Some notes concerning preconditioning of linear parabolic optimal control problems
本文研究带Neumann边界条件的线性抛物型最优控制问题的条件数，证明约化问题条件数与离散水平无关，并基于已有工作提出全耦合方法的预处理器，其特征值分布也与离散水平无关，数值实验验证了结果与预处理器的有效性。
2025-03-21 cs.NA math.NA math.OC
The bang-bang property in some parabolic bilinear optimal control problems \emph{via} two-scale asymptotic expansions
我们调查的bang-bang属性相当一般类的$L^\infty-L^1$约束双线性最优控制问题在两种情况下：一维环面，在这种情况下，我们考虑抛物方程，和一般$d$维域的时间离散抛物模型。这种研究的动机是在应用数学中的几个应用，最重要的是在反应扩散模型的研究。一维情况下的主方程写为$\partial_t u_m-Δu_m=mu_m+f(t,x,u_m)$，其中$m=m(x)$是控制，其必须满足一些$L^\infty$界限（$0\leq m\leq 1$ a.e.）以及$L^1$约束（$\int m=m_0$是固定的），并且其中$f$是非线性，其必须仅满足该方程的任何解在任何给定时间为正。时间离散模型只是这些方程的时间离散化。我们寻求优化的泛函是相当一般的;在环面的情况下，他们写为$\mathcal J(m)=\iint_{(0,T)\times \mathbb T} j_1(t,x,u_m)+\int_{\mathbb T} j_2(x,u_m(T,\cdot))$。粗略地说，我们证明在这篇文章中，如果$j_1$和$j_2$增加，那么任何最大化$m^*$的$\mathcal J$是bang-bang在这个意义上，它写$m^*=1_E$的一些子集$E$的环面。应该注意的是，这样的结果重写为形状优化问题的存在性。我们的证明依赖于二阶最优性条件，结合两个尺度的渐近展开的精细研究。在这篇文章…
2023-02-23 math.AP math.OC
Variational discretization of parabolic control problems on evolving surfaces with pointwise state constraints
本文研究了具有逐点状态约束的演化曲面上的线性二次偏微分方程约束最优控制问题。我们重新制定的最优化问题在一个固定的表面和近似的重新制定的问题的离散控制问题的基础上离散的状态方程的线性有限元在空间和时间上的间断Galerkin计划。我们证明了控制和状态的误差界。
2016-04-26 math.OC
Control-constrained parabolic optimal control problems on evolving surfaces - theory and variational discretization
Universität Hamburg（汉堡大学）
针对演化曲面上的控制约束线性二次最优控制问题，证明了状态方程弱解的存在唯一性，并提出了变分离散化方法，证明了其收敛性，在弱正则性假设下获得了最优收敛阶。
2011-09-16 cs.NA cs.SY eess.SY
Crank-Nicolson time stepping and variational discretization of control-constrained parabolic optimal control problems
考虑一类控制约束抛物型最优控制问题，并采用变分离散化方法对其进行时间半离散化。状态方程用Petrov-Galerkin格式处理，状态方程采用分段常数Anckle，测试函数采用分段线性、连续的检验函数。这导致状态和伴随状态的Crank-Nicolson方案的变体。利用超收敛的结果，我们证明了二阶收敛的时间误差的控制。此外，分段线性和连续的抛物线投影的离散状态的双重时间网格上提供了一个二阶收敛近似的最佳状态，而无需进一步的数值工作。数值实验证实了我们的分析结果。
2015-03-06 math.OC
Error estimates for an unregularized optimal control problem for the stationary Navier-Stokes equations
Universidad de Santiago de Chile（智利圣地亚哥大学）；Eberhard-Karls-Universität Tübingen（蒂宾根大学）
针对稳态Navier-Stokes方程的非正则最优控制问题，证明了最优解的存在性、一阶和二阶最优性条件，采用变分离散化方案并推导了局部最优控制的先验误差估计，同时提出了残差型后验误差估计器并证明了其可靠性。
2026-05-24 cs.NA math.NA math.OC
Unstructured Space-Time Finite Element Methods for Optimal Sparse Control of Parabolic Equations
研究了半线性抛物型方程的最优稀疏控制问题的时空有限元法。该目标是一个标准的二次跟踪型功能，包括一个Tikhonov正则化项和$L^1$规范的控制，占其时空稀疏的组合。我们使用时空Petrov-Galerkin有限元离散相关的离散最优稀疏控制问题的一阶必要的最优性系统。离散化的基础上，采用分段线性有限元同时在空间和时间的变分制剂。最后，用半光滑牛顿法求解由前向-后向状态方程和伴随状态方程组成的离散非线性最优系统。
2020-03-31 cs.NA math.NA math.OC
Analysis of a discretization of a distributed control problem with a stochastic evolution equation
本文分析了一类随机抛物型最优控制问题的离散化，其中扩散项包含控制变量。对于粗糙数据，证明了离散化的收敛性。此外，还提出了一种蒙特卡罗方法。
2022-08-30 cs.NA math.NA math.OC
Unstructured space-time finite element methods for optimal control of parabolic equations
本文提出并分析了抛物型最优控制问题的时空有限元法在完全非结构化单纯时空网格上的数值解。利用Babuška定理，我们证明了一个典型的线性状态方程模型问题的一阶最优性系统的适定性，但没有控制约束。这是为连续和离散的水平。基于这些结果，我们得到了离散化误差估计。然后考虑Schlögl模型的半线性抛物型最优控制问题。相关的非线性最优性系统的解决牛顿法，其中一个线性系，这是类似的一阶最优性系统考虑的线性模型的问题，必须解决在每个牛顿步骤。我们提出了各种数值实验，包括自适应时空有限元离散剩余型误差指标的基础上的结果。在最后两个例子中，我们也考虑了半线性抛物型最优控制问题的框约束的控制。
2020-04-04 cs.NA math.NA math.OC
Second-Order Analysis and Numerical Approximation for Bang-Bang Bilinear Control Problems
本文考虑双线性最优控制问题，其目标泛函不依赖于控制。因此，bang-bang解决方案将会出现。我们研究了在$L^1$中的砰砰控制的二阶充分条件，该条件保证了目标泛函的局部二次增长。此外，我们证明，对于控制，不是邦邦邦，没有这样的增长可以预期。最后，我们研究了有限元离散化，证明了砰砰控制在$L^1$ -范数下的误差估计。
2017-07-21 math.OC
Optimal control of a quasilinear parabolic equation and its time discretization
本文研究拟线性抛物方程的最优控制，基于梯度流模型，通过隐式时间离散化，证明了控制到状态算子的存在性、Lipschitz连续性及全局极小值的存在性，并给出离散最优控制的收敛性。
2022-04-29 cs.NA math.AP math.NA
Numerical analysis of a Neumann boundary control problem with a stochastic parabolic equation
研究了一类随机抛物型方程的Neumann边界控制问题的离散化问题，其中Neumann边界条件中存在加性噪声。对一般的滤波建立了收敛性，对Q-Wiener过程的自然滤波导出了收敛速度$ O(τ^{1/4-ε} + h^{1/2-ε}) $.
2022-09-02 cs.NA math.NA math.OC
A new error analysis for parabolic Dirichlet boundary control problems
本文研究了抛物型 Dirichlet 边界控制问题的有限元逼近，通过结合 DG(0) 与变分离散化方法，在时间半离散和全离散下建立了新的先验误差估计，并去除了空间与时间步长间的网格条件限制，改进了已有结果。
2023-06-28 cs.NA math.NA math.OC
Optimal control of a parabolic fractional PDE: analysis and discretization
我们考虑分数阶拉普拉斯算子的积分定义，并分析了所谓的分数阶热方程的线性二次最优控制问题，控制约束也被考虑。我们得到的存在性和唯一性结果，一阶最优性条件，和最优变量的正则性估计。为了离散的状态方程方程，我们提出了一个完全离散的计划，依赖于隐式有限差分离散时间结合分段线性有限元离散空间。我们得到稳定性结果和一个新的$L^2(0,T;L^2(Ω))$先验误差估计。在上述求解方法的基础上，我们提出了一个完全离散的方案，我们的最优控制问题，离散的控制变量与分段常数函数，并推导出一个先验的误差估计。
2020-06-22 math.OC
A finite element method for Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs
本文研究凸多边形区域上抛物型偏微分方程控制的Dirichlet边界控制问题的有限元逼近。基于状态方程的极弱解和$L^2(0,T;L^2(Γ))$作为控制空间，保证了最优控制问题解的存在唯一性。对于状态方程的数值离散，我们使用标准的分段线性和连续有限元用于状态的空间离散，而dG（0）格式用于时间离散。Dirichlet边界控制通过时空$L^2$投影实现。我们考虑分段线性，连续有限元逼近和变分离散的控制，并推导出一个先验的$L^2$误差界的控制和状态。最后，我们提出的数值例子来支持我们的理论研究结果。
2014-10-01 math.OC
An observability for parabolic equations from a measurable set in time
Wuhan University（武汉大学）
本文针对凸域上的抛物型方程，通过时间单点定量唯一延拓，建立了在空间开子集与时间正测集乘积区域上的新可观测性估计，并应用于范数和时间最优控制问题的bang-bang性质。
2011-09-18 cs.SY eess.SY math.AP
Finite element analysis of the Dirichlet boundary control problem governed by linear parabolic equation
本文对一类线性抛物型方程的Dirichlet边界控制问题进行了有限元分析。在能量空间$H^1(Ω\times(0,T)).$的一个闭凸子集上考虑Dirichlet控制问题，证明了该控制问题的适定性，并讨论了一些正则性结果。我们导出了最优控制问题的最优性系统。一阶必要最优性条件导致简化的Signorini型问题的控制变量。状态变量的空间离散采用协调有限元，而时间离散采用间断伽辽金法。为了离散控制，我们使用协调棱柱拉格朗日有限元。我们得到了控制误差、状态误差和伴随状态误差的最优收敛阶。理论结果得到了数值试验的证实。
2021-11-03 cs.NA math.AP math.NA
Maximal discrete sparsity in parabolic optimal control with measures
考虑了由时空测度控制所支配的抛物型最优控制问题的变分离散化。对于状态离散化，我们使用的Petrov-Galerkin方法采用分段恒定状态和分段线性和连续的检验函数的时间。对于空间离散化，我们使用分段线性和连续函数。因此，控制由时空中的狄拉克测度组成，以离散空间-时间网格上的点为中心。我们证明了最佳离散状态和控制强收敛$L^q$和弱$*$ $\mathcal{M}$，分别到他们的光滑的同行，其中$q \in (1,\min\{2,1+2/d\}]$是空间维度。此外，我们比较了我们的方法，由Casas，E。和Kunisch，K.，其中相应的控制问题是离散化的，采用不连续Galerkin方法的状态离散化和离散控制是分段常数的时间和狄拉克措施在空间中。数值实验突出了我们的离散方法的功能。
2019-11-22 math.OC
Numerical modeling and open-source implementation of variational partition-of-unity localizations of space-time dual-weighted residual estimators for parabolic problems
本文针对抛物问题提出基于单位分解弱形式的时空目标导向后验误差估计器，用于时空自适应，并通过数值示例验证其有效性。
2024-02-04 cs.NA math.NA math.OC
Analysis and approximation to parabolic optimal control problems with measure-valued controls in time
本文研究时间上带测度值控制的抛物型最优控制问题，建立适定性与一阶最优性条件并揭示时间稀疏结构，采用时空有限元离散，证明了控制的弱-*收敛性及状态收敛阶。
2024-04-03 cs.NA math.NA math.OC
Null controllability for stochastic semi-discrete parabolic equations
本文研究随机半离散抛物型方程的零能控性，通过建立依赖离散化参数的显式可观测性估计和新的Carleman估计，证明了一类随机半离散抛物型方程的零能控性。
2024-02-20 math.OC
Carleman estimates for semi-discrete parabolic operators with a discontinuous diffusion coefficient and application to controllability
在一维有限差分的离散设置中，我们证明了抛物算子$\partial_t-\partial_x (c\partial_x)$的半离散化的Carleman估计，其中扩散系数$c$具有跳跃.作为这个Carleman估计的结果，我们推导出一致的零可控性的半线性抛物型方程类的结果。
2012-11-09 math.AP math.OC
Approximate control of parabolic equations with on-off shape controls by Fenchel duality
本文研究了线性抛物线方程的开关形状控制，利用Fenchel-Rockafellar对偶和浴缸原理构造性地证明了小时间近似可控性，并给出了控制集受限时不可控的结论。
2024-01-08 math.AP math.OC
A Semidiscrete Galerkin Scheme for Backward Stochastic Parabolic Differential Equations
本文给出了抛物型倒向随机偏微分方程初边值问题的一个数值解法。基于Galerkin方法，我们用一族倒向随机微分方程（BSDEs，简称BSDEs）逼近原方程，然后通过时间离散求解这些BSDEs。结合空间变量的截断和时间变量的后向欧拉法，得到了全局$L^2$误差估计。
2015-07-15 math.OC
Abstract nonlinear sensitivity and turnpike analysis and an application to semilinear parabolic PDEs
我们分析了非线性最优控制问题的一阶必要最优性条件所引起的极值方程对动力学和初始数据扰动的敏感性。为此，我们提出了一个抽象的隐函数方法与缩放空间。我们将把这种抽象方法应用于由半线性偏微分方程控制的问题。在这种情况下，我们证明了一个指数收费公路的结果，并表明，扰动的极值方程的动态，例如，离散化误差随时间呈指数衰减。后者可以用于非常有效的离散化计划在模型预测控制器，其中只有一部分的解决方案需要准确计算。我们展示的理论结果，通过两个例子与一个非线性热方程的二维区域。
2022-03-01 math.AP math.OC
Carleman estimate for semi-discrete stochastic parabolic operators in arbitrary dimension and applications to controllability
该文研究任意维半离散随机抛物算子，证明空间半离散的零能控随机抛物系统不具零能控性，同时通过推导半离散倒向随机伴随系统的新Carleman估计得到松弛能观不等式，将其用于导数φ-零能控性分析。
2025-07-31 math.OC
Optimal Control of Parabolic Differential Equations Using Radau Collocation
University of Florida（佛罗里达大学）；Air Force Research Laboratory（空军研究实验室）
本文提出了一种求解由抛物型偏微分方程支配的最优边界控制问题的数值方法，通过状态和控制参数化将连续空间-时间最优控制问题转化为稀疏非线性规划问题，采用多区间翻转勒让德-高斯-拉达乌配方法进行时间离散化，并结合伽辽金有限元空间离散化。
2026-03-14 math.OC
Space-time Galerkin POD with application in optimal control of semi-linear parabolic partial differential equations
在偏微分方程Galerkin离散的背景下，经典的本征正交分解（POD）方法的模可以解释为低维Galerkin格式的前向函数和测试函数.如果还考虑用于时间积分的Galerkin方法，则可以类似地定义时间分量的POD缩减。这已经在前面描述过了，但没有进行扩展--可能是因为减少的时间离散化将时间全球化，这在计算上是低效的。然而，在有限时间最优控制系统中，时间\textit{is}是一个全局变量，在时间上使用POD约化Galerkin格式没有缺点。本文给出了一种新的时空Galerkin最优控制理论，证明了它在相关函数空间中的最优性，并给出了它在非线性偏微分方程最优控制中的应用，最后通过Burgers方程的数值算例，讨论了它与标准方法的比较.
2016-11-12 math.OC
Variational discretization approach applied to an optimal control problem with bounded measure controls
本文考虑了具有初始控制的抛物型最优控制问题。成本函数由对应于在最终时刻的状态的观测的跟踪项组成。代替成本泛函中的正则化项，我们遵循E. Casas和K. Kunisch，并考虑了初始控制的测度范数的一个界.问题的变分离散化与最优性条件一起导致初始控制的最大离散稀疏性，即空间中的Dirac测度。我们提出了数值实验来说明我们的方法。
2020-08-17 math.OC
Stabilization of semilinear PDE's, and uniform decay under discretization
这些笔记是作者于2015年6月在Chamb{é}ry的暑期学校开设的短期课程中发布的。我们考虑一般的半线性偏微分方程，我们解决了以下两个问题：1）如何设计一个有效的反馈控制局部稳定的方程渐近到0？2)如何从近似方案构造这样的稳定反馈？为了解决这些问题，我们区分抛物和双曲半线性偏微分方程。抛物的意思是系统下的线性算子生成一个解析半群。通过双曲，我们的意思是这个算子是斜伴随的。我们首先回顾一般的结果，允许一个考虑的非线性项作为一个扰动，可以被吸收时，能够构建一个李雅普诺夫函数的线性部分。我们回顾特别是一些已知的结果借用黎卡提理论。然而，由于Riccati算子的数值实现是计算上的要求，我们专注于能够设计“简单”的反馈的问题。对于抛物型方程，我们描述了一种方法，包括设计一个稳定的反馈，基于一个小的有限维（谱）近似的整个系统。对于双曲型方程，我们专注于简单的线性或非线性反馈，我们调查的问题，获得尖锐的衰减结果。当考虑离散化方案时，在连续模型中获得的衰减一般不能保留为离散模型，我们解决了在数值方案中添加适当的粘性项的问题，以恢复均匀的衰减。我们认为空间，时间，然后充分离散化，我们特别报告在文献中获得的最新结果。最后，我们描述了几个开放的问题和议题。
2015-06-19 math.AP math.OC
Optimization of the first mixed boundary value problem for parabolic differential inclusions in a three spatial dimension
研究了抛物型微分包含（DFI）第边值问题的Laplace算子优化问题。为此，定义了一个抛物离散包含问题，这是主要的辅助问题。利用局部伴随映射，证明了抛物离散包含最优性的充要条件。然后，利用抛物型DFI的离散化方法和已有的离散包含最优性条件，给出了Euler-Lagrange型包含形式的离散近似问题的充要条件.因此，使用专门证明的等价定理，没有它几乎不可能得到所需的结果所提出的问题，我们建立充分的最优性条件的抛物型DFI。为了证明上述方法，一些线性问题和多面体优化抛物型夹杂物进行了研究。
2021-03-31 math.OC
Implementation of the ADMM to Parabolic Optimal Control Problems with Control Constraints and Beyond
具有控制约束的抛物型最优控制问题无论从理论分析还是算法设计的角度来看都是具有挑战性的。从概念上讲，众所周知的交替方向法的乘法器（ADMM）可以直接应用于这样的问题。这种直接ADMM应用的一个有吸引力的优点是，控制约束可以从抛物线PDE约束中解脱出来;因此，这两个固有的不同约束可以在迭代中单独处理。在ADMM的每一次迭代中，主要的计算是求解一个无约束抛物型最优控制问题。由于离散化后的高维性，每次迭代时的无约束抛物型最优控制问题只能通过内部实现某种数值格式来不精确求解，因此需要两层嵌套迭代格式。然后，重要的是要找到一个容易实现的和有效的不精确性准则来执行内部迭代，并严格证明所得到的两层嵌套迭代方案的整体收敛性。为了有效地实现ADMM，我们提出了一个不精确的标准，这是独立的网格步长的离散化，它可以自动执行，而不需要设置经验感知的恒定精度先验。不精确性准则使我们能够将无约束最优控制问题求解到中等甚至低精度，从而显著地节省了计算量，但仍能严格保证整个两层嵌套迭代格式的收敛性.这个ADMM实现的效率是有希望的初步数值结果验证。我们的方法也可以扩展到其他线性偏微分方程，如椭圆方程和双曲型方程约束的最优控制问题。
2020-05-04 math.OC
Null controllability for stochastic fourth order semi-discrete parabolic equations
本文针对空间有限差分离散、时间连续的随机四阶半离散抛物型方程，通过建立依赖网格尺寸的全局Carleman估计和松弛可观测性估计，并利用对偶技巧证明了其$ϕ$-零能控性。
2024-05-06 math.OC math.PR
