A Regularized System for the Nonlinear Variational Wave Equation
Katrin Grunert, Audun Reigstad
本文提出非线性变分波方程的一个新正则化推广系统，证明其局部光滑解的存在性，并在极限情形下恢复原方程。
我们推导了非线性变分波方程的一个新推广。我们证明了该系统存在局部光滑解。作为一个极限情形，我们恢复了非线性变分波方程。
We derive a new generalization of the nonlinear variational wave equation. We prove existence of local, smooth solutions for this system. As a limiting case, we recover the nonlinear variational wave equation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Existence of weak solutions to stationary mean-field games through variational inequalities
本文研究了平稳单调平均场对策的弱解的存在性。首先，我们引入一个正则化的问题，保持单调性。其次，利用变分不等式技巧，我们证明了正则化问题解的存在性。然后，使用Minty的方法，我们建立了原MFG的解的存在性。最后，我们在几个例子中研究了这些弱解的性质。我们的方法提供了一个通用框架来构造具有局部、非局部或拥挤项的平稳MFG的弱解。
Nonlinear Stability of Periodic Travelling Wave Solutions for the Regularized Benjamin-Ono and BBM Equations
本文件有多个目标：首先，我们建立了正则化Benjamin-Ono方程在周期背景下的局部和整体适定性理论，其次，我们证明了该方程的Cauchy问题（在周期和非周期情况下）不能通过基于负Sobolev指数的Duhamel公式的迭代方案来求解，第三，周期行波解的平滑曲线的存在性的证明，对于正则化的Benjamin-Ono方程，给出了具有固定最小周期2L的解的存在性.同时还证明了这些解在能量空间$H^{1/2}_{per}$中对相同波长的扰动是非线性稳定的。最后，对正则化Benjamin-Ono方程的理论进行了推广，并作为例子证明了Benjamin-Bona-Mahony方程的椭圆余弦波解在$H^1_{per}$中是非线性稳定的.
Stability of bound states for regularized nonlinear Schrödinger equations
该研究针对一类作为激光束传播模型的正则化非线性薛定谔方程，给出基态存在与轨道稳定性的充分条件（其稳定范围宽于非正则化情形），还给出一般束缚态稳定的近乎充要条件，证实存在非基态的稳定束缚态。
Modulational instability in nonlinear nonlocal equations of regularized long wave type
我们研究了Benjamin- Bona-Mahony（BBM）方程和正则化Boussinesq型方程在谱平面原点附近的稳定性和不稳定性。我们最近的Korteweg-de Vries型方程的结果进行了扩展，并推导出调制不稳定性指数作为下伏波的波数的函数。我们证明了BBM方程的一个足够小的周期行波对于长波长扰动是谱不稳定的，如果波数大于一个临界值，正则化Boussinesq方程的一个足够小的周期行波对于平方可积〔的〕是稳定的.
Regularized Stein Variational Gradient Flow
针对 SVGD 梯度流仅能常数阶近似 KL 散度 Wasserstein 梯度流的问题，提出可在二者间插值的正则化 Stein 变分梯度流，并证明其收敛性、弱解唯一性与稳定性。
Regularized variational principles for the perturbed Kepler problem
本文的目标是开发一种方法，将结合使用变分技术与正则化方法，以研究存在性和多重性结果的周期性和Dirichlet问题相关的扰动开普勒系统\[ \ddot x = -\frac{x}{|x|^3} + p(t), \quad x \in \mathbb{R}^d, \]其中$d\geq 1$，和$p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^d$是顺利和$T$ -周期，$T>0$。受Levi-Civita和Kustaanheimo-Stiefel技巧的启发，通过变量的非局部变量变换证明了该问题作用泛函临界点的存在性.作为一个应用，我们将证明扰动开普勒问题对于$d=2$和$d=3$有无穷多个广义$T$ -周期解，而对$p$没有任何对称性假设.
Derivation and Equilibrium Analysis of a Regularized Model for Electrostatic MEMS
在微机电系统（MEMS）的规范模型中，被称为触地（touch-down）的事件（由此设备的电气部件接触）的特征在于控制方程中的爆破和电场的非物理发散。在目前的工作中，我们推导出新的正则化控制方程，其解决方案在着陆时保持有限，并表现出额外的动态超越这个初始事件，最终放松到新的稳定平衡。我们采用变分法，动力系统和奇异扰动理论的技术，以获得一个详细的了解所表现出的正则化方程族的新行为。
A Regularized Interface Method for Fluid-Poroelastic Structure Interaction Problems with Nonlinear Geometric Coupling
针对具有低正则性界面和非线性几何耦合的流体-多孔弹性结构相互作用问题，提出正则化界面方法，证明其弱解存在性，填补非线性移动域设置下存在性理论空白。
The pseudorelativistic Hartree equation with a general nonlinearity: existence, non existence and variational identities
证明了一类具有一般非线性项的伪相对论Hartree方程的孤波的存在性和不存在性。我们使用变分方法和一些新的变分恒等式涉及半拉普拉斯。
Elliptic-regularization of nonpotential perturbations of doubly-nonlinear gradient flows of nonconvex energies: A variational approach
本文提出了一种求解具有非凸能量和非位势扰动的双非线性（梯度）流（P）的变分方法（即，没有任何潜在结构的扰动项）。首先对原方程${\rm (P)}_\varepsilon$进行时间椭圆正则化，然后利用变分方法和不动点定理证明了正则化方程的强解的存在性.更确切地说，我们引入了一个功能（定义为每个完整的轨迹，包括一个小的近似参数$\varepsilon$），其欧拉-拉格朗日方程对应的椭圆时间正则化的未扰动（即无非潜在的扰动）双非线性流。其次，由于非位势扰动的存在，利用不动点论证构造了时间椭圆正则化方程${\rm (P)}_\varepsilon$的强解$u_\varepsilon$。这里，上述最小化问题定义了算子$S$，其不动点对应于${\rm (P)}_\varepsilon$的解$u_\varepsilon$。最后，通过将$u_\varepsilon$的极限传递为$\varepsilon \to 0$，获得原始方程（P）的强解。本文中开发的抽象理论的应用，具体的偏微分方程也展出。
We present and analyze two regularized finite difference methods which preserve energy of the logarithmic Klein-Gordon equation (LogKGE). In order to avoid singularity caused by the logarithmic nonlinearity of the LogKGE, we propose a regularized logarithmic Klein-Gordon equation (RLogKGE) with a small regulation parameter $0<\varepsilon\ll1$ to approximate the LogKGE with the convergence order $O(\varepsilon)$. By adopting the energy method, the inverse inequality, and the cut-off technique of the nonlinearity to bound the numerical solution, the error bound $O(h^{2}+\frac{τ^{2}}{\varepsilon^…
Convergence of a linearly regularized nonlinear wave equation to the $p$-system
该研究针对带线性卷积项的二阶非线性波动方程，建立柯西问题局部适定性，证明在两类消失色散极限下解均强收敛到对应经典弹性力学方程（即$p$-system）的解。
We derive a novel two-component generalization of the nonlinear variational wave equation as a model for the director field of a nematic liquid crystal with a variable order parameter. The two-component nonlinear variational wave equation admits solutions locally in time. We show that a particular long time asymptotic expansion around a constant state in a moving frame satisfy the two-component Hunter--Saxton system.
Increasing variational solutions for a nonlinear $p$-laplace equation without growth conditions
利用最近的变分技巧，证明了一类含$p$ -Laplace算子的非线性问题径向单调解的存在性.不需要次临界条件（在索伯列夫空间的意义上）。
Variational properties of space-periodic standing waves of nonlinear Schr{ö}dinger equations with general nonlinearities
本文研究一般非线性薛定谔方程空间周期驻波的变分刻画，通过固定质量与动量最小化能量及在Nehari流形上最小化作用量，并讨论周期、反周期及聚焦、散焦情形。
Variational Approach to Complicated Similarity Solutions of Higher-Order Nonlinear PDEs. II
一些高阶拟线性抛物型，双曲型和非线性色散方程，承认各种爆破，灭绝，行波解，这减少到变分问题承认可数家庭的紧支撑解决方案。
On the global existence for a regularized model of viscoelastic non-Newtonian fluid
研究了粘性依赖于切应力的广义Oldroyd模型的非线性应力扩散正则化行为类似于$μ(\mathbf{D}) \sim |\mathbf{D}|^{p-2}$（$p>\frac 65$）.利用Lipschitz截断方法证明了相应的偏微分方程组整体弱解的存在性。
Global Conservative Solutions to a Nonlinear Variational Wave Equation
对有限能量的初值，我们建立了非线性变分波动方程$u_{tt} - c(u)(c(u)u_x)_x=0$ Cauchy问题保守弱解的存在性。这里$c(\cdot)$是任何具有一致正有界值的光滑函数。
Dual variational methods for static Nonlinear Maxwell's Equations
本文提出双变分方法用于研究静态非线性麦克斯韦方程，证明基态和无限多个几何不同解的存在性，提供了一种不同于直接变分方法的替代方法。
We prove new existence results for a Nonlinear Helmholtz equation with sign-changing nonlinearity of the form $$ - Δu - k^{2}u = Q(x)|u|^{p-2}u, \quad u \in W^{2,p}(\mathbb{R}^{N}) $$ with $k>0,$ $N \geq 3$, $p \in \left[\left.\frac{2(N+1)}{N-1},\frac{2N}{N-2}\right)\right.$ and $Q \in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$. Due to the sign-changes of $Q$, our solutions have infinite Morse-Index in the corresponding dual variational formulation.
Variational resolution for some general classes of nonlinear evolutions. Part II
利用我们在[15]中的结果，我们给出了一般类非线性发展的存在性定理。最后，我们给出了应用我们的结果抛物，双曲，薛定谔，Navier-Stokes方程和其他时间依赖系统的例子。
Convergence of the regularized short pulse equation to the short pulse one
考虑了含有非线性色散效应的正则化短脉冲方程。证明了当扩散参数趋于零时，色散方程的解收敛到短脉冲方程的间断弱解。证明依赖于导出合适的先验估计连同补偿紧性方法在Lp设置中的应用。
Variational resolution for some general classes of nonlinear evolutions. Part I
我们开发了一个变分技术的一些广泛的类的非线性演化。这里的新颖之处在于，我们直接从相应的欧拉-拉格朗日方程推导出主要信息。特别地，我们证明了不仅适当的能量泛函的极小元，而且任何临界点都必须是相应的发展系统的解。
Variational approach to complicated similarity solutions pf higher-order nonlinear PDEs. I
本文证明了三类高阶非线性抛物型、双曲型和非线性色散方程存在由非Lipschitz非线性椭圆型方程导出的精确爆破解或Blockton解.变分技术给出了可数族的各种紧支解，这些解具有靠近界面的振荡行为。总的来说，这一整套紧凑的模式揭示了某些混乱的性质，并包含任意复杂性的解决方案。
The classical obstacle problem for nonlinear variational energies
我们发展了与非退化非线性变分能量有关的经典障碍问题的完整的自由边界分析。关键的工具是最佳$C^{1,1}$正则性，我们审查更普遍的解决方案，由非线性强制光滑向量场驱动的变分不等式，并在\cite{FocGelSp15}的结果关于二次能量与Lipschitz系数的障碍问题。此外，我们强调类似的结论，局部强制性向量场铭记应用程序的面积泛函，或更一般的面积型泛函，以及。
Backward problem for time fractional reaction-diffusion equation with nonlinear source and discrete data
本文研究了具有非线性源的多维时间分数阶反应扩散方程的终值解问题。我们证明了目前的问题是不良定的。然后利用截断展开法（二维情形）和拟边值法（多维情形）构造正则化问题。最后给出了正则化解的收敛速度并进行了数值研究。
Existence for weakly coercive nonlinear diffusion equations via a variational principle
研究了一类非线性扩散方程的适定性，该方程具有单调增长的多值非线性项，该非线性项来自于一个超线性增长到无穷大的凸连续势.本文的结果表明，非线性方程的解可以作为包含位势及其共轭的凸泛函的一个适当极小化问题的零极小元来恢复。这种方法，受Brezis-Ekeland变分原理的启发，提供了新的存在性结果下的最小增长和不变性条件。
A remark on triviality for the two-dimensional stochastic nonlinear wave equation
考虑了在时空白噪声作用下，具有立方非线性项的二维随机阻尼非线性波动方程（SdNLW）。特别地，我们研究了具有正则化噪声的SdNLW解的极限行为，并在Hairer，Ryser和Weber（2012）的工作精神下建立了平凡性结果。更确切地说，没有重整化的非线性，我们建立了以下两个限制行为;（i）在强噪声制度，我们表明，解决方案与正则化噪声趋于0的正则化被删除，（ii）在弱噪声制度，我们表明，解决方案与正则化噪声收敛到一个确定性阻尼非线性波动方程的解决方案与一个额外的质量项。
Bregman-projected mirror methods for regularized stationary mean-field games
针对低阶正则化平稳平均场博弈系统，提出Bregman投影镜像迭代，在自然Banach空间框架下证明收敛性，并通过数值实验验证有效性。
A variational theory for point defects in patterns
我们推导出一个严格的比例律极小化在一个自然版本的正则化跨纽厄尔模型的模式形成远离阈值。这些能量最小化的解决方案支持缺陷具有相同的字符中所看到的相应的物理系统的实验研究和描述这些系统的微观方程的数值模拟。
Regularized solutions for some backward nonlinear parabolic equations with statistical data
本文研究了在随机噪声背景下，多维区域上一类非线性抛物型方程的初始条件的反问题。这个问题是不适定的，即，该解决方案并不连续地依赖于数据。为了正则化不稳定解，我们提出了一些新的方法来构造新的正则化解。我们还研究了正则化解与方程解之间的收敛速度。特别是，我们建立了几个方程的常系数和不定常系数的结果。常系数方程包括热传导方程、推广的Fisher-Kolmogorov方程、Swift-Hohenberg方程等。具有不定常系数的方程包括Fisher型Logistic方程、Huxley方程、Fitzhugh-Nagumo方程。本文所发展的方法也可用于求解其它几类方程的近似解，包括一维Kuramoto-Sivashinsky方程、一维修正Swift-Hohenberg方程、强阻尼波动方程和一维随机扰动Burger方程。
We study the minimizers of $L^2$-subcritical inhomogeneous variational problems with spatially decaying nonlinear terms, which contain $x = 0$ as a singular point. The limit concentration behavior of minimizers is proved as $M\to\infty$ by establishing the refined analysis of the spatially decaying nonlinear term.
Dynamics of the black soliton in a regularized nonlinear Schrodinger equation
本文研究正则化散焦非线性薛定谔方程中黑孤子的动力学，证明了其时间演化的适定性与随正则化参数阈值变化的谱稳定性，并通过数值有限差分法展示了相关动力学，指出轨道稳定性问题因函数空间不匹配而未决。
The symmetric regularized long wave system (SRLW) is a model for the weakly nonlinear ion acoustic and space-charge waves, which was introduced by C. Seyler and D. Fenstermacher. In this paper, we investigated the wellposedness and controllability properties of the generalized symmetric regularized long wave system (g-SRLW) in different structures (periodic and bounded domains). Firstly, the wellposedness and the exact controllability results for both linear and nonlinear g-SRLW system posed on the one-dimensional torus are obtained under the effect of a distributed moving control. Second, we …
Global well-posedness for a family of regularized Benjamin-type equations
研究了一族正则化非线性Benjamin型方程，在周期和非周期Sobolev空间中证明了其柯西问题的局部与全局适定性。
We study a class of variational problems for regularized conservation laws with Lax's entropy-entropy flux pairs. We first introduce a modified optimal transport space based on conservation laws with diffusion. Using this space, we demonstrate that conservation laws with diffusion are "flux--gradient flows". We next construct variational problems for these flows, for which we derive dual PDE systems for regularized conservation laws. Several examples, including traffic flow and Burgers' equation, are presented. Incorporating both primal-dual algorithms and monotone schemes, we successfully com…
Diffractive Nonlinear Geometrical Optics for Variational Wave Equations and the Einstein Equations
我们推导了描述局域化、大振幅、快变引力波传播和衍射的真空爱因斯坦方程的渐近解。我们比较和对比的爱因斯坦方程的强非线性几何光学理论与变分波动方程的非线性几何光学理论。
A formal methodology for developing variational principles corresponding to a given nonlinear PDE system is discussed. The scheme is demonstrated in the context of the incompressible Navier-Stokes equations, systems of first-order conservation laws, and systems of Hamilton- Jacobi equations.
Variational approach to nonlinear gravity-driven instabilities in a MHD setting
在理想磁流体动力学（MHD）方程组的背景下，建立了一个非线性不稳定性的变分框架。本文用变分方法研究了不可压缩和可压缩理想MHD方程的各种光滑定常非线性不稳定问题。可压缩性的失稳效应以及MHD动力学中产生的磁力线的稳定效应是合理的，这与没有磁力线的瑞利-泰勒不稳定性不同。
Nonlinear Schrodinger-Helmholtz Equation as Numerical Regularization of the Nonlinear Schrodinger Equation
研究了在维数$N$上具有$2σ$非线性幂的非线性薛定谔方程的正则化$α-$系统.证明了在$1 \le σ<\frac{4}{N-2}$情形下局部解的存在唯一性和在$1 \le σ< \frac{4}{N}$情形下整体解的存在唯一性.当满足$α\to 0^+$时，该正则化系统将在适当的范围内收敛到经典NLS.特别是，这个数值正则化的目的是阐明的轮廓上的原始非线性薛定谔方程的爆破解决方案的范围$\frac{2}{N}\le σ<\frac{4}{N}$，特别是对于临界情况$σ= \frac{2}{N}$。
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