Solution of the word problem for semigroups without cycles
Ara Malkhasyan
我们证明了在一个任意的半群没有循环，整除的问题，因此，字问题是可解的。
We prove that in an arbitrary semigroup without cycles, the problem of divisibility and, therefore, the word problem is solvable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The word problem for some classes of Adian inverse semigroups
我们证明了Adian逆半群的所有Schützenberger复形都是有限的，如果每个正字的Schützenberger复形都是有限的。这使我们能够解决某些类别的Adian逆半群的字问题（并因此为相应的Adian半群和Adian群）。
Word Hyperbolic Semigroups
字双曲群的研究是几何群论中的一个重要课题，然而字双曲群是由一个几何条件定义的，这个几何条件不能自然地推广到半群。我们提出一个语言定义。如果一个半群的乘法表是上下文无关语言，那么这个半群就是词双曲半群。对于群，这个定义等价于原始的几何定义。我们还简要地考虑了半群的字问题。
Concrete algorithms for word problem and subsemigroup problem for semigroups which are disjoint unions of finitely many copies of the free monogenic semigroup
自由单基因半群（自然数在加法作用下）的有限不交并半群存在可解字问题和可解成员问题.给出了求解这两个问题的有效算法。
The word problem for a family of one relation Adian inverse semigroups
研究由表示$Inv\langle a,b|a=ba^nb\rangle$（$n\geq 1$）给出的Adian逆半群的字问题，并证明其可判定性。
Space functions and complexity of the word problem in semigroups
我们引入了一个可表示半群$S =<A\mid R>.$的空间函数$s(n)$。为了定义$s(n)$，我们考虑$A$上的词对$w,w'$的长度至多为$n$在$S$中相等，并使用来自$R$的关系进行变换$w=w_0\to...\to w_t= w'$ ; $s(n)$从磁带空间上有界（或计算机存储器）足以实现所有这样的转换$w\to...\to w'.$所获得的结果之一是以下准则：一个可判定生成半群$S$具有多项式空间复杂度的可判定字问题当且仅当$S$是一个具有多项式空间函数的可判定表示半群$H$的一个子半群.
A group-theoretical interpretation of the word problem for free idempotent generated semigroups
任何半群的幂等元集都带有双序集的结构，其中包含了大量关于所讨论的半群的幂等元生成子半群的信息。这导致一个自由的幂等生成半群$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的建设-“自由est”半群与给定的双序集$\mathcal{E}$的幂等。当$\mathcal{E}$是有限的，$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的字问题是等价于一个家庭的约束满足问题，涉及合理的子集的直积对极大子群的$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$。作为一个应用，我们获得了一类重要的例子的字问题的可判定性。证明了对于有限$\mathcal{E}$，$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$总是满足同余条件的弱富足半群.
The word problem for some classes of Adian inverse semigroups -- II
本文研究了Adian逆半群的词问题决定性，通过分析Schützenberger图的子图结构，证明了有限生成Adian逆半群的词问题可解性。
On Straight Words and Minimal Permutators in Finite Transformation Semigroups
受计算机科学中出现的问题的启发，我们研究了具有固定生成元集的有限变换半群的Cayley图中的单位变换和相应直字的无环路径。特别感兴趣的是置换状态集合的给定子集的单词。某些这样的话，所谓的最小置换子，被证明是包括一个代码，和直的包括一个有限的代码。因此，置换一个给定子集的单词是唯一可分解为该子集的最小置换子的乘积，并且这些可以进一步简化为直接最小置换子。这导致洞察结构的局部池的可逆性变换半群的一组字置换一个给定的子集。这些发现可以在有限自动机的层次分解的实际计算中利用。作为一个例子，我们考虑生物系统中出现的群体。
On regularity and the word problem for free idempotent generated semigroups
所有幂等元生成半群的范畴都具有其幂等元$E$的规定结构$\mathcal{E}$（称为双序集），其始对象称为$\mathcal{E}$上的自由幂等元生成半群，由字母表$E$上的表示定义，记为$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$。近年来，人们对$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$形式的半群的结构，特别是它们的极大子群的结构进行了大量的研究.在本文中，我们采取这些调查在一个新的方向，考虑$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的字问题。我们证明了两个主要结果，一个积极的和一个消极的。我们表明，对于一个有限的双序集$\mathcal{E}$，它是可判定的一个给定的字$w \in E^*$是否代表一个正则元素，如果另外一个假设，所有的极大子群$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$有可判定的字的问题，那么字问题在$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$限制到正则字是可判定的。另一方面，我们证明了一个由有限幂等半群$S$产生的双序$\mathcal{E}$，使得$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的字问题是不可判定的，即使所有的极大子群都有可判定的字问题。这是通过将$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的字问题与子组成员资格问题相关联来实现的。
Free idempotent generated semigroups: The word problem and structure via gain graphs
在杨，古尔德和本作者以前的广泛研究的基础上，我们提供了一个更精确的洞察到群论分支的字问题有限双序集上的自由幂等生成半群。我们证明了这样的字问题实际上是等价于计算问题中的自由幂等生成半群的极大子群的直积的某些子群的陪集的交集的问题，从而在与Howson性质和陪集交性质有关的群论假设下提供了这些字问题的可判定性.给出了任意自由幂等元生成半群的整体半群理论结构的基本框架，包括Green关系的刻画和非正则$\mathscr{D}$类的关键参数.特别地，我们证明了有限双序集$\mathcal{E}$的$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的所有Schützenberger群必在$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$的极大子群的因子之内.
Decision problems for word-hyperbolic semigroups
本文研究了Duncan & Gilman意义下的字双曲半群的判定问题。一个基本的研究表明，“词-双曲结构”的自然定义必须稍微加强，以定义一个唯一的半群同构。证明了字双曲半群的同构问题是不可判定的（与字双曲群的情形相反）。证明了词-双曲半群是自动的、异步自动的、双自动的还是异步双自动的是不可判定的。（这些性质一般不适用于字双曲半群。证明了字-双曲半群的一致字问题在多项式时间内可解（改进了以前的指数时间算法）。给出了判定字双曲半群是么半群、群、完全单半群、Clifford半群还是自由半群的算法。
Groebner-Shirshov bases for free inverse semigroups
Poliakova和Schein在2005年得到了自由逆半群的一个新构造。在此基础上，我们找到了一个自由逆半群的Groebner-Shirshov基，它与词的deg-lex序有关.特别地，我们给出了自由逆半群的等价字类中的（唯一的、最短的）Groebner-Shirshov规范形，以及将任意字变换成其规范形的Groebner-Shirshov算法.
The kappa-word problem over DRH
设H是群的伪簇，其中kappa-字问题是可判定的.这里，kappa表示规范隐式签名，它由乘法和（omega-1）幂组成。证明了Kappa-字问题在DRH上也是可判定的，DRH是正则R-类位于H中的有限半群的伪簇。进一步，我们在H上自由κ-半群中元素的标准形的基础上，给出了DRH上自由κ-半群中元素的标准形。这扩展了Almeida和Zeitoun关于所有有限R-平凡半群的伪簇的工作。
Elaborating the word problem for free idempotent-generated semigroups over the full transformation monoid
每一个半群都可以对应一个部分代数，称为双序集，它描述了该半群的幂等元结构的重要代数和几何特征。对于一个双序集$\mathcal{E}$，可以构造$\mathcal{E}$上的自由幂等元生成半群$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$，它是幂等元的双序同构于$\mathcal{E}$的最自由半群（在确定范畴意义下）.在2012年，Gray和Ruškuc指出，对$\mathcal{T}_n$的双序上的自由幂等元生成半群的结构进行更详细的研究可能是值得的，$\mathcal{T}_n$是$n$ -元素集上的全变换幺半群。在2019年，作者与Gould和Yang一起证明了$\mathsf{IG}(\mathcal{E}_{\mathcal{T}_n})$的字问题在算法上是可解的。在最近的一项工作的作者，它表明，对于一个广泛的双订单$\mathcal{E}$类，算法的解决方案的字问题围绕所谓的顶点组，出现作为某些子群的直积对极大子群的$\mathsf{IG}(\mathcal{E})$。在本文中，我们确定的情况下，$\mathcal{E}$是$\mathcal{T}_n$的幂等元的双序的这些顶点群。
Word problem languages for completely regular semigroups
出于哪些完全正则半群具有上下文无关的字问题的问题，我们证明了对于某些语言类$\mathfrak{C}$（包括上下文无关的），每个完全正则半群是有限多个有限生成群的并，具有$\mathfrak{C}$中的字问题，在$\mathfrak{C}$中也有字问题。我们给出一个例子来说明并非所有的上下文无关字问题的完全正则半群都可以这样构造。
Inverse semigroups with rational word problem are finite
本文证明了Anisimov定理的逆半群的一个推广，即一个群有正则字问题当且仅当它是有限的，回答了StuartMargolis的一个问题。所使用的字问题的概念是双带字问题--半群的生成集上的所有字对的集合，它们都表示相同的元素。
Almost overlap-free words and the word problem for the free Burnside semigroup satisfying x^2=x^3
本文研究了满足x^2=x^3且有两个生成元的自由Burnside半群的字问题.这个半群的元素是等价词的类。解决单词问题的一个自然方法是为每个等价类选择一个唯一的“规范”代表。我们证明了无干扰词和所谓的几乎无干扰词（这个概念是无干扰词的概念的一些推广）可以作为相应的等价类的典型代表。我们证明了在给定的类中，如果有这样的字，可以有效地找到。因此，我们构造了一个线性时间算法，部分地解决了所考虑的半群的字问题。
The word problem for some classes of one relation Adian inverse semigroups
我们证明了如果每个正字的Schützenberger图，其中包含一个$R$ -字只有一次作为它的子字，是有限的Adain表示$\langle X|u=v\rangle$，那么每个正字的Schützenberger图是有限的表示$\langle X|u=v\rangle$。这使我们能够解决某些单关系Adian逆半群类的字问题。
Multiplication tables and word-hyperbolicity in free products of semigroups, monoids, and groups
本文研究了Duncan & Gilman定义的关于正则梳的具有上下文无关乘法表的词双曲半群和幺半群的性质。特别地，考虑了在取自由积的情况下保持词双曲性的问题。在所涉及的半群的较弱条件下，例如由幺半群或正则半群所满足，我们证明了两个字双曲半群的半群自由积也是字双曲的。类似地，与一个温和的条件的唯一性表示的单位元，满足例如由团体，我们证明了幺半群自由积的两个字双曲幺半群是字双曲。这些方法在语言理论上是通用的，并且同样适用于半群、幺半群或具有$\mathbf{C}$ -乘法表的群，其中$\mathbf{C}$是任何逆闭超$\operatorname{AFL}$，在格雷巴赫意义上。特别地，我们推出了两个分别具有$\operatorname{ET0L}$的群的自由积.索引乘法表同样具有$\operatorname{ET0L}$，索引乘法表
On the Word Problem for Free Products of Semigroups and Monoids
我们研究语言理论方面的字问题的问题，在邓肯和吉尔曼的意义上，自由积的半群和幺半群。首先，我们提供了代数工具，用于研究被称为超级AFL的语言类，它概括了例如上下文无关或索引语言。当$\mathcal{C}$是一个在逆下闭的超AFL时，我们证明了两个半群（分别为：在$\mathcal{C}$中有字问题的幺半群）在$\mathcal{C}$中也有字问题。这恢复并推广了Brough，Cain & Pfeiffer最近的一个结果，即上下文自由半群（幺半群）类在取自由积下是闭的.作为群论的一个推论，我们推出了$\mathcal{C}$中的两个群的（群）自由积的字问题与字问题也在$\mathcal{C}$中.作为一种特殊情况，我们发现两个带指标字问题的群的自由积已指标化了字问题。
Context-free word problem semigroups
本文研究了具有上下文无关和确定性上下文无关字问题的半群和幺半群类。首先，通过一些例子来阐明这些类之间的关系以及它们与词的双曲性和自动性概念之间的联系。其次，研究了这些类在应用某些半群构造（包括直积和自由积）或将这些构造的结果回归到原半群或么半群时是否是闭的。
Deciding Word Problems of Semigroups using Finite State Automata
我们探讨一类自然的半群，有字的问题可判定的有限状态自动机。其中的主要结果是不变性的这种性质的变化下的发电机，不变性的基本代数结构和代数性质的这些半群。
On the Complexity of the Word Problem for Automaton Semigroups and Automaton Groups
本文从复杂性的角度研究了自动机半群和自动机群的字问题。作为自动机半群和自动机群之间的一个中间概念，我们引入了自动机逆半群，它是由部分但可逆的自动机生成的。我们证明了存在一个自动机逆半群，因此，一个自动机半群的PSPACE-完全字问题。我们还表明，有一个自动机组的一个单一的理性约束的字问题是PSPACE-完全的。此外，我们提供了更简单的结构，这些类的统一字的问题。对于自动机群的一致字问题（无理性约束），我们证明了NL-困难性。最后，我们调查了一个问题所问的该隐一个更好的上限的长度上的两个不同的元素的一个自动机半群必须采取不同的行动。
Burrows-Wheeler transformations and de Bruijn words
本文从部分保序映射并链上置换的观点出发，给出并解释了Mantaci等人推广的Burrows-Wheeler变换.在这样做，我们建立了一个链接，语法半群的语言本身是循环半群。我们应用扩展变换，以期通过反转变换生成de Bruijn词。
The word problem for free adequate semigroups
本文研究了自由左、右、双边适当半群和幺半群的计算复杂性。我们提出了多项式时间（二次RAM模型的计算）算法来解决字问题和计算正常的形式，在每个这些，因此也要测试是否有任何给定的身份持有类的左，右和/或双边适当的半群。
Infinite finitely generated automata semigroups have infinite orbits
证明了有限状态Mealy自动机$\mathcal{A}=(Q,A,τ)$生成的半群是无限的当且仅当在字母表$A$中存在具有无限轨道的右无限字.
G. S. Tseytin's seven-relation semigroup with undecidable word problem
本文介绍 Tseytin 1958 年构造的具有不可判定字问题的七关系半群，梳理其思想历史、证明直观，并概述后续发展。
On the Orbits of Automaton Semigroups and Groups
我们研究了自动机半群和群的轨道，得到了一般自动机和一些特殊子类的算法和结构结果。首先，我们证明了自动机群的有限性问题的一个更一般的版本是不可判定的。这个问题等价于由完全可逆自动机生成的自动机半群中左主理想的有限性问题。然后，我们看一下具有有限轨道的$ω$ -字（即右无限字）。我们表明，每一个自动机产生一个$ω$字与有限的轨道已经产生一个最终的周期，这是不是周期性的一般，但是。在算法方面，我们观察到，这是不可能的，以决定是否一个给定的周期$ω$ -字有一个无限的轨道，我们不能检查是否一个给定的可逆和完全自动机承认一个$ω$ -字与有限的轨道，可逆的情况下自动机半群的有限性问题的倒数问题。最后，我们研究了由可逆但非双可逆自动机生成的自动机群，并证明了许多词在这种自动机的作用下具有无限轨道。
Weakly free regular semigroups I. The general case
本文证明了由集合 X 弱生成的正则半群 F(X) 的存在性，证明了其为所有同类半群的同态像源，并通过表示引入 F(X) 且解决了其字问题。
On Word Representations and Embeddings in Complex Matrices
研究词结构嵌入到低维复数矩阵半群中的方法，开发新的技术构建欧几里得比昂奇群的词表示，为分析2x2矩阵半群的基本决策问题提供框架。
Lower Bounds on Words Separation: Are There Short Identities in Transformation Semigroups?
单词分离问题最初由Goralcik和Koubek（1986）提出，如下所述。设$Sep(n)$是最小数，使得对于任何两个长度为$\le n$的字，存在具有$Sep(n)$状态的确定性有限自动机，只接受其中之一。问题是要找到函数$Sep$的渐近性。这个问题与求全变换半群$T_k$中最短单位元长度的渐近性是逆的。$Sep$的已知下界源于$T_k$中的一元恒等式。我们发现的第一系列的身份在$T_k$这是短于相应的一元身份的无限多个值的$k$，从而稍微提高了下界$Sep(n)$。然后给出了对称群中的一些短的正恒等式，并通过增加一个乘法常数改进了置换自动机分离字的下界。最后，我们给出了小$k$的短恒等式的计算机搜索结果。
Infinite Automaton Semigroups and Groups Have Infinite Orbits
本文证明了一个自动机群或半群是无限的当且仅当它允许一个$ω$ -字（即：e.一个右无限的词），它有一个无限的轨道，解决了一个由Ievgen V. Bondarenko告诉我们的公开问题。实际上，我们证明了这个结果的一个推广，它可以用来证明自动机半群的生成子群和子半群以及主左理想是无穷的当且仅当存在一个在它们作用下具有无穷轨道的$ω$ -字.证明还显示了自动机半群和它的对偶之间的一些有趣的联系。最后，我们的结果是有趣的，从算法的角度来看，因为它允许重新制定的有限性问题的自动机群和半群。
Streaming algorithms for groups and semigroups
研究群与半群中字问题的确定性和随机性流算法，提出区分器概念，构造低空间复杂度的区分器，适用于线性半群和某些构造得到的半群，并给出下界证明部分半群不支持亚线性空间区分器。
Amalgams of inverse semigroups and reversible two-counter machines
我们发现，字问题，一个混合$[S_1,S_2;U,ω_1,ω_2]$的逆半群可能是不可判定的，即使我们假设$S_1$和$S_2$（因此$U$）有有限的$\mathcal{R}$类和$ω_1,ω_2$是可计算的功能，中断了一系列积极的可判定性结果的主题。这是通过编码到一个适当的汞合金逆半群2计数器机器具有足够的普遍性，并与某些\sch图形的性质，在机器中的计算序列。
Orbit Expandability of Automaton Semigroups and Groups
我们在自动机半群和群的上下文中引入可扩展性的概念：一个词是k-可扩展的，如果一个人可以附加一个后缀到它，使得在自动机的作用下轨道的大小增加至少k。这个定义是由ω-词是否允许无限轨道的问题所激发的：对于这样的词，每个前缀都是可扩展的。在本文中，我们证明了，在输入一个词u，一个自动机T和一个数k，它是可判定的，以检查是否u是k-可扩展的关于T的行动。事实上，这可以在指数非确定性空间中完成。从这个非确定性算法，我们得到了一个潜在的轨道增加后缀x的长度上的界限。此外，我们调查的情况下，如果自动机是可逆的，并产生一个组。在这种情况下，我们给出了一个代数特征的扩展性的字的基础上，其移位稳定。我们还给出了一个更有效的算法来决定一个词的可扩展性的情况下，自动机组，这使得我们能够提高上界的最大轨道增加后缀长度。然后，我们研究了可逆（和完全）自动机的情况，并得到每个字是可扩展的关于这些自动机。最后，我们给出了一个轨道增加后缀长度的下界例子。
Anisimov's Theorem for inverse semigroups
逆生成逆半群的幂等问题是生成元上表示幂等元的所有词的形式语言。本文证明了具有正则幂等问题的逆生成逆半群必然是有限的。这回答了吉尔伯特和努南·黑尔的一个问题，并建立了一个推广到逆半群的阿尼西莫夫定理的群体。
Finitely and non-finitely related words
本文利用链字、冠字词和漩涡字构造非有限相关幂零幺半群，揭示有限相关与非有限相关半群及簇之间的多种反例现象。
Small palindromic lengths in free groups and word equations with antimorphisms
本文研究了自由群中回文长度为2和3的词特性，并探讨了自由群中回文长度计算的复杂性。
Lengths of words in transformation semigroups generated by digraphs
给定一个在$n$顶点上的简单有向图$D$（具有$n\ge2$），存在一个与$D$相关联的半群$\langle D\rangle$的自然构造。对于$D$的任意边$(a,b)$，设$a\to b$是缺陷$1$的幂等元，将$a$映射到$b$，并固定除$a$之外的所有顶点;然后定义$\langle D\rangle$为半群$\langle a\to b:(a,b)\in E(D)\rangle$。对于$α\in \langle D \rangle$，令$\ell(D,α)$为表达$α$的$E(D)$中单词的最小长度。当$D=K_n$是完全无向图时，Howie和Iwahori独立地得到了计算$\ell(K_n,α)$的公式，对于任何$α\in \langle K_n \rangle = \text{Sing}_n$ ;然而，当$D \neq K_n$时，没有类似的非平凡结果。本文证明了所有简单有向图$D$，使得$\ell(D,α)$对所有$α\in \langle D \rangle$都等于Howie-Iwahori公式，或对所有$α\in \langle D \rangle$都等于$\ell(D,α) = n - \text{fix}(α)$，或对所有$α\in \langle D \rangle$都等于$\ell(D,α) = n - \text{rk}(α)$.当$D$是无圈有向图且$…
Realizability problem for commuting graphs
我们研究的性质，确保一个给定的有限图是一个群或半群的交换图。证明了至少有两个顶点且没有一个顶点与所有其它顶点相邻的图是某个半群的交换图。此外，我们还得到了具有孤立点或孤立边的群的交换图和无中心半群的交换图的圈的完全分类。
Word Equations: Pairs and their Makanin-Razborov Diagrams
本文提出用于编码自由半群方程组解集的 Makanin-Razborov 图，并展示其可用于分析自由半群的一阶理论片段。
The structure and density of $k$-product-free sets in the free semigroup
本文研究自由半群中k-乘积自由集的密度上界与极值结构，证明其上Banach密度至多1/ρ(k)，并确定多数k值下的极值结构及强k-乘积自由集的最大密度结构，同时将结果推广到自由群并证实相关猜想。
The Finiteness Problem for Automaton Semigroups of Extended Bounded Activity
本文扩展了自动机半群和幺半群的活动概念，证明了有界扩展活动的自动机对应的无限轨道ω-语言是确定性Büchi语言，从而解决了有界活动的完全自动机半群和幺半群的有限性判定问题。
Cycle Counting and Character Expectations Using Alternating Structures
本研究推广堆叠与双滑结构为交替结构，强化w-循环定理及相关结果，证明一般单词存在交替双滑结构，解决三个猜想（对一般单词成立）并为前两个找到反例。
Enumeration of m-Endomorphisms
一个自由半群的m-自同态是将每个生成元发送到一个长度不超过m的字的自同态。两个m-自同态是组合等价的，如果它们在半群的一个自同构下共轭。在本文中，我们专门讨论了N。G. de Bruijn给出了秩n半群上m-自同态的组合等价类个数的一个公式。从这个公式中，我们得到了几个鲜为人知的整数序列。
Decidability problems in automaton semigroups
我们考虑自相似半群的可判定性问题，特别是在$X^*$的自动变换半群。我们描述的算法回答的字问题，并限制其复杂性下的一些额外的假设。我们给出了一个部分算法，决定在一个自动机，给定$x,y$，是否恩格尔身份（$[\cdots[[x,y],y],\dots,y]=1$足够长的换向器序列）所产生的一组是满意的。这个算法成功地证明了Grigorchuk的$2$ -群不是Engel群。接下来，我们考虑识别恩格尔元素，即元素$y$，使得映射$x\mapsto[x,y]$吸引到$\{1\}$的问题。虽然这个问题似乎棘手的一般情况下，我们证明，它是可判定的Grigorchuk的组：恩格尔元素正是那些为了最多$2$。我们在正文中包括了大量的未决问题。我们的计算是使用计算机代数系统“Gap”中的软件包“Fr”实现的。
Finite bands are finitely related
证明了有限幂等元半群（带）是n-相关的，这意味着它的项运算（即由词诱导的运算）的克隆由n-多个关系决定。这解决了Peter Mayr在2013年提出的一个开放问题。
An Automaton Group with PSPACE-Complete Word Problem
我们构造了一个具有PSPACE-完全词问题的自动机群，证明了Steinberg的一个猜想。此外，所构造的组具有可证明的更困难的，即EXPSPACE-完全的，压缩字问题，并且作用于二进制字母表。因此，它在字母表大小方面是最佳的。我们的构造直接模拟了自动机组中的图灵机的计算，因此，似乎是相当通用的。它结合了两个想法：第一个是D 'Angeli，Rodaro和第一作者用构造法得到了一个PSPACE-完全字问题的逆自动机半群;第二个是利用Barrington的构造法模拟了五元偶置换群中有界度和对数深度的布尔电路。
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