基于八元数酉群的离散力学

伽利略线群的酉表示：量子力学等效原理

Unitary representations of the Galilean line group: Quantum mechanical principle of equivalence

本文给出了非惯性参考系中伽利略量子力学的一种形式，并讨论了它对等效原理的影响。这种量子力学的扩展依赖于伽利略线群，即实数线与从实数线到三维欧氏群的解析函数群的半直积。该组提供所有惯性和非惯性参考系之间的变换，并包含Galilei组作为一个子组。我们构造了伽利略线群的一类酉表示，并证明了这些表示决定了非惯性参考系中量子力学的结构。我们对伽利略线群的表示包含了伽利略群通常的酉射影表示，但有一个更复杂的上循环结构。伽利略线群下的哈密顿量的变换公式表明，在非惯性参考系中，它获得了一个与惯性质量成正比的虚势能项，这表明了量子力学中惯性质量和引力质量的等价性。

Galilei群酉表示的经典动力学

Classical dynamics from a unitary representation of the Galilei group

我们用作用在希尔伯特空间上的算子的语言给出了经典力学的一个公式。给出的公式来自于伽利略群的一个酉不可约表示，它符合经典力学的基本假设，特别是粒子的位置和动量之间没有不确定原理。结果表明，本文所揭示的理论包含了经典力学的Koopman-von Neumann形式作为特例。

前量子力学整体酉不变矩阵模型的统计动力学

Statistical Dynamics of Global Unitary Invariant Matrix Models as Pre-Quantum Mechanics

我们认为经典的玻色子和费米子矩阵变量在复杂的希尔伯特空间，定义的跟踪行动，假设循环不变性下的跟踪和存在的全球酉不变性。通过合理的和明确的假设，包括基础动力学和观测物理之间存在一个大的尺度层次，我们证明了：（1）在正则系综中，这个矩阵动力学的平衡统计力学产生了一个涌现的量子力学，包括标准的正则对易/反对易关系和算符和态的通常的么正海森堡和薛定谔图像时间演化，（2）对这种热动力学的涨落或布朗运动修正导致薛定谔方程的能量驱动的随机修正，已知这意味着用玻恩规则概率进行状态矢量约化。因此，量子力学及其概率解释都是作为底层迹动力学中的涌现现象而出现的。

利用酉量子力学的五希尔伯特空间重构的非厄米特系统的微扰响应理论

Theory of response to perturbations in non-Hermitian systems using five-Hilbert-space reformulation of unitary quantum mechanics

在传统的薛定谔表象中，束缚态演化的么正性由哈密顿量的厄米性保证。一个非幺正等谱简化的哈密顿量，$\mathfrak{h} \to H=Ω\,\mathfrak{h}\,Ω\neq H^\dagger$诱导的变化${\cal L} \to {\cal K}$的希尔伯特空间的状态，反映了损失的厄米性的$H\neq H^\dagger$。在这种理论的重新表述中，{ \it ad hoc}内积度量的引入将${\cal K}$重新转换为第三个正确的物理希尔伯特空间${\cal H}$，酉等价于${\cal L}$。在${\cal PT}-$对称性或相对论性量子力学中遇到的情况，在包含微扰之后，表现得更为复杂。提出了问题的形式和求解方法。一些相关的后果，例如，在稳定性分析中的作用进行了讨论。

正则相对论性量子力学：酉半直接海森堡群U（1，3）*s H（1，3）的表示

Canonically Relativistic Quantum Mechanics: Representations of the Unitary Semidirect Heisenberg Group, U(1,3) *s H(1,3)

玻恩提出了狭义相对论和量子力学的统一，通过互易原理将位置、时间、能量和动量置于同等地位，并通过一个新的基本常数将通常的位置-时间和能量-动量线元素结合起来，将它们扩展到这个空间。还要求辛度量的不变性产生U（1，3）作为不变性群，其非齐次对应群是正则相对论群CR（1，3）= U（1，3）*s H（1，3）其中H（1，3）是4维海森堡群，“*s”是半直积。这是庞加莱群理论中的对应物，并在适当的限度内简化为预期的狭义相对论和经典哈密顿力学变换方程。这个群有庞加莱群作为一个子群，并且本质上是量子的，位置，时间，能量和动量算子满足海森堡代数。研究了代数的表示，计算了Casimir不变量.像庞加莱群一样，它有一个小的群用于（“大规模”）静止帧和空帧。前者是U（3），它显然包含SU（3），后者是Os（2），它包含SU（2）*U（1）。

论量子理论的完善。II：酉时间演化

An Essay on the Completion of Quantum Theory. II: Unitary Time Evolution

在“完成量子理论的论文”的第二部分中，我们定义了{完成的量子力学的\em么正设置}，方法是在第一部分（arXiv：1711.08643）的基础上，增加了在几何空间中选择北极N和南极S的固有数据。然后，我们解释了在酉情形下，一个完全可观测量对应于几何空间上的一个右（或左）不变向量场（Hamilton场），{ \em酉时间演化}就是这样一个向量场的流.这种解释实际上只不过是李群-李群代数对应，对于一个可以解释为通常的厄米特算子空间的凯莱变换的几何空间。为了澄清这种设置的几何性质，我们实现的凯莱变换作为一个自然的八面体组，可以与任何三重成对的横向元素的成员。

从几何量子力学到量子信息

From Geometric Quantum Mechanics to Quantum Information

我们考虑量子力学的几何化。然后，我们专注于拉回的Fubini研究度量张量场从投影希尔伯特空间的轨道的本地酉群。这些张量场的内积使我们能够得到的功能下所考虑的当地酉群不变。这个过程铺平了道路的算法方法来识别纠缠单调候选人。最后，Fubini研究度量和量子版本的Fisher信息度量之间的联系进行了讨论。

克莱因纲领与量子力学

Klein's programme and Quantum Mechanics

我们回顾了量子力学的几何公式，根据克莱因的方案，确定相应的变换群。对于封闭系统，它是酉群。对于开放量子系统，Kraus映射半群包含一般线性群作为极大子群。当把与量子系统相关的$C^{*}$ --代数看作李代数时，同一群作为它的指数化而出现。因此，开放量子系统似乎将一般线性群与量子力学联系在一起，而且建议将克莱因方案也扩展到群胚。通常的酉群作为一般线性群的极大紧子群出现。

离散相空间上相点算子辛群的酉表示

Unitary Representation of Symplectic Group for Phase Point Operators on Discrete Phase Space

相点算符$Δ(q,p)$是经典相点$(q,p)$的量子力学对应物。$Δ(q,p)$的离散形式由Cohendet等人针对奇数个格点而由Leonhardt针对偶数个格点而制定。这两个版本都有辛协变性，这在量子力学中具有根本的重要性。然而，在协方差关系中出现的辛群的投影表示的明确形式还不知道。我们在本文中显示的存在性和唯一性的表示，并描述了一种方法来构造它使用欧几里德算法。

非厄米相互作用表象及其在相对论量子力学中的应用

Non-Hermitian interaction representation and its use in relativistic quantum mechanics

在量子力学中，幺正演化最常被描述在一个预先选定的希尔伯特空间${\cal H}^{(textbook)}$中，其中，由于斯通定理，薛定谔图像哈密顿量是自伴的，$\mathfrak{h}=\mathfrak{h}^\dagger$。通过幺正变换，人们还可以将理论转化为（即，通常是微分演化方程）到海森堡或相互作用图。一旦我们决定将${\cal H}^{(textbook)}$视为新的辅助希尔伯特空间${\cal H}^{(friendlier)}$的“戴森”非酉一对一图像，则相应的（即，假定，用户友好）的化身$H= Ω^{-1}\mathfrak{h}Ω$的薛定谔图片汉密尔顿保持描述相同的物理，但成为非自伴在${\cal H}^{(friendlier)}$。当然，理论的完善需要戴森提出的在${\cal H}^{(friendlier)}$中重新安装斯通定理。这通常是通过对内积进行专门的重新定义来实现的，即，形式上，通过移动到第三希尔伯特表示空间${\cal H}^{(standard)}$。在一些细节，我们表明，在非平稳戴森启发海森堡和相互作用的图片设置所产生的描述的幺正演化变得技术上更加复杂。作为一个例子，我们描述了一个应用程序的克莱因-戈登方程的空间和时间依赖的质量项。

最大量子力学对称性：非齐次辛群的投影表示

Maximal quantum mechanical symmetry: Projective representations of the inhomogenous symplectic group

量子力学中的对称性由李对称群的投影表示来描述，该李对称群在物理量子态之间变换，使得态的模的平方不变。海森伯对易关系是量子力学的基础，它必须在所有这些物理状态中有效。本文证明了其射影表示以这种方式保持海森堡对易关系的最大量子对称群是非齐次辛群。射影表示等价于非齐次辛群的中心扩张的酉表示。这个中心扩展群是辛群和外尔-海森堡群的覆盖的半直积。它的酉不可约表示使用Mackey表示定理的半直积群明确计算。

Decay estimates for unitary representations with applications to continuous- and discrete-time models

We present a new technique to obtain polynomial decay estimates for the matrix coefficients of unitary operators. Our approach, based on commutator methods, applies to nets of unitary operators, unitary representations of topological groups, and unitary operators given by the evolution group of a self-adjoint operator or by powers of a unitary operator. Our results are illustrated with a wide range of examples in quantum mechanics and dynamical systems, as for instance Schrödinger operators, Dirac operators, quantum waveguides, horocycle flows, adjacency matrices, Jacobi matrices, quantum walk…

Representations of commutation relations in Dissipative Quantum Mechanics

We prove the uniqueness theorem for the solutions to the restricted Weyl commutation relations braiding unitary groups and semi-groups of contractions that are close to unitaries. We also discuss related mathematical problems of continuous monitoring of quantum systems and provide rigorous foundations for the exponential decay phenomenon of a resonant state in quantum mechanics.

特殊酉群的Baker-Campbell-Hausdorff关系SU（N）

Baker-Campbell-Hausdorff relation for special unitary groups SU(N)

特殊酉群SU（N）的两个元素相乘唯一地确定第三个群元素。一个Baker-Campbell-Hausdorff关系导出表示的产品（作为一个指数）的参数的指数因子方面的群参数。这需要三个（N乘N）矩阵的特征值。因此，原则上，直到N=4，该关系都可以解析地表述。例如，编码量子力学可观测量的时间演化的相似变换可以用同样的方法计算出来。

基于有限群的构造性量子力学

Constructive quantum mechanics based on finite groups

本文提出用有限群替代酉群来构造量子力学表述，并借助计算机代数与计算群论方法解决该表述中出现的问题。

准厄米量子力学中的量子短时线问题与态空间几何

Quantum Brachistochrone Problem and the Geometry of the State Space in Pseudo-Hermitian Quantum Mechanics

只要对物理希尔伯特态的内积定义作适当的选择，一个具有实谱和完备本征向量集的非厄米算符可以作为幺正量子系统的哈密顿算符.我们研究的后果，这样的选择表示的国家的投影算子和几何的状态空间。这使得仔细处理量子速降线问题，并表明，它确实是不可能实现更快的幺正演化使用PT对称或其他非厄米哈密顿比厄米哈密顿。

具有时空非对易性的幺正量子物理

Unitary Quantum Physics with Time-Space Noncommutativity

在这项工作中，量子物理在非对易时空的发展。它基于Doplicher等人的工作，允许时空非交换性。Moyal平面被详细处理。在非对易量子力学的背景下，探讨了一些重要的问题，如理论的形式结构、对称性、因果性、非对称性和可观测性。研究了一类非对易薛定谔方程的动力学问题。我们特别证明了以下几点：假设时空上量子力学粒子的哈密顿量没有明确的时间依赖性，并且空间坐标以其非对易形式交换（唯一的非对易性是在时间和空间坐标之间）。那么交换和非交换形式的哈密顿量具有相同的谱。

关于量子力学中的自伴扩张与对称性

On Self-adjoint extensions and symmetries in Quantum Mechanics

给出了Hilbert空间$\mathcal{H}$上李群$G$的酉表示，利用冯·诺依曼定理和二次型理论，发展了对称算子的$G$ -不变自伴扩张理论.分析了酉表示的约化理论与$G$ -不变无界算子约化的关系。我们还证明了一个$G$不变版本的表示定理二次型。将已有的结果应用于研究Laplace-Beltrami算子在光滑黎曼流形上的$G$ -不变自伴扩张，该流形具有群$G$作用于其上的边界.这些扩张用作用在$L^2$ -空间边界上的容许幺正$U$来标记，并且在$-1$处具有谱隙。证明了如果对称群$G$的酉表示$V$是可迹的，则由$U$确定的Laplace-Beltrami算子的自伴扩张是$G$ -不变的，如果$U$和$V$在边界可换.最后讨论了各种重要的例子。

相空间量子力学的Moyal-Lie理论

The Moyal-Lie Theory of Phase Space Quantum Mechanics

讨论了Weyl量子化中幺正变换的李代数方法。这种方法在形式上等价于$\star$ -量子化，是经典Poisson-Lie形式的推广，可作为量子相空间变换理论的有效工具。

伪酉算符与伪酉量子动力学

Pseudo-Unitary Operators and Pseudo-Unitary Quantum Dynamics

我们考虑了伪幺正量子系统，并讨论了伪幺正算符的各种性质。特别地，我们证明了具有有限维对角块的块可对角化伪酉算子的一个特征定理。进一步证明了每个伪酉矩阵都是$i=\sqrt{-1}$乘以一个伪厄米矩阵的指数，并确定了由伪酉矩阵构成的李群的结构.特别是，我们提出了一个彻底的治疗$2\times 2$伪酉矩阵，并讨论了一个例子的量子系统与$2\times 2$伪酉动力学群。作为我们一般结果的其他应用，我们给出了经典力学辛变换的谱定理的证明，证明了辛群$Sp(2n)$与同构于伪酉群U（n，n）的矩阵群的实子群的重合，并详细说明了利用伪酉动力群进行二次量子化的方法。

非惯性参考系中的量子力学：含时旋转和环对称

Quantum Mechanics in non-inertial reference frames: time-dependent rotations and loop prolongations

这是关于在非惯性参考系中发展量子力学公式的系列论文中的第四篇。这个公式是建立在一类酉上循环表示的基础上的，我们称之为伽利略线群，这是伽利略群的推广，包括非惯性参考系之间的变换。这些表示表明，在量子力学中，正如在经典力学中的情况一样，向加速参考系的变换引起虚拟力。在以前的工作中，我们已经表明，存在的伽利略线群的表示，坚持非相对论等效原理，以及违反等效原理的表示。在这些以前的研究中，重点是线性加速度。在本文中，我们进行了扩展的制定，包括旋转加速度。我们发现，将旋转加速度需要一类\emph{loop prolongations}的伽利略线群和他们的酉上循环表示。我们恢复离心力和科里奥利力的影响，从这些循环表示。循环比群更一般，因为它们的乘法律不需要是结合的。因此，我们的广义理论主张是，在任意非惯性参考系中成立的伽利略量子理论需要超越群和群表示，这是量子力学中实现对称变换的既定框架。

高分子量子力学中的辛群

The symplectic group in Polymer Quantum Mechanics

本文给出了高分子量子力学中辛群$Sp(2n, \mathbb{R})$的表示。在不考虑聚合物尺度的情况下，导出了聚合物自由粒子和聚合物谐振子的传播子。然后引入聚合物尺度，使我们的结果与无聚合物颗粒的表达式相一致。聚合物谐振子的传播子意味着非幺正演化。

离散海森堡群$HW_{2^s}$的酉不可约表示完全集

Complete set of unitary irreps of Discrete Heisenberg Group $HW_{2^s}$

本研究采用Wigner-Mackay诱导群表示方法，构造离散有限海森堡-外尔群$HW_{2^s}$的全部酉不可约表示，确定其特征标与融合规则，为有限量子力学、量子计算提供理论支撑。

离散相空间：量子力学与非奇异势函数

Discrete Phase Space: Quantum mechanics and non-singular potential functions

三维势方程，由量子力学的表示激发，在四种不同的情况下进行研究：（i）在通常的欧几里德空间$\mathbb{E}_{3}$中，势是奇异的，但在连续非齐次正交群$\mathcal{I}O(3)$下不变。将平移子群下的不变性与量子力学薛定谔表象中相应的么正变换进行了比较。这种情况是众所周知的，但作为其他情况的参考点。(ii)其次，研究了三维格点空间中作为偏差分方程的离散势方程。在这个领域的潜力是非奇异的，但不变性下$\mathcal{I}O(3)$被打破。这是格点理论和数值近似的通常情况。(iii)接下来我们研究六维连续相空间。这里利用了量子力学的相空间表示。所得势是奇异的，但在$\mathcal{I}O(3)$下具有不变性。(iv)最后，从量子力学的离散相空间表示导出了势，证明了它是量子力学的\emph{exact}表示。这里的势函数是非奇异的，并且在$\mathcal{I}O(3)$下具有不变性，这一点通过量子力学在该表示中的幺正变换得到了证明。