arXivDaily arXiv每日学术速递 周一至周五更新
arXiv周末暂无论文更新，休息一下吧，周末愉快~~
arXiv 2008.02619math.NT
收藏

关于完满域上有理函数的迭代

On iterations of rational functions over perfect fields

José Alves Oliveira, Daniela Oliveira, Lucas Reis

备注：
18 pages; comments are welcome
阅读 PDF
arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要：

设$\mathbb K$是特征$p\ge 0$的理想域，$R\in \mathbb K(x)$是有理函数.本文研究了$R^{(n)}(x)=α$在$\mathbb K$的代数闭包$\overline{\mathbb K}$上的相异解的个数$Δ_{α, R}(n)$，其中$α\in \overline{\mathbb K}$和$R^{(n)}$是$R$与自身的$n$ -重合成.除了一些对$(α, R)$，我们证明了$Δ_{α, R}(n)=c_{α, R}\cdot d^n+O_{α, R}(1)$的一些$0<c_{α, R}\le 1<d$。数字$d$很容易从$R$获得，我们提供了对$c_{α, R}$的估计。此外，我们证明了例外对$(α, R)$满足$Δ_{α, R}(n)\le 2$对每个$n\ge 0$，我们充分描述他们。我们还讨论了进一步的问题，并提出了一些问题的情况下，$\mathbb K$是有限的。

英文摘要：

Let $\mathbb K$ be a perfect field of characterstic $p\ge 0$ and let $R\in \mathbb K(x)$ be a rational function. This paper studies the number $Δ_{α, R}(n)$ of distinct solutions of $R^{(n)}(x)=α$ over the algebraic closure $\overline{\mathbb K}$ of $\mathbb K$, where $α\in \overline{\mathbb K}$ and $R^{(n)}$ is the $n$-fold composition of $R$ with itself. With the exception of some pairs $(α, R)$, we prove that $Δ_{α, R}(n)=c_{α, R}\cdot d^n+O_{α, R}(1)$ for some $0<c_{α, R}\le 1<d$. The number $d$ is readily obtained from $R$ and we provide estimates on $c_{α, R}$. Moreover we prove that the exceptional pairs $(α, R)$ satisfy $Δ_{α, R}(n)\le 2$ for every $n\ge 0$, and we fully describe them. We also discuss further questions and propose some problems in the case where $\mathbb K$ is finite.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

↑