Distance difference functions on non-convex boundaries of Riemannian manifolds
Sergei Ivanov
证明了一个完备的有边界的黎曼流形在等距上是由它在边界上的距离差表示唯一确定的。与以前已知的结果不同，我们没有对边界施加任何限制。
We show that a complete Riemannian manifold with boundary is uniquely determined, up to an isometry, by its distance difference representation on the boundary. Unlike previously known results, we do not impose any restrictions on the boundary.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The regularity of Euclidean Lipschitz boundaries with prescribed mean curvature in three-dimensional contact sub-Riemannian manifolds
本文考虑一个在三维切触亚黎曼流形$M$中具有给定中曲率$f\in C(Ω)$和欧氏Lipschitz边界$\partial E=Σ$的集合$E\subsetΩ$.证明了若$Σ$是局部正则本征图，则其特征曲线属于$C^2$类.其结果是形状和改进包含在\cite{MR2583494}和\cite{GalRit15}。
Geodesic Convexity Types in Riemannian Manifolds
通常的集合凸性概念，在经典的欧几里德上下文中是有效的，在更一般的黎曼设置中变形为几种不同的凸性类型。通过反向研究这一现象，我们刻画了完备流形，其中某些凸性类型被假定为先验重合。
Convexity of the distance function to convex subsets of Riemannian manifolds
得到了近法锥的一个特征，建立了黎曼流形凸子集的一个分离定理。此外，还讨论了凸子集$S$的距离函数$d_S$在$S$的边界包含测地线段、$S$的边界为$C^2$或$S$的边界不正则的情况下的凸性.进一步，建立了黎曼流形上凸函数的Hessian的半正定性的一个非光滑形式。
About every convex set in any generic Riemannian manifold
给出了黎曼流形中测地线可在某个凸超曲面中运行的一个必要条件。作为推论，我们得到了对任何一般黎曼流形（M，g）中的每个凸集都成立的特殊性质。例如，如果（M，g）中的一个凸集被一个光滑超曲面包围，则它是严格凸的。
On compact Riemannian manifolds with convex boundary and Ricci curvature bounded from below
提出了一种新的方法来研究具有非负里奇曲率和严格凸边界或正里奇曲率和凸边界的紧致黎曼流形.制定了几项计划。建立了支持这些假设的部分结果。
L2-estimates on p-convex Riemannian manifolds
本文建立了p-凸黎曼流形上外微分算子在Harvey和Lawson意义下的各种L2-估计。作为几何应用，我们证明了de Rham上同调群的消失性和有限性结果.
Notes on tensor tomography on Riemannian manifolds with boundaries
我们在[Dairbekov，Inverse Problems，22：431，2006]和[Paternain-Salo-Uhlmann，Math. Ann.，363：305-362，2015]在某些几何假设下。
Some existence results to the Dirichlet problem for the minimal hypersurface equation on non mean convex domains of a Riemannian manifold
本文证明了Dirichlet的极小超曲面的存在性，将Jenkins和Serrin在欧几里得空间中的一个类似结果推广到了黎曼环境流形上
Non-existence of certain type of convex functions on a Riemannian manifold with a pole
研究了具有极点的黎曼流形上某类凸函数的不存在性。为此，我们在具有极点的黎曼流形上提出了奇函数和偶函数的概念，并证明了梯度完备的非平凡非负可微奇凸函数的不存在性.最后，我们导出了与凸函数有关的几个等周型不等式。
A Survey on Convex Hypersurfaces of Riemannian Manifolds
本文将经典的$3$ -欧几里得空间凸曲面上的Hadamard，Liebmann和Cohn-Vossen刚性定理推广到黎曼流形的凸超曲面上.我们提出的结果包括Renato Tribuzy教授（与H。Rosenberg）关于齐次$3$ -流形的凸曲面的刚性.
Convex Functions on Sub-Riemannian Manifolds. I
我们找到了一种不同的方法来定义凸函数的次黎曼设置。子黎曼流形上的函数是非完整测地线凸的，如果它对任何非完整（最直）测地线的约束是凸的。在卡诺群的情况下，这个定义与Danniell-Garofalo-Nieuhn的定义一致（相当于Lu-Manfredi-Stroffolini的定义）。非完整测地线是用水平联络线定义的。引入了一个新的对应于水平连接的距离，并证明了近正则点与Carnot-Carathèodory距离等价。研究了凸函数的一些基本性质。特别地，我们证明了任何非完整测地线凸函数局部有界的上面是局部Lipschitz的Carnot-Carathèodory距离。
On the continuity of geodesically convex functions on Riemannian manifolds
本文研究了黎曼流形上测地凸函数的连续性，填补了现有证明中的漏洞，并探讨了其在非黎曼流形中的扩展。
Infinitesimal and local convexity of a hypersurface in a semi-Riemannian manifold
给定一个黎曼流形M和M中的一个超曲面H，已知H中一点邻域上的无穷小凸蕴涵局部凸。本文证明了同样的结果在半黎曼流形中也成立。我们对只涉及类时测地线、零测地线或类空测地线的情形作了一些说明。几何凸性的概念也进行了审查，并给出了一些应用的洛伦兹流形的开子集的测地连通性。
An optimal lower curvature bound for convex hypersurfaces in Riemannian manifolds
研究证明了Riemannian流形中凸超曲面的曲率下界，优化了Buyalo定理的曲率下界。
A note on $p^λ$-convex set in a complete Riemannian manifold
本文推广了完备黎曼流形上的$λ$ -径向收缩的概念，发展了$p^λ$ -凸函数的概念.我们还给出了一个反例，证明了一般情况下测地线的$λ$ -径向收缩不一定是测地线。我们还导出了测地凸集与$p^λ$ -凸集之间的一些关系，并证明了在一定条件下它们是等价的。
On $q$-convex hypersurfaces in Riemannian manifolds
本文研究了Riemann流形中闭合凸超曲面的拓扑性质，证明在满足一定曲率条件时，此类超曲面是有限根本群的有理同调球体，同时给出了q-凸超曲面在平均曲率条件下的类似结论。
Uniqueness of the partial travel time representation of a compact Riemannian manifold with strictly convex boundary
本文从一个具有严格凸边界的紧致黎曼流形的部分走时数据重建了它。该数据假设给定边界上的开放测量区域，并且对于流形中的每个点，到测量区域上的点的相应距离函数是已知的。这个几何逆问题与地震学，特别是与微震活动有许多联系。该重建是基于将流形嵌入到函数空间中。这就需要区分距离函数。因此本文还研究了具有严格凸边界的紧致黎曼流形上距离函数的一些全局正则性。
The convexity radius of a Riemannian manifold
在任意固定维数至少为2的紧致黎曼流形类中，可以使凸半径与内射半径之比任意小。这是证明使用格列佛的方法，建设流形的焦点，但没有共轭点。该方法建议的凸半径，类似于一个经典的结果Klingenberg的注入半径的表征。
Convex domains of Finsler and Riemannian manifolds
对Finsler流形中的超曲面的凸性概念进行了详细的研究。特别是，凸性的无穷小和局部概念是等价的。我们的方法不同于主教的一个在他的经典结果（主教，印第安纳大学数学J 24：169-172，1974年）的黎曼情况。我们的不仅可以扩展到Finsler设置，但它也减少了典型的要求，可微的度量，它产生的后果上的多重连接测地线的凸区域定义的超曲面。
Dilation type inequalities for strongly-convex sets in weighted Riemannian manifolds
本文考虑了加权黎曼流形上的一个扩张型不等式，它在高维凸几何中被称为Borell引理。通过引入膨胀轮廓，将膨胀型不等式作为等周型不等式来研究，并在加权里奇曲率下界下，利用相应的模型空间的膨胀轮廓来估计膨胀型不等式.我们还探讨了非负加权里奇曲率下的膨胀曲线的比较得出的函数不等式。特别是，我们显示了几个功能不等式有关的各种熵。
A note on scalar curvature and the convexity of boundaries
证明了任何具有非负数量曲率和严格平均凸紧边界分支的光滑黎曼流形都可以（C^2）扩张到该分支之外，使其具有非负数量曲率和以下三种（新）边界：严格凸、全测地线或严格凹.扩展程序可以应用于例如“正质量”类型的定理。
H-Convex Riemannian Submanifolds
在[4]、[5]中，许多作者利用欧氏凸超曲面的模型和[1]中的思想，定义并研究了黎曼流形的凸超曲面。正如第一作者在[7]中所证明的，超曲面的凸性与高斯曲率之间存在相互依赖关系。本文定义了任意余维黎曼子流形的$H$ -凸性，用中曲率向量$H$代替超曲面的法向量. B. Y. Chen [2]，[3]作为严格$H$ -凸性的定义，得到了它.
Inf-convolution and regularization of convex functions on Riemannian manifolds of nonpositive curvature
我们展示了如何下卷积的操作可以用来近似凸函数与$C^{1}$光滑凸函数的非正曲率的黎曼流形（在一种方式，不仅是明确的，但也保留了一些其他性质的原始功能，如排序，对称性，infima和集的极小），我们给出了一些应用。
Local Estimate on Convexity Radius and decay of injectivity radius in a Riemannian manifold
本文证明了完备黎曼流形$M$中测地线的凸半径、内射性半径和局部性态的点态和无曲率估计：1）$p$的凸半径，$\operatorname{conv}(p)\ge \min\{\frac{1}{2}\operatorname{inj}(p),\operatorname{foc}(B_{\operatorname{inj}(p)}(p))\}$，其中$\operatorname{inj}(p)$是$p$的内射性半径，$\operatorname{foc}(B_r(p))$是以$p$为中心的半径为$r$的开球的焦点半径; 2）对于$M$中的任何两点$p,q$，$\operatorname{inj}(q)\ge \min\{\operatorname{inj}(p), \operatorname{conj}(q)\}-d(p,q),$，其中$\operatorname{conj}(q)$是$q$的共轭半径; 3）对于任何$0<r<\min\{\operatorname{inj}(p),\frac{1}{2}\operatorname{conj}(B_{\operatorname{inj}(p)}(p))\}$，$B_r(p)$中的任何（不一定最小化）测地线具有长度$\le 2r$。本文还澄清了凸半径的两个不同概念，并举例说明了文献中较常用的凸性半径是不连续的。
Optimal inequalities between distances in convex projective domains
在实射影空间的任意真凸区域上，存在一个自然的黎曼度量，即Blaschke度量.另一方面，点之间的距离可以用希尔伯特度量来测量。利用最优控制的技巧，我们给出了连接区域上两点的线段的黎曼长度与这两点之间的Hilbert距离的下界不等式，从而加强了Tholozan的一个结果.我们的估计是有效的凸射影域上的黎曼度量，即那些引起凸非退化的中心仿射超曲面浸入的整个类。如果浸入渐近于整环上的凸锥的边界，则我们也可以得到黎曼长度的上界。在这些类上，特别是对于Blaschke度量，我们的不等式是最优的。
Some isoperimetric comparison theorems for convex bodies in Riemannian manifolds
证明了黎曼流形$(M^{n+1},g)$中具有紧闭包的凸区域$Ω$的等周轮廓满足一个二阶微分不等式，该不等式只依赖于流形的维数和$Ω$的里奇曲率的一个下界.等周区域的轮廓和拓扑后果的规律性性质自然产生从这个微分的观点。此外，通过积分微分不等式，我们得到了尖锐的比较定理：我们不仅可以得到一个不等式，应相比Lévy-Gromov不等式，而且我们还表明，如果$\text{Ric}\geq nδ$上$Ω$，那么$Ω$的轮廓是有界的半空间$\mathbb{H}_δ^{n+1}$的轮廓在单连通空间形式具有恒定的截面曲率$δ$。作为等周比较的结果，我们得到的体积和直径的$Ω$的几何估计，并为第一个非零Neumann特征值的拉普拉斯算子$Ω$。
Convexity of domains of Riemannian manifolds
本文研究了黎曼流形子集的测地连通性问题。利用变分方法，证明了光滑黎曼流形上开域（其边界不可微且非凸）的测地连通性。在某些情况下，还获得了域的凸性。此外，我们提出的假设的适用性和独立性的例子。最后给出了动力系统具有固定能量轨线存在性的一个应用。
Scalar curvature deformations with non-compact boundaries
本文为具有非紧边界的光滑流形开发了保持标量曲率下界的黎曼度量族形变原理，用于加强边界条件，并证明了具有正标量曲率与平均凸边界的度量不存在性结果。
Prescribing curvatures on three dimensional Riemannian manifolds with boundaries
设$(M,g)$是具有边界$\partial M$的完备三维黎曼流形.给定分别在$M$和$\partial M$上定义的光滑函数$K(x)>0$和$c(x)$，自然会问是否存在与$g$共形的度量，使得在这些新度量下，$K$是标量曲率，而$c$是边界平均曲率。所有这些度量都可以用一个带有边界条件的曲率方程来描述。通过对$K$、$c$和$(M,g)$的适当假设，证明了方程的所有解只能在$\bar M$的每个紧子集上的有限点处爆破，其中一些解可能出现在$\partial M$上.我们描述的渐近行为的爆破解决方案周围的每个爆破点，并得出一个能量估计的结果。
Existence and uniqueness theorem for convex polyhedral metrics on compact surfaces
本文指出，紧致（可定向）曲面$S$上任何具有常号曲率的圆锥奇点的常曲率黎曼度量都可以在黎曼或洛伦兹空间形式中实现为一个凸多面体.此外，这样的多面体是唯一的，直到全球等距，凸多面体不变下等距作用于全脐表面。这一一般性陈述可分为10种不同的情况。当$S$是球面时的情况是经典的。
Zermelo navigation on Riemannian manifolds
本文研究了黎曼流形上的Zermelo导航，并利用它解决了Finsler几何中一个长期存在的问题。即，强凸Randers度量的常旗曲率的完全分类。
Short Simple Orthogonal Geodesic Chords on a 2-Disk with Convex Boundary
本文证明了在具有凸边界的黎曼二维圆盘上至少存在两条短简单正交测地弦，其长度由边界长度、直径和面积界定，并证明了任意黎曼二维圆盘上存在短简单测地弦。
Convex Polytopes, Dihedral Angles, Mean Curvature and Scalar Curvature
用具有{ \it正中曲率}的光滑超曲面$Y=Y_\varepsilon$逼近凸多面体的边界，并利用黎曼流形的数量曲率与边界中曲率之间的基本几何关系，建立了凸多面体的二面角的{ \it下界}.
1st eigenvalue pinching for convex hypersurfaces in a Riemannian manifold
设$M^n$是位于周围$(n+1)$ -流形$N^{n+1}$的凸球$B(p,R)$中的闭凸超曲面.利用$B(p,R)$的截面曲率上界、$M$的第一特征值和平均曲率，通过Pinching Heintze-Reilly不等式，证明了$M$不仅与$N$中的测地球$S(p_0,R_0)$ Hausdorff接近且几乎等距，而且其封闭域也是$C^{1,α}$ -接近常曲率测地球.
The global study of Riemannian-Finsler geometry
本文比较研究Riemannian与Finsler几何，探讨切点和共轭区域的差异，分析凸函数在Riemannian流形上的拓扑与微分结构及Finsler流形中的类比结果。
Minimax periodic orbits of convex Lagrangian systems on complete Riemannian manifolds
本文研究了完备黎曼流形上凸拉格朗日系统具有指定能级的周期轨道的存在性。通过对非紧黎曼流形上的一类Lagrange系统，即所谓的$\lsh$ Lagrange系统，发展了一个修正的极大极小原理，推广了Contreras的存在性结果.特别是，我们证明了，几乎每一个$k\in(0,c_u(L))$的确切的磁通相关的$\lsh$拉格朗日有一个可收缩的周期轨道的能量$k$。讨论了乘积黎曼流形$\R\times M$上闭测地线的存在性和不存在性。
Convex Hypersurfaces in Hadamard Manifolds
证明了非正曲率单连通黎曼流形中Lobachevsky空间的一个极值性质
Existence and Morse Index of two free boundary embedded geodesics on Riemannian 2-disks with convex boundary
本研究通过分析带严格凸边界闭曲面上的自由边界曲线缩短流的非坍缩性与收敛性，证明了带严格凸边界的黎曼2-圆盘上存在两条自由边界嵌入测地线及特定Morse指数的简单闭测地线，解决了Grayson定理的自由边界对应问题。
Weakly convex closed subsets of spaces with bounded nonpositive curvature
在具有有界非正曲率的黎曼度量的R^n上，弱凸闭子集是拓扑平凡的。这种子集在交下的稳定性刻画了欧几里得空间。
Topological obstructions to nonnegative scalar curvature and mean convex boundary
研究了具有平均凸边界且数量曲率非负的流形上黎曼度量存在的拓扑障碍。我们构造了许多具有非负数量曲率和平均凸边界的不允许黎曼度量的紧流形。例如，我们表明，流形$(T^{n-2}\times Σ)\# N$，其中$Σ$是一个紧凑的，连接和可定向曲面，这不是一个磁盘或一个圆柱和$N$是一个封闭的$n$维流形，不承认一个度量的非负数量曲率和平均凸边界，和流形$(I\times T^{n-1})\#N$，其中$I=[a,b]$，不承认一个度量的正数量曲率和平均凸边界。
On free boundary minimal surfaces in the Riemannian Schwarzschild manifold
在某些渐近平坦的3-流形中，是否可能得到无界的极小曲面作为发散边界的自然山路问题解的极限？在这项工作中，我们给出的证据表明，这可能是真的，通过分析相关方面的情况下，确切的黎曼史瓦西流形。更准确地说，我们观察到该空间中最简单的极小曲面的莫尔斯指数为1。我们还证明了边界的长度和密度之间的关系，在无穷远的一般极小曲面满足沿地平线的自由边界条件。
A holonomy invariant anisotropic surface energy in a Riemannian manifold
本文研究完备黎曼流形中超曲面的一个完整不变的椭圆各向异性表面能，其中“完整不变”是指椭圆参数拉格朗日量（即，Finsler度量）沿着黎曼流形的切丛的每个完整子丛是常数。首先，我们得到了这种各向异性表面能的第一个变分公式。接下来，我们将引入各向异性凸超曲面，各向异性等焦超曲面和各向异性等参超曲面的概念，这种各向异性的表面能。此外，我们将介绍各向异性管的概念，这种各向异性的表面能。证明了对称空间中单点集上的各向异性管是各向异性的凸超曲面，对称空间中某类反射子流形上的各向异性管是各向异性的等参、等焦超曲面.
On the convexity of injectivity domains on nonfocal manifolds
对于光滑的非焦点紧致黎曼流形，我们证明了所谓的Ma-Trudinger-Wang条件蕴涵了内射性区域的凸性.这改进了Loeper和Villani先前的结果。
Low index capillary minimal surfaces in Riemannian $3$-manifolds
证明了一类具有平均凸边界的黎曼$3$ -流形中无穷小刚性毛细曲面的局部刚性结果。我们还推导出的亏格，边界组件和任何紧凑的双边毛细极小曲面的面积低指数在一定的假设下，周围的流形和边界的曲率的界限。
Disks area-minimizing in mean convex Riemannian $n$-manifolds
证明了在具有凸中曲率边界、正量量曲率且允许一个非零度映射到$\mathbb{D}^2\times T^{n}$的定向紧致流形中，边界为同伦非平凡曲线的浸入圆盘的面积平均与边界长度不等式的有效性，其中$\mathbb{D}^2$是圆盘，$T^n$是$n$ -维环面.我们还证明了刚性结果的平等的情况下，边界是全测地线。这可以被看作是Lucas Ambrózio在\cite{AMB}中的一个结果向更高维度的部分推广。
Positive mass theorems for asymptotically hyperbolic Riemannian manifolds with boundary
证明了具有黑洞型边界的渐近双曲和渐近局部双曲黎曼流形的正质量定理。
Compact approach to the positivity of Brown-York mass and rigidity of manifolds with mean-convex boundaries in flat and spherical contexts
本文利用旋量证明与 ADM 质量正定性，为 Brown-York 质量正定性提供了紧致方法，并得出 Dirac 算子特征值下界及平坦与球面空间中平均凸流形的刚性结果。
On Riemannian polyhedra with non-obtuse dihedral angles in 3-manifolds with positive scalar curvature
本文确定了R^3中三维简单凸多面体的组合类型，其能在正数量曲率黎曼3-流形中实现为具非钝二面角的黎曼多面体，并视为Andreev定理的类比，同时构造了高维例子。
Serrin's type Problems in convex cones in Riemannian manifolds
本文研究 Riemann 流形凸锥中的 Serrin 型超定问题，建立扭曲乘积与 Einstein 情形的刚性结果、肥皂泡定理及 Heintze–Karcher 不等式，并讨论 Euclid 锥上漂移 Laplace 算子的类似问题。
On the critical points of semi-stable solutions on convex domains of Riemannian surfaces
本文研究了常曲率二维模型空间凸域上半线性方程正半稳定解的临界点问题，通过辅助函数与拓扑度论证证明其恰有一个非退化临界点。
Min-max construction of two capillary embedded geodesics on Riemannian $2$-disks
本研究针对边界严格凸的黎曼2-圆盘，通过极小极大方法证明了满足特定条件时存在两条指定接触角的毛细管嵌入测地线，验证了总测地曲率条件的最优性，并给出了一般度量下不同Morse指数测地线的存在性结果。
On strictly convex subsets in negatively curved manifolds
在完备单连通的负曲率紧致黎曼流形X中，利用C的边界的外曲率，给出了子集C是X的某个凸子集的ε-邻域的一个精确判据.
The Riemannian Convex Bundle Method
本文提出黎曼凸束方法，通过将历史次梯度平行传输到当前迭代点并构造凸包模型，求解有界截面曲率黎曼流形上的凸非光滑优化问题，证明了收敛性，并用Manopt.jl数值实验验证其优于次梯度法、循环近端点法和近端束方法。
The Intrinsic Riemannian Proximal Gradient Method for Convex Optimization
研究哈达玛流形上的凸优化问题，提出内在凸黎曼近端梯度法，该方法在非光滑步骤使用流形近端映射，无需在嵌入或切空间操作，建立了收敛速率并推导不等式，数值实验显示其相对于现有方法有计算优势。
Volume estimates for Alexandrov Spaces with convex boundaries
本文给出了具有严格凸边界的正或非负曲Alexandrov闭空间$X$体积的上界估计.我们还讨论了平等问题。特别地，当达到体积上界时，边界猜想成立。我们的定理也可应用于具有非光滑边界的黎曼流形，推广了Heintze和Karcher的经典体积比较定理。我们的主要工具是半凹函数的梯度流。
Gromov, Cauchy and causal boundaries for Riemannian, Finslerian and Lorentzian manifolds
最近，时空V的因果边界的旧概念以一种一致的方式被重新定义。对标准共形定常时空V = R x M的这个边界$\partial V$的计算表明，一个自然的紧化$M_B$与M上的任何黎曼度量有关，或者更一般地说，与任何芬斯勒度量有关。相应的边界$\partial_B M$构造的Busemann型函数。粗略地说，$\partial_B M$表示M中所有方向的集合，包括渐近和“有限”（或“不完全”）方向。这个Busemann边界$\partial_B M$与两个经典边界有关：Cauchy边界和Gromov边界。我们的目标是：（1）研究两者的微妙之处，任何广义（可能非对称）距离的柯西边界和任何（可能不完全）芬斯勒流形的格罗莫夫紧化，（2）引入新的布斯曼紧化$M_B$，将其与前两个完备化联系起来，（3）给出任何标准共形稳态时空的因果边界$\partial V$的完整描述。
Deep Learning Generalization and the Convex Hull of Training Sets
我们研究了深度学习模型与其训练集的凸包的泛化。训练的图像分类器基本上通过决策边界划分其域，并为每个分区分配一个类。训练集的凸包内的决策边界的位置可以相对于训练样本进行研究。然而，我们的分析表明，在标准图像分类数据集中，所有测试图像都在该凸包之外，在像素空间中，在小波空间中，以及在深度网络学习的内部表示中。因此，训练模型的性能部分取决于其决策边界如何扩展到其训练数据的凸包之外。从这个以前没有研究过的角度来看，深度学习模型的过度参数化可能被认为是形成决策边界扩展的必要条件。同时，过度参数化应该伴随着特定的训练机制，以便产生不仅适合训练集而且其决策边界期望地延伸到凸包之外的模型。为了说明这一点，我们调查的决策边界的神经网络，不同程度的参数，内部和外部的凸包的训练集。此外，我们使用一个多项式决策边界研究过参数化的必要性和训练制度的影响，在塑造其扩展的凸包的训练集。
Riemannian metrics on convex sets with applications to Poincaré and log-Sobolev inequalities
给定欧几里得空间$(\mathbb{R}^d,g_0)$的凸子集$Ω$上支持的概率测度$μ$，我们有兴趣得到$(Ω,g_0,μ)$上的Poincaré和log-Sobolev型不等式.为此，我们改变度量$g_0$更一般的黎曼一$g$，适应在一定意义上$μ$，并执行我们的分析$(Ω,g,μ)$。我们考虑的度量类型是Hessian度量（与相关的最优运输问题密切相关），乘积度量（当$μ$是无条件的，即在反射下相对于主超平面不变时非常有用），以及与欧几里得度量共形的度量，这些度量以前在本文中没有探索过。利用$(Ω,g,μ)$工具，如Brascamp-Lieb不等式的Riemann推广和Bakry-Emery准则，并回到原始的欧氏度量，我们得到了$(Ω,g_0,μ)$上的各种加权不等式：Brascamp-Lieb不等式、加权Poincaré不等式和log-Sobolev不等式、Hardy型不等式、我们分析的关键是相关的Lichnerowicz-Bakry--Émery广义Ricci曲率张量的正性，以及流形$(Ω,g,μ)$的凸性。在某些情况下，我们只能确保后一个流形是（广义）平均凸的，从而在我们的不等式中产生额外的边界项。
Double Bubbles with High Constant Mean Curvatures in Riemannian Manifolds
我们得到了黎曼流形中具有大的常中曲率的双泡的存在性。这些出现作为扰动的测地线标准的双泡中心的临界点的环境数量曲率和对齐沿本征向量的环境里奇张量。利用Lusternik-Schnirelman理论得到了一般的多重性结果，并在双气泡的相对边界具有相同的中曲率的情况下得到了额外的多重性结果.
Poincaré and Brunn--Minkowski inequalities on the boundary of weighted Riemannian manifolds
研究了一个密度满足Bakry-Emery曲率维数条件（结合了广义里奇曲率的下界和广义维数的上界）的黎曼流形.我们首先在其边界上得到一个庞加莱型不等式，假设后者是局部凸的;这推广了一个纯粹的欧几里德不等式Colesanti，最初作为Brunn-Minkowski不等式的无穷小形式导出，从而排除了任何超越欧几里德设置的扩展。广义平均凸边界的对偶版本也得到了，产生的加权拉普拉斯算子的边界上的谱间隙估计。受这些不等式的启发，提出了一个新的几何发展方程，它把迄今仅限于纯线性情形的凸区域的Minkowski加法运算推广到黎曼情形.这种几何流的特征在于具有平行的法线（变化的速度）的演变超曲面沿轨迹，并密切相关的齐次蒙日-安培方程的外部的凸区域。利用演化超曲面边界上的Poincaré型不等式，在加权Riemann背景下得到了一个新的Brunn-Minkowski不等式，从而使得演化封闭域的加权体积具有一定的非线性性质.所有这些结果似乎是新的，即使在经典的非加权黎曼设置。
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