定性二元矩阵。为了实现上述目标，本文首先回顾了有限域理论与欧拉方的联系及其构造。使用所述的连接，工作提出了广义欧拉方（GES），然后提出了一个建设过程。得到了具有一般行大小的低相干性二元矩阵，其列大小为最大可能阶。最后，本文表明，GES所具有的特殊结构有助于产生具有小块相干性的块正交结构，从而支持块稀疏信号的恢复。
On the trace-zero doubly stochastic matrices of order 5
本文利用加权有向图的图论方法研究5阶迹零双随机矩阵，推导出其幂仍为迹零的条件，给出特征多项式的必要条件，并近似刻画特征值区域。
On special matrices related to Cauchy and Toeplitz matrices
在本文中，我们将计算一类方阵的行列式，这类方阵与著名的柯西矩阵和托普利茨矩阵有关。然后，我们将利用这些结果来确定特殊非方阵的秩。
On Block Representations and Spectral Properties of Semimagic Square Matrices
利用半镜像平方分解成相关的和平衡的对称类型作为动机，我们介绍了块结构矩阵的等价表示。这种块表示提供了一种方法来构建这样的矩阵与进一步的对称性和研究他们的代数行为，显着推进和促进这些对称性的理解。除了研究经典的属性，如二面角等价和这些矩阵的谱性质，我们表明，块表示的固有结构有利于低秩半镜像方阵的定义。这是通过张量积块来实现的。此外，我们还研究了这些矩阵的秩和特征向量分解，使得相应的双边特征向量矩阵的建设，在合理的条款，他们的条目。本文最后导出了张量积块表示与高斯型二次型表示之间的对应关系。
Generalising Latin square orthogonality and Frobenius-König with alternating sign matrices
引入意大利方阵作为拉丁方阵的推广，定义正交性概念，解决Brualdi-Dahl定义的不一致性，并得到正交集最大规模上界、正交伴侣存在条件、无穷正交族和横截等结果，同时证明了一类(0,±1)-矩阵的Frobenius-König型定理。
Squared distance matrices of trees with matrix weights
设$T$是一棵树，树的$n$顶点的边权是$s$阶正定矩阵。$T$的平方距离矩阵，记为$Δ$，是具有$Δ_{ij}=d(i,j)^2$的$ns \times ns$分块矩阵，其中$d(i,j)$是唯一$(i,j)$ -路中边的权和.本文给出了$Δ$的行列式公式，并在一定条件下求出了$Δ^{-1}$.
On the minimum trace norm of (0,1)-matrices
矩阵的迹范数是其奇异值之和。本文给出了$\left( 0,1\right) $ -矩阵的最小迹范数$ψ_{n}\left( m\right) $的一些结果，其大小为$n\times n$，而$m$恰好是$ψ_{n}\left( m\right) $。结果表明：（1）如果$n\geq2$和$n<m\leq2n,$，则$ψ_{n}\left( m\right) \leq \sqrt{m+\sqrt{2\left( m-1\right) }}$，等式当且仅当$m$是素数;（2）如果$n\geq4$和$2n<m\leq3n,$，则$ψ_{n}\left( m\right) \leq \sqrt{m+2\sqrt{2\left\lfloor m/3\right\rfloor }}$，等式当且仅当$m$是素数或素数的双素数;（3）如果$3n<m\leq4n,$，则$ψ_{n}\left( m\right) \leq\sqrt{m+2\sqrt{m-2}}% $，等式当且仅当存在整数$k\geq1$使得$m=12k\pm2$和$4k\pm1,6k\pm1,12k\pm1$是素数。
Trace reconstruction of matrices and hypermatrices
本文研究了矩阵和超矩阵的迹重建问题，通过改进的方法证明了更高效的迹数量需求。
Multiplicities in the trace cocharacter sequence of two $4\times 4$ matrices
我们明确地找到了特征为0的域上两个$4\times 4$矩阵的纯迹余特征标序列和混合迹余特征标序列的重数的生成函数。我们确定的多重性的渐近行为，并表明它们表现为多项式的14度。
Combinatorial Hopf algebra structure on packed square matrices
本文构造了一个新的双阶霍普夫代数，其基由方阵索引，其元素在字母表$\{0, 1, ..., k\}$，$k \geq 1$中，没有空的行或列.这个霍普夫代数推广了Malvenuto和Albertenauer的置换，Novelli和Thibon的$k$ -着色置换，Aguiar和Orellana的一致块置换.我们研究了我们的霍普夫代数的代数结构，并显示，通过展示乘法基，它是自由的。我们还证明了它是自对偶的，并具有双凸双代数结构。此外，作为一个Hopf子代数，我们得到了一个新的交替符号矩阵索引的子代数。本文研究了它的一些性质，并通过交替符号矩阵的统计定义了它的代数等价式。
The trace norm of r-partite graphs and matrices
图$G$的迹范数$\left\Vert G\right\Vert _{\ast}$是其奇异值的和，即，其特征值的绝对值。范数$\left\Vert G\right\Vert _{\ast}$在图能量的名义下得到了深入的研究，这是Gutman在1978年引入的一个概念。本文研究了$r$ -部图的最大迹范数，它给$r>2$提出了一些不寻常的问题.本文证明了，如果$G$是$n,$阶的$r$ -部图，则\[ \left\Vert G\right\Vert _{\ast}<\frac{n^{3/2}}{2}\sqrt{1-1/r}+\left( 1-1/r\right) n. \]对于某些特殊的$r$，这个界是紧的：例如，如果$r$是对称会议矩阵的阶，则对于无穷多个$n,$，存在阶为$n$的图$G\ $，其中\[ \left\Vert G\right\Vert _{\ast}>\frac{n^{3/2}}{2}\sqrt{1-1/r}-\left( 1-1/r\right) n.\]
Zero-sum squares in $\{-1, 1\}$-matrices with low discrepancy
本文改进了低差异 $\{-1,1\}$-矩阵中零和正方形存在性的界限，证明差异至多 $n^2/4$ 的大矩阵要么分裂要么包含零和正方形，且该界限渐近最优。
On Cartesian product of matrices
最近，Bapat和Kurata [ \textit{Linear Algebra Appl.}，562（2019），135-153]将两个方阵$A$和$B$的笛卡儿积定义为$A\oslash B=A\otimes \J+\J\otimes B$，其中$\J$是适当阶的全一矩阵，$\otimes$是克罗内克积。本文给出了任意有限个方阵的笛卡儿积的迹的表示式。同时，我们还建立了一些涉及矩阵的笛卡儿积的恒等式。最后，我们应用笛卡儿积研究了一些图论性质。
Enumerating traceless matrices over compact discrete valuation rings
本文根据紧离散赋值环的有限元上的无迹方阵的象大小，给出了它们的个数。我们表示相关的有理生成函数的统计对称和超八面体群，即考克斯特群的类型A和B，分别。这些有理函数也可以被解释为局部表示zeta函数与一个无限族的n-生成的2-幂零群的成员。作为我们工作的副产品，我们根据超八面体群的统计得到了固定秩的有限域上无痕方阵数量的描述。
On the sum of k largest singular values of graphs and matrices
近年来，图的迹范数在图能量的名义下得到了广泛的研究。迹范数是Ky Fan k-范数的一种，由k个最大奇异值之和给出，本文对这类范数进行了更一般的研究。概述了与色数、谱半径、扩展和其它基本参数的关系。一些结果被推广到更一般的矩阵。
Multiplicities in the mixed trace cocharacter sequence of two $3\times 3$ matrices
我们发现明确的多重性的（混合）迹余特征序列的两个$3\times 3$矩阵在一个字段的特征为0，并表明，渐近他们表现为多项式的第七次。作为结果，我们还获得了某些不可约字符的重数在$3\times 3$矩阵的多项式身份的余特征标序列。
Powers of doubly-affine integer square matrices with one non-zero eigenvalue
当双仿射矩阵，如拉丁和幻方与一个单一的非零特征值通电后，他们成为常数矩阵后，几个步骤。然后，可以使用复合m阶和n阶的平方的过程来生成这样的mn阶平方的无穷级数。Cayley-Hamilton定理用于理解这种性质，其中它们的特征多项式只有两项。
Decomposing Real Square Matrices via Unitary Diagonalization
对角化或特征值分解在应用数学的许多领域都非常有用，包括信号处理和量子物理。矩阵分解也是将矩阵近似为矩阵与其转置的乘积的有用工具，这与酉对角化有关。如谱定理所述，只有正规矩阵是酉可对角化的。然而，我们证明了所有的实方阵都是某个酉可对角化矩阵的实部。
Dirac Traces and the Tutte Polynomial
本文证明了d维Dirac矩阵的迹与相关图的Tutte多项式计算之间的联系，据此分析了计算Dirac迹的时间复杂度，并提出了算法改进。
Surjectivity of near square random matrices
我们证明了一个近似平方的iid随机积分矩阵在积分格上以很高的概率是满射的。这回答了Koplewitz的一个问题。我们的结果推广到稀疏矩阵以及相关元素的矩阵。
Jack deformations of Plancherel measures and traceless Gaussian random matrices
研究了长度不大于固定数$d$的$n$的随机划分$λ=(λ_1,λ_2,...,λ_d)$.假设随机划分$λ$是按Jack测度分布的，Jack测度是Plancherel测度的一种变形，具有正参数$α>0$ .证明了对所有的$α>0$，在极限为$n \to \infty$的情况下，标度$λ_1,..., λ_d$的联合分布收敛于无迹高斯$β$ -系综与$β=2/α$的某些随机变量的联合分布.我们还给出了一个简短的证明Regev的渐近定理的总和$β$ -权力的$f^λ$，数量的标准tableaux的形状$λ$。
On Compressed Sensing Matrices Breaking the Square-Root Bottleneck
压缩感知是信号处理领域的一个重要框架，有着广泛的实际应用.压缩感知中最具挑战性的问题之一是构造具有约束等距性质的确定性矩阵。到目前为止，只有少数出版物提供了确定性RIP矩阵击败平方根瓶颈的稀疏水平。本文研究了模素数高次剩余定义的矩阵的RIP问题。此外，我们证明了广泛相信的广义Paley图猜想意味着这些矩阵有RIP打破平方根瓶颈。
Counting Matrices that are Squares
在数学趣味邮件列表（2013年5月7日）上，Neil Sloane要求计算$n \times n$矩阵的个数，其中$\{0,1\}$中的元素是其他矩阵的平方。本文分析了算法在$\mathbb{F}_{2}$中的情况。我们遵循威尔夫的格言（“什么是答案？）推导出一种“有效”的算法，以比枚举这些矩阵所需的时间少得多的时间来计数这些矩阵。我们使用的算法涉及矩阵的共轭类的分析。出现的受限整数分区由Ramanujan的模拟Theta函数之一的系数计数，这要归功于Sloane的OEIS（在线百科全书）。令$a_n$为${\rm Mat}_n(\mathbb{F}_{2})$中正方形元素的个数，$b_n$为${\rm GL}(n,\mathbb{F}_{2})$中正方形元素的个数。数值结果强烈地表明存在常数$α,β> 0$使得$a_n \sim α2^{n^2}$，$b_n \sim β2^{n^2}$ .
Minimum trace norm of real symmetric and Hermitian matrices with zero diagonal
本文研究对角线为零的实对称与Hermitian矩阵的迹范数下界问题，求得迹范数与逐项L1范数比值的最小值分别为2/n和tan(π/2n)，并给出了谱范数下到最近对角矩阵距离的对偶上界。
Characteristic Polynomial Patterns in Difference Sets of Matrices
证明了对于迹为零的整数方阵集合中的正密度子集$E$，存在一个整数$k \geq 1$，使得$E-E$中矩阵的特征多项式集合包含迹为零且元素可被$k$整除的整数方阵的特征多项式集合\emph{all}.我们的定理是从Benoist-Quint关于作用在齐性空间上的测度刚性的结果导出的。
Trace identities from identities for determinants
给出了元$A_{i,j}$等于$a_{i,j}$或$a_{i,0}a_{0,j}-a_{i,j}$的矩阵$(A_{i,j})$的行列式的新恒等式，其中$a_{i,j}$是不定式.我们发现，这些身份背后的跟踪身份$SL(2,\Bbb C)$矩阵发现马格努斯在他的研究轨迹代数。
Explicit Matrices with the Restricted Isometry Property: Breaking the Square-Root Bottleneck
具有约束等距性质（RIP）的矩阵在压缩感知中特别有意义。迄今为止，最著名的RIP矩阵是使用随机过程构造的，而显式构造因在“平方根瓶颈”处执行而臭名昭著，即，它们仅接受测量数量的平方根量级的稀疏水平。唯一已知的超越这一瓶颈的显式矩阵是由Bourgain、Dilworth、Ford、Konyagin和Kutzarova构造的。本章提供了三个贡献，以进一步开创性的工作布尔甘等人。：(i)我们开发了一个直观的矩阵建设和基本的证明技术;（ii）我们证明了他们的主要结果的广义版本;（iii）我们应用这个更一般的结果，以最大限度地提高他们的矩阵建设超越平方根瓶颈的程度。
Compound real Wishart and q-Wishart matrices
我们引入了一族非交换矩阵，推广了经典的实Wishart矩阵。在Brauer乘积的帮助下，我们导出了此类矩阵中单项式迹的矩的非渐近表达式;该表达式与我们以前的独立复Wishart矩阵工作中导出的公式非常相似。然后，我们分析了波动的马琴科-帕斯托尔定律。证明了在以平均值为中心后，实对称多项式在q-Wishart矩阵中的迹按分布收敛，并且当q=1时，渐近律为正态律，当q=0时，渐近律为周期律.
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