关于非焦点流形上内射域的凸性

黎曼流形中凸半径的局部估计及内射性半径的衰减

Local Estimate on Convexity Radius and decay of injectivity radius in a Riemannian manifold

本文证明了完备黎曼流形$M$中测地线的凸半径、内射性半径和局部性态的点态和无曲率估计：1）$p$的凸半径，$\operatorname{conv}(p)\ge \min\{\frac{1}{2}\operatorname{inj}(p),\operatorname{foc}(B_{\operatorname{inj}(p)}(p))\}$，其中$\operatorname{inj}(p)$是$p$的内射性半径，$\operatorname{foc}(B_r(p))$是以$p$为中心的半径为$r$的开球的焦点半径; 2）对于$M$中的任何两点$p,q$，$\operatorname{inj}(q)\ge \min\{\operatorname{inj}(p), \operatorname{conj}(q)\}-d(p,q),$，其中$\operatorname{conj}(q)$是$q$的共轭半径; 3）对于任何$0<r<\min\{\operatorname{inj}(p),\frac{1}{2}\operatorname{conj}(B_{\operatorname{inj}(p)}(p))\}$，$B_r(p)$中的任何（不一定最小化）测地线具有长度$\le 2r$。本文还澄清了凸半径的两个不同概念，并举例说明了文献中较常用的凸性半径是不连续的。

黎曼流形的凸半径

The convexity radius of a Riemannian manifold

在任意固定维数至少为2的紧致黎曼流形类中，可以使凸半径与内射半径之比任意小。这是证明使用格列佛的方法，建设流形的焦点，但没有共轭点。该方法建议的凸半径，类似于一个经典的结果Klingenberg的注入半径的表征。

每个共形类都包含有界几何的度量

Every conformal class contains a metric of bounded geometry

证明了在每个流形上，每个半黎曼度量的共形类都包含一个度量$g$，使得$g$的黎曼张量的每个$k$阶共变导数都有界绝对值$a_k$ .这个结果在黎曼情形中也是新的，其中可以另外安排$g$是完备的，具有内射性和凸半径大于1。甚至可以使半径迅速增加，而函数$a_k$在无穷远处迅速减小。我们证明了一般的叶状流形，其中曲率，第二基本型和内射半径的叶子可以类似地控制。此外，我们解释了一个一般的原则，可以用来获得类似的结果，黎曼流形配备了任意其他额外的几何结构，而不是叶理。

Boundary and lens rigidity for non-convex manifolds

We study the boundary and lens rigidity problems on domains without assuming the convexity of the boundary. We show that such rigidities hold when the domain is a simply connected compact Riemannian surface without conjugate points. For the more general class of non-trapping compact Riemannian surfaces with no conjugate points, we show lens rigidity. We also prove the injectivity of the X-ray transform on tensors in a variety of settings with non-convex boundary and, in some situations, allowing a non-empty trapped set.

黎曼流形上的sup-inf卷积正则化：Lasry-Lions定理在有界曲率流形上的推广

Regularization by sup-inf convolutions on Riemannian manifolds: an extension of Lasry-Lions theorem to manifolds of bounded curvature

我们展示了如何Lasry狮子的正规化的功能定义在$\mathbb{R}^n$或希尔伯特空间的超-inf卷积平方的距离可以扩展到（有限或无限维）黎曼流形$M$的有界截面曲率。更具体地说，除其他事项外，我们表明，如果截面曲率$K$的$M$满足$-K_0\leq K\leq K_0$对$M$的一些$K_0>0$，如果注入性和凸半径的$M$是严格正的，那么每个有界的，一致连续的功能$f:M\to\mathbb{R}$可以一致近似的全球$C^{1,1}$功能定义为$$ (f_λ)^μ=\sup_{z\in M}\inf_{y\in M}\{f(y)+\frac{1}{2λ} d(z,y)^{2}-\frac{1}{2μ}d(x,z)^2\} $$为$λ, μ\to 0^{+}$，与$0<μ<λ/2$。我们对（全局）$C^{1,1}$光滑性的定义是内在的和自然的，它可以简化为平坦空间中的通常定义，但是我们要提醒读者，在非紧的情况下，这个定义不同于最近使用的（相当局部的）$C^{1,1}$光滑性的其他概念，例如A. Fathi and P. Bernard（based on charts）.这种正则化方法的重要性在于（而不是基于所获得的平滑度）基于以下事实：对应关系$f\mapsto (f_λ)^μ$是显式的，并且保留了给定函数$f$可能具有的许多重要几何性质，诸如通过等距集、下确界、最小值集、…