Rotating vortex patches for the planar Euler equations in a disk
我们构造了一族具有固定角速度的旋转涡斑，用于求解二维圆盘中的欧拉方程。当涡度强度趋于无穷大时，这些旋转涡斑的极限是旋转点涡，其运动由Kirchhoff-Routh方程描述。构造是通过求解一个基于Arnold变分原理的涡量变分问题来完成的。证明了当$L^p$.
2019-09-01 math.AP
Global bifurcation of rotating vortex patches
我们严格构造连续曲线的旋转涡补丁解决方案的二维欧拉方程。曲线是大的，因为当参数趋于无穷大时，在旋转坐标系中沿着流体角速度的界面的最小值变得任意小。这是一致的，与90个$^\circ$角的奇异限制补丁的约束存在[WOZ 84，Ove 86]，在该角处相对流体速度为零。对于接近磁盘的解决方案，我们证明，有“猫眼”型结构的流动，并提供数值证据表明，这些结构沿着整个解决方案曲线持续存在，并与角落的形成。我们还表明，任何旋转涡补丁，边界是解析的，只要它是足够的规则。
2017-12-08 math.AP
Desingularization of nondegenerate rotating vortex patches
Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究了非退化旋转涡旋片解的去奇异化问题，通过分析二维不可压缩欧拉方程的稳态旋转解空间，证明了涡旋片状态是具有无限光滑性、紧致涡量支持和二面体对称性的旋转欧拉解的极限。
2026-05-18 math.AP
On the rigidity of uniformly rotating vortex patch near the Rankine vortex
针对二维不可压 Euler 方程，本文证明接近 Rankine 涡的均匀旋转涡斑只能是 Kirchhoff 椭圆或 Rankine 涡，揭示其分类刚性。
2024-01-20 math.AP
Degenerate bifurcation of the rotating patches
本文研究了不满足经典非退化条件的Euler方程双连通旋转曲面片的存在性。我们证明了具有二重对称性的V-态的分岔，然而对于具有$m\geq3$的更高的$m-$重对称性，不发生分岔。这回答了\cite{H-F-M-V}中一个未解决的问题。请注意，与分叉为干草叉的简单连通和双连通情况的已知结果相反，我们表明退化分叉实际上是跨临界的。这些结果与最近在\cite{H-F-M-V}中讨论的数值观测结果一致。证明源于局部结构的二次型相关的减少分歧方程。
2015-10-15 math.AP
Degenerate bifurcations of two-fold doubly-connected uniformly rotating vortex patches
本文通过详细分析非线性泛函并扰动截断多项式定义的实代数簇，克服了强退化性困难，获得了二维不可压Euler方程的二重双连通均匀旋转涡块族的分岔曲线，部分回答了Hmidi和Mateu提出的问题。
2024-01-02 math.AP
Rotating vortex patches: rigidity, bifurcation, and unified structures
New York University Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校）
该专著系统阐述旋转涡片理论，通过柯西积分与共形映射统一分析，并基于分岔理论构建统一框架，涵盖欧拉及多种主动标量模型。
2026-09-09 math.AP
Uniformly Rotating Vortex Patches with 90-Degree Corners
Peking University（北京大学）
针对二维不可压缩欧拉方程，证明了对所有m≥12存在m重对称的带90度角的均匀旋转涡斑，刻画了相关流的性质，采用新型不动点方法完成构造。
2026-08-28 math.AP physics.flu-dyn
Boundary regularity of rotating vortex patches
我们证明了一个旋转涡片（或V-状态，在Deem和Zabusky的术语中）的边界是C^infinity类的，只要这个涡片足够接近Lipschitz范数下的分叉圆。如果旋转面片在C^2范数下足够接近分叉圆，则旋转面片是凸的。我们的证明是基于布尔贝的方法V-状态。因此，共形映射起着相关的作用，以及估计，在Hölder空间，某些非卷积奇异积分运营商的Calderón-Zygmund型。
2014-10-31 math.AP math.CA
Steady vortex patches near a rotating flow with constant vorticity in a planar bounded domain
本文研究了平面有界区域$D$中不可压Euler方程的定常涡斑解。令$ψ_0$是椭圆问题$-Δψ_{0} =1$在$D$中的解; $ψ_0=0$在$\partial D$上。我们证明，对于$ψ_0$的孤立极大值点的任何有限集合，比如说$\{x_1,\cdot\cdot\cdot,x_k\},$和具有$κ_i>0$和$|\vecκ|:=\sum_{i=1}^kκ_i<<1,$的任何$k$元组$\vecκ=(κ_1,\cdot,\cdot,\cdot,κ_k)$，存在欧拉方程的稳定解，使得涡量具有$ω^{\vecκ}=1-I_{\cup_{i=1}^k A^{\vecκ}_i}$的形式，其中$I$表示特征函数，$|A^{\vecκ}_i|=κ_i$和$A^{\vecκ}_i$“收缩”到$x_i$为$|\vecκ|\to 0$ .
2019-08-30 math.AP
Radial symmetry of stationary and uniformly-rotating solutions to the 2D Euler equation in a disc
该研究针对单位圆盘内二维Euler方程的定常与匀速旋转解，分别在涡斑和光滑情形下推导了径向对称性成立的角速度范围，提出适配方法分析分段耦合半线性椭圆方程非负解的对称性以完成证明。
2024-12-13 math.AP
Symmetry in stationary and uniformly-rotating solutions of active scalar equations
本文研究了二维Euler方程和gSQG方程的定常解和均匀旋转解的径向对称性，包括光滑情形和分片情形。对于二维Euler方程，我们证明了任何具有紧支集和非负涡度的光滑定常解必须是径向的，而不需要对支集或水平集的连通性作任何假设。在补丁设置中，对于二维欧拉方程，我们证明了每个均匀旋转的补丁$D$与角速度$Ω\leq 0$或$Ω\geq \frac{1}{2}$必须是径向的，其中两个边界是尖锐的。对于gSQG方程，我们得到了类似的对称性结果$Ω\leq 0$或$Ω\geq Ω_α$（边界是尖锐的），在额外的假设下，补丁是简单连接的。这些结果解决了[T. Hmidi，J. Evol.方程式，15（4）：801-816，2015]和[F. de la Hoz，Z. Hassainia，T. Hmidi，and J. Mateu，Anal. PDE，9（7）：1609-1670，2016]。在此过程中，我们关闭了一个问题的超定问题的分数拉普拉斯[R。乔克西河Neumayer和我。Topaloglu，Arxiv预印本arXiv：1810.08304，2018，备注1.4]，可能具有独立利益。主要的新思想来自变分法的观点。
2019-08-05 math.AP
Uniformly Rotating Vortex Patches with Arbitrarily Many Genuine Holes
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
本文针对平面欧拉方程，构造了带有任意N≥2个真实零涡量孔洞的均匀旋转单位涡量涡块，通过移除收缩共旋转多边形构型实现，确定了边界与角速度的一阶修正。
2026-08-21 math.AP
Co-rotating vortices with N fold symmetry for the inviscid surface quasi-geostrophic equation
本文给出了广义地面准地转方程特解的变分构造。这些解的形式是N重对称的N个涡斑，它们在匀速旋转坐标系中是稳定的。此外，我们调查他们的渐近性质时，相应的补丁的大小为零。在这个极限下，我们证明了这些解是N个狄拉克质量的去奇异化，具有相同的强度，位于一个以恒定角速度旋转的正多边形的N个顶点上。
2020-10-16 math.AP
Existence of nested polygonal vortex patches for the generalized SQG equation
State University of Campinas（坎皮纳斯州立大学）
本文通过隐函数论证，在非退化条件下构造了广义SQG方程在奇异区域中的共旋转嵌套多边形涡补丁解，精确描述了边界几何，深化了对活性标量方程中相干旋转结构的理解。
2025-10-25 math.AP
Remarks on radial symmetry of stationary and uniformly-rotating solutions for the 2D Euler equation
本文证明了二维不可压缩欧拉方程中具有紧支集涡量的匀速旋转解在角速度满足特定区间条件时必为径向对称，推广了既有刚性定理并涵盖不规则涡块。
2025-06-05 math.AP
On existence of Sadovskii vortex patch: A touching pair of symmetric counter-rotating uniform vortex
本文通过求解精确冲量条件和环量上界约束下的能量最大化问题，证明了二维欧拉方程中由一对相切对称反向旋转均匀涡旋组成的Sadovskii涡旋斑的存在性。
2025-06-05 math-ph math.AP math.MP
An analytical and numerical study of steady patches in the disc
在本文中，我们证明了存在的$m$折叠旋转补丁的欧拉方程在光盘，单连通和双连通的情况下。与平面情况相比，刚性边界为最低对称性$m=1$和$m=2$引入了丰富的动力学。我们还讨论了一些数值实验突出的边界之间的相互作用的补丁和刚性的。
2015-10-06 math.AP
Uniformly Rotating Euler Configurations with Multiple Vorticity Holes
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Universidad de Granada（格拉纳达大学）
本文构造了含m≥2个集中内部分量的均匀旋转欧拉方程涡斑解族，通过对称约化等方法完成分析，是首次对多分量同时坍缩的去奇异性 regime 的解析构造。
2026-08-05 math.AP
Existence of corotating asymmetric vortex pairs for Euler equations
本文研究了Euler方程同向旋转和反向旋转不等大小单连通曲面对的存在性。特别地，我们证明了定常同向旋转和反向旋转的非对称涡对通过具有不等环量的点涡对的曲线的存在性。
2020-04-05 math.AP
On rotating doubly connected vortices
本文考虑旋转双连通涡斑解平面欧拉方程。当内界面是椭圆时，我们证明了外界面一定是共焦椭圆。然后，我们讨论了一些关系，首先发现由Flierl和Polvani之间的参数的椭圆，速度的旋转和涡度的大小在域封闭的内椭圆。
2013-10-01 math.AP
Symmetry of uniformly rotating solutions for the vortex-wave system
该文研究涡旋-波系统一致旋转解的对称性，证明角速度非正时解必为单点涡中心的径向对称结构，同时构造出正角速度下非环形的一致旋转解族，且其分岔角速度在正半轴稠密，丰富了涡旋系统的对称性质研究。
2024-04-15 math.AP
Existence of asymmetric vortex patch for the generalized SQG equations
研究了二维广义表面准地转（gSQG）方程在全平面上单连通曲面上$α\in[1,2)$非对称解的存在性，其中$α=1$对应于表面准地转方程（SQG）.更准确地说，我们构建非平凡的简单连接的同向旋转和旅行补丁不平等的涡量。证明是通过一个去奇异的论点与隐函数定理相结合的轮廓动力学方程的线性化。我们的结果扩展了Hassainia-Hmidi（DCDS-A，2021）和Hassainia-Wheeler（SIAM J.Math.Anal.，2022）到更奇异的速度，填充$α$范围内的开放间隙。
2022-12-10 math.AP
Structure of Green's function of elliptic equations and helical vortex patches for 3D incompressible Euler equations
本文给出了二维有界区域上散度型二阶椭圆算子格林函数的一种新结构。基于这种结构和函数重排理论，我们构造了三维不可压无限长管道中的欧拉方程的集中的旋转-移动螺旋涡斑。通过求解小$ \varepsilon>0 $的涡量方程\begin{equation*} w=\frac{1}{\varepsilon^2}f_\varepsilon\left(\mathcal{G}_{K_H}w-\fracα{2}|x|^2|\ln\varepsilon|\right) \ \ \text{in}\ Ω\end{equation*}，并考虑涡量的某种极大化问题，其中$ \mathcal{G}_{K_H} $是散度型椭圆算子$ \mathcal{L}_{K_H} $的逆算子，我们得到了一族集中螺旋涡斑的存在性，这些涡斑渐近地趋向于由副法向曲率流演化的奇异螺旋涡丝.当$ p\geq 2. $满足一定条件时，我们还得到了在$ L^p $扰动下变分问题中极大化子的非线性轨道稳定性
2022-09-25 math.AP
Relative equilibria with holes for the surface quasi-geostrophic equations
研究了\cite{HHH}中未解的无粘表面准地转方程的双连通旋转曲面的存在性.通过使用由\cite{CCGS}提出的方法，我们还证明了，接近环的边界实际上是解析曲线。
2016-07-18 math.AP
Non uniform rotating vortices and periodic orbits for the two-dimensional Euler Equations
本文研究了湍流中一些特殊的有序结构。特别是，提出了一个系统的和相关的方法来构建非平凡的和非径向旋转涡不一定均匀的密度和不同的$m$ -折叠对称性，$m\ge 1$。特别是，提供了一个完整的研究截断二次密度$(A|x|^2+B){\bf{1}}_{\mathbb{D}}(x)$，与$\mathbb{D}$的单位盘。我们表现出不同的行为相对于系数$A$和$B$描述的稀疏分叉曲线。
2018-09-12 math.AP
Uniformly rotating vortices for the lake equation
本文利用分岔技术和谱分析，在非退化径向深度假设下证明了二维湖泊方程在单连通与双连通区域中存在时间周期涡旋斑块解，并通过渐近分析与扰动不动点方法克服了Green函数的粗糙性等困难。
2024-01-25 math.AP
Existence of corotating and counter-rotating vortex pairs for active scalar equations
本文用$α\in (0,1).$研究了Euler方程和$(\hbox{SQG})_α$方程的同转和反转单连通曲面片对的存在性。通过在\cite{DZ, humbert, S-Z}中对Euler方程进行的数值实验，证明了定常涡对曲线通过点涡对的存在性。基于变分原理\cite{keady, Tur}的一些解析证明，并没有给出足够的关于涡对的信息，如单个涡的唯一性或拓扑结构。本文对$(\hbox{SQG})_α$方程在$α\in (0,1)$时的数值实验给出了直接的证明，并推广了这些结果。证明依赖于轮廓动力学方程，结合点涡对的去奇异化和隐函数定理的应用。
2018-01-08 math.AP
Existence of non-trivial non-concentrated compactly supported stationary solutions of the 2D Euler equation with finite energy
本文证明了具有紧支集但非集中于一点或多点的定常二维Euler方程的局部非径向解的存在性。我们的解决方案是补丁类型，有解析边界，有限的能量和符号变化的涡度，是新的，以我们的知识。证明依赖于一个新的观察，有限能量，固定的解决方案，简单连接的涡有compressive支持的速度，和应用程序的Nash-Moser迭代程序。
2021-12-07 math.AP
Geometric effects on the persistence of patch structures for 2D Euler equations in simply-connected bounded domains
本研究证明单连通有界域中均匀旋转涡斑仅存在于圆盘域，并在单位圆盘小扰动域中首次构造了Euler方程的拟周期涡斑解，揭示了几何效应对涡结构持久性的关键影响。
2026-10-07 math.AP physics.flu-dyn
Existence of small loops in the Bifurcation diagram near the degenerate eigenvalues
本文研究了不可压Euler方程在退化情形下旋转双连通曲面片分支图的整体结构。我们发现，具有相同对称性的分支合并形成一个小的循环，只要它们足够接近。这证实了最近工作中所做的数值观测[10]
2016-08-30 math.AP
Time quasi-periodic vortex patches of Euler equation in the plane
本文将平面 Euler 涡斑问题改写为径向位移的拟线性 Hamiltonian 方程，通过角动量的微扰辛约化克服零法向频率退化，证明接近 Kirchhoff 椭圆涡的时间拟周期解存在。
2023-04-24 math.AP
