Split extensions and actions of bialgebras and Hopf algebras

向量积双代数--I部分

Cross Product Bialgebras - Part I

本文的研究对象是无余圈的向量积双代数。本文建立了一个用投射和注入刻画向量积双代数的理论。特别是所有已知类型的双积、双向量积和双叉积双代数都可以用这个理论来描述。此外，该理论还提供了新的（无余圈）向量积双代数族。除了通用的特征，我们发现一个等价的（上）模描述的某些类型的向量积双代数在所谓的Hopf数据。借助Hopf数据结构，我们再次恢复了所有已知的向量积双代数以及新的和更一般类型的向量积双代数。我们工作的一般设置编织幺半范畴范畴，使我们能够应用我们的结果，特别是编织范畴的Hopf双模在霍普夫代数。Majid的重双积被看作是这一范畴中某个张量积双代数的扭曲。这类似于Drinfel'd二重的情况，它可以被构造为特定向量积的捻。

幺半范畴的（弱）关联双代数

(Weak) incidence bialgebras of monoidal categories

研究了Joni和Rota意义上的范畴的关联余代数，特别是一类上的monoidal乘积将其转化为（弱）双代数的情况。重叠的组合霍普夫代数和霍普夫箭图的理论进行了讨论，并考虑的例子包括树，斜形状，米尔纳的双图和交叉模块。

弱辫状双单胞体的基本定理

The Fundamental Theorem for weak braided bimonads

域上的向量空间范畴引入了（Hopf）双代数和弱（Hopf）双代数理论，并大量使用了张量积。作为第一个概括，这些概念是为幺半范畴制定的，如果需要的话，还可以编辫子。本文作者发展了任意范畴$\mathbb{A}$上的双单子和霍普夫单子$H$的理论，利用分配律，给出了霍普夫代数基本定理的一般形式.对于$τ$ -双单胞体$H$，通过需要Yang-Baxter算子$τ:HH\to HH$来捕获编织（Hopf）双代数的性质。本文的目的是将弱（Hopf）双代数的特征推广到这一一般情形，包括基本定理的适当形式。这包含了Alonso Álvarez等人所考虑的辫状霍普夫代数理论（基于弱杨-巴克斯特算子）。

任意辫子幺半范畴范畴中弱双代数和弱霍普夫代数Tannaka对偶的图解法

Graphical Methods for Tannaka Duality of Weak Bialgebras and Weak Hopf Algebras in Arbitrary Braided Monoidal Categories

Tannaka对偶描述了给定范畴中代数对象和它们的表示之间的关系;一个重要的例子是霍普夫代数和它们的表示范畴;这些都有强的monoidal遗忘“纤维函子”到向量空间范畴。我们同时从两个方面推广了Tannaka对偶理论：第一，用弱霍普夫代数代替霍普夫代数，用可分Frobenius monoidal函子代替强monoidal函子;第二，用任意辫状幺半范畴代替向量空间范畴.为了实现这一目标，我们引入了一个新的图形符号之间的函子幺半范畴，使用字符串图与彩色区域。这种符号不仅扩展了我们对复杂计算给出简单证明的能力，而且使弗罗贝纽斯么半群或可分弗罗贝纽斯么半群函子与定义某些代数结构的公理拓扑之间的某些联系变得清晰。最后，将Tannaka推广到任意基范畴，我们简要地讨论了该构造的函性，因为该基是变化的。

Antipodes, preantipodes and Frobenius functors

We prove that a quasi-bialgebra admits a preantipode if and only if the associated free quasi-Hopf bimodule functor is Frobenius, if and only if the relative (opmonoidal) monad is a Hopf monad. The same results hold in particular for a bialgebra, tightening the connection between Hopf and Frobenius properties.

辫子霍普夫代数上的弱投影

Weak Projections onto a Braided Hopf Algebra

我们证明了，在一些温和的条件下，一个交换和coabel辫状幺半范畴中的双代数有一个弱投影到一个形式光滑（作为余代数）的子双代数上，该子双代数具有对极，见定理1.12。本文第二部分证明了具有弱投影的双代数是向量积双代数，见定理2.12。当双代数$A$是余交换的且与弱投影相关的某个余圈是平凡的时，我们证明了$A$是双向量积，或Madjid术语中的双积.最后一个结果是基于双向量积的一个泛性质，根据定理2.15，它适用于辫状幺半范畴范畴。我们还调查的情况下，正确的行动相关联的匹配对是平凡的。

量子群余积与标量扩张下的普适性

Quantum group coproducts and universality under scalar extensions

本文刻画了域上双代数、Hopf代数及余代数族乘积有限维的条件，并纠正了标量扩张保持乘积的文献错误，明确了有限与代数扩张的普适性特征。

相对Hopf模范畴上的一个么半群结构

A monoidal structure on the category of relative Hopf modules

设$B$是一个双代数，$A$是一个辫子幺半范畴$\Cc$中的左$B$ -余代数，并假定$A$也是一个余代数，具有一个不一定结合的或酉的左$B$ -作用.然后我们可以在两个相对Hopf模的张量积上定义一个右$A$ -作用，这定义了相对Hopf模范畴上的一个monoidal结构当且仅当$A$是$B$上左Yetter-Drinfeld模范畴中的一个双代数.文中给出了一些实例。

双代数的积分

Integrals for Bialgebras

本文提出一种基于范畴方法的双代数积分新概念，证明其在存在antipode时退化为经典定义，并通过对多种特殊双代数的测试，建立了对偶Maschke型定理及有限维情况下的积分存在唯一性定理。

霍普夫代数、四模和n重幺半范畴范畴

Hopf algebras, tetramodules, and n-fold monoidal categories

结合双代数$A$上的四模交换范畴与Gerstenhaber-Schack（GS）上同调关系为$Ext_\Tetra(A,A)=H_\GS(A)$ .在双代数的四元模范畴上构造了一个2重幺半群结构。设$C$是一个交换$n$ -折叠幺半群范畴，其单位对象为$A$ .在一定条件（*）下，证明了$Ext_C(A,A)$是一个$(n+1)$ -代数.在双代数的情况下，当$A$是一个Hopf代数时，这个条件（*）得到满足。最后证明了Hopf代数的GS上同调是3-代数。同时，我们考虑了整数上的（双）代数的这类问题。设$A$是$Z$上平坦的$Z$上的结合代数.证明了作用于其Hochschild上同调的算子是小圆盘算子的稳定同伦群的算子。

任意幺半范畴中弱霍普夫代数的Tannaka重构

Tannaka Reconstruction of Weak Hopf Algebras in Arbitrary Monoidal Categories

我们介绍了一个变种的图形演算的Cockett和Seely的monoidal函子，并说明它与讨论Tannaka重建，其中一些是已知的，其中一些是新的。新的部分是：给定一个可分的Frobenius函子F：A --> B，从一个幺半范畴A到一个适当完备或余完备的辫状自治范畴B，Tannaka重构的通常公式给出B中的一个弱双代数;此外，如果A是自治的，这个弱双代数实际上是一个弱霍普夫代数。

Epimorphic quantum subgroups and coalgebra codominions

We prove a number of results concerning monomorphisms, epimorphisms, dominions and codominions in categories of coalgebras. Examples include: (a) representation-theoretic characterizations of monomorphisms in all of these categories that when the Hopf algebras in question are commutative specialize back to the familiar necessary and sufficient conditions (due to Bien-Borel) that a linear algebraic subgroup be epimorphically embedded; (b) the fact that a morphism in the category of (cocommutative) coalgebras, (cocommutative) bialgebras, and a host of categories of Hopf algebras has the same cod…

五角方程与矩阵双代数

Pentagon equation and matrix bialgebras

利用五边形方程的某些变形的解，对矩阵代数上的余积进行了分类。将Baaj和Skandalis描述五边形方程有限维酉解的构造推广到非酉情形。建立了Hopf-Galois代数与修正五边形方程解之间的关系。

余代数生成的自由Poisson霍普夫代数

Free Poisson Hopf algebras generated by coalgebras

在Poisson霍普夫代数的背景下，构造了Takeuchi自由霍普夫代数的模拟.更确切地说，我们证明了在任何余代数上存在一个自由Poisson Hopf代数，或者等价地证明了从Poisson霍普夫代数范畴到余代数范畴的遗忘函子有一个左伴随.特别地，我们还证明了Poisson霍普夫代数范畴是Poisson双代数范畴的一个反射子范畴。一路上，我们描述的余积和余均衡器的泊松霍普夫代数的范畴，因此，后者的范畴是余完备的。

代数的广义分裂及其在由平均Lie双代数诱导的Leibniz代数双代数结构中的应用

Generalized splitting of algebras with application to a bialgebra structure of Leibniz algebras induced from averaging Lie bialgebras

本文扩展了operad的经典分裂概念，提出了由系数矩阵参数化的type-M pre-结构族，并将其应用于确定由平均Lie双代数诱导的Leibniz代数双代数结构。

广义双代数与算子三元组

Generalized bialgebras and triples of operads

引入了广义双代数的概念，它包括了经典的双代数（霍普夫代数）等概念。证明了在较弱的条件下，连通广义双代数完全由其本原部分决定。这个结构定理将经典的Poincaré-Birkhoff-Witt定理和Cartier-Milnor-Moore定理推广到了一大类广义双代数。从技术上讲，我们的工作理论的运算，使我们能够给一个概念证明我们的主要定理。它统一了几个结果，推广PBW和CMM，分散在文献中。我们处理许多明确的例子，并提出了一些建议。

霍普夫代数的去等变化

De-equivariantization of Hopf algebras

研究了霍普夫代数的反等变化问题，利用仿射群方法，利用Tannakian技巧将其实现为余拟双代数上余模的张量范畴.作为应用，我们构造了一类附加在余根分次点Hopf代数$H$上的余拟霍普夫代数$A(H,G,Φ)$，并给出了一些额外的结果.

从模型范畴中的 Hopf 代数到 $\infty$-范畴中的 Hopf 代数

From Hopf Algebras in Model Categories to Hopf Algebras in $\infty$-categories

本文证明了对代数无余纤维性或纤维性假设时，模型范畴中的代数对象可转移到 $\infty$-范畴中，并在温和假设下将该对应推广至交换双代数和交换 Hopf 代数。

余代数的Nakayama函子与Hopf代数积分理论的范畴论视角

Nakayama functor for coalgebras and a categorical perspective of the integral theory for Hopf algebras

本研究回顾余代数的Nakayama函子的基本性质并介绍其在张量范畴的应用，同时给出带预对极的余拟双代数存在非零余积分的等价条件。

Hopf代数胚的Hopf双Galois理论

Hopf BiGalois Theory for Hopf Algebroids

该研究发展了不要求对极映射的Hopf代数胚的Hopf双Galois理论，利用Chemla的结果解决了右Galois映射非良定义的障碍，构造了Ehresmann Hopf代数胚并将其应用于量子结构示例。