Lectures on generalized geometry
Nigel Hitchin
这些是课堂讲稿，主要针对研究生在选定方面的广义几何：特别是广义复杂和凯勒结构和广义全纯丛。它们是基于2010年3月在香港中文大学的讲座。
These are lecture notes mainly aimed at graduate students on selected aspects of generalized geometry: in particular generalized complex and Kaehler structures and generalized holomorphic bundles. They are based on lectures given in March 2010 at the Chinese University of Hong Kong.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Lectures on Kähler Geometry
这些笔记是根据我2003年在汉堡大学的研究生课程编写的，面向的是具有微分几何基础知识的学生。其主要目的是提供一个快速和方便的介绍凯勒几何的不同方面。
Lecture notes on the Fundamental Structures of Differential Geometry
这是2021-2022学年特别课程的讲义的第一部分。在这些课堂讲稿中，我们提出了一种方法，以基本结构的微分几何，使用白话的层，微分算子和水平子丛。
Lecture Notes on Spin Geometry
我们回顾了Atiyah-Singer指标定理及其应用。只需要微分几何和李群的基础知识。
Lectures on Finslerian Geometry
本讲义系统介绍Finsler几何的基本概念与理论框架，为学习者提供该领域的核心知识。
Ideas of E.~Cartan and S.~Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 4
这是一个包含四堂课的迷你课程中的第四堂课。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用了微分几何的新工具，如主丛、$G$ -结构和喷流理论。我们从一个$G$ -结构的例子开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-网。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
Ideas of E.~Cartan and S.~Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 3
这是一个包含四堂课的迷你课程中的第三堂课。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用了微分几何的新工具，如主丛、$G$ -结构和喷流理论。我们从一个$G$ -结构的例子开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-网。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
Ideas of E. Cartan and S. Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 1
这是一个小型课程的4个讲座的第一讲。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用微分几何的新工具，如主丛、$G$结构和喷流理论。我们从$G$ -结构的一个示例开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-web。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
Ideas of E.~Cartan and S.~Lie in modern geometry: $G$-structures and differential equations. Lecture 2
这是一门包含4堂课的迷你课程中的第2堂课。这个小诅咒的目的是解释E. Cartan和S.当我们学习微分几何时，特别是我们将解释Cartan约化方法。嘉当约化法（英语：Cartan reduction method）是微分几何中的一种技术，用于确定两个几何结构是否相同。该方法使用微分几何的新工具，如主丛、$G$结构和喷流理论。我们从一个$G$ -结构的例子开始：$\mathbb{R}^{2}$中的3-网。这里我们用Cartan方法对微分方程进行分类而不是求解。这是一个分类，在不涉及所有结构不变量的意义上，可以是一个弱分类。
Lectures on pure spinors and moment maps
本文的目的是通过纯旋量对狄拉克几何和群值矩映射作一个初步的介绍。材料是基于我的讲座在暑期学校的“泊松几何在数学和物理”在庆应义塾大学，2006年6月。
Metric geometry on manifolds: two lectures
我们讨论了流形的贝西科维奇不等式、宽度和收缩。
Lectures on Integrability of Lie Brackets
这是在的里雅斯特举行的ICTP的2005年泊松几何暑期学校的一系列课程的讲义。
Lectures on Generalized Complex Geometry and Supersymmetry
这些是2006年1月14日至21日在捷克共和国斯尔尼举行的第26届冬季学校“几何与物理”的课堂讲稿。这些讲座是一个介绍到领域的广义几何的基础上的切线加上余切丛。特别是我们讨论的关系，这种几何物理学，即二维场论。详细解释了广义复几何与超对称性的关系。我们简要回顾了广义Kahler流形和广义Calabi-Yau流形，并解释了它们在物理学中的出现。
Lecture notes on generalized Monge-Ampère equations and subvarieties
这些是2022年8月15日至20日数学几何暑期学校晨兴中心的讲义。这些讲座草图的结果由游，Demailly-Paun，作者，和Datar-Pingali关于广义蒙日-安培方程和子品种，并旨在利用这些结果来研究霍奇猜想。
Generalized geometry lectures on type II backgrounds
这些笔记的第一部分是对广义复几何的独立介绍。该手册旨在作为研究超重力超对称背景所用工具的“用户手册”。在第二部分中，我们回顾了过去和最近关于各种维超对称II型真空的广义复结构的一些结果。
Lecture notes on the Kähler-Ricci flow
这些课堂讲稿介绍了卡勒-里奇流.它们基于作者在2011年2月在Luminy国际数学会议中心举行的“复杂代数几何的分析方面”会议上的演讲。
Algebraic geometry and projective differential geometry, Seoul National University concentrated lecture series, 1997
这是我1997年9月在汉城国立大学发表的系列演讲的扩展和更新版本。从某种意义上说，它是1979年格里菲斯和哈里斯论文的更新，标题类似。我讨论：齐次簇，拓扑和后果，投影微分不变式，退化高斯像的簇，何时可以一个uniruled簇光滑？，对偶簇，有界和常数秩的线性系，割线和切向簇，具有切向缺陷的二次曲面系统，识别uniruled簇，识别二次曲面的交叉，识别齐性空间，完全交叉。这是一个初步的版本，所以请给我的意见，更正和问题。
Five lectures on optimal transportation: Geometry, regularity and applications
在这一系列讲座中，我们介绍了蒙格-康托洛维奇问题的最佳运输一个分布的质量到另一个，其中最优性是衡量对费用函数c（x，y）。连接到几何，不等式，和偏微分方程将被讨论，特别是集中在最近的发展，在正则性理论的蒙赫安培型方程。本文还将介绍一个在微观经济学中的应用，即寻找一个垄断者的均衡价格分布，该垄断者向一群匿名代理人销售一系列多维产品，这些代理人的偏好仅在统计学上是已知的。
Two lectures on local riemannian geometry, $Spin^{\C}$ - structures and Seiberg - Witten equation
在本文中，我们讨论的基本方面的塞贝格-威滕理论，主要集中在attantion的一些几何细节，这可以使介绍的主题更说明。同时，我们列出了在这个框架中出现的自然问题，这些问题大多是作者感兴趣的。这段文字可以被视为补充意见，任何完整的课程塞贝格-威滕不变量。
Stability of algebraic varieties and Kahler geometry
这是一篇调查文章，基于作者在2015年AMS夏季代数几何研究所的讲座，并出现在会议录中。
Holonomy Groups in Riemannian Geometry
微型课程“黎曼几何中的和乐群”的讲义，这是第十七届巴西几何学院的一部分，将于2012年7月在UFAM（巴西亚马逊）举行。
Lecture Notes on Comparison Geometry
本比较几何讲义基于多伦多大学相关课程整理，涵盖多种经典比较定理及其应用、多位学者的核心定理与猜想证明，还介绍了Gromov-Hausdorff收敛等进阶内容。
Families of Riemann surfaces and Weil-Petersson geometry
提供了2008年关于Weil-Petersson几何的一般概述。随后在中央康涅狄格州立大学CBMS讲座的初步计划包括在内。Mirzakhani的解决方案维滕-Kontsevich不包括在内-这项工作基本上需要自己的讲座。2011年在帕克城数学研究所举行了关于米尔扎哈尼的维滕-孔采维奇的讲座。2008年以后对WP几何的研究包括Brock-Masur-Minsky的第二篇论文，WP测地线的渐近性II：有界几何和无界熵; Burns-Masur-Wilkinson，WP测地流是遍历的;和Wolpert，测地线长度函数和WP曲率张量。
Kahler-Einstein metrics and algebraic geometry
这是一篇调查文章，基于作者在2015年数学当前发展会议上的演讲;发表在“数学当前发展”上。第2版，更正并添加了参考文献。
Basic coordinate-free non-Euclidean geometry
这些课堂讲稿基于[arXiv：math/0702714，0907.4469，0907.4470]。我们介绍和研究非欧几里德几何的基本方面，从坐标自由的观点。
Lectures on Holomorphic Curves in Symplectic and Contact Geometry
这是一套临时的课堂讲稿，最初是为苏黎世联邦理工学院和柏林洪堡大学2009/2010年教授的全纯曲线研究生课程而创建的。笔记仍然是不完整的，但由于最近读者的要求，我决定在这里提供一个像样的半成品版本。更多的章节将在未来的更新中添加。
Geometry of Image Registration: The Diffeomorphism Group and Momentum Maps
这些课堂讲稿解释了几何学，并讨论了在计算解剖学中使用的大变形几何形态度量映射（LDDMM）框架内图像配准的一些分析问题。
An introduction to conformal geometry and tractor calculus, with a view to applications in general relativity
以下是第二作者在傅立叶研究所在格勒诺布尔举行的2014年夏季学校广义相对论渐近分析中所做的八个一小时讲座的扩展讲义。前四堂课涉及共形几何和共形拖拉机演算，作为主要动机共形不变张量和微分算子搜索。最后四堂课应用共形拖拉机演算的共形紧致几何的研究，在广义相对论中无穷的共形处理的动机。
Notes on transformations in integrable geometry
我们描述的规范理论的方法，通过讨论两个经典的例子：常负高斯曲率和等温表面的表面在可积几何变换。这些是我2015年5月在福冈演讲时的一些笔记。
Geometry As Seen By String Theory
这些课堂讲稿回顾了拓扑弦理论及其在数学和物理上的应用。他们扩大材料提出的高木讲座日本数学学会于2008年6月21日在数学系，京都大学。
Lectures on special Lagrangian geometry
本文介绍了C^m和（几乎）Calabi-Yau流形中的特殊拉格朗日子流形，综述了近年来关于特殊拉格朗日子流形奇点的一些结果，以及它们在SYZ猜想中的应用.这篇论文是针对研究生在几何，弦理论家，和其他希望学习的主题。定义了C^m中的特殊拉格朗日m-折叠，并描述了构造它们的方法。引入了“几乎Calabi-Yau流形”（在特殊拉格朗日几何中有用的Calabi-Yau流形的推广），并解释了紧致特殊拉格朗日m-褶皱在（几乎）Calabi-Yau m-褶皱中的变形理论、阻塞理论和模空间.然后，我们考虑奇异特殊拉格朗日子流形，这是局部建模的特殊拉格朗日锥上的孤立奇点在0。这种类型的紧致奇异特殊拉格朗日子流形有一个良好的变形理论，并且通常可以实现为紧致非奇异特殊拉格朗日子流形族的极限。讨论了这一性质在SYZ猜想和Calabi-Yau 3-folds镜像对称性中的应用。
Geometry of geodesics
这些是2020年春季在于韦斯屈莱大学开设的课程“MATS4120测地线几何”的讲义。基本微分几何或黎曼几何是有用的背景知识，但不是严格必要的。练习题也包括在内，标记为重要的问题应该在阅读时解决，以确保你能够跟上。
Lectures on families of Dirac operators and applications
这些是在2022年ICTP暑期学校“几何和拓扑学前沿”教授的迷你课程的笔记。课程的目标是介绍狄拉克算子的家族，以及如何用它们来研究几何和拓扑之间的相互作用。特别地，我们讨论了扭曲Dirac算子族的指数定理，以及它在正数量曲率度量和三维Weinstein猜想中的应用。
Differential geometry of holomorphic vector bundles on a curve
这些笔记是基于在2009年维拉德莱瓦暑期学校的量子场论的几何和拓扑方法的五个系列讲座。讲座的目的是给一个介绍微分几何方法的研究全纯向量丛上的一个紧凑的连接黎曼曲面。
Lectures on Symplectic Geometry, Poisson Geometry, Deformation Quantization and Quantum Field Theory
这些是作者在2020年秋季学期在苏黎世大学提供的课程“泊松几何和变形量子化”的讲义。第一章是微分几何的介绍，其中我们涵盖了流形、张量场、流形上的积分、斯托克斯定理、德拉姆定理和弗罗贝纽斯定理。第二章介绍了辛几何中最重要的概念，如拉格朗日子流形，Weinstein的管状邻域定理，哈密顿力学，矩映射和辛约化。第三章介绍了Poisson几何，包括Courant结构、Dirac结构、局部分裂定理、辛叶理和Poisson映射。第四章是形变量子化，主要讨论Moyal积，$L_\infty$ -代数，Kontsevich形式定理，Kontsevich星积的图构造，Kontsevich星积的全局化方法和形式的运算方法。第五章是关于Kontsevich形变量子化的量子场论方法，其中包括泛函积分方法，Moyal积作为路径积分量子化，规范理论的Faddeev-Popov和BRST方法，无限维扩展，Poisson西格玛模型，通过对Poisson西格玛模型的泛函积分量子化的微扰展开构造Kontsevich星积，仿射Poisson结构及其一般构造。
Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry
本文从微分几何的角度，对Calabi-Yau流形和特殊拉格朗日子流形作了简单的介绍，并综述了近年来关于特殊拉格朗日子流形奇点的一些结果，以及它们在SYZ猜想中的应用.它的目标是几何学、弦理论家和其他希望学习这门学科的研究生，并且设计得相当独立。它是根据2001年6月和7月在挪威Nordfjordeid和伯克利MSRI的讲座课程编写的。我们通过和乐群、Kahler几何和Calabi猜想引入了Calabi-Yau m-folds，通过校准几何引入了特殊的Lagrangian m-folds.对“几乎Calabi-Yau m-folds”（在特殊拉格朗日几何中有用的Calabi-Yau m-folds的推广）进行了解释，并描述了（几乎）Calabi-Yau m-folds中紧致特殊拉格朗日子流形的变形理论和模空间。在最后一部分中，我们考虑特殊拉格朗日m-褶皱的孤立奇点，主要集中在局部建模的奇异锥，和预期的行为的奇异性紧凑的特殊拉格朗日m-褶皱一般（几乎）卡拉比-丘m-褶皱。本文简要地讨论了弦论、镜像对称和SYZ猜想，并介绍了作者关于卡-丘三重拉格朗日纤维化奇异性的一些结果。
Lectures on mean curvature flow of surfaces
本讲义介绍曲面平均曲率流及其奇点分析，阐明颈部奇点的唯一演化与锥形奇点的非唯一演化，并讲解相关分析工具及开放问题。
Lectures on Moebius-Lie Geometry and its Extension
这些讲座回顾了经典的莫比乌斯-李几何和最近的工作，其扩展。后者考虑的是通过保角不变几何关系（例如“正交”、“相切”等）互连的循环（二次曲面）的集合，作为扩展的莫比乌斯-李几何中的新对象。它示出的例子，这样的合奏周期自然参数化许多其他的一致不变的家庭的对象，两个例子-庞加莱扩展和连分数被认为是详细的。其他的例子，如loxo-dot、波前和可积系统，在其他地方发表。扩展的Moebius-李几何是有效的，由于一种方法，它减少了共形不变的几何关系的集合的线性方程组，这可能是伴随着一个固定的二次关系的系统。该方法的算法性质允许将其实现为C++库，该库使用任意维度的空间中的循环的数字和符号数据以及具有任何签名的度量进行操作。数值计算可以用精确或近似的算术来完成。在二维和三维的情况下，可以制作插图和动画。还提供了库的交互式Python包装器。
Lectures on the Strominger system
这些笔记介绍了偏微分方程的Strominger偏微分方程组系统，并基于2015年9月在马德里数学科学研究所（ICMAT）举行的GEOQUANT学校的讲座。我们描述了与厄米几何中的平衡度量理论、厄米-杨-米尔斯方程及其在物理学中的起源的联系，我们用许多例子来说明。我们还涵盖了一些最近的发展，模的问题和相互关系的斯特罗明格系统与广义几何，通过上同调概念的字符串类。
Lecture notes on the symplectic geometry of graded manifolds and higher Lie groupoids
本讲义探讨带权manifold的辛几何与高阶李群胚，介绍辛Q-manifold、拉格朗日子manifold及移位结构，结合等变上同调和辛约简，应用于数学与物理领域。
A Short Lecture on Topological Crystallography and a Discrete Surface Theory
这是一个未经修改的讲义，基于2019年1月21日至24日在高丽大学举行的“离散微分几何入门研讨会”的讲座。在这篇笔记中，我们讨论拓扑晶体学，这是一个数学理论的晶体结构。利用拓扑晶体学中的变分原理得到了图的所有位置中最对称的结构。我们还讨论了$3$维欧几里得空间中的三价离散曲面理论，它是晶体/分子结构的数学模型。
Azumaya noncommutative geometry and D-branes - an origin of the master nature of D-branes
在这个讲座中，我回顾了矩阵/Azumaya型非交换几何是如何在弦论中为D-膜而产生的，以及这种几何是如何作为D-膜的主要性质的起源的;然后强调了一个关于奇异性的D 0-膜分解的丰富猜想，这个猜想是从道格拉斯和摩尔在1996年的工作中提取和纯化的。本文还给出了我们的背景与道格拉斯意义下的D-几何的关系。讲座是基于一系列的工作D膜与Shing-Tung Yau，并在部分与李思和宋瑞芳。
Large N dualities and transitions in geometry
这些讲座的重点是Gopakumar-Vafa的洞察力，即“大N对偶”（有关规范理论和闭弦）在某些情况下通过“几何过渡”实现。在他们1998年的关键例子中，规范理论是关于S ^3的SU（N）陈-西蒙斯理论，对于大N，跃迁是两个卡拉比-丘簇之间的“锥状”跃迁。Gopakumar和Vafa猜想的研究取得了很大的进展，其中包括用G_2完整性将7-流形之间的转换提升为变换。在另一个方向上，这种设置使我们考虑“开放的Gromov-Witten不变量”的未知领域。讲座，因此笔记，准备为观众的开始研究生，在数学和物理，我们希望得到感兴趣的这一主题。由于这些讲座中介绍的大部分材料来自物理文献，我们的目的是为数学家建立一座桥梁，使他们能够阅读关于这个问题的物理论文。
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