Local regularity for the modified SQG patch equation
我们研究了一类称为修正SQG方程的有源标量族在全平面和半平面上的斑块动力学。这些涉及到一个参数$α$，它出现在他们的毕奥-萨伐尔定律的内核的权力，并描述了程度的规律性方程。值$α=0$和$α=\frac 12$分别对应于2D欧拉方程和SQG方程。我们在这里建立这些模型的局部时间正则性，为所有$α\in(0,\frac 12)$在整个平面上和所有小$α>0$在半平面上。我们使用文[16]中的后一个结果，其中我们证明了半平面上正则初始数据的存在性，这导致了有限时间奇异性。
2015-08-30 math.AP
Existence of asymmetric vortex patch for the generalized SQG equations
研究了二维广义表面准地转（gSQG）方程在全平面上单连通曲面上$α\in[1,2)$非对称解的存在性，其中$α=1$对应于表面准地转方程（SQG）.更准确地说，我们构建非平凡的简单连接的同向旋转和旅行补丁不平等的涡量。证明是通过一个去奇异的论点与隐函数定理相结合的轮廓动力学方程的线性化。我们的结果扩展了Hassainia-Hmidi（DCDS-A，2021）和Hassainia-Wheeler（SIAM J.Math.Anal.，2022）到更奇异的速度，填充$α$范围内的开放间隙。
2022-12-10 math.AP
Uniqueness for SQG patch solutions
本文讨论了准地转地面方程控制下的温度锋的演变。该程序在索伯列夫空间尺度下的存在性部分由一位作者[10]得到。在这里，我们重新审视证明，引入一些新的工具和观点，使我们能够得出同样需要的唯一性结果。
2017-05-29 math.AP
The $α$-SQG patch problem is illposed in $C^{2,β}$ and $W^{2,p}$
本文证明对于 $0<α<1/2$，$α$-SQG 斑块问题在所有 $β<1$ 的 $C^{2,β}$ 空间及除 $p=2$ 外的 $W^{2,p}$ 空间中强不适定，与 Euler 斑块的全局适定性形成鲜明对比。
2024-11-25 math.AP
Local regularity and finite time singularity for the generalized SQG equation on the half-plane
该研究针对半平面上的广义SQG方程，明确了α∈(0,1/4]时的局部适定性与有限时间爆破解的存在性，同时证明α>1/4时方程不适定，完善了该类方程的正则性理论。
2023-10-05 math.AP
An Improved Regularity Criterion and Absence of Splash-like Singularities for g-SQG Patches
本文证明了参数 $α\le 1/4$ 的广义表面准地转方程的充分正则patch解不会发生splash-like奇性，并得到了 $H^3$ patch解的改进全局正则性判据。
2022-05-16 math.AP
Well-posedness for SQG sharp fronts with unbounded curvature
大气和海洋流中地面准地转（SQG）方程模式的锐温度锋的补丁解。我们建立了局部适定性SQG尖锐的前低Sobolev正则性，$H^{2+s}$为任意小的$s>0$，允许前与无界曲率。
2021-05-23 math.AP
Local regularity and finite-time singularity for a class of generalized SQG patches on the half-plane
本文研究半平面刚性边界下广义SQG斑块方程，证明Osgood条件可作为有限时间奇性形成的尖锐阈值，并推广已有$α$-SQG局部正则性结果。
2024-10-25 math.AP
Horizontally periodic generalized surface quasigeostrophic patches and layers
本研究扩展了$\alpha$-SQG方程中有界斑块的存在性结果，证明了水平周期斑块边界$H^k$正则性的有限时间传播，并重点分析了介于欧拉与SQG之间的参数范围。
2025-04-24 math.AP
Confinement of a hot temperature patch in the modified SQG model
本文从修正的准地转方程（SQG）斑方程出发，研究了$R^2$中温度斑的时间演化。特别是，我们给一个时间上的支持的增长估计，提供了严格的证明，在没有外部强迫的情况下，在准地转近似下的温度热补丁的限制。
2016-04-12 math-ph math.AP math.MP
On the local existence and blow-up for generalized SQG patches
研究了一类含参数$α$，$0< α<2$的输运方程的补丁解，其中$α=0$和$α=1$分别对应于Euler方程和地面准地转方程.在本文中，使用几个新的取消，我们提供了以下新的结果。首先，我们证明了局部适定性$H^{2}$补丁在半空间设置为$0<α< 1/3$，允许自相交的固定边界。此外，我们能够扩展的范围内的$α$有限时间奇点已被证明在\cite{KYZ}和\cite{KRYZ}。其次，我们建立了$0<α<2$的补丁保持正则，只要弧弦条件和$δ>α/2$的$C^{1+δ}$阶正则性是时间可积的。这种有限时间奇异性准则适用于比\cite{CFMR}和\cite{ScottDritschel}数值模拟中所示的规律性更低的规律性，用于表面准地转斑块，其中轮廓的曲率在数值上爆炸。这是第一次证明了有限时间奇异性准则低于或等于数值中的正则性。最后，我们还改进了\cite{G}和\cite{CCCGW}中的结果，给出了$0<α< 1$的$H^{2}$和$1<α<2$的$H^3$中的局部适定性。
2019-08-02 math.AP
Small scales and singularity formation in fluid dynamics
本文综述了流体动力学方程解的奇异性和小尺度形成的最新研究进展。重点是欧拉和表面准地转（SQG）方程和相关的模式。
2018-06-30 math.AP
On the existence of stationary patches
本文证明了SQG和gSQG方程的一族解析定态解的存在性。这回答了[F]中的一个公开问题。de la Hoz，Z. Hassainia，T.赫米迪Arch.定量。机械分析：220（3）：1209-1281，2016]。
2018-07-18 math.AP
Self-similar blow-up profile for the one-dimensional reduction of generalized SQG with infinite energy
California Institute of Technology（加州理工学院）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
该研究通过一维简化和固定点论证，证明了广义SQG方程在无限能量下的自相似爆破解存在，并通过数值模拟验证了结果。
2026-03-11 math.AP
Remarks on well-posedness of the generalized surface quasi-geostrophic equation
本文研究了速度场表示为$u=K\astω$的广义表面准地转方程的Cauchy问题，其中$u=K\astω$是未知函数，$K(x)=\frac{x^\perp}{|x|^{2+2α}}, 0\leα\le \frac12.$当$α=0$为二维Euler方程时，它是二维Euler方程.当为$α=\frac 12$时，它对应于无粘SQG。证明了如果对某些$0<α_0\le\frac12$，广义SQG的光滑解的存在区间为$[0,T]$，则在相同的初始数据下，具有接近于$α_0$的$α$的广义SQG的存在区间将保持在$[0,T]$上.作为副产品，我们的结果意味着，与[Kiselev et al 2016]中提出的奇异性相比，用$α>0$构造广义SQG的柯西问题的光滑解的可能奇异性将是微妙的。为了证明我们的主要结果，我们将讨论这两个解之间的差别，同时讨论奇异积分的逼近。本文给出了PDMATHAMT关于奇异积分和交换子估计的一些新的一致估计。
2018-09-30 math.AP
On evolution of corner-like gSQG patches
本文研究广义SQG方程中角状斑块解的演化，发现角根据角度和速度核阶数瞬时弯曲，并证明了严格凸光滑斑块解可立即变为非凸。
2022-09-21 math.AP
Paralinearization and extended lifespan for solutions of the $ α$-SQG sharp front equation
本文对接近圆形涡旋的α-SQG锋面方程进行抛物线性化，利用抛物微分Birkhoff正规型约简及方程的哈密顿性质，在最奇异情形下证明了初始涡旋块的二次寿命结果，首次给出锋面正规型的长时间存在性证明。
2023-10-24 math.AP
Blow-up at finite time for the generalized SQG equations in the Sobolev well-posedness regime
Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC-UAM-UCM-UC3M（西班牙数学科学院）；CUNEF Universidad（CUNEF大学）
该研究针对γ∈(0,1)的受迫广义SQG方程，构造了初始数据与力，证明其经典有限能量解在Sobolev适定性区域内于t=1时发生有限时间爆破，为该领域首个此类结果。
2026-08-19 math.AP
Quasiperiodic solutions of the generalized SQG equation
本专著结合 KAM 理论、Nash-Moser 迭代和伪微分演算，利用初始数据自然结构，在参数 $α\in (1,2)$ 下证明了广义 SQG 方程全局无奇点的拟周期斑块解的存在性，为拟线性偏微分方程全局动力学研究提供了新框架。
2025-06-26 math.AP
On local well-posedness of logarithmic inviscid regularizations of generalized SQG equations in borderline Sobolev spaces
本文研究了全平面上活动标量$θ$的一类广义表面准地转（SQG）方程，其速度经过了适当的正则化，例如，几何正则化。这些正则化模型在边界Sobolev正则性中的适定性已经由D.当速度$u$具有较低的奇异性时，即，$u=-\nabla^{\perp}Λ^{β-2}p(Λ)θ$，其中$p$是对数平滑算子，而$β\in [0,1]$。我们完成这项研究，考虑更奇异的制度$β\in(1,2)$。主要的工具是识别一个合适的线性化系统，保持基本的换向器结构的原始方程。我们观察到，这种结构最终是至关重要的获得连续性的流图。特别是，以前的主动输运方程的方法的直接应用程序无法捕捉到更微妙的换向器结构的方程在这个更奇异的制度。建议的线性化系统nontrivially修改的通量的原始系统，在这样一种方式，它符合原始通量时，沿原系统的解决方案进行评估。必要的估计，以确保其适定性的修改后的线性系。
2021-09-08 math.AP
An Inviscid Regularization for the Surface Quasi-Geostrophic Equation
受最近发展的Berdina-like湍流模型的启发，我们提出了一个无粘正则化的表面准地转（SQG）方程。我们特别感兴趣的是著名的问题爆破在有限时间的SQG方程的解梯度。当正则化参数$α$趋于零时，新的正则化方法给出了一个充要条件，使得原SQG方程的解在有限时间内产生奇异性.与通常使用的粘性正则化相反，这里导出的无粘方程保存了修改后的能量。因此，新的正则化提供了一个有吸引力的有限时间爆破测试的数值方法。特别是，我们证明，如果初始条件是光滑的，那么正则化的解决方案仍然是光滑的初始数据的所有时间。此外，与原问题非常相似，无粘正则化承认最大值原理。
2007-02-03 math.AP
Vortex patches choreography for active scalar equations
本文研究了正多边形顶点处的$N$涡斑的存在性，该正多边形的$N$边绕多边形中心作常角速度旋转。这是针对欧拉方程和（SQG）$_β$方程，使用$β\in(0,1)$，但也可以扩展到更一般的模型。其思想是对$N$点涡系的正多边形进行去奇异化，即$N$点涡位于具有$N$边的正多边形的顶点。该证明基于轮廓动力学方程的研究，结合无限维隐函数定理的应用和函数空间的精心选择。
2020-10-14 math.AP
On the V-states for the generalized quasi-geostrophic equations
证明了具有$α\in ]0,1[.$的广义无粘SQG方程的V-态的存在性。这些结构是特殊的旋转单连通片，在某些显式角速度值下从平凡解分支出，具有$m-$折叠对称性。这产生了，除其他外，一个无限的家庭的非平稳的全球解决方案的唯一性。
2014-05-05 math.AP
Local well-posedness for a moving rigid region in Surface Quasi-Geostrophic equations
Bordeaux-INP, Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB), CNRS, Université de Bordeaux（波尔多国立理工学院，波尔多数学研究所，法国国家科学研究中心，波尔多大学）；Basque Center for Applied Mathematics (BCAM)（巴斯克应用数学中心）；Ikerbasque, Basque Foundation for Science（伊克拉巴斯科，巴斯克科学基金会）
针对具有移动刚性障碍物的临界表面准地转方程，通过适应坐标变换、分数阶椭圆算子的积分表示和非线性不动点论证，建立了Sobolev空间中的局部适定性、唯一性、局部稳定性和爆破准则。
2026-05-22 math.AP
Existence of corotating and counter-rotating vortex pairs for active scalar equations
本文用$α\in (0,1).$研究了Euler方程和$(\hbox{SQG})_α$方程的同转和反转单连通曲面片对的存在性。通过在\cite{DZ, humbert, S-Z}中对Euler方程进行的数值实验，证明了定常涡对曲线通过点涡对的存在性。基于变分原理\cite{keady, Tur}的一些解析证明，并没有给出足够的关于涡对的信息，如单个涡的唯一性或拓扑结构。本文对$(\hbox{SQG})_α$方程在$α\in (0,1)$时的数值实验给出了直接的证明，并推广了这些结果。证明依赖于轮廓动力学方程，结合点涡对的去奇异化和隐函数定理的应用。
2018-01-08 math.AP
Absence of splash singularities for SQG sharp fronts and the Muskat problem
本文对锐锋表面准地转方程或Muskat问题，排除了“飞溅奇点”的爆破情形，即证明了当自由边界保持光滑时，从这两个系统演化出来的等值线不可能相交于一点。飞溅奇异性已被证明为在水波轮廓演化问题\cite{ADCPJ}的形式的自由边界不可压缩欧拉方程。我们的结果证实了在\cite{CFMR}中的数值模拟，其中它表明，曲率吹起来，由于轮廓在一个点处塌陷。在这里，我们证明，保持控制的曲率将删除逐点相间崩溃的可能性。另一个结论，我们提供的是一个更好的理解工作\cite{DP3}中，喷射奇点被排除，在这里一个积极的体积之间的轮廓流体不能在有限的时间内喷射。
2013-09-16 math-ph math.AP math.MP
Unified theory for regularity persistence of vortex patch boundaries
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）
针对含径向卷积核的二维有源标量方程，建立涡斑边界 Sobolev 正则性保持的统一局部理论，证明特定条件下轮廓动力学方程的局部解存在唯一性，丰富了这类方程的正则性研究成果。
2026-08-04 math.AP
A Note on Singularity Formation for a Nonlocal Transport Equation
$α$ -补丁模型用于研究流体方程的各个方面。我们表明，该模型的解决方案在有限时间内形成奇点，并给出了在奇异时间的解决方案配置文件的表征。
2019-10-28 math.AP
Regularization by rough Kraichnan noise for the generalised SQG equations
本文证明在广义表面准地转方程中加入粗糙Kraichnan噪声可正则化该方程，为初值在L^1∩L^p中的解提供强存在性与路径唯一性，并涵盖任意β∈(0,1)，同时结果也适用于带外力及二维线性输运方程。
2025-03-27 math.AP math.PR
Symmetries and Critical Phenomena in Fluids
我们证明了给定一个有界的$m$ -折叠旋转对称的初始涡度，对于$m \ge 3$，二维Euler方程在整个平面上存在唯一的整体解。也就是说，在众所周知的Yudovich的$L^1 \cap L^\infty$理论中，当具有适当的对称条件时，可以放弃$L^1$假设。这包含了一类径向均匀的解决方案的二维欧拉方程，从而产生了一个新的一维流体模型。我们讨论这个1D系统的几个有趣的属性。利用这个框架，我们构造了时间拟周期解的二维欧拉方程表现出类似的行为。我们还展示了解决方案与紧凑的支持，角导数增长的时间线性或指数的时间（后者是在存在的边界）。对地面准地转（SQG）方程也可作类似的研究。使用相同的对称性条件，我们证明了局部存在性和唯一性的解决方案，这仅仅是Lipschitz连续附近的起源-虽然，没有对称性，Lipschitz初始数据预计立即失去Lipschitz连续性。再次，一类特殊的径向均匀的解决方案被认为是我们提取的一维模型，具有很大的相似性，所谓的德格雷戈里奥模型。然后，我们表明，有限时间奇异性形成的一维模型意味着有限时间奇异性形成类的Lipschitz解决方案的SQG方程是紧支撑。虽然对流体模型的特殊无限能量解的研究是经典的，但这似乎是它们可以嵌入到方程的自然存在/唯一性类中的第一种情况。这些特解在很长时间内都是有限能量解的近似解，并直接关系到有限能量解的整体正则性问题。
2018-09-04 math.AP
Singularity Formation in a Surface Wave Model
本文研究了具有$Hu$形式的非局部项的Burgers方程，其中$H$是希尔伯特变换.该系统被认为是涡斑自由边界动力学的二次近似。对于一类能量有限的初始数据，证明了其在有限时间内爆破。考虑到一个更一般的非局部项，形式$Λ^αHu$为$0<α< 1$，有限时间奇异性的形成也显示。
2010-04-22 math.AP
A revisit of patch solutions for the 2D Loglog-Euler type equation
本文研究二维 Loglog-Euler 型方程的斑块解，证明全局弱解的 Yudovich 型存在唯一性，并用物理空间方法建立单斑块边界正则性的全局保持及多斑块演化结论。
2025-10-21 math.AP
Emergence of time periodic solutions for the generalized surface quasi-geostrophic equation in the disc
本文讨论了单位圆盘上具有齐次Dirichlet边界条件的广义无粘SQG方程在$α\in (0,1)$ .我们证明了存在一个可数族的分支曲线从径向补丁。与以往的研究相比，在积极的标量方程，格林函数不再是明确的，我们绕过这个问题的一个适当的分裂成一个奇异的显式部分（这符合平面）和一个光滑的隐式诱导的域的边界。另一个问题是连接到分析的线性频率，承认一个复杂的形式，通过一个离散的总和，涉及贝塞尔函数和他们的零。我们克服了这个困难，使用Sneddon的公式导致一个合适的整表示的频率。
2022-10-17 math.AP
Double spiral singularities for a flow of regular planar curves
本文研究了[R. E. Goldstein和D. M. Petrich，{ \em Phys. Rev. Lett.}，69（1992），pp. 555- 558]，同时考虑不可压二维欧拉方程的涡斑动力学。证明了由两条旋转对数螺线组成的任意曲线是由流动的光滑解发展的有限时间奇点。我们提供了适当的Painlevé II超越方面的解决方案的确切建设，此外，我们建立其渐近展开在附近的奇点。
2021-08-27 math.AP
Existence of hyperbolic blow-up to the generalized quasi-geostrophic equation
本文针对参数范围β∈(1,2)的二维广义表面准地转方程，基于双曲鞍点设定证明了光滑解存在双曲爆破并给出爆破时间下界，是该类方程奇点形成的首个严格证明结果。
2025-11-17 math.AP
On Singular Vortex Patches, I: Well-posedness Issues
本文的目的是讨论奇异涡斑的适定性理论。我们的主要结果有两类：适定性和不适定性。在适定性方面，我们表明，全球$m-$折叠对称涡补丁的角落源自原点是全球适定性的自然规律类，只要$m\geq 3$。在这种情况下，所有涉及的角度都求解了一个\emph{closed} ODE系统，该系统决定了角点的全局时间动态，并且仅取决于角点的初始位置和大小。{在此过程中，我们获得了一类在原点具有边界奇异性的对称曲面片的全局适定性结果，其中包括对数螺线。}在不适定性方面，我们表明，\emph{any}的其他类型的角奇异性的涡补丁不能不断演变的时间，除非可能当所有涉及的角落都精确的角度$\fracπ{2}$的所有时间。即使在与角的角度$\fracπ{2}$或与角，只有局部$m-$折叠对称的涡补丁的情况下，我们证明，他们是一般不适定的。我们期望，在这些情况下的不适定性，涡补丁实际上尖立即在一个自相似的方式，我们推导出一些渐近模型，这可能是有用的，在给出一个更精确的描述的动态。在一个同伴的工作中，我们讨论了长时间的行为的对称涡补丁的角落，并用它们来构建补丁$\mathbb{R}^2$有趣的动力学行为，如尖和螺旋形成在无限的时间。
2019-12-23 math-ph math.AP math.MP
Numerical study of a flow of regular planar curves that develop singularities at finite time
Universidad del País Vasco（巴斯克大学）
本文数值研究了Goldstein-Petrich几何流，该流在Euler方程下描述平面涡斑演化，并再现了Perelman-Vega证明的有限时间角状奇点形成。
2008-12-05 cs.NA math.AP math.NA
