On Colored Factorizations
Jacob Sprittulla
本文研究了正整数的分解数，其中分解的部分是l种不同的颜色（或种类）。递归或显式公式推导的情况下，无序和有序，不同的和非不同的分解，最多和确切的l颜色。
We study the number of factorizations of a positive integer, where the parts of the factorization are of l different colors (or kinds). Recursive or explicit formulas are derived for the case of unordered and ordered, distinct and non-distinct factorizations with at most and exactly l colors.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the number of colored Birch and Tverberg partitions
2009年，Blagojevic，Matschke & Ziegler建立了第一个紧着色Tverberg定理，但没有给出着色Tverberg分拆个数的下界。我们开发了我们以前的结果（2008年）的彩色版本，我们扩展了我们的结果从无色版本：均匀性和非平凡的下界的数量着色Tverberg分区。这是从类似的结果的数量彩色伯奇分区。
A note on enumerating colored integer partitions
在这篇短文中，我们给出了着色整数分拆的基本计数结果。
Inversions in Colored Permutations, Derangements, and Involutions
本文研究广义对称群逆序统计量在有色排列、错排和对合上的分布，通过建立有色排列与有色Lehmer码的双射，构建统一枚举框架，推导出显式公式、递推关系与生成函数。
Flag f-vectors of colored complexes
结果表明，在一定意义上比色移更强的条件不能放在有色复合物类上，而不改变旗f-向量的特征。
Color Degree Condition for Large Heterochromatic Matchings in Edge-Colored Bipartite Graphs
由于证明中的错误，这篇论文已被作者撤回。
Partitioning 3-edge-colored complete equi-bipartite graphs by monochromatic trees under a color degree condition
$r$边有色图$G$的单色树划分数，记为$t_r(G)$，是最小整数$k$，使得只要$G$的边用$r$颜色着色，$G$的顶点最多能被$k$顶点不相交的单色树覆盖.一般来说，确定这个数字是非常困难的。对于2-边着色完全多部图，Kaneko，Kano和Suzuki给出了$t_2(K(n_1,n_2,...,n_k))$的精确值.本文证明了：若K（n，n）是3-边着色的，使得每个顶点的色度为3，则$t_3(K(n,n))=3.$
On colored set partitions of type $B_n$
推广Reiner关于$B_n$类型的集合划分的概念，我们通过分别对零块中的元素和非零块中的元素着色来定义着色的$B_n$ -划分。考虑着色$B_n$ -划分的生成函数，得到了随机着色$B_n$ -划分中非零块个数的期望和方差的精确公式.我们找到了着色$B_n$ -分区的总数的渐近表达式，误差为$O(n^{-1/2}\log^{7/2}{n})$，并证明了集中和归一化的非零块的数量是渐近正态的着色$B_n$ -分区。
Repetition in Colored Sequences of Balls
在回答Math Stackexchange上的一个问题时，作者提出了一个问题，即确定大多数$n$颜色的球串的数量，其中有许多$k$重复的颜色。在本文中，我们制定的问题更正式，并解决了几个变化。
On the number of proper paths between vertices in edge-colored hypercubes
给定一个整数$1\leq j <n$，定义$n$维超立方体$H_{n}$的$(j)$ -着色为$H_{n}$的边的$2$ -着色，其中维度$i$，$1\leq i \leq j$中的所有边都具有颜色$1$，所有其他边都具有颜色$2$ . Cheng et al. [Proper distance in edge-colored hypercubes，Applied Mathematics and Computation 313（2017）384-391.]确定了$(1)$着色超立方体的一对顶点之间不同的最短正确着色路径的数量。考虑$(j)$着色的数$j\geq 2$是很自然的.本文研究了任意$j$的$(j)$着色超立方体中不同最短真路的个数.
Large rainbow matchings in edge-colored graphs with given average color degree
边有色图中的彩虹匹配是指没有两条边具有相同颜色的匹配。顶点v的颜色度是入射到v的边上的不同颜色的数量。27（2020）]研究了平均色度至少为2k的边有色图G中彩虹匹配的存在性，并证明了G中存在大小为k的彩虹行进的若干充分条件。其充分条件包括：|V（G）|>=12k^2+4k，或G是一个适当边-有色图，|V（G）|>=8k。本文证明了任意边-有色图G| V（G）|>=4k-4且平均色度至少为2k-1，包含大小为k的彩虹匹配。此外，我们还证明了每一个平均度至少为2k-1的强边有色图G都包含一个大小至少为k的彩虹匹配。对于完全图，该界是尖锐的.
Injectively $k$-colored rooted forests
我们枚举注入$k$着色的有根森林与给定数量的顶点的每种颜色和一个给定的序列的根颜色。利用这个结果，我们得到了Fuss-Catalan数的一些新的多参数分布。作为一个附加的应用，我们列举了规则的凸多边形三角剖分，根据其适当的3-着色类型。
Decomposing edge-colored graphs under color degree constraints
对于边有色图$G$，$G$的最小色度是指与$G$的每个顶点相邻的边上颜色的最小数目.证明了如果$G$是一个边有色图，其最小色度至少为$5$，则$V(G)$可被划分为两部分，使得每一部分导出一个最小色度至少为$2$的子图.我们通过证明一个更强的形式来证明这个定理。此外，我们还指出了我们的定理与有向图中的Bermond-Schlassen猜想之间的一个重要关系。
Fibonacci colored compositions and applications
我们研究的组成部分着色的斐波那契数的连续性。我们给出了明确的双射之间的Fibonacci色组合物和几个组合对象，包括某些限制三元和四元的话，在梯形图的生成树，单峰序列覆盖的初始区间，有序连续分区序列。我们的方法依赖于基本的想法表示的彩色组合物作为平铺的$n$板的瓷砖连接，有时装饰，根据一个合适的组合解释给定的着色序列。
Rainbow spanning structures in strongly edge-colored graphs
本文研究了强边着色图中彩虹哈密尔顿回路的存在条件，证明了在足够大的n下，满足最小度数要求的图中必然存在彩虹哈密尔顿回路，并探讨了彩虹路径和完美匹配的最优条件。
Rainbow triangles and cliques in edge-colored graphs
对于边着色图，如果一个子图的所有边都有不同的颜色，则称该子图为彩虹图.我们证明了：如果$G$是一个边着色图，其序为$n$，大小为$m$，且$G$的边的颜色为$c$，且$m+c\geq \binom{n+1}{2}+k-1$是一个非负整数$k$，则$G$至少包含$k$彩虹三角形.对于$n\geq 3k$，我们表明，这一结果是最好的可能性，我们完全描述了类的边缘有色图，这一结果是尖锐的。进一步证明了边着色图$G$至少包含$k$彩虹三角形，如果$\sum\limits_{v\in V(G)} d^c_G(v)\geq \binom{n+1}{2}+k-1$，其中$d_G^c(v)$表示入射到顶点$v$的不同颜色的个数.最后，我们刻画了边-有色图，它没有大小至少为6的彩虹团，并且最大化边和颜色之和$m+c$。我们的结果回答了Fujita，Ning，Xu和Zhang的两个问题[关于边着色图中彩虹圈的充分条件，arXiv：1705.03675，2017]
Rainbow triangles in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的顶点$v$的颜色度被定义为与$v$关联的边的颜色的数量。$G$的颜色数定义为$G$中边的颜色数。彩虹三角形是每对边都有不同颜色的三角形。本文从色度、色数和边数三个方面给出了边有色图中彩虹三角形存在的充分条件。作为推论，李和王提出的一个猜想（边有色图中的着色度和异色圈，European J. Combin. 33（2012）1958- 1964）得到证实。
Combinatorics of positional colored compositions
该研究针对位置彩色组合，通过生成函数获取计数序列，讨论其与其他组合对象的联系并提供组合论证及推广，探索该类组合的核心性质与关联。
Kernels in digraphs with colored vertices
该研究提出顶点着色有向图中核的推广概念——上着色核，并推导得出若干有向图族及特定有向图积具备上着色核的充要条件。
On the excedance number of colored permutation groups
本文将Ksavrelof和Zeng关于带自然参数的$S_n$的超数的多重分布的结果推广到色置换群和$D$型Coxeter群.我们在这些群上定义了两个不同的阶，从而导出两个不同的超越数。令人惊讶的是，在有色置换群的情况下，我们得到了相同的推广公式的两个订单。
The $m$-colored composition poset
我们将Björner和Stanley的偏序集推广到$m$ -着色的组合。他们的工作在他们的（1色）合成偏序集和杨氏格的分区之间画出了许多类比，包括与（准）对称函数和表示论的联系。在这里，我们表明，许多这些类比举行任何数量的颜色。虽然Björner和Stanley的偏序集的许多证明都是通过展示与子词序的同构来简化的，但我们注意到，对于2个或更多的颜色，我们的偏序集不同构于子词序。
Automorphisms of $S_6$ and the Colored Cubes Puzzle
给定一个有六种颜色的调色板，一个彩色立方体是一个立方体，其中每个面都用一种颜色着色，并且每种颜色都出现在某个面上。从一个任意的单位长度彩色立方体集合开始，可以尝试将集合的子集排列成一个$n \times n \times n$立方体，其中每个面都是单色。这是彩色立方体拼图。在本文中，我们确定所需的立方体的最小尺寸集，以完成$n \times n \times n$立方体的框架，它的角落和边缘。我们回答这个问题的所有$n$，并特别表明，对于$n \geq4$一个有最好的可能的结果，只要有足够的立方体来建立一个框架，它总是可以做到的，无论立方体的集合。我们的部分分析涉及$6$着色的立方体集及其相关的$S_6$操作。除了此操作提供的问题简化之外，它还提供了另一种可视化$S_6$外部自同构的方法。
Homomorphisms of planar $(m, n)$-colored-mixed graphs to planar targets
$(m, n)$着色混合图$G=(V, A_1, A_2,\cdots, A_m, E_1, E_2,\cdots, E_n)$是具有弧的$m$颜色和边的$n$颜色的图。我们不允许两个弧或边具有相同的端点。从一个$(m,n)$ -着色混合图$G$到另一个$(m, n)$ -着色混合图$H$的同态是一个态射$φ:V(G)\rightarrow V(H)$，使得每条边（分别为.弧）被映射到$G$的边缘（分别弧）的相同颜色（和方向）的$H$。一个$(m,n)$ -着色混合图$T$称为$P_g^{(m, n)}$ -泛图，如果$P_g^{(m, n)}$中的每个图（围长至少为$g$的平面$(m, n)$ -着色混合图）都与$T$有同态.我们发现，平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图不存在$2m+n\ge3$（和任何值的$g$），并找到一个最小的（在顶点数）平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图在其他情况下。
Matrix factorizations and colored MOY graphs
这篇98页的论文的内容已经被包含在191页的论文“A colored sl（N）-homology for links in S^3”（arXiv：0907.0695v1 [math.GT]）中，在论文中我们进一步发展了这一理论，并使用它来构建一个有色链接同源。
Properly colored $C_{4}$'s in edge-colored graphs
当许多颜色出现在边有色图中时，期望彩虹子图出现是很自然的。这个反拉姆齐问题已被彻底研究，但在文献中仍然存在许多空白。扩展后，经典和最近的结果迫使彩虹三角形出现，我们考虑类似的条件，迫使存在一个适当的彩色副本的$C_{4}$。
On functors between categories with colored morphisms
在本文中，我们考虑范畴与有色态射和函子，使态射分配到一个共同的颜色有一个共同的颜色。本文构造了一个态射着色函子，使得从一个给定的态射着色小广群到任意离散态射着色范畴因子的态射着色函子都能通过它，并将主要结果应用于由Hamming概型构造的一个schemoid.
Stanley--Elder--Fine theorems for colored partitions
我们给出了一个新的证明划分定理俗称长老定理，但这也归功于斯坦利和罚款。我们将定理扩展到有色分区（或预制件）的上下文中。更具体地说，我们给出类似的结果$b$着色分区，其中每个部分出现在$b$颜色;为$b$着色分区与奇数部分（或不同的部分）;分区的部分$k$在$k$颜色;和overpartitions。
Counting descent pairs with prescribed colors in the colored permutation groups
本文在着色置换群Z_r \wr S_n上定义了新的统计量（c，d）-下降，并计算了这些统计量在群中元素上的分布.我们使用一些组合的方法，递归，和生成函数的操作，以获得我们的结果。
On relative clique number of colored mixed graphs
$(m, n)$着色混合图是具有$m$不同颜色的弧和$n$不同颜色的边的图。从$(m, n$着色的混合图$G$到$(m, n)$着色的混合图$H$的图同态是顶点映射，使得如果$uv$是$G$中的颜色$c$的弧（边），则$f(u)f(v)$也是颜色$c$的弧（边）。Nešetzil和Raspaud [J. Combin.理论系列B 2000]是$G$的最小同态像的阶（顶点数）。后来Bensmail，Duffy和Sen [Graphs Combin. 2017]引入了另一个与$(m, n)$ -着色混合色数相关的参数，即$(m, n)$ -相对团数，作为顶点子集的最大基数，该顶点子集两两相对于任何着色同态必须有不同的像。本文研究了次立方图族、最大度图族、平面图族和无三角形平面图族的相对团数（$(m, n$），并给出了每种情况下的相对团数的新的改进界.特别地，对于次三次图，我们提供了参数的精确值。
Above-Guarantee Algorithm for Properly Colored Trees
本文提出一种多项式时间算法，用于在连通的边着色图中构造至少订单为min{|V(G)|, 2δ^c(G)+1}的正确着色生成树。
Colored compositions, Invert operator and elegant compositions with the "black tie"
本文展示了如何研究整数的有色合成揭示了一些意想不到的和原始的连接与反运算符。Invert操作符成为解决直接计算任何着色的着色组合的数量的问题的重要工具。从这种关系中产生的有趣的结果也给出了一个直接和简单的标准，以确定一个整数序列是否计数的一些彩色组合物的数量。加泰罗尼亚和斐波那契数的应用自然出现，允许明确回答一些开放的问题。此外，有色成分的定义与“黑领带”提供了简单的组合证明一个新的身份，涉及多项式系数和一个新的闭公式的反演运算符。最后，带“黑领结”的彩色合成给出了卷积算子的一种新的组合解释，并给出了一种新的计算彩色合成份数的简便方法。
Proper Hamiltonian Cycles in Edge-Colored Multigraphs
一个$c$ -边着色多重图的每条边都用$c$可用的颜色之一着色，并且没有两条平行边具有相同的颜色。一个正常的Hamilton圈是包含重图的所有顶点的圈，使得没有两个相邻的边具有相同的颜色。在这项工作中，我们建立了充分条件的多重图有一个适当的哈密尔顿圈，取决于几个参数，如边的数量和彩虹度。
What percent of the plane can be properly 5- and 6-colored?
我们提出了一个平铺超过99.985698%的欧几里得平面与六种颜色，减少了以前的记录为未覆盖的部分的平面约12.8%。我们还提出了一个平铺超过95.99%的平面与五种颜色。由此证明了平面上任意阶数至多为6992和24的单位距离图都可以分别适当地是6色图和5色图。
Elegantly colored paths and cycles in edge colored random graphs
我们首先考虑以下问题。我们给出了一个固定的完美匹配的$M$ $[n]$，我们添加随机边一次一个，直到有一个汉密尔顿圈包含$M$。我们证明了该事件的首中时与随机边诱导的图中第一次没有孤立点时的击中时相同。然后我们将这个结果用于下面的问题。我们生成随机边缘并随机将其着色为黑色或白色。如果颜色沿路径交替变化，则称路径/圈为\emph{zebraic}.我们证明了zero-Hamilton圈的首中时与每个顶点至少与每种颜色的一条边相遇的时间是一致的.然后，我们考虑一些相关的问题，并扩展到多种颜色。我们还简要地考虑了定向版本。
Positive dependence for colored percolation
该研究针对图边四色均匀随机着色的渗流问题，证明了不同颜色对的联合正负相关性，基于推广的Harris--Kleitman不等式完成证明，并将结果应用于有色渗流的交叉概率与临界渗流研究。
Regular colored graphs of positive degree
正则有色图是纯着色D维复形的对偶表示。这些图可以根据一个整数，它们的度来分类，就像地图是由亏格来描述的一样。本文分析了正度固定的正则有色图的结构，并给出了它们的精确计数和渐近计数。特别地，我们证明了固定度的图族的生成函数是一个代数级数，具有正的收敛半径，与度无关。我们描述了这个序列在其主奇异点附近的奇异行为，并利用这些结果建立了色张量模型的双标度极限。
Maximizing the number of edges in three-dimensional colored triangulations whose building blocks are balls
彩色三角剖分提供了一个推广的组合地图，以更高的维度。就像地图是多边形的粘合一样，彩色三角剖分是由特殊的高维构建块（例如八面体）粘合而成的，我们称之为彩色构建块，在对偶中称为气泡。一个彩色的积木块是由它的边界三角剖分确定的，在多边形的情况下，简单地用它的长度来表征。在三维空间中，有色积木块被标记为一些二维三角剖分，而那些同胚的3球被标记为平面的子集。类似于欧拉公式在2D中，它提供了一个上界的顶点数在固定数量的多边形与给定的长度，我们期待在三维的上界的边缘数在固定数量的给定的彩色积木。在这篇文章中，我们解决这个问题时，所有的有色积木，除了可能的一个，同胚的3球。要做到这一点，我们找到一个表征的方式同胚的球的彩色积木必须粘到其他块的任意拓扑结构的彩色三角，最大限度地提高边缘的数量。这种局部特征可以扩展到整个三角剖分，只要有最多一个有色的建筑块，这是不是一个3球。用这种方法得到的三角剖分是与树的双射。边的数目被给出为这样的三角剖分的构建块上的独立和。在所有有色积木同胚的3-球的情况下，我们证明了这些三角剖分同胚的3-球。这些结果以前只为八面体和melonic构建块所知。这篇文章是独立的，可以从纯组合的角度介绍着色三角剖分及其气泡。
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