On the winding number for particle trajectories in a disk-like vortex patch of the Euler equations
Kyudong Choi, In-Jee Jeong
我们考虑不可压缩欧拉方程的涡补丁解决方案在平面上。结果表明，当初始斑块足够接近圆盘时，斑块中大多数粒子绕原点的卷绕数随时间线性增长。
We consider vortex patch solutions of the incompressible Euler equations in the plane. It is shown that the winding number around the origin for most particles in the patch grows linearly in time when the initial patch is close to a disk enough.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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2D Euler equation on the strip: stability of a rectangular patch
考虑了二维不可压缩流体的欧拉方程，证明了矩形定态的稳定性。
Global regularity and fast small scale formation for Euler patch equation in a disk
众所周知，如果初始足够规则，则$\mathbb{R}^{2}$中的欧拉涡斑将保持规则。在有界域中，分片解的正则性理论不太完备。本文研究圆盘中的欧拉涡斑。我们证明了全球的时间正则性提供的上界的增长曲率的补丁边界。对于一个特殊的对称情形，我们构造了一个双指数曲率增长的例子，表明这样的上界是定性的尖锐。
Global Regularity and Fast Small Scale Formation for Euler Patch Equation in a Smooth Domain
众所周知，如果初始足够规则，则$\mathbb{R}^{2}$中的欧拉涡斑将保持规则。在有界域中，分片解的正则性理论不太完备。本文研究了一般光滑有界区域上的Euler涡曲面。我们证明了全球的时间正则性，通过提供一个上界的补丁边界的曲率增长。对于一个特殊的对称情形，我们构造了一个双指数曲率增长的例子，表明我们的上界是定性的尖锐。
Contour dynamics and global regularity for periodic vortex patches and layers
本文研究二维不可压Euler方程的涡斑。关于这个问题的先前工作采用涡度的支持（即，涡斑）是有界区域。相反，我们考虑水平周期性设置。这包括有界涡斑的周期性排列的情况和垂直有界涡层的情况。我们开发的轮廓动力学方程的边界的补丁在这个水平周期设置，并证明了全球$C^{1,ε}$规则性的补丁边界。在制定的过程中的问题，我们考虑不同的概念的周期解的二维不可压缩欧拉方程，并证明这些等价性。
Existence and Regularity for Vortex Patch Solutions of the 2D Euler Equations
在“Global regularity for vortex patches”（Commun. Math.Phys.1993），Bertozzi和Constantin在水平集框架下建立了涡补丁问题，并证明了这个活动标量方程的先验估计。通过扩展用于证明这些估计的工具，我们构造解决方案，并显示更高的Hölder正则性的传播。这构成了一个证明的规则性的涡补丁，进行单独的水平集框架。
Regular and Singular Steady States of 2D incompressible Euler equations near the Bahouri-Chemin Patch
该研究针对二维环面上不可压缩Euler方程的稳态问题，围绕Bahouri-Chemin涡斑这一特殊奇异稳态，构造出收敛于该涡斑的光滑及奇异稳态解族，丰富了相关方程的稳态解类型。
Regularity of the velocity field for Euler vortex patch evolution
我们考虑了二维和三维不可压Euler方程的涡斑问题。在二维情况下，我们证明了对于具有$H^{k-0.5}$ Sobolev类轮廓正则性的涡斑，$k \ge 4$，涡斑边界两侧的速度场始终具有$H^k$正则性。在三维中，我们建立了有限时间间隔$[0,T]$上的涡斑问题解的存在性，同时建立了二维涡斑边界的$H^{k-0.5}$正则性，以及$k \ge 3$的涡斑边界两侧速度场的$H^k$正则性.
Steady Contiguous Vortex-Patch Dipole Solutions of the 2D Incompressible Euler Equation
本文通过新颖的不动点方法严格构造了二维不可压缩欧拉方程的首个连续涡斑偶极子稳态行波解，并证明了其边界光滑性等性质。
Eulerian uniqueness of the $α$-SQG patch problem
本文研究$α$-SQG方程的斑块问题，在欧拉框架下证明了不同参数范围对应正则性的斑块解唯一性，证明基于修正Biot-Savart定律且不依赖局部存在性。
The Slightly Supercritical Euler Equations: Smooth Solutions and Vortex Patches
本文研究（略）超临界二维Euler方程。论文由两部分组成。在第一部分中，我们证明了所有$s>0.$在$C^s$空间中的适定性我们还给出了$0< s \leq 1.$的涡度的$C^s$范数的增长估计在第二部分中，我们证明了超临界区域中涡斑问题的整体正则性，本文推广了Chae，Constantin和Wu的结果，他们证明了所谓的LogLog-Euler方程的适定性。我们还将Chemin和Bertozzi-Constantin关于涡斑问题的经典结果推广到了微超临界情形。超临界涡补丁问题引入了几个额外的困难，这些困难可以通过利用涡补丁的额外切向规则性的精确估计来克服。我们研究的两个问题都是在整个空间的背景下进行的。
Rotating vortex patches for the planar Euler equations in a disk
我们构造了一族具有固定角速度的旋转涡斑，用于求解二维圆盘中的欧拉方程。当涡度强度趋于无穷大时，这些旋转涡斑的极限是旋转点涡，其运动由Kirchhoff-Routh方程描述。构造是通过求解一个基于Arnold变分原理的涡量变分问题来完成的。证明了当$L^p$.
On the analyticity of the trajectories of the particles in the patch problem for $2$D Euler and aggregation equations
本文证明了当初始数据是一个面片时，某些输运方程的解所对应的粒子轨迹在时间上的解析性。这些结果是从Beurling变换的精确研究中得到的，Beurling变换提供了拉格朗日流所满足的一些新方程的解的估计。
Invariant KAM tori around annular vortex patches for 2D Euler equations
我们构造了平面欧拉方程的时间拟周期单洞涡补丁解。这些结构被捕获接近任何环，其模量属于一个庞大的博雷尔集。证明是基于Nash-Moser格式和KAM理论应用与哈密顿系统控制的径向变形的补丁。与标量情况相比，由于接口之间的交互，出现了一些技术问题。其中之一涉及到二阶Melnikov非共振条件下的一个新的小除数问题，该问题来自于不同速度的平流输运方程。
On a global supersonic-sonic patch characterized by 2-D steady full Euler equations
在跨音速流动区域中，超声速-音速斑片是普遍存在的，它们归结为一族退化的双曲问题，这些问题位于由流线、特征曲线和可能的音速曲线包围的区域中。本文建立了二维全定常Euler方程组所表征的整个超声速-超声速贴片中解的整体存在性，并研究了声波曲线附近的解的行为，这取决于从翼型问题和相关背景中提取的边界数据的适当选择。新的特征分解开发的完整系统和一个微妙的局部部分速端图变换的解决方案的估计。结果表明，该解在声速曲线上是一致$C^{1,\frac{1}{6}}$连续的，声速曲线也是$C^{1,\frac{1}{6}}$连续的.
On the existence and regularity of solutions of semi-hyperbolic patches to 2-D Euler equations with van der Waals gas
本文研究了含范德瓦尔斯气体的二维等熵欧拉方程半双曲型分片问题解的存在性和正则性。这种类型的解出现在翼型的跨音速流和Guderley反射中，并且在黎曼问题的数值解中也很常见。利用特征分解的思想和Bootstrap方法证明了该方程的整体光滑解的存在性，该解是一致$C^{1, \frac{1}{2}}$连续的。我们还证明了声波曲线是$C^{1, \frac{1}{2}}$连续的。此外，我们显示了形成的冲击波作为一个信封的积极特征之前，达到他们的音速点。
On the convergence rate of the Euler-$α$, an inviscid second-grade complex fluid, model to the Euler equations
研究了当正则化参数$α$趋于零时，不可压Euler- $α$（一种无粘二阶复杂流体）方程的解到相应Euler方程解的收敛速度.首先我们证明了$H^{s}$，$s>n/2+1$，在整个空间中的收敛性，并且光滑的Euler- $α$解的存在至少与Euler方程的相应解一样长.其次，我们估计了光滑边界的二维涡斑的收敛速度。
Finite time singularity formation for the modified SQG patch equation
众所周知，二维不可压Euler方程存在整体正则解。无粘面准地转方程的毕奥-萨伐尔定律比欧拉方程少一阶导数，其解的整体正则性问题至今尚未解决。我们在这里研究补丁动力学的半平面的一个家庭的积极标量这两个方程之间的插值，通过一个参数$α\in[0,\frac 12]$出现在他们的毕奥-萨伐尔定律的内核。值$α=0$和$α=\frac 12$分别对应于2D Euler和SQG情况。我们证明了全球的时间规律的二维欧拉补丁模型，即使补丁最初接触的半平面的边界。另一方面，对于任何足够小的$α>0$，我们展示了初始数据，导致在有限时间内的奇异性。因此，这些结果显示了这些方程的解的行为中的相变，并且为将2D欧拉方程分类为临界提供了严格的基础。
Horizontally periodic generalized surface quasigeostrophic patches and layers
本研究扩展了$\alpha$-SQG方程中有界斑块的存在性结果，证明了水平周期斑块边界$H^k$正则性的有限时间传播，并重点分析了介于欧拉与SQG之间的参数范围。
Structure of Green's function of elliptic equations and helical vortex patches for 3D incompressible Euler equations
本文给出了二维有界区域上散度型二阶椭圆算子格林函数的一种新结构。基于这种结构和函数重排理论，我们构造了三维不可压无限长管道中的欧拉方程的集中的旋转-移动螺旋涡斑。通过求解小$ \varepsilon>0 $的涡量方程\begin{equation*} w=\frac{1}{\varepsilon^2}f_\varepsilon\left(\mathcal{G}_{K_H}w-\fracα{2}|x|^2|\ln\varepsilon|\right) \ \ \text{in}\ Ω\end{equation*}，并考虑涡量的某种极大化问题，其中$ \mathcal{G}_{K_H} $是散度型椭圆算子$ \mathcal{L}_{K_H} $的逆算子，我们得到了一族集中螺旋涡斑的存在性，这些涡斑渐近地趋向于由副法向曲率流演化的奇异螺旋涡丝.当$ p\geq 2. $满足一定条件时，我们还得到了在$ L^p $扰动下变分问题中极大化子的非线性轨道稳定性
Growth of perimeter for vortex patches in a bulk
我们考虑二维不可压Euler方程。我们在$T^2$和$R^2$上构造了边界光滑的涡斑，其周长随时间增长。更准确地说，对于任何常数$M > 0$，我们在$T^2$中构造了一个涡斑，其光滑边界在初始时刻具有1阶长度，使得周长在有限时间内增长到给定的常数$M$。这种结构是通过从一个几乎正方形的补丁中切出一根细棒来完成的。类似的结果适用于$R^2$中具有薄手柄的几乎圆形贴片。
A revisit of patch solutions for the 2D Loglog-Euler type equation
本文研究二维 Loglog-Euler 型方程的斑块解，证明全局弱解的 Yudovich 型存在唯一性，并用物理空间方法建立单斑块边界正则性的全局保持及多斑块演化结论。
Geometric effects on the persistence of patch structures for 2D Euler equations in simply-connected bounded domains
本研究证明单连通有界域中均匀旋转涡斑仅存在于圆盘域，并在单位圆盘小扰动域中首次构造了Euler方程的拟周期涡斑解，揭示了几何效应对涡结构持久性的关键影响。
Supersonic sonic patch solution for the two-dimensional Euler equations with a van der Waals equation of state
本文基于范德瓦尔斯状态方程，研究二维欧拉方程的超音速声波解，通过特征分解和部分 hodograph 变换建立全局超音速解并证明其正则性。
Stability of radially symmetric, monotone vorticities of 2D Euler equations
本文考虑了$R^2$中的不可压Euler方程，当初始涡量有界、径向对称且沿径向不增加时。这样的径向分布是平稳的，我们表明，单调性产生稳定的一些加权范数有关的角脉冲。例如，它涵盖了圆形涡斑和高斯分布的情况。我们的稳定性不依赖于$L^\infty$约束或支持扰动的大小。证明是基于这样一个事实，即径向单调分布最小化具有相同水平集测度的函数的脉冲。
Radial symmetry of stationary and uniformly-rotating solutions to the 2D Euler equation in a disc
该研究针对单位圆盘内二维Euler方程的定常与匀速旋转解，分别在涡斑和光滑情形下推导了径向对称性成立的角速度范围，提出适配方法分析分段耦合半线性椭圆方程非负解的对称性以完成证明。
On existence of Sadovskii vortex patch: A touching pair of symmetric counter-rotating uniform vortex
本文通过求解精确冲量条件和环量上界约束下的能量最大化问题，证明了二维欧拉方程中由一对相切对称反向旋转均匀涡旋组成的Sadovskii涡旋斑的存在性。
Time quasi-periodic vortex patches of Euler equation in the plane
本文将平面 Euler 涡斑问题改写为径向位移的拟线性 Hamiltonian 方程，通过角动量的微扰辛约化克服零法向频率退化，证明接近 Kirchhoff 椭圆涡的时间拟周期解存在。
Remarks on radial symmetry of stationary and uniformly-rotating solutions for the 2D Euler equation
本文证明了二维不可压缩欧拉方程中具有紧支集涡量的匀速旋转解在角速度满足特定区间条件时必为径向对称，推广了既有刚性定理并涵盖不规则涡块。
Rigorous derivation of the leapfrogging motion for planar Euler equations
本文通过集中涡斑去奇异化与KAM理论工具，严格证明了二维欧拉方程中四个集中涡斑在适当约束下可发生永久跳跃运动，解决了该领域长期未解的问题。
Regularization for Multi-Phase 2D Euler Equations via Competing Transport Markers
本文提出了一种基于竞争运输标记的正则化方法，用于多相二维欧拉方程，通过标记选择机制实现涡旋场的精确保持和收敛。
The regularity of the boundary of vortex patches for the quasi-geostrophic shallow-water equations
研究准地转浅水方程中涡旋斑块边界光滑性的保持，并证明当Rossby半径参数趋于0时解在little Hölder空间中局部收敛到Euler方程解。
Uniformly rotating analytic global patch solutions for active scalars
我们证明了存在一族解析凸整体旋转解的涡补丁方程，从椭圆分叉。作为一个副产品，解析性证明也可以适用于旋转补丁解决方案从磁盘分叉（也称为V-状态）的欧拉和广义表面准地转方程。
The $α$-SQG patch problem is illposed in $C^{2,β}$ and $W^{2,p}$
本文证明对于 $0<α<1/2$，$α$-SQG 斑块问题在所有 $β<1$ 的 $C^{2,β}$ 空间及除 $p=2$ 外的 $W^{2,p}$ 空间中强不适定，与 Euler 斑块的全局适定性形成鲜明对比。
Rotating vortex patches: rigidity, bifurcation, and unified structures
该专著系统阐述旋转涡片理论，通过柯西积分与共形映射统一分析，并基于分岔理论构建统一框架，涵盖欧拉及多种主动标量模型。
Existence of corotating asymmetric vortex pairs for Euler equations
本文研究了Euler方程同向旋转和反向旋转不等大小单连通曲面对的存在性。特别地，我们证明了定常同向旋转和反向旋转的非对称涡对通过具有不等环量的点涡对的曲线的存在性。
Boundary regularity of uniformly rotating vortex patches and an unstable elliptic free boundary problem
本文研究了与二维不可压缩欧拉方程均匀旋转涡旋片解相关的变号自由边界问题，证明了涡旋片边界在奇异边界点附近局部形成90度角，若涡旋片为Lipschitz连续。
Desingularization of nondegenerate rotating vortex patches
本文研究了非退化旋转涡旋片解的去奇异化问题，通过分析二维不可压缩欧拉方程的稳态旋转解空间，证明了涡旋片状态是具有无限光滑性、紧致涡量支持和二面体对称性的旋转欧拉解的极限。
Steady vortex patches near a rotating flow with constant vorticity in a planar bounded domain
本文研究了平面有界区域$D$中不可压Euler方程的定常涡斑解。令$ψ_0$是椭圆问题$-Δψ_{0} =1$在$D$中的解; $ψ_0=0$在$\partial D$上。我们证明，对于$ψ_0$的孤立极大值点的任何有限集合，比如说$\{x_1,\cdot\cdot\cdot,x_k\},$和具有$κ_i>0$和$|\vecκ|:=\sum_{i=1}^kκ_i<<1,$的任何$k$元组$\vecκ=(κ_1,\cdot,\cdot,\cdot,κ_k)$，存在欧拉方程的稳定解，使得涡量具有$ω^{\vecκ}=1-I_{\cup_{i=1}^k A^{\vecκ}_i}$的形式，其中$I$表示特征函数，$|A^{\vecκ}_i|=κ_i$和$A^{\vecκ}_i$“收缩”到$x_i$为$|\vecκ|\to 0$ .
Support growth of vorticity for bi-rotational Euler flows in high dimensions
该研究在高维空间中探讨了双旋转对称性下欧拉方程的涡量支持增长，证明了特定初始条件下的涡量支持直径无限增长。
Uniformly Rotating Euler Configurations with Multiple Vorticity Holes
本文构造了含m≥2个集中内部分量的均匀旋转欧拉方程涡斑解族，通过对称约化等方法完成分析，是首次对多分量同时坍缩的去奇异性 regime 的解析构造。
Existence for the $\al$-patch model and the QG sharp front in Sobolev spaces
我们考虑一族依赖于参数$\al$和$0<α\leq 1$的轮廓动力学方程。采用$α\to 0$得到了二维欧拉方程的涡斑问题，其中$α=1$对应于QG方程的一个尖阵面。证明了该方程族在索伯列夫空间中的局部时间存在性。
Existence of co-rotating and travelling vortex patches with doubly connected components for active scalar equations
应用轮廓动力学中的隐函数定理，证明了欧拉方程和广义表面准地转方程的同旋解和行波解的存在性.所得的解构成了点涡的去奇异化。特别地，本文构造的解由双连通分量组成，这与所有已知的结果有本质的不同。
Existence of steady symmetric vortex patch in a disk
本文构造了一类开圆盘中不可压Euler方程的定常对称涡斑。结果是通过研究一个变分问题得到的，在这个变分问题中，流体的动能在适当的涡量约束下被最大化。此外，我们发现，这些涡补丁收缩到一个给定的极小点相应的Kirchhoff-Routh函数的涡强度参数趋于无穷大。
Steady double vortex patches with opposite signs in a planar ideal fluid
本文考虑平面有界区域中不可压Euler方程的定常涡流。通过求解涡量的变分问题，利用$k=2$构造了集中在Kirchhoff-Routh函数的一个严格的局部极小值点处的符号相反的双涡斑.此外，我们表明，这种稳定的解决方案实际上是局部最大化的动能之间的等涡补丁，这相关的稳定性的唯一性。
Concentrated steady vorticities of the Euler equation on 2-d domains and their linear stability
我们考虑欧拉方程在光滑区域$Ω\subset \mathbf{R}^2$上的集中涡度，其形式为\[ ω= \sum_{j=1}^N ω_j χ_{Ω_j}, \quad |Ω_j| = πr_j^2, \quad \int_{Ω_j} ω_j dμ=μ_j \ne 0, \]，支持在分离良好的小直径$Ω_j$，$j=1, \ldots, N$，$O(r_j)$上的涡度。建立了一个保角映射框架来研究这个自由边界问题，其中$Ω_j$是未知量的一部分。对于任何给定的涡度$μ_1, \ldots, μ_N$和小$r_1, \ldots, r_N\in \mathbf{R}^+$，通过微扰方法，我们得到这样的分段恒定的稳定涡补丁以及分段光滑Lipschitz稳定涡度，都集中在附近的Kirchhoff-Routh哈密顿函数的非退化临界配置。当涡斑演化被认为是$\partial Ω_j$的边界动力学时，通过不变子空间分解，还证明了这种定常涡斑的谱/线性稳定性在很大程度上取决于$2N$维线性化点涡动力学的谱/线性稳定性，而运动在对应于涡域形状的$2N$ -codim方向上是高度振荡的。
Optimal Regularity for the 2D Euler Equations in the Yudovich class
本文研究了由具有BMO梯度的速度场驱动的输运方程的最优正则性，并将其应用于初始涡度有界情形下的2D Euler方程，通过Bahouri和Chemin涡旋面片例子的变体证明了结果的尖锐性。
The centrally symmetric V-states for active scalar equations. Two-dimensional Euler with cut-off
本文考虑二维Euler斑块动力学中中心对称$V$ -态的截断方程，证明了解$y(x,λ),\, x\in [-1,1],\,λ\in (0,λ_0)$的存在性。这些函数为$y(x,λ)\in C^\infty(-1,1)$和$\|y(x,λ)-|x|\|_{C[-1,1]}\to 0, λ\to 0$。
On the estimate of distance traveled by a particle in a disk-like vortex patch
本文考虑平面上不可压二维Euler方程，当其初始涡量是有界开集的特征函数时。我们发现，当集合和圆盘之间的对称差的面积足够小时，对于最初放置在集合上的大多数流体粒子，行进距离线性增长。
On the trivial solutions for the rotating patch model
本文研究了欧拉方程顺时针单连通旋转曲面。利用移动平面方法证明了在{ \it slightly}凸区域类中Rankine涡是该问题的唯一解。在第二部分中，我们讨论了角速度为$Ω=\frac12$的情况，并且在没有任何几何条件的情况下，我们证明了V-态的集合是平凡的，并且简化为Rankine涡旋。
Symmetry in stationary and uniformly-rotating solutions of active scalar equations
本文研究了二维Euler方程和gSQG方程的定常解和均匀旋转解的径向对称性，包括光滑情形和分片情形。对于二维Euler方程，我们证明了任何具有紧支集和非负涡度的光滑定常解必须是径向的，而不需要对支集或水平集的连通性作任何假设。在补丁设置中，对于二维欧拉方程，我们证明了每个均匀旋转的补丁$D$与角速度$Ω\leq 0$或$Ω\geq \frac{1}{2}$必须是径向的，其中两个边界是尖锐的。对于gSQG方程，我们得到了类似的对称性结果$Ω\leq 0$或$Ω\geq Ω_α$（边界是尖锐的），在额外的假设下，补丁是简单连接的。这些结果解决了[T. Hmidi，J. Evol.方程式，15（4）：801-816，2015]和[F. de la Hoz，Z. Hassainia，T. Hmidi，and J. Mateu，Anal. PDE，9（7）：1609-1670，2016]。在此过程中，我们关闭了一个问题的超定问题的分数拉普拉斯[R。乔克西河Neumayer和我。Topaloglu，Arxiv预印本arXiv：1810.08304，2018，备注1.4]，可能具有独立利益。主要的新思想来自变分法的观点。
Survey on periodic vortex patches
该综述聚焦二维欧拉方程和涡斑解，重新审视不可压缩流体动力学中周期解存在性的经典结果，通过结合原著思想与最新进展，对经典构造进行统一简化阐述。
On the rigidity of uniformly rotating vortex patch near the Rankine vortex
针对二维不可压 Euler 方程，本文证明接近 Rankine 涡的均匀旋转涡斑只能是 Kirchhoff 椭圆或 Rankine 涡，揭示其分类刚性。
Uniformly Rotating Vortex Patches with 90-Degree Corners
针对二维不可压缩欧拉方程，证明了对所有m≥12存在m重对称的带90度角的均匀旋转涡斑，刻画了相关流的性质，采用新型不动点方法完成构造。
On radial symmetry of rotating vortex patches in the disc
本文研究了单位圆盘内二维不可压Euler方程旋转涡斑的径向对称性。通过选择合适的向量场使斑片变形，我们证明了每个单连通旋转涡斑片$D$具有角速度$Ω$，$Ω\geq \max\{{1}/{2},({2 l^2})/{(1-l^2)^2}\}$或$Ω\leq -({2 l^2})/{(1-l^2)^2}$，其中$l=\sup_{x\in D}|x|$必须是圆盘.证明的主要思想，它有一个变分的味道，来自一个非常新的文件戈麦斯-塞拉诺-帕克-施-姚，arXiv：1908.01722，其中旋转涡补丁在整个平面的径向对称性进行了研究。
Global solutions for the generalized SQG patch equation
本文考虑了无粘广义地表准地转方程（gSQG），其中参数$α\in (1,2)$。情况$α= 0$和$α= 1$分别对应于二维欧拉和SQG，我们选择的参数$α$导致速度比SQG情况下更奇异。我们的主要结果涉及的半平面补丁平稳解的全局稳定性，在小扰动和局部扰动。我们的定理似乎是第一个建设稳定的整体解决方案的gSQG补丁方程。目前已知的唯一其他非平凡全局解是所谓的V-态，它是均匀旋转的，在时间上是周期性的。
Infinite-energy 2D statistical solutions to the equations of incompressible fluids
我们开发的概念的一个无限能量的统计解的Navier-Stokes方程和欧拉方程在整个平面。我们使用的速度制剂具有足够的一般性，以涵盖初速度有界涡，其中包括重要的特殊情况下，涡补丁的初始数据。我们的方法是利用半径为R的球中统计解的充分研究的性质，在R趋于无穷大的极限下，构造Navier-斯托克斯方程的无限能量解。然后，我们构造一个无限能量的统计解的欧拉方程，使消失的粘度参数。
On a supersonic-sonic patch arising from the Frankl problem in transonic flows
本文构造了二维定常气体动力学欧拉方程的超声速-超声速光滑分片解。本文从研究翼型跨音速局部超声速气泡绕流的Frankl问题中提取了这一问题。利用特征分解的方法，我们在部分速端坐标系中建立了关于角变量的解的整体存在性和正则性。通过将部分速端图平面中的解变换回物理平面中的解来解决原始问题。此外，还验证了解的一致正则性和相应的声波曲线的正则性。
Stability of Vortex Patches in Channels
研究二维不可压缩欧拉方程在满足弱有限体积条件的域和任意宽度带状域中涡斑的轨道稳定性，通过惩罚动能泛函的极小化建立椭圆方程，并证明极小元集在欧拉动力学下轨道稳定。
Time-periodic vortices near translating symmetric dipole patches
研究二维不可压缩欧拉方程从平移涡旋对分叉出的时间周期解，通过共动坐标系和轮廓动力学公式简化问题，结合多种方法克服线性化算子退化，为大量参数构造非刚性时间周期涡旋斑块解族，揭示平移偶极丰富动力学。
Existence of non-trivial non-concentrated compactly supported stationary solutions of the 2D Euler equation with finite energy
本文证明了具有紧支集但非集中于一点或多点的定常二维Euler方程的局部非径向解的存在性。我们的解决方案是补丁类型，有解析边界，有限的能量和符号变化的涡度，是新的，以我们的知识。证明依赖于一个新的观察，有限能量，固定的解决方案，简单连接的涡有compressive支持的速度，和应用程序的Nash-Moser迭代程序。
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