The DuBois-Reymond Fundamental Lemma of the Fractional Calculus of Variations and an Euler-Lagrange Equation Involving only Derivatives of Caputo
非整数阶导数和积分在三个多世纪前就被引入，但直到最近才因其在非局部现象上的应用而受到更多的关注。在这种情况下，Caputo导数是物理学家中最流行的分数阶微积分方法，因为涉及Caputo导数的微分方程需要正则边界条件。受物理学和其他科学中的一些应用的启发，分数阶变分法目前正在快速发展。然而，目前所有的分数阶变分公式都不能给出一个只有Caputo导数的Euler-Lagrange方程。在这项工作中，我们提出了一种新的方法，通过推广的杜波依斯-雷蒙德引理，并显示如何欧拉-拉格朗日方程只涉及Caputo衍生物可以得到的分数变分法。
2012-10-02 math-ph math.DS math.MP
Higher-order Variational Calculus on Lie algebroids
本文给出了李代数体上由Lagrange函数定义的作用泛函的临界点方程，并研究了它与Euler-Poincaré型方程和Lagrange Poincaré型方程的关系。这样的系统的减少和重建结果的建立。
2015-01-26 math-ph math.DS math.MP
Variational calculus on Lie algebroids
证明了李代数体上的拉格朗日系统的欧拉-拉格朗日方程可以作为定义在Banach曲线流形上的作用泛函的临界点的方程。研究了降阶理论及其与拉格朗日乘子法的关系。
2006-11-29 math-ph math.DG math.MP
Calculus of Variations on Time Scales and Discrete Fractional Calculus
我们在时间尺度的框架内研究变分法和最优控制问题。具体地说，我们得到的Euler-Lagrange型方程的拉格朗日依赖于高阶δ导数和等周问题。我们也发展了一些直接法来解决某些类别的变分问题通过动态不等式。在最后一章中，我们引入了分数差分算子，并提出了一种新的离散时间分数变分法。导出了相应的Euler-Lagrange和Legendre最优性必要条件最优性条件，并给出了一些说明性的例子。
2010-07-28 math.OC
The Duality Theory of Fractional Calculus and a New Fractional Calculus of Variations Involving Left Operators Only
本文利用对偶性建立仅含左或右算子的分数阶分部积分公式，并据此提出只涉及单侧分数阶导数的变分法，进而从仅含左导数的拉格朗日量导出耗散系统运动方程。
2024-05-01 math.OC
Fractional variational calculus for non-differentiable functions, chapter
分数阶变分法现在是一个研究很深入的课题。分数阶导数和积分的不同定义取决于研究的目的。本文定义了Jumarie意义下的分数次算子。这使我们能够处理不可微的函数。给出了拉格朗日密度依赖于自由端点的分数阶变分问题的最优性条件。
2012-01-31 math.OC
Fractional Calculus of Variations for Double Integrals
利用最近改进的Riemann-Liouville方法研究了含二重积分的变分法的分数阶等周问题。证明了一个多时间分数阶偏微分方程形式的Euler-Lagrange型最优性最优性条件、一个充分条件充分条件和分数阶自然边界条件。
2011-02-07 math.OC
Generalized transversality conditions for the Hahn quantum variational calculus
证明了拉格朗日量依赖于自由端点的广义量子变分问题的最优性条件。这种类型的变分法的问题不能用经典理论来解决。
2012-02-01 math.OC
Fractional Calculus of Variations: a novel way to look at it
在这项工作中，我们看看原来的分数变分问题在某种程度上不同的方式。作为一个简单的结果，我们表明，一个经典问题的分数推广有一个解决方案，没有任何限制的导数阶$α$。
2019-08-25 math.CA math.OC
The Variable-Order Fractional Calculus of Variations
这本书打算深化分数微积分的研究，特别强调变阶算子。报告分为两部分，内容如下。在第一部分中，我们回顾了分数阶微积分（第1章）和分数阶变分微积分（第2章）的基本概念。在第一章中，我们首先对分数阶微积分做了一个简单的概述，并介绍了分数阶微积分中的一些特殊函数的理论。然后，我们回顾了几个分数阶算子（积分和导数）的定义和所考虑的分数阶导数和积分的一些性质。在本章的最后，我们回顾了不同算子的分部积分法公式。第二章简要介绍了经典的变分法，并回顾了不同的变分问题，如等周问题或端点可变的问题。在本章的最后，我们介绍了分数阶变分法的理论和几个变阶分数阶变分问题。在第二部分中，我们系统化了（Tavares，Almeida and Torres，2015，2016，2017，2018）中关于变阶分数阶微积分的一些最新结果。在第三章中，我们考虑了三种不同阶数的分数阶Caputo导数，给出了这三种分数阶Caputo导数的逼近公式，并证明了误差的上界公式。第四章介绍了变阶算子的组合Caputo分数阶导数和相应的高阶算子。并给出了一些性质。然后，我们证明了几种类型的分数阶变分问题的分数阶欧拉-拉格朗日方程，有或无约束。
2018-06-17 math.CA math.OC
Fractional Variational Calculus with Classical and Combined Caputo Derivatives
我们给一个适当的分数扩展的经典变分法考虑变分泛函的拉格朗日依赖于一个组合Caputo分数导数和经典的衍生物。证明了Euler-Lagrange方程的基本问题和等周问题，以及横截性条件。
2011-01-15 math.OC
Generalized Transversality Conditions in Fractional Calculus of Variations
具有可变端点的变分法的问题在没有横截性条件的情况下无法解决。在这里，我们建立这样的分数变分问题与Caputo导数的条件。我们认为：Bolza型分数变分问题，具有拉格朗日量的分数变分问题，该拉格朗日量也可以依赖于未指定的端点$φ(b)$，其中$x=φ(t)$是给定曲线，以及无限水平分数变分问题。
2012-07-23 math.OC
The Generalized Fractional Calculus of Variations
我们回顾了最近的广义分数阶变分法。考虑了含有广义分数次积分和导数的变分问题，并利用间接方法研究了它们。特别地，我们提供了基本问题和等周问题的Euler-Lagrange型最最优性条件、自然边界条件和Noether型定理。
2014-01-28 math.OC
Composition Functionals in Fractional Calculus of Variations
证明了变分法分式问题的欧拉-拉格朗日和自然边界最优性必要最优性条件是由泛函的复合给出的。我们的方法使用了最近的概念黎曼刘维分数导数和积分的意义上的Jumarie。作为应用，我们得到了分数阶变分泛函的乘积和商的最优性条件。
2010-09-16 math.OC
Isoperimetric problems of the calculus of variations with fractional derivatives
本文研究了具有左右Riemann-Liouville分数阶导数的变分法的等周问题。考虑了变分积分的下界与分数阶导数的下界重合和不重合的两种情况。
2011-05-11 math.OC
Fractional variational calculus for nondifferentiable functions
在连续函数类中，证明了用Jumarie修正的Riemann-Liouville导数定义的变分问题的最优性条件.考虑了具有自由边界条件的变分法的分数阶基本问题，以及具有等周约束和完整约束的问题。
2011-03-28 math.OC
Calculus of Variations with Classical and Fractional Derivatives
给出了经典变分法的一个适当的分数阶推广。证明了含经典导数和分数阶导数的变分问题的Euler-Lagrange型最优性最优性条件。考虑了混合整数阶和分数阶导数变分法的基本问题以及等周问题。
2012-02-25 math.OC
Optimal random search, fractional dynamics and fractional calculus
在物理和生物学约束条件下，对于随机定位的目标位点，最有效的搜索策略是什么？以前的结果表明，Lévy飞行是表征这个最优问题的最佳选择，然而，它忽略了代理的理解和学习能力。在本文中，我们提出了连续时间随机游动（CTRW）的最优搜索框架，并找到最佳的搜索长度和等待时间的分布。基于分数阶微积分技术，我们进一步导出了它的主方程，以揭示这种复杂分数阶动力学的机理。提供了大量的模拟来说明非破坏性和破坏性的情况。
2013-10-29 math.OC
Generalized fractional calculus with applications to the calculus of variations
我们研究的经典Riemann-Liouville分数次积分，和Riemann-Liouville和Caputo分数导数的推广运营商。证明了广义分数阶导数的一个有用公式，以及将给定算子的参数集变为其对偶的分数分部积分法的三个关系。这样的结果进行了探讨的背景下，动态最优化，考虑问题的变分法与一般的分数算子。研究了无约束和有约束问题的Euler-Lagrange型最优性最优性条件和自然边界条件。即使在广义算子化为Riemann-Liouville或Caputo意义下的标准分数阶导数的特殊情况下，也得到了有趣的结果。作为应用，我们提供了一类具有任意核的变分问题，给出了重要的相干嵌入问题的答案。说明性的最优化问题。
2012-01-27 math.CA math.OC
Fractional Calculus of Variations in Terms of a Generalized Fractional Integral with Applications to Physics
我们研究了分数阶变分问题的广义分数次积分与拉格朗日依赖于经典导数，广义分数次积分和导数。我们得到了基本问题和等周问题的最优性必要条件，以及自由边界值问题的自然边界条件。推广了分数类作用变分法，并讨论了它在物理中的应用。
2012-03-08 math.OC
The Legendre Condition of the Fractional Calculus of Variations
分数阶算子在模拟非局部现象和涉及粗粒度和分形空间的问题中起着重要的作用。分数阶变分法是一个相当新的课题，由于其在物理学和其他科学中的应用，目前正在快速发展。在过去的十年中，提出了几种方法来分数变分微积分使用不同的分数阶导数和积分的概念。虽然文献的分数变分已经是巨大的，还有很多工作要做，在获得充要条件的分数变分泛函的优化，存在性和正则性的解决方案。关于必要的最优性条件，所有的作品在文献中涉及的欧拉-拉格朗日型的一阶分式条件的推导。本文得到了依赖于分数阶导数的变分泛函的弱极值的Legendre二阶最优性必要条件最优性条件。
2013-12-17 math.OC
Necessary Optimality Conditions for Fractional Difference Problems of the Calculus of Variations
我们介绍了离散时间分数变分法。建立了一阶和二阶最优性必要条件最优性条件。举例说明使用新的欧拉-拉格朗日和勒让德型条件。证明了当离散导数的阶为整数时，分数阶问题的解与相应的非分数阶变分问题的解是一致的.
2010-07-04 math.OC
Hahn's Symmetric Quantum Variational Calculus
我们介绍和发展哈恩对称量子演算的应用变分法。也就是说，我们得到了一个必要的最优性条件的欧拉-拉格朗日型和充分的最优性条件的变分问题的哈恩对称微积分的背景下。此外，我们证明了Leitmann的直接法的有效性时，适用于哈恩的对称变分。提供了说明性的例子。
2012-09-07 math.OC
The Gradient descent method from the perspective of fractional calculus
受最优化理论中梯度法的启发，我们给出了基于$ψ$--$α$阶分数导数的方法来求解无约束最优化问题。详细分析了这些方法的收敛性。本文还提出了一种估计含$ψ$ -分数阶导数方程解的Adams-Bashforth-Moulton（ABM）方法. ABM方法的数值算例表明，分数阶$α$和权值$ψ$是可调参数，有助于提高梯度下降法的性能.
2020-12-21 math.OC
Fractional variational calculus of variable order
研究变阶分式算子变分法的基本问题。分数次积分是Riemann-Liouville意义下的积分，而导数是Caputo型的。
2012-04-14 math.OC
Fractional Calculus on Time Scales
我们介绍了一个离散时间分数变分微积分的时间尺度$\mathbb{Z}$和$(h\mathbb{Z})_a$。建立了一阶和二阶最优性必要条件最优性条件。一些数值例子说明了使用新的欧拉-拉格朗日和勒让德型条件。通过广义拉普拉斯变换的逆变换，给出了时间尺度上分数阶导数和积分的新定义。
2012-02-14 math.CA math.OC
Higher-order infinite horizon variational problems in discrete quantum calculus
利用离散量子算子得到了变分法高阶无穷视界问题的最优性条件。
2011-12-04 math.OC
Generalized Fractional Calculus of Variations
在这篇博士论文中，我们介绍了广义分数阶变分法。我们考虑包含广义分数次积分和导数的变分问题，并使用标准（间接）和直接法研究它们。特别地，我们得到了基本问题和等周问题的Euler-Lagrange型最最优性条件、自然边界条件和Noether定理。在Tonelli型条件下证明了解的存在性。此外，我们应用我们的结果证明存在的特征值，相应的正交特征函数，分数Sturm-Liouville问题。
2014-03-18 math.OC
Multiobjective fractional variational calculus in terms of a combined Caputo derivative
研究了分数阶Caputo组合导数表示的分数阶变分问题。证明了基本问题、等周问题和Lagrange变分问题的Euler-Lagrange型最优性必要条件最优性条件，以及横截性和充分最优性条件.这使得获得必要的和充分的Pareto最优性条件的多目标分数变分问题。
2011-10-31 math.OC
A survey on fractional variational calculus
综述了分数阶变分法的主要结果和技巧。我们考虑含有Caputo导数的变分问题，并使用间接法和直接法研究它们。特别是，我们提供了必要的欧拉-拉格朗日型的基本，高阶，和等周问题的最优性条件，并计算基于截断Grünwald-Letnikov近似的Caputo衍生物的近似解。
2018-06-13 math.OC
The Hahn Quantum Variational Calculus
介绍了哈恩量子变分法。研究了基本拉格朗日问题、等周问题和Hahn量子拉格朗日问题的最优性条件。我们还证明了Leitmann的直接法对于Hahn量子变分的有效性，并给出了一些具体问题的显式解。为了说明结果，我们提供了几个例子，并讨论了著名的拉姆齐经济模型的量子版本。
2010-06-18 math.OC
Variable order Mittag-Leffler fractional operators on isolated time scales and application to the calculus of variations
在孤立的时间尺度上引入了新的变阶分数阶算子，该算子具有Mittag-Leffler核.这使得一般制定的一类分数变分问题涉及可变阶差分算子。主要结果给出了Euler-Lagrange型分数次分部积分法公式和最优性的最优性条件。
2018-09-06 math.CA math.OC
Variable Order Fractional Variational Calculus for Double Integrals
我们引入了三种类型的变阶部分分式算子。证明了变阶部分分数次积分的一个分部积分法公式，推广了格林定理。这些结果使我们得到了变阶二维分数阶变分问题的分数阶Euler-Lagrange最优性必要最优性条件。
2012-09-06 math.OC
Fractional variational calculus in terms of a combined Caputo derivative
我们将分数Caputo导数推广到分数导数${^CD^{α,β}_γ}$，它是左Caputo分数阶导数$α$和右Caputo分数阶导数$β$的凸组合。我们所考虑的分数阶变分问题是用${^CD^{α,β}_γ}$表示的。证明了基本问题和等周问题的Euler-Lagrange方程以及横截性条件。
2010-07-05 math.OC
Fractional calculus of variations for a combined Caputo derivative
我们将分数Caputo导数推广到分数导数${{^CD}^{α,β}_γ}$，它是左Caputo分数阶导数$α$和右Caputo分数阶导数$β$的凸组合。我们所考虑的分数阶变分问题是用${{^CD}^{α,β}_γ}$表示的。证明了基本问题和等周问题的Euler-Lagrange方程以及横截性条件。
2011-09-21 math.DS math.OC
Fractional $h$-difference equations arising from the calculus of variations
本文介绍了[N. R. O.巴塞河A. C. Ferreira，D. F. M. Torres：离散时间分数变分问题，信号处理。91（2011），no. 3，513- 524]，其丰富了用于涉及左和右分数差分算子的离散方程的显式求解的有用工具。证明了右分数$h$和的新结果。算例表明了所得结果在求解分数阶离散Euler-Lagrange方程中的有效性。
2011-01-31 math.CA math.OC
Higher-order Hahn's quantum variational calculus
本文证明了含高阶高阶导数的量子变分问题的一个Euler-Lagrange型最优性必要条件。
2011-01-19 math.CA math.OC
