对称稳定律的特征函数和稳定性参数的对数估计
Estimating the logarithm of characteristic function and stability parameter for symmetric stable laws
摘要：
令$X_1,\ldots,X_n$为i.i.d.样本来自具有稳定性参数$α$和尺度参数PDMATHAMO的对称稳定分布。令$φ_n$为经验特征函数。证明了一个一致大偏差不等式：给定精确度$ε>0$和概率$p\in (0,1)$，存在普适常数$\bar{r}>0$（依赖于$ε$和$p$，而不依赖于$α$和$γ$），使得$$P\big(\sup_{u>0:r(u)\leq \bar{r}}|r(u)-\hat{r}(u)|\geq ε\big)\leq p,$$，其中$r(u)=(uγ)^α$和$\hat{r}(u)=-\ln|φ_n(u)|$ .作为结果的一个应用，我们展示了如何将其用于估计未知的稳定性参数$α$。
英文摘要：
Let $X_1,\ldots,X_n$ be an i.i.d. sample from symmetric stable distribution with stability parameter $α$ and scale parameter $γ$. Let $φ_n$ be the empirical characteristic function. We prove an uniform large deviation inequality: given preciseness $ε>0$ and probability $p\in (0,1)$, there exists universal (depending on $ε$ and $p$ but not depending on $α$ and $γ$) constant $\bar{r}>0$ so that $$P\big(\sup_{u>0:r(u)\leq \bar{r}}|r(u)-\hat{r}(u)|\geq ε\big)\leq p,$$ where $r(u)=(uγ)^α$ and $\hat{r}(u)=-\ln|φ_n(u)|$. As an applications of the result, we show how it can be used in estimation unknown stability parameter $α$.
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