Projection: A Unified Approach to Semi-Infinite Linear Programs and Duality in Convex Programming
Fourier-Motzkin消去法是一种求解有限线性规划的投影算法。本文将Fourier-Motzkin消去法推广到半无限线性规划，即具有无穷多个变量和无穷多个约束的线性规划。应用投影导致新的刻画的重要性质的原始对偶对半无限的程序，如零对偶间隙，可行性，有界性，可解性。将傅立叶-莫茨金消去法推广到半无限线性规划，得到了一种新的变量分类，用于确定对偶间隙的存在性。特别是，作者称之为脏变量的存在可能导致二元差距。我们的方法在有限维凸优化中有有趣的应用。例如，零对偶间隙的充分条件，如斯莱特点的存在，被减少到保证没有脏变量。这导致了零对偶的这种充分条件的全新证明。
2014-04-29 math.OC
On Generalized Surrogate Duality in Mixed-Integer Nonlinear Programming
求解具有空间分支定界的混合整数非线性规划（MINLP）的全局ε-最优性的最重要的因素是一个紧的，计算上易于处理的松弛。由于理论和实际的考虑，MINLP的松弛通常被要求是凸的。尽管如此，当前的优化求解器通常可以成功地处理适度存在的非凸性，这为使用潜在的更紧密的非凸松弛打开了大门。在这项工作中，我们利用这一事实，并利用非凸松弛通过聚合的约束：代理松弛。这些松弛在70年代和80年代被积极地研究线性整数规划，但从那以后很少被考虑。我们重新审视这些松弛在MINLP设置，并显示计算的好处和挑战，他们可以有。此外，我们研究了这样的放松，允许同时进行多个聚合的推广，并提出了第一个算法，能够计算出最好的聚合。我们提出了大量的计算增强，以提高其实际性能，并评估算法的能力，通过广泛的计算实验产生强大的对偶界限。
2019-12-01 math.OC
Strong Duality Theorem for Continuous-Time Linear Programming Problems
本文证明了连续时间线性规划问题的强对偶定理，其中系数假定为分段连续函数。前一篇文章证明了分片连续函数的强对偶定理，其中间断点是左连续点。在本文中，我们提出了完全不同类型的离散原始和对偶问题，可以用来证明强对偶定理的一般情况下的不连续。
2014-10-31 math.OC
A relaxation viewpoint to Unbalanced Optimal Transport: duality, optimality and Monge formulation
提出凸松弛方法研究质量不同的非负测度间不平衡最优输运问题，给出原始-对偶公式、最优性条件及度量拓扑性质。
2023-12-31 math.FA math.OC
A note on the Lovasz-Schrijver Semidefinite Programming Relaxation for Binary Integer Programs
二进制整数规划（BIP）问题之所以引起人们的兴趣，部分是因为它们所造成的困难，以及因为它们的各种应用，包括在图论、组合优化和网络优化中的应用。在本文中，我们明确地陈述了BIP问题的Lovasz-Schrijver半定规划（SDP）松弛（原始标准式），该松弛产生比规范线性规划松弛更紧的上界。
2012-08-18 math.OC
The equivalence between doubly nonnegative relaxation and semidefinite relaxation for binary quadratic programming problems
最近已经表明（Burer，Math. Program Ser.A120：479-495，2009），可以将一大类NP难的非凸二次规划问题建模为所谓的完全正规划问题，其是凸的但通常仍然是NP难的。通过双重非负松弛得到一个基本的易处理松弛，从而得到一个双重非负规划。本文证明了二元二次规划（BQP）问题的双重非负松弛等价于它的一个紧半正定松弛，当问题（BQP）化为最大割（MC）问题时，它的双重非负松弛等价于标准半正定松弛.此外，一些比较的数值结果报告。
2012-11-23 math.OC
Duality of convex relaxations for constrained variational problems
我们证明了弱对偶最近两个凸松弛法之间的约束变分问题，其中的目标是一个积分泛函的最优值的边界。第一种方法，由Valmorbida等人提出（IEEE自动化学报）。Control 61（6）：1649--1654，2016），用在充分光滑函数上的凸程序代替变分问题，服从逐点非负约束。第二种方法由Korda等人讨论（arXiv：1804.07565v1 [math.OC]），将变分问题松弛为缩放概率测度上的凸规划。我们还证明了这些无穷维凸规划之间的对偶性是强的，这意味着它们的最优值重合，当变分问题中的容许函数的范围和梯度被约束到有界集。对于多项式数据的变分问题，每个凸松弛的最优值可以通过求解有限维半定规划的弱对偶族来逼近。这些都是强对偶标准约束规格条件下，无论是否强对偶持有无限维水平。因此，这两种松弛方法对于计算的目的是等效的。
2019-06-28 math.AP math.OC
Duality Approach to Bilevel Programs with a Convex Lower Level
双层规划是最优化问题，其中一些变量是最优化问题本身的解，并且它们出现在各种控制应用中，包括：车辆交通网络的控制，逆强化学习和逆优化，以及人类自动化系统的鲁棒控制。本文提出了一种基于对偶的方法来求解下层问题是凸的双层规划。我们的方法是使用部分对偶构造一个新的对偶函数，是可微的，不像拉格朗日对偶，只有方向可微。我们使用我们的对偶定义一个基于对偶的双层规划的重构，证明我们的重构与原双层规划的等价性，然后引入正则化以确保约束规格成立。我们的新的对偶和正则化的对偶为基础的重新制定这些技术成果是用来提供理论证明的算法，我们构造的解决双层规划与凸的较低的水平，我们的结论是证明我们的算法的有效性，通过解决两个实际的例子双层规划。
2017-09-25 math.OC
Strong duality for a problem of linear copositive programming
研究了一类线性余正规划问题的强对偶性。基于最近引入的归一化不动指标集的概念，推导出一个扩展的对偶问题。对偶问题满足强对偶关系，不需要任何额外的正则性假设，如约束规格。与以前得到的结果的主要区别在于，现在的扩展的对偶问题既不使用固定的指数本身，也没有明确的信息，这些指数的凸包。本文给出的强对偶公式与M.拉马纳湖Tuncel和H. Wolkovicz，半定规划，但使用不同的技术。
2020-04-23 math.OC
Polyhedral Properties of RLT Relaxations of Nonconvex Quadratic Programs and Their Implications on Exact Relaxations
我们研究由重构线性化技术（RLT）给出的非凸二次规划的线性规划松弛，简称为RLT松弛。研究了二次规划可行域的多面体性质与RLT松弛之间的关系。我们建立了两个可行域的后退方向、有界性和顶点之间的各种联系。利用这些性质，我们给出了RLT弛豫的充分必要的精确性条件。然后，我们给出了一个彻底的讨论，我们的结果可以转换成简单的算法程序，以构建实例的二次规划与精确的，不精确的，或无界的RLT松弛。
2023-03-27 math.OC
Robust SOS-Convex Polynomial Programs: Exact SDP Relaxations
研究了一类凸多项式规划在数据不确定性下的鲁棒解和半定线性规划（SDP）松弛问题。这类凸规划称为鲁棒SOS-凸规划，包括鲁棒二次约束凸规划和鲁棒可分凸多项式规划。它建立的平方和多项式表示的鲁棒解和精确的SDP松弛的鲁棒SOS凸规划在各种常用的不确定性集。特别是，结果表明，多面体和椭球的不确定性集，允许二阶锥重新制定的强大的二次约束的程序，继续允许精确的SDP松弛广泛的一类强大的SOS凸计划。他们还产生确切的二阶锥松弛鲁棒二次约束的程序。
2013-10-07 math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
SDP Duals without Duality Gaps for a Class of Convex Minimax Programs
本文对一个原凸Minimax规划模型问题引入了一个新的对偶规划，它可表示为一个半定线性规划问题，并证明了当所涉及的函数是SOS-凸多项式时，原规划与对偶规划之间不存在对偶间隙.在适当的约束规格下，我们得到了这类极大极小问题的强对偶结果。因此，我们目前的应用程序，我们的结果强大的SOS凸规划问题的数据不确定性和极大极小分式规划问题的SOS凸多项式。我们得到这些结果，首先建立的平方和多项式表示的非负的凸极大值函数的SOS凸约束系统。SOS-凸多项式是凸多项式的一个重要子类，它包括凸二次函数和可分凸多项式。多项式的SOS-凸性可以通过求解半定规划问题来数值检验，而多项式的凸性的数值检验通常很困难。
2013-07-19 math.OC
Lagrange Multipliers, Duality, and Sensitivity in Set-Valued Convex Programming via Pointed Closed Convex Processes
本文针对预序赋范空间上的集值凸优化问题，引入以尖闭凸过程为变量的新拉格朗日乘子定理与对偶规划，建立强对偶定理并揭示对偶解与原问题灵敏度之间的联系，从而将标量规划方法推广到集值向量情形。
2024-01-15 math.OC
Polynomial mathematical programs with equilibrium constraints and semidefinite programming relaxations
本文研究了一个带有平衡约束的数学规划问题，其中目标函数和约束函数都是多项式。给出了一种利用半定规划（SDP）松弛族求其全局极小值和全局极小值的方法，并证明了该方法的收敛性。数值实验表明了该算法的有效性。
2019-03-22 math.OC
Extending Exact Convex Relaxations of Quadratically Constrained Quadratic Programs
本文针对凸松弛精确的二次约束二次规划，在不相交二次约束条件下加入额外约束，统一扩展了三类精确凸松弛方法，并通过示例验证了结果的适用性。
2025-10-22 math.OC
An Alternative Perspective on Copositive and Convex Relaxations of Nonconvex Quadratic Programs
研究了非凸二次规划的凸松弛问题。我们确定了一个家庭的所谓的可行性保持凸松弛，其中包括著名的正和双非负松弛，与凸松弛是可行的，当且仅当非凸二次规划是可行的。我们观察到，在这个家庭中的每一个凸松弛隐式地导致一个凸低估的目标函数上的可行域的二次规划。这种对凸松弛的另一种观点使我们能够建立相应的凸低估的几个有用的性质。特别地，当二次规划可行域的回收锥不包含任何负曲率方向时，证明了由余正松弛引起的凸低估子正是二次规划目标函数的凸包络，从而为Burer关于余正松弛的精确性的著名结果提供了又一个证明.我们还提出了一个算法配方，用于构建有限的最优值，但无界双非负松弛的二次规划的实例。
2020-05-30 math.OC
On Subadditive Duality for Conic Mixed-Integer Programs
本文证明了一个可行锥混合整数规划（MIP）的次可加对偶是强对偶，只要它是可行的。此外，我们表明，这种对偶的可行性条件是等价的圆锥连续松弛MIP的圆锥对偶的可行性。此外，我们证明了强对偶的所有已知条件和其他“自然”条件，如严格混合整数可行性，可行集的有界性或本质上严格可行性意味着次可加对偶是可行的。作为中间结果，我们将所谓的“有限性”从全维凸集推广到全维凸集与Dirichlet凸集的交集。
2019-06-07 math.OC
Exploiting Aggregate Sparsity in Second Order Cone Relaxations for Quadratic Constrained Quadratic Programming Problems
在众多提高二次约束二次规划（QCQP）半定规划（SDP）松弛算法计算效率的方法中，Fukuda等人（2001）利用SDP中数据矩阵的聚集稀疏性和二阶锥规划（SOCP）松弛算法是比较流行的方法。在本文中，我们利用聚集稀疏的SOCP松弛的QCQP。具体来说，我们证明了利用聚合稀疏性减少了SOCP松弛中二阶锥的数量，并且我们可以简化Fukuda等人的矩阵完成过程。在SOCP松弛问题的原始和对偶中，而不会失去最大行列式性质。对于数值实验，QCQP从格子图和池化问题进行了测试，因为它们的SOCP松弛提供了相同的最优值的SDP松弛。我们表明，利用聚合稀疏性提高了计算效率的SOCP松弛的SDP松弛相同的目标值，因此更大的问题可以处理建议的SOCP松弛比SDP松弛。
2019-11-06 math.OC
Tight semidefinite programming relaxations for sparse box-constrained quadratic programs
Lehigh University（利哈伊大学）
本文提出了一种基于重构线性化技术的紧半正定规划松弛方法，用于解决稀疏盒约束二次规划问题，并给出了多项式规模的可构造性证明。
2026-10-14 math.OC
Symmetric Strong Duality for a Class of Continuous Linear Programs with Constant Coefficients
我们考虑连续有限时间范围$T$上的连续线性规划问题，具有线性费用系数函数和线性右端函数以及一个常系数矩阵，其中我们在测度空间或有界变差函数空间中寻找最优解.这些模型推广了分离连续线性规划模型及其各种形式，如Anderson、Pullan和Weiss在过去提出的。我们提出了简单的充要条件的可行性。我们制定了一个对称的对偶和调查强对偶考虑离散时间近似。证明了在Slater型条件下，不存在对偶间隙，存在最优解，且最优解在$0$和$T$上具有脉冲控制，在$(0,T)$上具有分段常数密度.此外，我们证明了在非退化的假设下，所有的最优解都是这种形式，并且是唯一确定的$(0,T)$。
2014-03-01 math.OC
Relaxations of KKT Conditions do not Strengthen Finite RLT and SDP-RLT Bounds for Nonconvex Quadratic Programs
本文研究非凸二次规划中纳入KKT最优性条件对RLT与SDP-RLT松弛界的影响，证明有限值情形下界不变，并通过无界实例说明其可能产生误导。
2025-06-11 math.OC
Semidefinite relaxations for semi-infinite polynomial programming
研究了半无限多项式规划问题的半定松弛法。本文首先介绍了求解多约束多项式最优化问题的两种SDP松弛法。然后，我们提出了一个交换算法与SDP松弛解决SIPP问题的紧凑指标集。最后，我们通过均匀化方法将所提出的方法推广到具有非紧指标集的SIPP问题。数值结果表明该算法是有效的。
2013-06-08 math.OC
A weak constraint qualification for conic programs and a problem on duality gap
讨论了锥线性规划的一个弱约束规格及其在几类锥上的应用。这个约束规格是用来给一个问题的解决方案提出的Shapiro和Zavellinescu，并表明，如果一个封闭的凸锥是这样的，它的所有非平凡的面是多面体和所有的非平凡的暴露面的对偶是多面体，那么对偶间隙为零，只要原始和对偶问题是可行的。此外，至少在一侧必须达到公共最优值。我们还展示了一个例子，锥，满足我们的定理的要求，但这样，以前已知的结果不能用来证明其良好的对偶性。
2015-04-23 math.OC
On Exact and Inexact RLT and SDP-RLT Relaxations of Quadratic Programs with Box Constraints
二次规划与框约束涉及最小化一个可能的非凸二次函数的下限和上界的每个变量。这是一个众所周知的NP难问题，经常出现在各种应用中。我们专注于两个凸松弛，即RLT（Reformulation-Linearization Technique）松弛和SDP-RLT松弛通过添加半定约束的RLT松弛。这两个松弛产生的下界的最优值的二次规划框约束。我们提出了完整的代数描述的一组实例，承认确切的RLT松弛以及那些承认确切的SDP-RLT松弛。我们表明，我们的描述可以转换成算法，有效地构建实例与精确或不精确的放松。
2023-03-12 math.OC
MIP Relaxations in Factorable Programming
针对可分解规划的非线性表达式，本文结合专门凸化与复合松弛，基于局部内函数组合结构上的外函数凸包理想表述构建更紧、变量更少的 MIP 松弛，并通过多项式实例验证其相对 McCormick 松弛缩小约 60%–70% 差距。
2024-06-15 math.OC
Lagrangian Duality for Mixed-Integer Semidefinite Programming: Theory and Algorithms
本文提出混合整数半定规划的拉格朗日对偶理论，推导对偶问题并证明其对偶界优于连续松弛界，提出三种算法及界层次，数值实验显示在最大k割问题上界更强。
2025-07-09 math.OC
Exact Augmented Lagrangian Duality for Mixed Integer Quadratic Programming
混合整数二次规划（MIQP）是在有理多面体上的混合整数点上最小化凸二次函数的问题。本文主要研究MIQP的增广拉格朗日对偶（ALD）。ALD增加了通常的拉格朗日对偶的加权非线性惩罚的对偶约束。我们首先证明了ALD将达到一个零的对偶间隙渐近的重量的惩罚趋于无穷大的罚函数在一些温和的条件下。我们接下来表明，当我们使用任何范数作为罚函数时，有限的罚权重对于零间隙是足够的。最后，我们证明了一个多项式约束的重量上的惩罚项，以获得零差距。
2019-07-01 math.OC
A Linear Programming Relaxation and a Heuristic for the Restless Bandit Problem with General Switching Costs
我们扩展的松弛技术，由于Bertsimas和尼诺-莫拉的不安分的强盗问题的情况下，任意成本惩罚切换之间的强盗。我们还构造了一个一步的前瞻政策使用的解决方案的放松。计算实验和近似动态规划的界限提供了一些经验支持的启发式。
2008-05-11 math.OC
Algebraic Farkas Lemma and Strong Duality for Perturbed Conic Linear Programming
Ho Chi Minh City University of Education（胡志明市教育大学）；Wayne State University（韦恩州立大学）；Ho Chi Minh City Open University（胡志明市开放大学）
本文通过代数方法研究了无限维锥线性规划中扰动Farkas引理和强对偶性条件，推导了零对偶间隙的完整特征。
2026-01-15 math.OC
New semidefinite relaxations for a class of complex quadratic programming problems
本文针对信号处理和电力系统中的一类非凸复二次规划问题，通过在提升空间中推导新的有效约束，提出了严格更紧且适用范围更广的新半定松弛方法，数值结果表明其能提供更紧的松弛界限并改进现有近似算法。
2023-05-17 math.OC
Duality attainment and strict feasibility of the generalized moment problem and its relaxations
LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心实验室）；Universität Konstanz（康斯坦茨大学）；Toulouse Mathematics Institute（图卢兹数学研究所）
本文研究了广义矩问题在紧致基本半代数集上的对偶性实现与严格可行性，探讨了松弛方法的收敛性和应用。
2026-04-16 math.OC
Weakly Coupled Dynamic Program: Information and Lagrangian Relaxations
“弱耦合动态规划”描述了一类广泛的随机最优化问题，其中多个受控随机过程独立地发展，但受到一组施加在控制上的链接约束。弱耦合动态规划的一个特点是通过拉格朗日松弛对偶化连接约束，将其转化为低维动态规划，并给出了原动态规划的最优值的一个界.与拉格朗日界一起，我们利用信息松弛方法，放松对控制的非预期约束，以获得更严格的对偶界。我们还调查了其他组合的弛豫，并将由此产生的界限的顺序。为了解决大规模的问题，我们进一步提出了一种基于信息松弛的计算易处理的方法，并提供了有见地的解释和性能保证。我们实现了我们的方法，并通过两个数值例子证明了它的使用。
2014-05-14 math.OC
Spectral relaxations and branching strategies for global optimization of mixed-integer quadratic programs
本文研究了非凸二次规划和混合整数二次规划的全局优化问题。本文给出了一类凸二次松弛，它是通过扰动二次矩阵使非凸二次函数凸化而得到的。我们研究了这些二次松弛的理论性质，并证明了它们等价于某些特定的半定规划。我们还介绍了新的分支变量的选择策略，可用于结合本文研究的二次松弛。我们将建议的松弛和分支技术集成到全局优化求解器BARON中，并通过对大量问题进行数值实验来测试我们的实现。结果表明，所提出的实施导致非常显着减少在BARON的计算时间来解决测试问题。
2020-10-09 math.OC
Bilevel Polynomial Programs and Semidefinite Relaxation Methods
二层规划是一个最优化问题，其约束涉及另一个最优化问题。本文研究二层多项式规划（BPP），即，所有的函数都是多项式。我们重新制定BPPs相当于半无限多项式程序（SIPPs），使用弗里茨约翰条件和雅可比表示。结合交换技术和Lasserre型半定松弛，我们提出了求解简单和一般BPP的数值方法。对于简单的BPP，我们证明了全局最优解的收敛性。数值实验表明了算法的有效性。
2016-11-03 math.OC
Relaxation schemes for mathematical programs with switching constraints
切换约束最优化问题是一类困难的数学规划问题，因为其可行集几乎是不连通的，而标准的约束规格很可能在多个可行点失效。这就是为什么应用标准方法从非线性规划似乎没有希望，以解决这些问题。在本文中，我们采用Kanzow和Schwartz的松弛法（SIAM J. Optim.，23（2）：770-798，2013），用于具有对切换约束优化的设置的互补约束的数学规划的数值处理。它表明，该方法计算M-平稳点在温和的假设。此外，我们评论其他可能的放松方法，可用于解决数学规划的开关约束。事实证明，Scholtes的全局松弛格式以及Steffensen和Ulbrich的松弛格式的改进版本一般只能找到切换约束最优化问题的W-稳定点。一些计算实验可视化所提出的松弛法的性能。
2018-09-07 math.OC
SDP-quality bounds via convex quadratic relaxations for global optimization of mixed-integer quadratic programs
研究了带线性等式约束的非凸混合整数二次规划的全局优化问题。特别是，我们提出了一类新的凸二次松弛，通过二次切割。为了构建这些二次切割，我们解决了一个分离问题，涉及一个特殊的结构，允许使用专门的解决方案算法的线性矩阵不等式。我们的二次割是非凸的，但定义了一个凸可行集时，与等式约束。我们证明了我们的松弛是一个半无限凸规划的外近似，在一定条件下，它等价于一个著名的半定规划松弛。新的松弛在全局优化求解器BARON中实现，并通过对大量问题进行数值实验进行测试。结果表明，对于我们的测试问题，这些松弛导致显着改善的性能的BARON。
2021-06-25 math.OC
Exponential Conic Relaxations for Signomial Geometric Programming
本文针对NP难的符号几何规划问题，提出一种基于指数锥规划的新型凸松弛方法，并将其嵌入迭代算法，实验验证了其实际有效性。
2024-06-09 math.OC
Strong duality in Lasserre's hierarchy for polynomial optimization
多项式最优化问题（POP）由最小化由多项式不等式和方程描述的半代数集$K$上的多元实多项式组成。在其充分的一般性，它是一个非凸，多极值，困难的全球最优化问题。十多年前，J。B.~ Lasserre提出了解决持久性有机污染物的层次结构的凸半定规划（SDP）松弛的大小增加。层次结构中的每个问题都有一个原始SDP公式（矩问题的松弛）和一个对偶SDP公式（POP的多项式拉格朗日的平方和表示）。当POP可行集$K$是紧集时，只要在集合$K$的描述中加入一个冗余球约束，我们证明了在Lasserre的层次结构中每个原始和对偶SDP问题之间不存在对偶间隙.我们的证明使用了SDP对偶的基本结果，并且没有假设$K$有内点。
2014-05-28 math.OC
Calculating Entanglement Eigenvalues for Non-Symmetric Quantum Pure States Based on the Jacobian Semidefinite Programming Relaxation Method
纠缠的几何度量是量子纯态的一种广泛应用的纠缠度量。计算几何测度的关键问题是计算纠缠本征值，这等价于计算对应复张量的最大酉本征值。本文提出了一种计算复张量最大酉特征值的雅可比半定规划松弛法。为此，首先介绍了等式约束多项式优化问题的雅可比半定规划松弛法，然后将求最大酉特征值的问题转化为一个实等式约束多项式最优化问题，用雅可比半定规划松弛法求解.数值算例表明了该方法的有效性。
2019-01-03 math.OC
Information Relaxation and Dual Formulation of Controlled Markov Diffusions
马尔可夫决策过程中的信息松弛和对偶性是近年来研究的热点，其目的是得到价值函数的对偶界。在本文中，我们将这种对偶公式扩展到受控马尔可夫扩散：以类似的方式，我们放松了约束，即决策应根据当前的信息，并施加惩罚，以惩罚提前访问的信息。我们建立了弱对偶、强对偶和互补松弛性的结果，这些结果与马尔可夫决策过程中的结果是并行的。我们探讨的最佳处罚的结构，并揭示马尔可夫决策过程和受控马尔可夫扩散之间的连接。我们展示了使用的对偶表示控制马尔可夫扩散在一个经典的动态投资组合选择问题。我们评估的下界的期望效用的Monte Carlo模拟下的次优政策，我们提出了一个新的类的罚款推导出上界，很少的额外计算。下界和上界之间的小差距表明，可用的政策是接近最优的，以及我们提出的惩罚在对偶方法的有效性。
2014-10-22 math.OC
Polynomial Optimization Relaxations for Generalized Semi-Infinite Programs
本文针对多项式形式的广义半无限规划，提出基于拉格朗日乘子表达式和多项式扩张的多项式优化松弛层级方法，证明其收敛性，并给出凸无穷约束情形下的精确求解条件，数值实验验证了计算效率。
2025-04-14 math.OC
On the sufficiency of finite support duals in semi-infinite linear programming
我们考虑具有可数个自然数索引约束的半无限线性规划。当约束空间是所有实值序列的向量空间时，我们证明了线性规划的有限支撑（Haar）对偶等价于线性规划的代数拉格朗日对偶。这解决了Anderson和Nash [无限维空间中的线性规划：理论与应用，Wiley 1987]留下的一个问题。这个结果意味着，如果有一个对偶间隙之间的原始线性规划和它的有限支持对偶，那么这个对偶间隙不能通过考虑更大的空间的对偶变量，定义代数拉格朗日对偶关闭。然而，如果约束空间对应于所有实值序列的某些子空间，则可能存在与有限支撑对偶的严格正对偶间隙，但与代数拉格朗日对偶的零对偶间隙。
2014-04-29 math.OC
A novel approach for bilevel programs based on Wolfe duality
本文考虑了一个在实际中有许多应用的双层规划。为了开发有效的数值算法，通常需要将双层规划转化为单层最优化问题。最常用的方法是用下层规划的KKT条件代替下层规划，然后将下层规划转化为带平衡约束的数学规划（MPEC）。然而，由于MPEC在任何可行点都不满足Mangasarian-Fromovitz约束规格资格，因此成熟的非线性规划理论无法直接应用于MPEC。在本文中，我们应用Wolfe对偶表明，在非常温和的条件下，双层规划是等价于一个新的单级reformation（简称WDP）的全局和局部最优意义。我们给出了一个例子来表明，不同于MPEC的重新制定，WDP可以满足Mangasarian-Fromovitz约束规格在其可行的点。给出了WDP重构的一些性质以及WDP重构与MPEC重构之间的关系。我们进一步提出了一种求解WDP的松弛法，并研究了它的极限行为。数值实验表明，虽然直接求解WDP的效果不好，但基于WDP重构的松弛法是相当有效的。
2023-02-14 math.OC
New SOCP relaxation and branching rule for bipartite bilinear programs
二部双线性规划（BBP）是一个二次约束二次最优化问题，其中变量可以被分成两个集合，使得固定其中任何一个集合中的变量都得到线性规划。我们提出了一个新的二阶锥表示（SOCP）松弛BBP，我们表明，这是强于标准的SDP松弛与布尔二次多面体。然后，我们提出了一个新的分支规则的启发，建设的SOCP松弛。我们描述了一个新的应用BBP称为有限元模型修正问题，这是一个基本的问题，在结构工程。我们对这个问题的计算实验表明，新的分支规则与多面体外近似的SOCP松弛优于一个国家的最先进的商业全球求解器在获得双重界限。
2018-03-25 math.OC
A Bilevel Market Equilibrium Model for Natural Gas Pipeline Network Operations: Convex Relaxations and Single-level Reformulations
University of Arizona（亚利桑那大学）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
针对天然气管道网络运营，该研究提出集成双层市场均衡模型，引入凸松弛处理非凸方程，对比多种单层重构方案，经6节点网络验证了模型的有效性与准确性。
2026-10-14 math.OC
Gradient descent procedure for solving linear programming relaxations of combinatorial optimization problems in parallel mode on extra large scale
线性规划（LP）松弛是求解组合优化（CO）难题的标准技术。在这里，我们提出了一个梯度下降算法，利用一些LP松弛CO问题引起的特殊结构。该算法可以并行运行，并以CUDA C/C++程序的形式在GPU上实现。通过求解一个分数2-匹配问题，验证了算法的有效性.我们的结果表明，分数2匹配问题与100，000节点的解决我们的算法在现代GPU上的规模为一秒，而单纯形方法解决问题将需要一个多小时。该算法可以修改，以解决更复杂的LP松弛来自CO问题。
2020-11-16 math.OC
Semidefinite Programming Duality in Infinite-Horizon Linear Quadratic Differential Games
本文将半定规划的分析应用扩展至连续时间无限时间线性二次微分博弈，利用Gramian表示技术提出新的原对偶方法建立鞍点，并首次将其用于LQ博弈和$\mathcal{H}_\infty$控制的原对偶分析。
2025-04-03 math.OC
Solving bilevel programs based on lower-level Mond-Weir duality
本文针对双层规划提出基于下层Mond-Weir对偶的新重构方法MDP，证明其与原问题在最优性意义下等价且可能满足MFCQ，数值实验表明其在可行性、成功率和CPU时间上优于MPCC和WDP。
2024-02-17 math.OC
Convergent Semidefinite Programming Relaxations for Global Bilevel Polynomial Optimization Problems
本文考虑一个两层多项式最优化问题，其中上下层问题的目标函数和约束函数都是多项式。我们提出了使用一系列半定规划（SDP）松弛来寻找其全局极小值和全局极小值的方法，并给出了这些方法的收敛结果。我们的方案的问题与凸低级别的问题涉及到解决一个转换的等价单级问题的SDP松弛序列，而我们的方法一般问题，涉及一个非凸多项式低级别的问题，解决了一个序列的近似问题，通过另一个序列的SDP松弛。
2016-01-13 math.OC
On Tropical Linear and Integer Programs
本文给出了热带线性规划强对偶定理和弱对偶定理的简洁紧凑的证明。因此，对于一对热带原始-对偶问题，不存在对偶间隙。这一结果与已知的性质subeigenvectors一起，使我们能够直接解决一个特殊的热带双边约束的线性规划。我们还研究了热带整数线性规划的对偶间隙。原问题有一个直接的解。对于对偶问题，给出了一个二次复杂度的算法。只要目标函数的系数都是整数，就可以直接求解。该解决方案在一般情况下产生最优目标函数值的良好估计。
2017-09-26 math.OC
Exact SDP relaxations for quadratic programs with bipartite graph structures
对于非凸二次约束二次规划问题，我们首先证明了在一定的可行性条件下，标准半定松弛对于具有二部图结构的二次约束二次规划问题是精确的。在强对偶条件下，通过研究对偶SDP松弛及其最优解的秩，得到了精确的最优解。我们的结果推广了具有符号定二部图结构的QCQP、具有森林结构的QCQP和具有非正非对角数据元素的QCQP的结果。其次，我们提出了一种从没有特定结构的QCQP到具有二部图结构的QCQP的转换方法。因此，我们证明了更广泛的类QCQP可以精确地解决SDP松弛。最后给出了数值例子。
2022-05-02 math.OC
Doubly nonnegative relaxation method for solving multiple objective quadratic programming problems
多目标优化和帕累托最优是经济学中的基本工具。本文提出了一种求解多目标二次规划问题的新松弛法。利用线性加权和方法，将多目标二次规划问题转化为单目标问题。由于这类单目标二次规划问题在一般情况下仍是非凸的和NP-难的。分别利用提升技术和双重非负松弛技术，将该单目标二次规划问题转化为可计算的凸双重非负规划问题。在较弱的条件下，该可计算凸问题的最优解是原问题的（弱）Pareto最优解.最后，通过两个算例和一个实际的投资组合问题对所提出的方法进行了验证.测试问题的解决\texttt{CVX}包，这是一个求解器的凸优化。数值结果表明，该方法是有效的，具有一定的应用前景.
2012-11-20 math.OC
Duality for Robust Linear Infinite Programming Problems Revisited
本文考虑由\begin{eqnarray*} ({\rm RLIP}_c)\quad &&\inf\; \langle c,x\rangle \textrm{subject to } &&x\in X,\; \langle x^\ast,x \rangle \le r ,\;\forall (x^\ast,r)\in\mathcal{U}_t,\; \forall t\in T, \end{eqnarray*}定义的鲁棒线性无限规划问题$({\rm RLIP}_c) $，其中$X$是局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$T$是任意（可能无限）指标集，$c\in X^*$，$\mathcal{U}_t\subset X^*\times \mathbb{R}$，$t \in T$是不确定集.对凸约束下的鲁棒线性问题$({\rm RP}_c)$提出了一种对偶方法，并建立了相应的鲁棒强对偶和稳定鲁棒强对偶.通过对$({\rm RLIP}_c) $数据的不同处理，可以回到模型$({\rm RP}_c)$，并应用$({\rm RP}_c)$的（稳定）鲁棒强对偶.利用这种方法，提出了$ ({\rm RLIP}_c)$的九种对偶问题.给出了这对原-对偶问题稳定鲁棒强对偶的充要条件，其中一些条件覆盖了文献中的几个已知结果，而另一些条件则是新的.此外，作为副产品，我们从原始-对偶问题的变元对的鲁棒强…
2019-10-23 math.OC
