A degenerate elliptic-parabolic system arising in competitive contaminant transport
在这项工作中，我们研究了退化和非线性偏微分方程的耦合系统的地下水中的反应性溶质的迁移。我们表明，该系统承认一个独特的弱解提供的非线性吸附等温线与反应过程中满足一定的物理合理的结构条件。此外，我们的结论是，溶质浓度保持非负的，如果源项是componentwise非负的，并在两个组件的测试情况下，在数值上调查compounds支持的初始浓度的传播的有限速度。
2021-01-14 cs.NA math.AP math.NA
A priori Error Estimates for Space-Time Finite Element Discretization of Parabolic Time-Optimal Control Problems
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文研究了由线性抛物偏微分方程 governing 且受点约束控制的最优时间控制问题的空间时间有限元离散方法，基于二阶充分最优性条件获得了控制变量的最优先验误差估计。
2018-09-13 cs.NA math.NA math.OC
Optimal error estimates of the diffuse domain method for parabolic equations
该研究针对带Neumann边界条件的不规则区域二阶抛物方程，分析漫射域方法的收敛性，基于加权Sobolev空间严格证明界面厚度参数趋于零时的收敛性并给出加权L²、H¹范数下的最优误差估计，辅以数值实验验证理论结果。
2025-10-03 cs.NA math.NA
Discretization of a distributed optimal control problem with a stochastic parabolic equation driven by multiplicative noise
研究了乘性噪声驱动的随机抛物型方程最优控制问题的离散化问题。状态方程在空间上采用连续分段线性元法离散，在时间上采用向后欧拉格式离散。严格推导了收敛速度$ O(τ^{1/2} + h^2) $。
2021-02-20 cs.NA math.NA math.OC
Quasi-optimal time-space discretizations for a class of nonlinear parabolic PDEs
Ulm University（乌尔姆大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文提出了一类非线性抛物型PDEs的准最优时间-空间离散化方法，通过引入额外变量构造等价系统，并利用Galerkin离散化与近似Uzawa算法求解，同时发展了后验条件以确保准最优性。
2026-01-19 cs.NA math.NA
Space-time finite element methods for parabolic distributed optimal control problems
本文提出了一种数值逼近抛物型偏微分方程约束的分布式最优控制问题的方法。我们补充一阶最优性条件最近开发的时空变分制定的抛物型方程，这是强制性的能量规范，和拉格朗日乘子。我们的最终公式在连续和离散水平上满足Babuška-Brezzi条件，没有限制。因此，我们可以允许最终的时间期望的状态，并获得一个后验误差估计，这是有效的和可靠的。数值实验证实了我们的理论发现。
2022-08-21 cs.NA math.NA math.OC
A priori error estimates for stable generalized finite element discretization of parabolic interface optimal control problems
本文研究了控制作用于界面的抛物界面方程最优控制问题，提出基于稳定广义有限元、后向欧拉格式与变分离散的完全离散逼近方法，并证明了控制、状态及伴随状态的先验误差估计，数值算例验证了理论结果。
2025-10-14 cs.NA math.NA
Optimal higher-order convergence rates for parabolic multiscale problems
Umeå University（于默奥大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）
本文提出一种高阶多尺度方法，用于处理具有高振荡系数的时间依赖问题，通过构建富集修正算子提高收敛速率，无需额外系数假设，并通过数值实验验证理论结果。
2026-05-14 cs.NA math.NA
Numerical Solution of a parabolic problem arising in finance
UNIVERSITE BORDEAUX1（波尔多第一大学）
通过求解偏微分方程组获得不完全市场的最优复制策略，研究解在适当Sobolev空间中的存在唯一性并提出数值计算方法。
2009-05-18 cs.NA math.NA
Unconditionally optimal error analysis of fully discrete Galerkin methods for general nonlinear parabolic equations
City University of Hong Kong（香港城市大学）
针对一般非线性抛物系统，通过将误差分解为时间离散和空间离散两部分，证明空间离散部分与时间步长τ无关，并利用逆不等式得到数值解在L∞和W1,∞范数下的有界性，从而无条件获得最优误差估计。
2013-03-26 cs.NA math.NA
Unstructured space-time finite element methods for optimal control of parabolic equations
本文提出并分析了抛物型最优控制问题的时空有限元法在完全非结构化单纯时空网格上的数值解。利用Babuška定理，我们证明了一个典型的线性状态方程模型问题的一阶最优性系统的适定性，但没有控制约束。这是为连续和离散的水平。基于这些结果，我们得到了离散化误差估计。然后考虑Schlögl模型的半线性抛物型最优控制问题。相关的非线性最优性系统的解决牛顿法，其中一个线性系，这是类似的一阶最优性系统考虑的线性模型的问题，必须解决在每个牛顿步骤。我们提出了各种数值实验，包括自适应时空有限元离散剩余型误差指标的基础上的结果。在最后两个例子中，我们也考虑了半线性抛物型最优控制问题的框约束的控制。
2020-04-04 cs.NA math.NA math.OC
Non-overlapping Schwarz methods in time for parabolic optimal control problems
本文提出一种基于时间区域分解的经典Schwarz方法，用于求解无约束抛物型最优控制问题，发现基于最优系统前后向结构的不同性质，并指出仅使用Dirichlet和Neumann传输条件的变体中，部分仅为良好平滑器，部分则可成为高效求解器。
2024-08-22 cs.NA math.NA math.OC
Adaptive Gradient Descent for Optimal Control of Parabolic Equations with Random Parameters
本文将自适应梯度下降（AdaGrad）算法推广到具有不确定参数的抛物型偏微分方程的最优分布控制问题。这种随机最优化方法通过自适应缩放梯度步长来实现改进的收敛速度。我们证明了这个无限维问题的算法的收敛性在适当的正则性，凸性和有限方差条件下，并与这些相关的基本系统参数的可验证的属性。最后，我们将我们的算法应用于不确定负载下的锂电池系统的最优热调节。
2021-10-20 cs.NA math.NA math.OC
Error analysis for parabolic optimal control problems with measure data in a nonconvex polygonal domain
本文针对非凸多边形区域带测度数据的低正则性抛物型最优控制问题，采用分段线性单元、分段常值函数和隐式Euler格式进行有限元离散，推导了先验与后验误差界并通过数值实验验证了收敛阶。
2024-03-10 cs.NA math.NA
Pontryagin's Principle Based Algorithms for Optimal Control Problems of Parabolic Equation
本文提出基于Pontryagin原理的增广逐次逼近法，用于求解半线性抛物方程的状态约束最优控制问题，并证明收敛性及数值有效性。
2025-01-22 cs.NA math.NA math.OC
Augmented Lagrange method for optimal control problems of parabolic equation with state constraints
针对带点态状态约束的抛物型方程最优控制问题，本文提出增广拉格朗日方法，证明原始变量强收敛与对偶变量弱收敛，用庞特里亚金原理推导的逐次逼近法（MSA）解子问题，数值实验验证算法收敛性。
2024-11-28 cs.NA math.NA math.OC
Moreau-Yosida regularization for optimal control of fractional PDEs with state constraints: parabolic case
研究了具有状态和控制约束的分数阶抛物型偏微分方程的最优控制问题。关键的挑战是如何处理国家的限制。同样，椭圆的情况下，在本文中，我们建立了几个新的数学工具，在抛物设置更广泛的兴趣。例如，在右手边有测量数据的分数阶抛物型方程解的存在性。我们采用Moreau-Yosida正则化来处理状态约束。我们建立了收敛速度，正则化的最优控制问题的原始之一。数值实验证实了我们在理论上所证明的。
2020-04-20 cs.NA math.AP math.NA
Optimal error estimates of the diffuse domain method for semilinear parabolic equations
Faculty of Science and Technology, University of Macau（澳门科技大学科学与技术学院）
针对不规则区域上带 Neumann 边界条件的半线性抛物方程，本文分析扩散区域方法的收敛性，并在加权 L2 与 H1 范数下证明最优误差估计，数值实验验证了理论结果。
2025-10-20 cs.NA math.NA
Optimal Time-Adaptivity for Parabolic Problems
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
针对非平稳偏微分方程，利用Radau IIA方法结合拟正交性与inf-sup稳定性等价的新方法，提出了首个在时间步数与逼近误差之间可证明率最优的自适应时间步进算法。
2026-05-29 cs.NA math.NA
Optimal $L^\infty(L^2)$ and $L^1(L^2)$ a posteriori error estimates for the fully discrete approximations of time fractional parabolic differential equations
本文针对时间分数阶抛物型方程的全离散逼近，在$L^\infty(L^2)$和$L^1(L^2)$范数下推导了最优后验误差估计，采用L1时间离散和协调有限元空间离散，并引入时空重构方法，数值实验验证了理论。
2023-11-12 cs.NA math.NA
Optimal-Transport Stability of Inverse Point-Source Problems for Elliptic and Parabolic Equations
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京雁栖湖应用数学研究院）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
本文通过最优传输理论建立了椭圆和抛物型方程逆点源问题的稳定性估计，利用伴随解与边界观测的联系，提供了统一的分析框架。
2025-12-26 cs.NA math.AP math.NA
Unstructured Space-Time Finite Element Methods for Optimal Sparse Control of Parabolic Equations
研究了半线性抛物型方程的最优稀疏控制问题的时空有限元法。该目标是一个标准的二次跟踪型功能，包括一个Tikhonov正则化项和$L^1$规范的控制，占其时空稀疏的组合。我们使用时空Petrov-Galerkin有限元离散相关的离散最优稀疏控制问题的一阶必要的最优性系统。离散化的基础上，采用分段线性有限元同时在空间和时间的变分制剂。最后，用半光滑牛顿法求解由前向-后向状态方程和伴随状态方程组成的离散非线性最优系统。
2020-03-31 cs.NA math.NA math.OC
Error estimates for space-time discretization of parabolic time-optimal control problems with bang-bang controls
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文推导了时间最优控制问题空间-时间离散化的先验误差估计，探讨了在不同假设下最优时间与控制变量的收敛性，特别研究了bang-bang控制的情况，并通过数值例子验证结果。
2018-09-18 cs.NA math.NA math.OC
Block $ω$-circulant preconditioners for parabolic optimal control problems
本文提出一类基于块 $ω$-循环的预条件子，通过快速傅里叶变换实现时间并行高效对角化，用于求解抛物型方程最优控制问题的全耦合线性系统，理论证明其特征值和奇异值分别聚集在 $\pm 1$ 和 1 附近，从而加速 Krylov 子空间方法收敛，并通过数值实验验证了有效性。
2024-06-03 cs.NA math.NA
A Certified Reduced Basis Method for Linear Parametrized Parabolic Optimal Control Problems in Space-Time Formulation
在这项工作中，我们提出了有效地解决不定常的参数化最优控制问题的抛物型偏微分方程通过认证的减少基方法。特别是，我们将利用一个误差估计程序，基于易于计算的数量，保证严格和有效的约束所涉及的变量的错误。首先，我们提出了手头的问题的分析，证明其适定性由于Nečas - Babuška理论的分布式和边界控制的时空制定。然后，我们推导出误差估计应用贪婪的方法在离线阶段，为了执行，在在线阶段，Galerkin投影到一个低维空间跨越适当选择的高保真度的解决方案。我们测试了两个模型问题的误差估计Graetz流：一个物理参数化的分布式最优控制问题和边界最优控制问题的物理和几何参数。结果已被比较到以前提出的界限，根据精确计算的Babuška inf-sup常数，在可靠性和计算成本。我们注意到，我们的研究结果仍然保持在稳定的设置，我们提出了一个简短的见解，也为这个更简单的配方。
2021-03-08 cs.NA math.NA
A posteriori error estimates for the two-step explicit exponential Adams method for parabolic equations
School of Mathematics and Statistics, Suzhou University of Technology（苏州科技大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Shanghai Normal University（上海师范大学数学系）
该研究针对抛物型方程，推导了变步显式两步指数Adams方法的最优阶后验误差估计，通过引入带二阶残差的近似重构实现最优阶估计，并经数值实验验证了方法的收敛阶与自适应算法的高效性。
2026-08-25 cs.NA math.NA
New time domain decomposition methods for parabolic optimal control problems II: Neumann-Neumann algorithms
针对无约束抛物型最优控制问题，提出基于时域分解的9种Neumann-Neumann算法变体，分析其收敛性与最优松弛参数，发现更优的高效求解器选择，并用数值实验验证。
2024-01-27 cs.NA math.NA math.OC
Functional a posteriori error estimates for time-periodic parabolic optimal control problems
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）；V. A. Steklov Institute of Mathematics in St. Petersburg（圣彼得堡V.A.斯捷洛夫数学研究所）；University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics（约翰·拉登计算与应用数学研究所）
本文研究了时间周期抛物状态方程分布式最优控制问题的多谐波有限元近似后验误差分析，推导出易于计算的功能型后验误差估计，提供状态和共态误差及成本函数的保证上界。
2015-11-18 cs.NA math.NA math.OC
Quasi-optimality of Petrov-Galerkin discretizations of parabolic problems with random coefficients
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；University of Cologne（科隆大学）
研究随机系数抛物型问题的Petrov-Galerkin离散化方法，证明解的矩存在性及近似最优误差估计。
2016-04-22 cs.NA math.AP math.NA
Space-time finite element discretization of parabolic optimal control problems with energy regularization
我们分析了在Bochner空间$L^2(0,T;H^{-1}(Ω))$中能量正则化的分布式抛物型最优控制问题的时空有限元数值解。利用对偶性，相关范数可以通过椭圆型拟定常边值问题的解来计算。当消除控制时，我们最终得到约化的最优性系统，它只不过是耦合的向前-向后原始方程和伴随方程的变分公式。利用Babuška定理，我们证明了在连续情况下的唯一可解性。此外，我们建立了任何协调时空有限元离散产生准最优离散化误差估计的离散inf-sup条件。各种数值例子证实了理论研究结果。我们强调，能量正则化的结果在一个更本地化的控制与更清晰的轮廓不连续的目标函数，这是证明了与$L^2$正则化和稀疏最优控制方法的比较。
2020-04-20 cs.NA math.NA math.OC
Efficient Solution of State-Constrained Distributed Parabolic Optimal Control Problems
针对带状态约束的热方程分布式跟踪型最优控制问题，提出基于时空有限元的求解方案，实现各向异性Sobolev范数高效计算，并用半光滑Newton法迭代求解离散变分不等式。
2024-10-08 cs.NA math.NA math.OC
Parabolic PDE-constrained optimal control under uncertainty with entropic risk measure using quasi-Monte Carlo integration
本文针对带随机热扩散系数和抛物型PDE约束的最优控制问题，提出定制化拟蒙特卡洛方法以高效计算期望值与熵风险度量中的高维积分，并证明其误差率与随机维度无关且优于普通蒙特卡洛方法。
2024-03-27 cs.NA math.NA math.OC
Some notes concerning preconditioning of linear parabolic optimal control problems
本文研究带Neumann边界条件的线性抛物型最优控制问题的条件数，证明约化问题条件数与离散水平无关，并基于已有工作提出全耦合方法的预处理器，其特征值分布也与离散水平无关，数值实验验证了结果与预处理器的有效性。
2025-03-21 cs.NA math.NA math.OC
Shape turnpike for linear parabolic PDE models
本文从最优控制的观点出发，介绍并研究了时变形状的收费公路性质。在这里，我们专注于二阶线性抛物型方程的形状作为一个源项，我们寻求最佳的时变形状，最大限度地减少了二次标准。我们首先在适当的充分条件下证明了最优解的存在性。然后，我们提供了必要条件的最优性的伴随方程，并使用严格耗散的概念，我们证明了状态和伴随满足测量收费公路属性，这意味着极值时变解仍然基本上接近相关的静态问题的最优解。我们发现，最佳形状享有指数收费公路财产的Hausdorff距离的迈耶二次成本。我们用几个数值模拟来说明最佳形状设计中的收费公路现象。
2020-06-22 cs.NA math.AP math.NA
Analysis and approximation to parabolic optimal control problems with measure-valued controls in time
本文研究时间上带测度值控制的抛物型最优控制问题，建立适定性与一阶最优性条件并揭示时间稀疏结构，采用时空有限元离散，证明了控制的弱-*收敛性及状态收敛阶。
2024-04-03 cs.NA math.NA math.OC
Optimal error estimate of the finite element approximation of second order semilinear non-autonomous parabolic PDEs
本文研究了二阶非自治半近抛物型偏微分方程的有限元法的数值逼近。据我们所知，只有线性的情况下，在文献中进行了研究。在非线性项的多项式增长条件下，利用依赖于两个参数的演化算子，得到了该格式对偏微分方程温和解的误差估计。我们的收敛速度获得光滑和非光滑的初始数据，是类似的自治的情况。在数值分析中，光滑初值下的收敛性结果是非常重要的.例如，在用有限元法逼近非自治随机偏微分方程方面向前迈进了一步。此外，我们提供了现实的非线性条件，适当地实现最佳的收敛速度没有对数减少利用两个参数的演化算子的光滑性能。
2020-01-23 cs.NA math.FA math.NA
External optimal control of fractional parabolic PDEs
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico (Rio Piedras Campus), College of Natural Sciences（波多黎各大学（里奥皮埃拉斯校区）自然科学学院）
本文提出了一种新的最优控制概念，用于解决分数抛物型PDEs作为约束的反问题，允许在PDE所满足的领域外放置源或控制。本文讨论了Dirichlet、Neumann和Robin情况。对于分数椭圆型PDEs，这一概念最近由作者在文献中进行了研究。这些新最优控制概念的必要性源于经典PDE模型只能在边界或PDE所满足的内部放置源或控制，而分数算子的非局部行为现在允许在外部放置控制。本文引入了抛物型Dirichlet问题的弱解和非常弱解的概念，并提出了一种通过抛物型Robin解近似抛物型Dirichlet解的方法（并讨论了收敛速率）。对Dirichlet和Robin最优控制问题进行了完整分析。数值实验验证了我们的理论发现，并进一步展示了非局部模型相对于局部模型的潜在优势。
2019-04-11 cs.NA math.AP math.NA
New time domain decomposition methods for parabolic control problems I: Dirichlet-Neumann and Neumann-Dirichlet algorithms
针对无约束抛物型最优控制问题，提出带时域分解的新型Dirichlet-Neumann与Neumann-Dirichlet算法，分析其收敛性与最优松弛参数，发现更优的高效求解器选择并通过数值实验验证。
2023-08-24 cs.NA math.NA math.OC
Weak Scalability of time parallel Schwarz methods for parabolic optimal control problems
Lund University（隆德大学）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出时间并行Schwarz方法用于抛物型最优控制问题，分析其弱可扩展性并验证理论结果。
2026-03-08 cs.NA math.NA math.OC
Reduced Order Model Predictive Control for Parametrized Parabolic Partial Differential Equations
模型预测控制（MPC）是解决无限时域最优控制问题的成熟方法。由于在无限时间范围内的优化通常是不可行的，MPC通过重复求解有限时间最优控制问题来确定次优反馈控制。虽然MPC已经成功地用于许多应用中，但是将MPC应用于大规模系统--例如，通过偏微分方程的离散化--需要解决高维最优控制问题，因此造成巨大的计算工作量。我们考虑由参数化抛物型偏微分方程控制的系统，并采用缩减基（RB）方法作为有限时间最优控制问题的低维代理模型。降阶最优控制作为原大系统的反馈控制。我们分析了建议RB-MPC方法，首先开发一个后验误差界的错误，在最优控制和相关的成本功能。这些界限可以有效地评估在离线-在线计算过程中，并允许我们保证渐近稳定性的闭环系统使用RB-MPC方法在几个实际情况下。我们还提出了一种自适应策略来选择有限时间最优控制问题的预测范围。数值结果来说明我们的方法的理论特性。
2022-10-25 cs.NA math.NA math.OC
Optimal and Low-Memory Near-Optimal Preconditioning of Fully Implicit Runge-Kutta Schemes for Parabolic PDEs
Runge-Kutta（RK）格式，特别是Gauss-Legendre和其他一些全隐式RK（FIRK）格式，由于其A-稳定性和高阶精度，在抛物型偏微分方程的时间积分中是理想的。然而，这是显着更具挑战性的构造最佳预条件相比，对角隐式RK（或DIRK）计划。为了解决这一挑战，我们首先引入数学上最优的预条件，称为块复舒尔分解（BCSD），块实舒尔分解（BRSD），和块约旦形式（BJF），由块循环预条件和约旦形式解决方案技术IRK的动机。然后，我们得到了一个有效的，近最佳的单对角近似BRSD（SABRSD）的近似实Schur分解中的准三角矩阵使用一个优化的上三角形矩阵与一个单一的对角线值。SABRSD的一个理想特性是它具有与单个DIRK（SDIRK）相当的内存需求和因子分解（或设置）成本。在这些预处理技术中，我们使用具有（近）线性复杂度的不完全因式分解来近似对角块，例如多级ILU，ILU（0）或具有基于ILU的平滑器的多重网格方法。本文将右预处理GMRES中的块预处理子应用于三维对流扩散方程的有限元和有限差分法求解。我们表明，BCSD，BRSD和BJF显着优于其他预条件的GMRES迭代，和SABRSD是有竞争力的，他们和现有技术的计算成本方面，同时需要最少的内存。
2021-06-13 cs.NA math.AP math.NA
Control-constrained parabolic optimal control problems on evolving surfaces - theory and variational discretization
Universität Hamburg（汉堡大学）
针对演化曲面上的控制约束线性二次最优控制问题，证明了状态方程弱解的存在唯一性，并提出了变分离散化方法，证明了其收敛性，在弱正则性假设下获得了最优收敛阶。
2011-09-16 cs.NA cs.SY eess.SY
Finite element analysis of the Dirichlet boundary control problem governed by linear parabolic equation
本文对一类线性抛物型方程的Dirichlet边界控制问题进行了有限元分析。在能量空间$H^1(Ω\times(0,T)).$的一个闭凸子集上考虑Dirichlet控制问题，证明了该控制问题的适定性，并讨论了一些正则性结果。我们导出了最优控制问题的最优性系统。一阶必要最优性条件导致简化的Signorini型问题的控制变量。状态变量的空间离散采用协调有限元，而时间离散采用间断伽辽金法。为了离散控制，我们使用协调棱柱拉格朗日有限元。我们得到了控制误差、状态误差和伴随状态误差的最优收敛阶。理论结果得到了数值试验的证实。
2021-11-03 cs.NA math.AP math.NA
Optimal control of a quasilinear parabolic equation and its time discretization
本文研究拟线性抛物方程的最优控制，基于梯度流模型，通过隐式时间离散化，证明了控制到状态算子的存在性、Lipschitz连续性及全局极小值的存在性，并给出离散最优控制的收敛性。
2022-04-29 cs.NA math.AP math.NA
