Parametric Solutions for a Nearly-Perfect Cuboid
Mamuka Meskhishvili
我们考虑近似完美长方体（NPC），其中唯一的无理数是面对角线之一。得到了单参数NPC的三种有理参数化。
We consider nearly-perfect cuboids (NPC), where the only irrational is one of the face diagonals. Obtained are three rational parametrizations for NPC with one parameter.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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No Perfect Cuboid
长方体称为长方体（立箱）。如果它的边、面对角线和体对角线都具有整数长度，则称它为完全的。欧拉给出了一个例子，其中只有身体对角线未能成为整数（欧拉砖）。有完美的长方体吗？我们证明了不存在完美的长方体。
Perfect cuboid, primitive Pythagorean triples and Eulerian parallelepipeds. Dynamics of construction
一个未解决的数学问题仍然是完美长方体问题。一个完美的长方体是一个长方体，它的边、面对角线和空间对角线都表示为整数。目前还没有发现这样的长方体，也没有证明它的存在。本文给出了不存在完美长方体的一个证明。
A note on a perfect Euler cuboid
构造一个完美的欧拉长方体的问题被简化为一个12次的丢番图方程。
Perfect cuboids and multisymmetric polynomials
一个完美的欧拉长方体是一个长方体，它有整数条边和整数条面对角线，其空间对角线也是整数。寻找这种平行六面体或证明其不存在的问题是一个古老的未解决的数学问题。理想欧拉长方体的丢番图方程具有显式的$S_3$对称性。本文将长方体方程关于其$S_3$对称性用多对称多项式进行因式分解。一些因子方程显式计算。
A general rational solution of an equation associated with perfect cuboids
我们发现一个明确的参数化，一个4度的表面出现的一个完美的长方体的存在的必要条件是一个合理的表面，即双理性等价于$\mathbb Q$的一个平面。
On a pair of cubic equations associated with perfect cuboids
完美长方体是具有整数边和整数面对角线的矩形平行六面体，其空间对角线也是整数。这种长方体的存在既没有被证明，也没有被证伪。有理完全长方体是与完全长方体绝对等价的完全长方体的自然伙伴。它的边和面对角线是有理数，而它的空间对角线等于1。最近，基于对称约化，证明了有理完美长方体的边是某个有理系数依赖于两个有理参数的三次方程的根。这个长方体的面对角线是另一个三次方程的根，该方程的系数是取决于相同的两个有理参数的有理数。本文研究这两个三次方程的约化问题。找到了它们在有理数域上约简的六种特殊情形。
On two elliptic curves associated with perfect cuboids
一个有理完美长方体是一个长方体，它的边和面对角线由有理数给出，并且它的空间对角线等于1。找到这样一个长方体就等价于找到一个完美的长方体，它的所有边和对角线都是整数，这是一个古老的未解决的问题。最近，基于对称方法，证明了有理完美长方体的边和面对角线是两个系数依赖于两个有理参数的三次方程的根。已发现这些三次方程可约的六种特殊情况，本文又考虑了这些三次方程可约的两种可能情况。它们导致一对椭圆曲线。
Inverse problems associated with perfect cuboids
完美长方体是具有整数边、整数面对角线和整数空间对角线的矩形平行六面体。这样的长方体还没有被发现，但它们的存在也没有被证明是错误的。完美长方体由具有内在$S_3$对称性的丢番图方程组描述。最近，这些方程被因式分解关于这个$S_3$对称性和因子方程被转换成$E$ -形式。如所示，变换因子方程是显式可解的。在此基础上，本文建立了多项式反问题。
A biquadratic Diophantine equation associated with perfect cuboids
一个完美的欧拉长方体是一个长方体，它有整数条边和整数条面对角线，其空间对角线也是整数。这样的长方体还没有被发现，它们的不存在也没有被证明。理想欧拉长方体由具有自然$S_3$对称性的四个丢番图方程组成的方程组描述。最近这些方程因式分解关于这个$S_3$对称性和因子方程推导。本文将因子方程转化为$E$ -形式，然后化为一个单一的双二次方程。
Perfect cuboids and irreducible polynomials
构造完美长方体的问题与某类具有三个整数参数$a$、$b$和$u$的一元多项式有关。它们在整数环上对$a$、$b$和$u$的某些限制下的不可约性意味着不存在完美长方体。这种不可约化被证明，然后对大约10000个$a$、$b$和$u$的实例进行数值验证。
On the equivalence of cuboid equations and their factor equations
欧拉长方体是具有整数边和整数面对角线的矩形平行六面体。如果欧拉长方体的空间对角线也是整数，则称其为完美长方体。一些欧拉长方体已经被发现。至于完美长方体，目前还没有人知道，也没有证明它们的不存在。欧拉长方体和完美长方体由某些丢番图方程系统描述。这些方程具有固有的$S_3$对称性。最近，他们因式分解关于这个$S_3$对称性和因子方程推导。在本文中的因子方程是等价的，以原长方体方程的搜索完美的长方体和选择欧拉长方体。
A fast modulo primes algorithm for searching perfect cuboids and its implementation
一个完美的长方体是一个长方体，其所有的线性范围都是由整数，即。e.它的边、它的面对角线和它的空间对角线是整数长度。到目前为止，还没有一个完美的长方体。它们的不存在也没有得到证明。这是一个未解的数学难题。最近有三个数学命题与长方体问题有关。它们被称为三个长方体。这三个图在寻找完美长方体的过程中指定了三个特殊的子情形。第二个猜想的情形与十次丢番图方程的解有关。本文提出了一种用模素数搜索法快速求解这类丢番图方程的算法，并给出了在32位Windows平台上采用Intel兼容处理器的实现。
On Walter Wyss's no perfect cuboid paper
完美长方体问题（英语：Perfect cuboid problem）是一个关于长方体的存在或不存在的数学问题，长方体的边长、面对角线和空间对角线都是整数。最近Walter Wessels发表了一篇论文[arXiv：1506.02215]，声称解决了这个问题。本文的目的是检验Walter Wyss的结果。
Two and three descent for elliptic curves associated with perfect cuboids
一个有理完美长方体是一个长方体，它的边和面对角线由有理数给出，并且它的空间对角线等于1。最近，它表明，丢番图方程描述这样一个长方体导致一对夫妇的参数族的椭圆曲线。本文讨论了计算它们的秩的两种和三种下降法。每个参数族中的椭圆曲线被细分为两个子集，分别允许2-下降法和3-下降法。
On singularities of the inverse problems associated with perfect cuboids
最近导出了关于有理完美长方体的棱线和面对角线的两个三次方程和三个辅助方程。它们构成了两个反问题的背景。三次方程的系数和辅助方程的右端是两个有理参数的有理函数，即：e.他们有冰箱。因此，反问题有奇点。本文对这些奇点进行了研究。
On an ideal of multisymmetric polynomials associated with perfect cuboids
一个完美的欧拉长方体是一个长方体，它有整数边，整数面对角线，整数空间对角线。找到这样的平行六面体或证明它们不存在是一个古老的未解决的数学问题。从代数上讲，这个问题可以用一组丢番图方程来描述。长方体问题的对称性方法是基于长方体问题的丢番图方程的自然$S_3$对称性。将这些方程关于它们的$S_3$对称性进行因式分解，得到多对称多项式环内的某些理想。在本文中，这个理想是完全计算和提出通过其基础。
Reverse asymptotic estimates for roots of the cuboid characteristic equation in the case of the second cuboid conjecture
一个完美的长方体是一个长方体，其边缘，其面对角线，其空间对角线的长度是整数。第二个长方体猜想指定一个子类的完美长方体所描述的一个丢番图方程的第十次，并声称他们不存在于这个子类。这个丢番图方程有两个参数。以前的渐近展开和估计的根的情况下，得到的第一个参数是固定的，另一个趋于无穷大。本文在第二个参数固定而第一个参数趋于无穷大的情况下，导出了逆渐近展开和估计。讨论了它们在理想长方体问题中的应用。
A note on the third cuboid conjecture. Part I
寻找完美欧拉长方体或证明其不存在的问题是一个古老的数学未解决的问题。第三个长方体猜想是在证明不存在完美欧拉长方体的中间阶段提出的三个命题中的最后一个。它与某个12阶的丢番图方程有关。本文证明了这类丢番图方程解的一个结构定理。
On two algebraic parametrizations for rational solutions of the cuboid equations
一个有理完美长方体是一个长方体，它的边和面对角线由有理数给出，并且它的空间对角线等于1。它的存在性等价于一个具有所有整数边和对角线的完美长方体的存在性。找到这样一个长方体或证明它不存在是一个古老的未解决的问题。最近，基于对称性方法，理想长方体的方程被转化为因子方程。因子方程被证明是可解的，并且被求解，导致了一对逆问题。本文的工作就是解决这些反问题。代数参数化的解决方案，使用代数函数的两个合理的论点。
A note on rational and elliptic curves associated with the cuboid factor equations
一个有理完美长方体是一个长方体，它的边和面对角线由有理数给出，并且它的空间对角线等于1。它由一个关于六个变量的四个方程组成的系统描述。由这四个方程经对称化处理，导出了长方体因子方程。它们构成了一个由八个多项式方程组成的系统，该系统已被参数化求解。本文用有理曲线与椭圆曲线的交线表示其参数解。
A note on the second cuboid conjecture. Part I
寻找完美欧拉长方体或证明其不存在的问题是一个古老的数学未解决的问题。第二个长方体猜想是在证明不存在完美欧拉长方体的中间阶段提出的三个命题之一。它与某个10阶多项式丢番图方程有关。本文证明了这类丢番图方程解的一个结构定理，并给出了它的应用实例。
Asymptotic estimates for roots of the cuboid characteristic equation in the linear region
一个完美的长方体是一个长方体，其边缘，其面对角线，其空间对角线的长度是整数。第二个长方体猜想指定一个子类的完美长方体所描述的一个丢番图方程的第十次，并声称他们不存在于这个子类。这个丢番图方程称为长方体特征方程。它有两个参数。线性区域是由某些线性不等式给出的这两个参数的坐标平面上的域。本文在两个参数趋于无穷大且保持在线性区域内的情况下，得到了特征方程根的渐近展开和估计。讨论了它们在长方体问题中的应用。
A strategy of numeric search for perfect cuboids in the case of the second cuboid conjecture
本文基于第二立方体猜想，研究了一个十次迪ophantine方程，并提出优化的计算机辅助搜索策略以寻找完美立方体。
Perfect Cuboid and Congruent Number Equation Solutions
完美长方体（PC）是具有有理边$a,b,c$的矩形平行六面体，其面对角线$d_{ab}$、$d_{bc}$、$d_{ac}$和空间（体）对角线$d_s$是有理数。PC的存在与否至少从莱昂哈德·欧拉时代起就是一个已知的问题。利用同余方程$ y^2=x^3-N^2x$的非平凡有理解$(X,Y)$ }和$(Z,W)$ }建立了PC的等价条件，其中乘积$XZ$为平方.利用这对解，得到了近似完美长方体（NPC）（只有一个面对角线是无理的）的五种参数化形式和PC的五个等价条件，每种参数化形式给出了所有可能的NPC。例如，利用其中一种方法，得到了NPC的边和对角线的不变参数化：$a=2XZN$，$b=|YW|$，$c=|X-Z|\sqrt{XZ}\,N$，$d_{bc}=|XZ-N^2|\sqrt{XZ}$，$d_{ac}=|X+Z|\sqrt{XZ}\,N$，$d_s=(XZ+N^2)\sqrt{XZ}$，PC存在的条件是$d_{ab} = \sqrt{Y^2W^2+4N^2X^2Z^2}$的合理性.由于每个参数化都是完备的，因此讨论了反问题。对于给定的NPC，求出了相应的全等数方程（即全等数）及其解.
Elimination of René Peschmann's 968 Remaining Hard Fibers for the Perfect Cuboid Problem
本文通过秩零、覆盖论证及局部-全局筛法，消除了完美长方体问题中剩余的 968 个纤维，结合已有定理排除了 2,040 个有界纤维，但未证明完整猜想。
A torsion-intersection proof of perfect-cuboid nonexistence on 1,072 explicit master-tuple fibers
本文基于前文建立的 genus-3 减缩，证明了在1072个显式主元纤维上完美立方体不存在，通过结构分类定理、扭交点论证和算法验证技术，排除了所有有理数(a,b)特化。
Exponent-one blockers and a Mordell-Weil construction of Euler bricks
本文研究欧拉砖的构造，提出指数为一的阻塞现象，并利用椭圆纤维化方法生成Mordell-Weil组合，证明所有生成的欧拉砖均不满足完美欧拉砖条件。
Three integers whose sum, product and the sum of the products of the integers, taken two at a time, are perfect squares
针对欧拉提出的三整数和、积及两两乘积之和均为平方数的问题，本文用新方法得到低次多项式参数化解及数值较小的解。
An octic diophantine equation and related families of elliptic curves
我们得到了丢番图方程$ϕ(x_1, x_2, x_3)=ϕ(y_1, y_2, y_3)$的两个参数解，其中$ϕ(x_1, x_2, x_3)$是由$ϕ(x_1, x_2, x_3)=x_1^8+ x_2^8 + x_3^8 - 2x_1^4x_2^4 - 2x_1^4x_3^4 - 2x_2^4x_3^4$定义的八度形式.这些参数解产生了无穷多个两个等面积三角形的例子，它们的边是整数的完满平方。进一步地，两个参数解中的每一个导致$\mathbb{Q}(t)$上秩为~ $5$的椭圆曲线族。我们研究了两个家庭中的一个，并确定了一组五个免费的家庭发电机。
A unified parametric approach to the Erdős--Straus conjecture with explicit solutions for a set of integers of natural density one
本文提出参数方法研究丢番图方程，揭示其在埃尔多斯-斯特劳斯猜想中的结构行为，并为自然密度为一的整数集提供显式解。
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