Ideas of E.~Cartan and S.~Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 4
这是一个包含四堂课的迷你课程中的第四堂课。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用了微分几何的新工具，如主丛、$G$ -结构和喷流理论。我们从一个$G$ -结构的例子开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-网。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
2011-09-04 math.DG
Ideas of E.~Cartan and S.~Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 3
这是一个包含四堂课的迷你课程中的第三堂课。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用了微分几何的新工具，如主丛、$G$ -结构和喷流理论。我们从一个$G$ -结构的例子开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-网。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
2011-09-04 math.DG
Ideas of E. Cartan and S. Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 1
这是一个小型课程的4个讲座的第一讲。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用微分几何的新工具，如主丛、$G$结构和喷流理论。我们从$G$ -结构的一个示例开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-web。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
2011-09-04 math.DG
Ideas of E.~Cartan and S.~Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 2
这是一门包含4堂课的迷你课程中的第2堂课。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用微分几何的新工具，如主丛、$G$结构和喷流理论。我们从一个$G$ -结构的例子开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-网。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
2011-09-04 math.DG
Lectures on pure spinors and moment maps
本文的目的是通过纯旋量对狄拉克几何和群值矩映射作一个初步的介绍。材料是基于我的讲座在暑期学校的“泊松几何在数学和物理”在庆应义塾大学，2006年6月。
2007-01-08 math.DG
Metric geometry on manifolds: two lectures
我们讨论了流形的贝西科维奇不等式、宽度和收缩。
2021-02-24 math.DG math.MG
Lectures on Integrability of Lie Brackets
这是在的里雅斯特举行的ICTP的2005年泊松几何暑期学校的一系列课程的讲义。
2006-11-09 math.DG
Lectures on Generalized Complex Geometry and Supersymmetry
这些是2006年1月14日至21日在捷克共和国斯尔尼举行的第26届冬季学校“几何与物理”的课堂讲稿。这些讲座是一个介绍到领域的广义几何的基础上的切线加上余切丛。特别是我们讨论的关系，这种几何物理学，即二维场论。详细解释了广义复几何与超对称性的关系。我们简要回顾了广义Kahler流形和广义Calabi-Yau流形，并解释了它们在物理学中的出现。
2008-12-21 hep-th math.DG
Generalized geometry lectures on type II backgrounds
这些笔记的第一部分是对广义复几何的独立介绍。该手册旨在作为研究超重力超对称背景所用工具的“用户手册”。在第二部分中，我们回顾了过去和最近关于各种维超对称II型真空的广义复结构的一些结果。
2016-06-28 hep-th math.DG
Lecture notes on the Kähler-Ricci flow
这些课堂讲稿介绍了卡勒-里奇流.它们基于作者在2011年2月在Luminy国际数学会议中心举行的“复杂代数几何的分析方面”会议上的演讲。
2012-12-15 math.DG
Lecture Notes on Gradient Flows and Optimal Transport
我们提出了一个简短的概述最强的变分制定梯度流的测地线$λ$凸泛函度量空间，应用扩散方程在Wasserstein空间的概率测度。这些笔记是基于第二作者在2009年6月22日至26日在格勒诺布尔举办的暑期学校“最佳交通：理论与应用”的一系列讲座。
2010-09-20 math.AP math.CA math.DG
Algebraic geometry and projective differential geometry, Seoul National University concentrated lecture series, 1997
这是我1997年9月在汉城国立大学发表的系列演讲的扩展和更新版本。从某种意义上说，它是1979年格里菲斯和哈里斯论文的更新，标题类似。我讨论：齐次簇，拓扑和后果，投影微分不变式，退化高斯像的簇，何时可以一个uniruled簇光滑？，对偶簇，有界和常数秩的线性系，割线和切向簇，具有切向缺陷的二次曲面系统，识别uniruled簇，识别二次曲面的交叉，识别齐性空间，完全交叉。这是一个初步的版本，所以请给我的意见，更正和问题。
1998-09-30 math.AG math.DG
Five lectures on optimal transportation: Geometry, regularity and applications
在这一系列讲座中，我们介绍了蒙格-康托洛维奇问题的最佳运输一个分布的质量到另一个，其中最优性是衡量对费用函数c（x，y）。连接到几何，不等式，和偏微分方程将被讨论，特别是集中在最近的发展，在正则性理论的蒙赫安培型方程。本文还将介绍一个在微观经济学中的应用，即寻找一个垄断者的均衡价格分布，该垄断者向一群匿名代理人销售一系列多维产品，这些代理人的偏好仅在统计学上是已知的。
2010-11-12 math.AP math.DG
Geodesic orbit spheres and constant curvature in Finsler geometry
本文将测地轨道球的分类从黎曼几何推广到Finsler几何。进一步证明了若测地轨道Finsler球面具有常旗曲率，则它必为Randers。它提供了一个替代的证明分类不变Finsler度量与$K\equiv1$上的均匀球以外的$Sp(n)/Sp(n-1)$。
2018-05-07 math.DG
Sub-Riemannian Geometry and Geodesics in Banach Manifolds
本文定义并研究了巴拿赫流形上的次黎曼结构。我们得到的Chow-Rashevski定理的精确能控性的扩展，并给出的条件存在的Hamilton测测地流，尽管缺乏庞特里亚金最大值原理在无限维设置。
2016-01-05 math.DG
Shortest and Straightest Geodesics in Sub-Riemannian Geometry
黎曼测地线有许多等价的定义。它们自然地推广到次黎曼流形，但变得不等价。综述了次黎曼流形测地线的不同定义及其相互关系。我们回顾三个变分定义的测地线（局部）最短的曲线（欧拉-拉格朗日，庞蒂亚金和汉密尔顿）和三个定义的测地线作为直曲线（达朗贝尔，列维-奇维塔-Schouten和Cartan-Tanaka），用于非完整力学，并讨论它们之间的相互关系。考虑了黎曼流形上与主丛相联系的一类大的次黎曼流形，其最短测地线与最直测地线重合。利用旗流形的几何性质，我们刻画了一类紧致齐次次黎曼流形（包括接触次黎曼流形和对称次黎曼流形），其中最直测地线与最短测地线重合.在这些情况下，测地线的构造简化为描述黎曼齐次流形的黎曼测地线或李群上的左不变度量。
2020-03-26 math.DG
Geodesics and Submanifold Structures in Conformal Geometry
流形$M^n$上的共形结构诱导出自然的二阶共形不变算子，称为莫比乌斯和拉普拉斯结构，作用于$M^n$的特定权丛，条件是$n\ge 3$。通过将莫比乌斯和拉普拉斯结构的概念推广到曲面和曲线的情形，我们在这里发展了子流形的外共形几何理论，找到了共形嵌入的张量不变量，并利用这些不变量来刻画各种形式的测地子流形。
2014-11-17 math.DG
Geodesic Connectedness on Statistical Manifolds with Divisible Cubic Forms
Department of Mathematics, Hokkaido University（北海道大学数学系）
研究统计流形上具有可除三次形式的仿射连接的测地连通性，建立类似Hopf-Rinow定理的结论，并推导出统计流形的Cartan-Hadamard型定理。
2026-04-13 math.DG
Periodic Geodesics and Geometry of Compact Lorentzian Manifolds with a Killing Vector Field
本文研究了紧致洛伦兹流形的几何和周期测地线，其中Killing向量场在某处是类时的。利用等距群子群的紧性论证，证明了一类非自相交周期测地线的存在性。如果Killing向量场永不为零，则至少有两条不同的周期测地线;作为特例，紧致平稳流形至少有两条周期类时测地线。我们还讨论了这种流形的拓扑的一些性质。特别地，我们证明了紧致流形$M$存在一个Lorentzian度量，其Killing向量场在某处是类时的当且仅当$M$存在一个光滑的没有不动点的圆作用.
2009-02-25 math.DG
Two lectures on local riemannian geometry, $Spin^{\C}$ - structures and Seiberg - Witten equation
在本文中，我们讨论的基本方面的塞贝格-威滕理论，主要集中在attantion的一些几何细节，这可以使介绍的主题更说明。同时，我们列出了在这个框架中出现的自然问题，这些问题大多是作者感兴趣的。这段文字可以被视为补充意见，任何完整的课程塞贝格-威滕不变量。
2003-02-04 math.AG math.DG
Stability of algebraic varieties and Kahler geometry
这是一篇调查文章，基于作者在2015年AMS夏季代数几何研究所的讲座，并出现在会议录中。
2017-02-19 math.DG
Holonomy Groups in Riemannian Geometry
微型课程“黎曼几何中的和乐群”的讲义，这是第十七届巴西几何学院的一部分，将于2012年7月在UFAM（巴西亚马逊）举行。
2012-06-14 math.DG
Lecture Notes on Comparison Geometry
本比较几何讲义基于多伦多大学相关课程整理，涵盖多种经典比较定理及其应用、多位学者的核心定理与猜想证明，还介绍了Gromov-Hausdorff收敛等进阶内容。
2024-04-16 math.DG math.MG
On the Geometry of Spaces of Oriented Geodesics
设M是单连通常曲率伪黎曼常曲率空间或秩1黎曼对称空间（非八元数双曲平面），考虑M的定向测地线空间L（M）.空间L（M）是一个光滑齐次流形，本文刻画了L（M）上的所有不变辛结构、（仿）复结构、伪黎曼度量和（仿）Kaehler结构.
2009-11-13 math.DG
Symmetric Poisson geometry, totally geodesic foliations and Jacobi-Jordan algebras
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
本文研究了对称泊松结构与雅可比-乔丹代数的关系，揭示了其在几何和动力学中的应用。
2026-01-06 math.DG
Lectures on Holomorphic Curves in Symplectic and Contact Geometry
这是一套临时的课堂讲稿，最初是为苏黎世联邦理工学院和柏林洪堡大学2009/2010年教授的全纯曲线研究生课程而创建的。笔记仍然是不完整的，但由于最近读者的要求，我决定在这里提供一个像样的半成品版本。更多的章节将在未来的更新中添加。
2014-05-27 math.AP math.DG math.GT
An introduction to conformal geometry and tractor calculus, with a view to applications in general relativity
以下是第二作者在傅立叶研究所在格勒诺布尔举行的2014年夏季学校广义相对论渐近分析中所做的八个一小时讲座的扩展讲义。前四堂课涉及共形几何和共形拖拉机演算，作为主要动机共形不变张量和微分算子搜索。最后四堂课应用共形拖拉机演算的共形紧致几何的研究，在广义相对论中无穷的共形处理的动机。
2015-08-01 gr-qc math-ph math.DG
Geometry As Seen By String Theory
这些课堂讲稿回顾了拓扑弦理论及其在数学和物理上的应用。他们扩大材料提出的高木讲座日本数学学会于2008年6月21日在数学系，京都大学。
2009-01-14 hep-th math.AG math.DG
Lectures on special Lagrangian geometry
本文介绍了C^m和（几乎）Calabi-Yau流形中的特殊拉格朗日子流形，综述了近年来关于特殊拉格朗日子流形奇点的一些结果，以及它们在SYZ猜想中的应用.这篇论文是针对研究生在几何，弦理论家，和其他希望学习的主题。定义了C^m中的特殊拉格朗日m-折叠，并描述了构造它们的方法。引入了“几乎Calabi-Yau流形”（在特殊拉格朗日几何中有用的Calabi-Yau流形的推广），并解释了紧致特殊拉格朗日m-褶皱在（几乎）Calabi-Yau m-褶皱中的变形理论、阻塞理论和模空间.然后，我们考虑奇异特殊拉格朗日子流形，这是局部建模的特殊拉格朗日锥上的孤立奇点在0。这种类型的紧致奇异特殊拉格朗日子流形有一个良好的变形理论，并且通常可以实现为紧致非奇异特殊拉格朗日子流形族的极限。讨论了这一性质在SYZ猜想和Calabi-Yau 3-folds镜像对称性中的应用。
2003-09-29 math.AG math.DG
Lectures on families of Dirac operators and applications
这些是在2022年ICTP暑期学校“几何和拓扑学前沿”教授的迷你课程的笔记。课程的目标是介绍狄拉克算子的家族，以及如何用它们来研究几何和拓扑之间的相互作用。特别地，我们讨论了扭曲Dirac算子族的指数定理，以及它在正数量曲率度量和三维Weinstein猜想中的应用。
2022-09-03 math.DG math.GT math.SG
Lecture notes on generalized Monge-Ampère equations and subvarieties
这些是2022年8月15日至20日数学几何暑期学校晨兴中心的讲义。这些讲座草图的结果由游，Demailly-Paun，作者，和Datar-Pingali关于广义蒙日-安培方程和子品种，并旨在利用这些结果来研究霍奇猜想。
2022-10-04 math.AG math.CV math.DG
On the geometry of conformal geodesics equations
我们回答的问题是否一个系统的三阶常微分方程描述测地线的共形结构。我们构造了一个从一类共形几何到一类与三阶常微分方程组相关的Cartan几何的函子。本文的最后一节给出了定义共形测地线上所有方程族的显式公式。
2013-03-21 math.CA math.DG
Homogeneous geodesics in sub-Riemannian geometry
本文研究次黎曼流形的齐次测地线，提出基于初始动量的齐次性判据，证明弱交换齐性空间为测地线轨道，并刻画Carnot群步数限制及齐次测地线存在条件。
2022-02-18 math.DG math.OC
Integral Geometry and Hamiltonian volume minimizing property of a totally geodesic Lagrangian torus in S^2 times S^2
我们证明了在Hamilton变形下，方程$S^{1} \times S^{1}$在$S^{2} \times S^{2}$中的乘积是全局体积极小化的.
2003-11-18 math.DG math.SG
Differential geometry of holomorphic vector bundles on a curve
这些笔记是基于在2009年维拉德莱瓦暑期学校的量子场论的几何和拓扑方法的五个系列讲座。讲座的目的是给一个介绍微分几何方法的研究全纯向量丛上的一个紧凑的连接黎曼曲面。
2015-09-05 math.AG math.DG
Geometry of Cyclic Quotients, I: Knotted Totally Geodesic Submanifolds in Positively Curved Spheres
本文证明了在容许给定环面纽结为闭测地线的三球面中存在正曲率度量，并给出了在容许Euler数为4的全测地线射影平面的四球面中构造一个很可能为正曲率的度量的方法。令人惊讶的是，该技术借用了很多从Mostow-Siu-Gromov-Thurston常数的异国情调的负弯曲的流形。
1994-10-16 dg-ga math.DG
Regularity for the Geodesic X-Ray Transform in Nonsmooth Geometry
University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）
本文研究非光滑简单流形上测地线X射线变换的正则性，通过符号平滑和低正则伪微分算子映射性质，改进了$L^p$函数上变换的单射性结果。
2026-06-15 math.AP math.DG
Lectures on Symplectic Geometry, Poisson Geometry, Deformation Quantization and Quantum Field Theory
这些是作者在2020年秋季学期在苏黎世大学提供的课程“泊松几何和变形量子化”的讲义。第一章是微分几何的介绍，其中我们涵盖了流形、张量场、流形上的积分、斯托克斯定理、德拉姆定理和弗罗贝纽斯定理。第二章介绍了辛几何中最重要的概念，如拉格朗日子流形，Weinstein的管状邻域定理，哈密顿力学，矩映射和辛约化。第三章介绍了Poisson几何，包括Courant结构、Dirac结构、局部分裂定理、辛叶理和Poisson映射。第四章是形变量子化，主要讨论Moyal积，$L_\infty$ -代数，Kontsevich形式定理，Kontsevich星积的图构造，Kontsevich星积的全局化方法和形式的运算方法。第五章是关于Kontsevich形变量子化的量子场论方法，其中包括泛函积分方法，Moyal积作为路径积分量子化，规范理论的Faddeev-Popov和BRST方法，无限维扩展，Poisson西格玛模型，通过对Poisson西格玛模型的泛函积分量子化的微扰展开构造Kontsevich星积，仿射Poisson结构及其一般构造。
2020-12-29 hep-th math-ph math.DG
Quantizing Geodesics in Kähler and Sasaki Geometry
研究通过经典Fu-Bini-Study映射量化凯勒势空间，探讨测地线在正定Hermitian矩阵空间中的图像如何形成准测地线，并扩展到Sasaki情形。
2026-03-18 math.CV math.DG
Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry
本文从微分几何的角度，对Calabi-Yau流形和特殊拉格朗日子流形作了简单的介绍，并综述了近年来关于特殊拉格朗日子流形奇点的一些结果，以及它们在SYZ猜想中的应用.它的目标是几何学、弦理论家和其他希望学习这门学科的研究生，并且设计得相当独立。它是根据2001年6月和7月在挪威Nordfjordeid和伯克利MSRI的讲座课程编写的。我们通过和乐群、Kahler几何和Calabi猜想引入了Calabi-Yau m-folds，通过校准几何引入了特殊的Lagrangian m-folds.对“几乎Calabi-Yau m-folds”（在特殊拉格朗日几何中有用的Calabi-Yau m-folds的推广）进行了解释，并描述了（几乎）Calabi-Yau m-folds中紧致特殊拉格朗日子流形的变形理论和模空间。在最后一部分中，我们考虑特殊拉格朗日m-褶皱的孤立奇点，主要集中在局部建模的奇异锥，和预期的行为的奇异性紧凑的特殊拉格朗日m-褶皱一般（几乎）卡拉比-丘m-褶皱。本文简要地讨论了弦论、镜像对称和SYZ猜想，并介绍了作者关于卡-丘三重拉格朗日纤维化奇异性的一些结果。
2002-06-25 hep-th math.AG math.DG
Branching geodesics in sub-Riemannian geometry
本文证明了次黎曼流形可以包含分支法向极小化测地线。当且仅当一条正规测地线在非零时刻的秩中有不连续性时，才会出现这种现象，特别是对于严格正规测地线，这意味着它包含一个非平凡的异常子线段。最简单的例子是通过以适当的方式将三维Martinet平坦结构与Heisenberg群粘合在一起而获得的。然后我们使用这个例子来构造更一般的分支类型。
2020-06-07 math.DG math.MG
Geodesic stability, the space of rays, and uniform convexity in Mabuchi geometry
在常数数量曲率Kähler度量存在的情况下，建立了Donaldson测地稳定性猜想的本质最优形式.我们通过详细探索马渊测地线的度量几何和凯勒度量空间的一致凸性来实现这一点。
2019-03-05 math.CV math.DG
Lectures on mean curvature flow of surfaces
本讲义介绍曲面平均曲率流及其奇点分析，阐明颈部奇点的唯一演化与锥形奇点的非唯一演化，并讲解相关分析工具及开放问题。
2024-06-15 math.AP math.DG
Lectures on Moebius-Lie Geometry and its Extension
这些讲座回顾了经典的莫比乌斯-李几何和最近的工作，其扩展。后者考虑的是通过保角不变几何关系（例如“正交”、“相切”等）互连的循环（二次曲面）的集合，作为扩展的莫比乌斯-李几何中的新对象。它示出的例子，这样的合奏周期自然参数化许多其他的一致不变的家庭的对象，两个例子-庞加莱扩展和连分数被认为是详细的。其他的例子，如loxo-dot、波前和可积系统，在其他地方发表。扩展的Moebius-李几何是有效的，由于一种方法，它减少了共形不变的几何关系的集合的线性方程组，这可能是伴随着一个固定的二次关系的系统。该方法的算法性质允许将其实现为C++库，该库使用任意维度的空间中的循环的数字和符号数据以及具有任何签名的度量进行操作。数值计算可以用精确或近似的算术来完成。在二维和三维的情况下，可以制作插图和动画。还提供了库的交互式Python包装器。
2018-11-12 cs.CG math.CV math.DG
Lectures on the Strominger system
这些笔记介绍了偏微分方程的Strominger偏微分方程组系统，并基于2015年9月在马德里数学科学研究所（ICMAT）举行的GEOQUANT学校的讲座。我们描述了与厄米几何中的平衡度量理论、厄米-杨-米尔斯方程及其在物理学中的起源的联系，我们用许多例子来说明。我们还涵盖了一些最近的发展，模的问题和相互关系的斯特罗明格系统与广义几何，通过上同调概念的字符串类。
2018-03-08 hep-th math-ph math.AG
Stitching Data: Recovering a Manifold's Geometry from Geodesic Intersections
设$(M,g)$是一个带边界的黎曼流形。我们表明，知识的长度，每个测地线，并沿相应的测地线发生成对交叉允许恢复的几何形状的$(M,g)$（假设$(M,g)$承认黎曼领的一个统一的半径）。我们称之为“拼接数据”。然后，我们提出了一个边界测量类型的问题，称为“延迟碰撞数据问题”，并适用于我们的第一个结果的拼接数据，以恢复几何碰撞数据（与一些合理的几何限制的流形）。
2020-08-17 math.AP math.DG math.MG
Geodesic Reduction via Frame Bundle Geometry
考虑了具有任意仿射联络的流形，并在存在李群作用的情况下，研究了与该联络相关联的测地线簇。特别是，获得的结果，提供洞察与给定的不变的仿射联络的减少动态的结构。给定流形的标架丛的几何被用来提供测地线喷射的内在描述。得到了对称积的测地线喷射、切向升力和垂直升力之间的基本关系，为理解该公式的简化提供了一把钥匙。
2010-02-22 math-ph math.DG math.MP
Convexity of asymptotic geodesics in Hilbert Geometry
若$Ω$是$\mathbb{R}^{2}$和$f,g$两个渐近测地线中凸多边形的内部，则当$t$足够大时，距离函数$d\left(f\left(t\right),g\left(t\right)\right)$是凸的.在$\partial Ω$属于类$C^{2}$且$\partial Ω$在点$f\left(\infty\right)=g\left(\infty\right) $处的曲率不为零的情况下，得到了相同的结果。并举例说明了曲率假设的必要性。
2020-03-21 math.DG math.MG
Reconstruction along a geodesic from sphere data in Finsler geometry and anisotropic elasticity
本文将Dix弹性体反演问题几何化为Finsler流形球面数据重建问题，并首次在局部沿任意穿过测量集的测地线给出求解方案。
2025-03-13 math.AP math.DG
Isometry groups and geodesic foliations of Lorentz manifolds. Part II: Geometry of analytic Lorentz manifolds with large isometry groups
这是一系列关于洛伦兹流形的非紧等距群的第二部分。我们在第一部分中介绍了这些等距群的紧化，并把那些具有“平凡”紧化的洛伦兹流形称为“双极化的”。在这里，我们展示了非双极化洛伦兹流形的几何刚性，也就是说，它们（至少是局部）是常曲率洛伦兹流形与黎曼流形的翘曲乘积。
1997-11-26 dg-ga math.DG
The Riemannian geometry of orbit spaces. The metric, geodesics, and integrable systems
本文研究了轨道空间$M/G$上李群在黎曼流形上的等距真作用的黎曼几何的基础。最短测地线弧是度量空间$M/G$中的长度最小化曲线，它们只能在端点处到达更奇异的层。这被表述为凸性结果。在$TM/G$上，测地线被看作是一个（地层保持的）向量场，这导致了$M/G$中测地线的概念，它是在$M\to M/G$下垂直于轨道的测地线的投影。它还导致“弹道曲线”，即其他测地线的投影。在例子中（厄米特和对称矩阵，更一般的极表示），我们计算他们的方程奇异辛约化，并获得推广的Calogero-Moser系统的自旋。
2001-02-20 math.DG math.RT math.SG
Lecture notes on the symplectic geometry of graded manifolds and higher Lie groupoids
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Polish Academy of Sciences（波兰科学院）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
本讲义探讨带权manifold的辛几何与高阶李群胚，介绍辛Q-manifold、拉格朗日子manifold及移位结构，结合等变上同调和辛约简，应用于数学与物理领域。
2026-02-01 math-ph math.DG math.MP
A Note on the Morse Index Theorem for Geodesics between Submanifolds in semi-Riemannian Geometry
将半黎曼几何中作用泛函在两端点可变测地线上的Hessian指数的计算归结为终点固定的情况。利用这一观察，我们给出了一个初等证明的莫尔斯指标定理的黎曼测地线与两个变量的端点，在原来的莫尔斯证明的精神。这种方法大大减少了在以前的文章中给出的定理的证明所需的努力。在洛伦兹流形的两个子流形之间的类时测地线的情况下，完全相同的论证也有效。对于类光洛伦兹情形的推广，只需稍加修改，就可以很容易地证明比姆、埃利希和金的焦点指数定理。
1999-11-08 math-ph math.DG math.MP
Detecting Einstein geodesics: Einstein metrics in projective and conformal geometry
下面我们来讨论这个问题：给定一个无挠联络，它的测地线，作为非参数化曲线，与爱因斯坦度量的测地线重合吗？我们发现射影不变量，使这些消失是必要的存在这样一个度量，并在通用设置的消失，这些也是足够的。我们也得到了结果的问题的可度量性（没有爱因斯坦条件）：我们表明，奇陈式仿射联络的不变量是射影不变量，阻碍了存在的一个射影相关的列维-奇维塔连接。此外，我们讨论了一个具体的联系之间的投影和共形几何和应用这一投影爱因斯坦问题。
2012-12-27 gr-qc math-ph math.DG
