Plenty of big projections imply big pieces of Lipschitz graphs
Tuomas Orponen
证明了一个闭的$n$ -正则集$E \subset \mathbb{R}^{d}$具有大量的大投影，它具有大片的Lipschitz图。这回答了大卫和塞姆斯的一个问题。
I prove that a closed $n$-regular set $E \subset \mathbb{R}^{d}$ with plenty of big projections has big pieces of Lipschitz graphs. This answers a question of David and Semmes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Big-Pieces-of-Lipschitz-Images Implies a Sufficient Carleson Estimate in a Metric Space
本文是对文献[Sch]中Lipschitz映射的双Lipschitz分解的补充。我们表明，在1-Ahlfors-正则集的情况下，有“大块的双Lipschitz图像”（BPBI）的条件是等价的Carleson条件。
Bi-Lipschitz Pieces between Manifolds
一类著名的问题问如下：如果$X$和$Y$是度量测度空间和$f:X\rightarrow Y$是一个Lipschitz映射的形象有积极的措施，那么必须$f$有大片上，它是双Lipschitz？建立在方法的大卫（谁不是本作者）和塞姆斯，我们回答这个问题的肯定Lipschitz映射之间的某些类型的Ahlfors $s$ -定期，拓扑$d$ -流形。一般来说，这些流形不需要在任何欧几里得空间中是双李普希茨可嵌入的。为了证明这一结果，我们利用了流形的格罗莫夫-豪斯多夫收敛和Bonk和Kleiner的一个拓扑定理.这也给出了一些度量流形的一致求长性的一个新证明。
A note on the Hausdorff dimension of uniformly non flat sets with plenty of big projections
使用Orponen最近的结果（发明。math.'21），我们证明了具有大量大投影（PBP）的集合承认分析师的旅行推销员定理。然后，我们表明，集PBP是一致的非平坦（或摆动）有大的豪斯多夫维数。我们还得到了一个推论解析/Lipschitz调和容量。
Characterising the big pieces of Lipschitz graphs property using projections
我们利用投影的方法证明了Lipschitz图的大部分性质。粗略地说，我们证明了如果$n$ -David正则集$E \subset \mathbb{R}^d$的一个大子集在$L^{2}$中有大量的投影，那么$E$的很大一部分包含在一个Lipschitz图中.这与G. David和S.塞姆斯。
Analytic capacity and dimension of sets with plenty of big projections
本文研究具有大量大投影（PBP）的集合，证明其具有正解析容量及高维 Riesz 核容量对应结果，并建立 Analyst's Traveling Salesman 定理，推出 Hausdorff 维数与子集容量估计。
Qualitative Lipschitz to bi-Lipschitz decomposition
本文研究 Lipschitz 映射的几何分解，证明满足受 David 工作启发条件的映射可分解为可数多个 bi-Lipschitz 片段。
Characterizing rectifiability via biLipschitz pieces of Lipschitz mappings on the space
本文给出了可求长度量空间的新刻画：通过Lipschitz映射的biLipschitz片段及完全biLipschitz分解，并利用独立Alberti表示构造方法，将不可求长空间刻画为存在与低维映射定量横截的曲线片段上$\cH^1$-零测集的空间。
Factorization and piecewise affine approximation of bi-Lipschitz mappings on large sets
本文利用 corona 型分解定理，证明单位立方体的双 Lipschitz 嵌入在任意小测度例外集外可分解为有限多个小失真全局双 Lipschitz 映射，并得到球面分解及分段仿射逼近结果。
Relaxed area of graphs of piecewise Lipschitz maps in the strict $BV$-convergence
本文计算了严格 $BV$-收敛下从平面到平面的分段 Lipschitz 映射的松弛 Cartesian 面积，并证明其定义域严格包含于经典 $L^1$-松弛面积的定义域内。
Quasiconformal planes with bi-Lipschitz pieces and extensions of almost affine maps
准平面$f(V)$是${\Bbb R}^N$（$1\leq n\leq N-1$）的$n$维欧几里德子空间$V$在准共形映射$f:{\Bbb R}^N\to{\Bbb R}^N$下的像.利用弱拟对称常数给出了拟平面是双Lipschitz $n$ -流形和拟平面具有${\Bbb R}^n$的大块双Lipschitz象的充分条件.这些结果的一个主要新颖之处是，我们分析任意余维$N-n$的准平面。为了建立大片段准则，我们证明了“几乎仿射”映射的新的扩张定理，这是独立的兴趣。这项工作是有关调查Tukia和Väisälä的扩展准对称地图的小失真。
Big Pieces of Regular Parabolic (bi-)Lipschitz Images is Equivalent to Parabolic Uniform Rectifiability
该研究定义正则抛物（双）利普希茨像概念，将David-Semmes理论推广到抛物语境，证明抛物Ahlfors-David正则集的抛物一致可求长性等价于其具有n维时空的抛物（双）利普希茨像的大块。
Quantitative decompositions of Lipschitz mappings into metric spaces
研究了从欧几里得空间到度量空间的Lipschitz映射的定量性质。我们证明，它总是可以分解成块的映射“表现得像一个投影映射”，随着一个“垃圾集”，这是任意小，在适当的意义上这样的映射域。此外，我们的控制是定量的，即，与特定映射及其映射到的度量空间无关。这改进了Azzam-Schul在“Hard Sard”一文中的一个定理，并回答了该文献中的一个问题。证明中使用了数量微分的思想，并详细研究了如何通过附加坐标来补充Lipschitz映射以形成双Lipschitz映射。
Semmes surfaces and intrinsic Lipschitz graphs in the Heisenberg group
海森堡群中的塞姆斯曲面是闭集$S$，它是上Ahlfors正则的，余维为1，并满足以下条件，称为条件B。每个具有$x \in S$和$0 < r < \operatorname{diam} S$的球$B(x,r)$包含两个半径与$r$相当的球，这两个球包含在$S$的补的不同连通分量中。类似集在欧几里得空间中介绍了塞姆斯在后期$80$的。我们证明了海森堡群中的Semmes曲面是余维为1的下Ahlfors正则曲面，并且有大片的内禀Lipschitz图。特别是，我们的结果适用于弦弧域和约化等周集的边界。
Ahlfors-regular distances on the Heisenberg group without biLipschitz pieces
我们证明了海森堡群在向下看时不是极小的。这就回答了David和Semmes在“破碎的分形和破碎的梦想”中的问题11.15，或者等价地回答了Heinonen和Semmes在“关于映射、测度和度量的33个是或否问题”中的问题22，因此也回答了问题24。海森堡群的非极小性是通过给出一个Ahlfors $4$ -正则度量空间$X$的例子来证明的，该空间具有自身的大片，使得从$X$的子集到海森堡群的Lipschitz映射都不具有正测度的像，并且通过提供一个从海森堡群到空间$X$的Lipschitz映射，该空间具有整个$X$的像。作为证明上述结果的一部分，我们在海森堡群上定义了一个新的距离，该距离以卡诺-卡拉西奥多里距离为界，保持了阿尔福斯正则性，并且使得卡诺-卡拉西奥多里距离和新距离在任何正测度集上都是biLipschitz等价的。这种构造在任何Ahlfors-正则度量空间中更普遍地起作用，在那里人们可以做适当的捷径。这样的空间包括例如所有雪花状Ahlfors正则度量空间。用同样的技巧，我们还提供了一个例子，证明海森堡群biLipschitz上的左不变距离到卡诺-卡拉迪奥里距离，对于这个距离，没有爆破允许非平凡的膨胀。
Two examples related to conical energies
本文给出与锥能量相关结果尖锐性相关的两个例子，其中一个展示了包含大块Lipschitz图像的相对丑陋集合，可能具有独立研究价值。
Coronizations and big pieces in metric spaces
我们证明了加冕相对于任意d-正则集（不一定是图）意味着这些（近似）集的大块平方。这是已知的（由于大卫和塞姆斯在足够大的余维的情况下，和阿扎姆和舒尔一般）在（经典）设置的欧几里得空间与豪斯多夫措施的整数维，其中的近似集是Lipschitz图。我们的结果是这些结果的一个深远的推广，我们证明了加冕意味着大块平方是一个通用的属性。特别是，我们的结果适用于，当适当的解释，在度量空间有一个固定的正（也许是非整数）的尺寸，配备了博雷尔正则测度和任意近似集。作为一个新的应用程序，我们强调如何利用这一一般设置的上下文中的抛物线均匀可整流性。
Intrinsic Lipschitz graphs and vertical $β$-numbers in the Heisenberg group
本文介绍和研究了第一海森堡群$\mathbb{H}$中的一些基本定量可求正性概念。特别是，我们的目标是证明新的现象出现相比，欧几里德理论，由G。David和S. 90年代的塞姆斯$\mathbb{H}$中的理论与某些非线性偏微分方程有明显的联系，而这些偏微分方程在$\mathbb{R}^{3}$中的类似问题中并不起作用。我们主要研究的对象是B.弗兰基河Serapioni和F. 2006年的塞拉·卡萨诺。我们声称，这些$3$ -维集在$\mathbb{H}$，如果有的话，值得称为定量$3$ -可求。我们的主要结果是内在Lipschitz图满足关于垂直$β$ -数的一个弱几何引理。反过来，推广了David和Semmes在$\mathbb{R}^{n}$中的一个结果，证明了$\mathbb{H}$中满足弱几何引理且具有大垂直投影的$3$-Ahlfors-David正则子集必然具有大块的内禀Lipschitz图.
Null sets of harmonic measure on NTA domains: Lipschitz approximation revisited
我们证明了螺旋形域内大片Lipschitz图的David-Jerison构造不要求其曲面测度是上Ahlfors正则的。这样我们就可以利用Lipschitz近似研究局部有限周长的NTA域上的调和测度与曲面测度的绝对连续性。F.和M.对空间中的NTA域，得到了平面单连通域的Riesz定理。因此，每个沃尔夫雪花都有无限的表面测量。
Lipschitz decompositions of domains with bilaterally flat boundaries
该研究将复平面单连通区域的Lipschitz分解结果推广至高维，证明满足一致beta平方和界的Reifenberg平坦边界区域可分解为总表面积可控的Lipschitz图区域，且一般Reifenberg平坦或一致可求长边界区域允许有界重叠的同类分解。
Bi-Lipschitz parts of quasisymmetric mappings
测量映射$f:\mathbb{R}^{d}\rightarrow \mathbb{R}^{D}$被仿射变换近似得有多好的自然量是\[ω_{f}(x,r)=\inf_{A}\left(\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}\left(\frac{|f-A|}{|A'|r}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}},\]，其中下确界范围覆盖所有非常数仿射变换。这是自然的，因为它在重新缩放$f$的域或图像下是不变的。证明了如果$f:\mathbb{R}^{d}\rightarrow \mathbb{R}^{D}$是拟对称的，并且它的像有足够的可求长结构（虽然不一定是$\mathcal{H}^{d}$有限的），则$ω_{f}(x,r)^{2}\frac{dxdr}{r}$是$\mathbb{R}^{d}\times(0,\infty)$上的Carleson测度.此外，这是一个等价：这样一个Carleson测度的存在意味着，在每个球$B(x,r)\subseteq \mathbb{R}^{d}$中，有一个集合$E$占据$B(x,r)$的90个$%$，比如说，在这个集合上，$f$是双Lipschitz的（因此保证了图像中的可求正片段）。在途中，我们做了一个小的调整Semmes定理，以证明拟对称映射的子集的$\mathbb{R}^{d}$到$\mat…
Harmonic intrinsic graphs in the Heisenberg group
$\mathbb{R}^n$中的极小曲面可以由调和函数的图局部近似，即，函数的临界点的狄利克雷能量，但没有类似的定理是已知的$H$ -极小曲面的三维海森堡群$\mathbb{H}$，这是已知的有奇点。本文引入了$\mathbb{H}$中曲面的内蕴Dirichlet能量的定义，并研究了这种能量的临界点，我们称之为切触调和图。$H$ -极小曲面的几乎平坦的区域通常可以用这样的图来近似。给出了内在Lipschitz图能量最小化的一个标定条件，构造了具有各种奇异点的能量最小化图，证明了内在Lipschitz图和分片光滑内在图能量的一个一阶变分公式.
Metric rectifiability of $\mathbb{H}$-regular surfaces with Hölder continuous horizontal normal
给出了Heisenberg群$\mathbb{H}^n$中超曲面的两种可直性定义：一种是基于$\mathbb{H}$ -正则曲面，另一种是基于余维- $1$垂直子群子集的Lipschitz象.这些概念之间的等同性仍然是一个悬而未决的问题。最近的部分结果是由Cole-Pauls，Bigolin-Vittone和Antonelli-Le Donne得出的。本文在$\mathbb{H}$ -正则曲面的度量Lipschitz可求直性方面取得了进展。证明了具有$α$ -Hölder连续水平法线的$\mathbb{H}^{n}$中的$\mathbb{H}$ -正则曲面$α> 0$是度量Bilipschitz可求长的.这改进了Antonelli-Le Donne的工作，其中对$C^{\infty}$ -曲面得到了相同的结论。在$\mathbb{H}^{1}$中，我们证明了一个稍强的结果：任何在垂直方向上具有额外正则性的$ε$的余维- $1$内禀Lipschitz图都是度量Bilipschitz可求长的.本文的所有证明都是基于一个新的一般性准则来寻找度量空间的“大块”之间的bilipschitz映射。
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