Stapledon Decompositions and Inequalities for Coefficients of Chromatic Polynomials
利用Stapledon的一个多项式分解结果，证明了开多面体的Ehrhart级数的分子多项式是两个系数为非负整数的对称多项式之差.我们得到了一个相关的分解顺序多面体和相应的系列的色多项式的分子多项式。这种分解中系数的非负性提供了任何单图的色多项式的系数所满足的不等式。
2016-11-29 math.CO
Some applications of the chromatic polynomials
色多项式在不同的框架中有重要的应用，特别是在图论和计数组合数学中。本文的目的是建立图的色多项式的系数的一些性质。给出了第二类限制Stirling数的三个应用。
2014-02-04 math.CO
Macdonald polynomials and chromatic quasisymmetric functions
我们将积分形式的Macdonald多项式表示为某些图的Shareshian和Wachs色拟对称函数的加权和。然后，我们使用已知的扩展这些色拟对称函数到Schur和幂和对称函数提供Schur和幂和公式的积分形式的Macdonald多项式。由于（积分型）杰克多项式是积分型麦克唐纳多项式的特殊化，我们得到类似的公式杰克多项式作为推论。
2018-03-22 math.CO
On the degree-chromatic polynomial of a tree
图$G$的度色多项式$Pm(G,k)$计算其中没有顶点具有相同颜色的$m$邻顶点的$k$ -着色的数目。证明了Humpert和Martin关于树的次数色多项式的首项的猜想。
2011-06-30 math.CO
Set maps, umbral calculus, and the chromatic polynomial
色多项式的一些重要性质也适用于满足p_S（x+y）= \sum_{T\uplus U=S} p_T（x）p_U（y）的多项式集映射.利用投影演算，我们给出了这样一个集合映射关于任意二项式型多项式序列的展开公式。这导致了色多项式的一些新的展开式。我们还描述了阿贝尔多项式的集合映射推广。
2007-07-05 math.CO
Chromatic nonsymmetric polynomials of Dyck graphs are slide-positive
受Macdonald多项式研究的启发，J. Haglund和A.威尔逊介绍了一个非对称多项式模拟色拟对称函数称为\emph{chromatic nonsymmetric polynomial}的戴克图。我们给这个多项式的基础上，使用最近的工作Assaf-Bergeron标记$(P,ρ)$分区的基本幻灯片多项式的积极的扩展。然后，我们推导出已知的扩展的色拟对称函数的Dyck图的Gessel的基本基础，采取回稳定的限制，我们的扩展。
2019-08-19 math.CO
On Multivariate Chromatic Polynomials of Hypergraphs and Hyperedge Elimination
本文考虑超图的多元超边消去多项式和多元色多项式。第一组多项式是定义在删除收缩提取递归，以前研究的图由Averbouch，Godlin和Makowsky。多元色多项式是一个等价的多项式定义的着色，并推广了上边界多项式的Crapo，和二元色多项式的Dohmen，Pönitz和Tittman。我们表明，这些新的多项式恢复多项式列举超边缘覆盖，匹配，横截，和部分超图的专业化。我们还证明了多项式可以定义在超图的键格上的莫比乌斯反演，以及计算这些多项式的各类超图。
2010-12-15 math.CO
Combinatorial reciprocity for the chromatic polynomial and the chromatic symmetric function
设G是一个图，$χ$ G是它的色多项式.对于任意非负整数i，j，我们给出了计算$χ$（i）G（--j）的非循环方向的解释.这就恢复了斯坦利以及格林和扎斯拉夫斯基分别在i = 0和j = 0的情况下的经典解释。我们还给出了对称函数的改进，我们的解释，和一些扩展。证明使用堆理论的精神，1999年文件的Gessel。
2020-02-05 math.CO
Closed formulas for fractional chromatic polynomials of some common classes of graphs
色多项式已被广泛研究，给我们的结果，如基本约化定理和闭公式的色多项式的常见类的图。然而，这些都没有延伸到分数着色的上下文中。因此，我们提出了闭公式的“分数”色多项式-一个功能，计数的数量不同的$b$倍$λ$ -着色在一个给定的图-的完全图，树和森林，以及一个广义形式的基本减少定理。
2016-10-18 math.CO
On the roots of hypergraph chromatic polynomials
设$G = (V,E)$是一个有限的简单连通图，其色多项式为$P_G(q)$ . Sokal \cite{sokal}证明了$G$的色多项式的根在绝对值上有$KD$的界，其中$D$是图的最大度，$7< K < 8$是常数.本文将这一结果推广到一致超图。为了证明我们的结果，我们将使用有界指数型图多项式的理论。
2015-09-20 math.CO
An extension of Stanley's chromatic symmetric function to binary delta-matroids
Stanley对称化色多项式是普通色多项式在无穷多个变量的多项式环中的一个图不变量的推广。普通的色多项式是Stanley色多项式的特殊化。我们的目标是将Stanley的色多项式推广到嵌入图。与著名的Tutte多项式从抽象图到嵌入图的扩展[5]相反，我们不把嵌入图看作是赋予了关于嵌入的附加信息的抽象图。相反，我们认为二进制三角形拟阵相关的嵌入图，并定义扩展的斯坦利的色多项式作为一个不变量的三角形拟阵。我们表明，类似于斯坦利的对称化的图的色多项式，它满足单图的4项关系，并以这种方式确定一个结不变量，扩展的斯坦利的色多项式的二进制δ-拟阵，我们定义满足4项关系的二进制δ-拟阵[10]，并确定，因此，不变量的链接。
2018-09-10 math.CO
Chromatic polynomials of complements of bipartite graphs
二部图是二部图的补图;因此，每个图都由两个由多条边连接的团组成。在本文中，我们研究这些图的色多项式的代数方面。本文导出了任意二分图的色多项式的一个公式，并利用这个公式给出了两个图具有相同分裂域的色多项式的条件。最后，我们使用一个bicliques的子类证明了三次情况下的$α+n$猜想，通过显示，任何三次整数$α$，有一个自然数$n$，使$α+n$是一个色根。
2012-03-23 math.CO
Holomorphic quadratic differentials on graphs and the chromatic polynomial
我们研究图上的“全纯二次微分”。我们把它们与LC电路中的无功功率联系起来，也与图的色多项式联系起来。具体来说，我们表明，色多项式$χ$的图$G$，在负整数值，可以评估为一定的有理映射的程度，所产生的定义方程的全纯二次微分。这使我们能够给出$χ(-k)$的显式整式。
2018-02-28 math.CO
Chromatic Bounds On Orbital Chromatic Roots
给定一个图$Γ$的自同构群$G$，轨道色多项式$OP_{Γ,G}(x)$是其值在正整数$k$处的多项式，该多项式的值是$G$在\cite{Cameron}的适当$k$ -着色上的轨道数。等人探索了轨道色多项式的根，特别证明了轨道色根在$\mathbb{R}$中是稠密的，从而推广了Lassen关于色根在$[\frac{32}{27},\infty)$中是稠密的著名结果（见\cite{Thomassen}）. Cameron等人\cite{Cameron}进一步证明了任何图的轨道色多项式的实根都由其色多项式的最大实根上界。我们解决这个猜想的负面影响，并提供了一个过程中产生的家庭的反例。我们还表明，答案是真实的各类图，包括许多outerplanar图。
2014-09-09 math.CO
A zero-free interval for chromatic polynomials of graphs with 3-leaf spanning trees
证明了如果$G$是一个包含至多3个叶子的生成树的图，则$G$的色多项式在区间$(1,t_1]$中没有根，其中$t_1 \approx 1.2904$是多项式$(t-2)^6 +4(t-1)^2(t-2)^3 -(t-1)^4$的最小实根.我们还构建了一个家庭的图包含这样的生成树的色根收敛到$t_1$从上面。我们采用惠特尼$2$开关操作管理的分析无限类的色多项式。
2015-10-01 math.CO
On Brenti's conjecture about the log-concavity of the chromatic polynomial
色多项式是图论中的一个重要研究对象。关于色多项式及与之相关的其它多项式的对数正态性，已有许多结果和说明，这些多项式的根的位置也得到了很好的研究。A. Sokal和C. Borgs提供了一个关于图的最高度的色多项式的根的绝对值的界。我们利用这个结果证明了一个由F.布伦蒂Brenti最初的猜想是色多项式在自然数上是对数凹的。保罗·西摩（Paul Seymour）提出了一个相反的例子来证明这一点。我们证明了图$G$的色多项式$P_G(q)$对所有的$q > CΔ+ 1$都是对数凹的，其中$Δ$表示$G$的最高度。我们还提供了一个例子，表明对于小于1的常数$C$，结果不成立。
2011-05-03 math.CO
The Chromatic Polynomials of Signed Petersen Graphs
Zaslavsky在2012年证明，直到切换同构，有六个不同的符号彼得森图，它们可以通过它们的色多项式区分开来，通过显示后者在3时给出不同的结果。他指出，六个不同的带符号彼得森图也有不同的无零色多项式，并且两种类型的色多项式在\emph{any}正整数上有不同的求值。我们开发并执行了一个计算机程序（运行在{ \tt SAGE}），有效地确定适当的$k$着色的数量为一个给定的签名图，我们的计算签名彼得森图证实Zaslavsky的猜想。我们还计算了所有最多五个顶点的符号完全图的色多项式。
2014-12-18 math.CO
Acyclic orientation polynomials and the sink theorem for chromatic symmetric functions
定义图的无圈方向多项式为无圈方向汇的生成函数。斯坦利证明了非循环方向的数量等于色多项式评价在$-1$的签署。出于这种联系之间的非循环方向和色多项式，我们开发“非循环方向”类似定理有关的色多项式的伯克霍夫，惠特尼，和绿色Zaslavsky。作为应用，我们给出了色对称函数$X_G$的Stanley下沉定理的一个新证明.这个定理给出了具有固定汇数的非循环定向数与$X_G$关于初等对称函数的展开式中的系数之间的关系。
2020-08-22 math.CO
A categorification for the signed chromatic polynomial
Beijing Normal University（北京师范大学）
通过符号着色构造符号图的符号色多项式，并构建其分次上同调群，使得分次欧拉示性数等于符号色多项式，且上同调群满足对应于符号删除-收缩规则的长正合序列。
2021-01-05 math.CO
Chromatic Polynomials of Signed Book Graphs
对于$m \geq 3$和$n \geq 1$，$m$ -循环书图$B(m,n)$由具有一条公共边的循环$C_m$的$n$副本组成。本文证明了：（a）交换非同构符号$B(m,n)$的个数是$n+1$，（b）符号$B(m,n)$的色数是2或3.我们还得到了交换非同构签名书图的色多项式和无零色多项式的显式公式。
2022-06-17 math.CO
Signed Chromatic Polynomials of Signed Book Graphs
2015年，Matthias Beck和他的团队在SAGE中开发了一个计算机程序，可以有效地确定给定符号图的符号正确$k$ -着色的数量。在这篇文章中，我们确定了书图上的不同签名的数量，直到切换同构。我们还找到了符号Book图的符号色多项式的一个递归公式。
2018-12-20 math.CO
From Poset Topology to $q$-Eulerian Polynomials to Stanley's Chromatic Symmetric Functions
近年来，我们一直致力于一个项目，涉及偏序集拓扑，各种类似物的欧拉多项式，和完善理查德斯坦利的色对称函数。在这里，我们讨论斯坦利的想法和结果如何影响和启发我们自己的工作。
2015-05-13 math.CO
LLT polynomials, chromatic quasisymmetric functions and graphs with cycles
我们使用单位区间图的Dyck路径模型来研究由Shareshian和Wachs引入的色拟对称函数，以及垂直带-特别是单胞LLT多项式。我们发现，有平行的现象，关于$e$ -这两个家庭的多项式的积极性。特别是，我们给出了几个例子，LLT多项式的行为就像一个“镜像”的色准对称对应。Dyck路径模型也扩展到圆弧有向图，以获得更大的家庭的多项式。LLT多项式的这种循环扩张以前没有被研究过。很多关于单位区间图的组合数学进行到这个更一般的设置，我们证明了几个语句关于色拟对称函数和LLT多项式的$e$ -系数。特别是，我们认为某些$e$阳性的特征在上述所有家庭中都存在。此外，我们还研究了垂直带LLT多项式，它不存在自然的色拟对称对应项。这些多项式基本上是修改霍尔-Littlewood多项式，因此特别感兴趣。在这个更一般的框架中，我们能够给出一个自然的组合解释的$e$ -系数的线图和循环图，在这两个色和LLT设置。
2017-06-12 math.CO
The Chromatic Polynomial of a Digraph
Neumann-Lara定义的有向图的无圈染色是顶点染色，使得没有单色有向圈出现。通过对所谓的Neumann-Lara-coflow（NL-coflow）进行计数，可以对使用$k$颜色的这种着色的数量进行计数，NL-coflow在$k$中构建多项式。我们将提出一个表示这个多项式使用全循环子有向图，形成一个分次偏序集$Q$。此外，我们将分解我们的NL-coflow多项式，它成为一个有向图的色多项式乘以颜色的数量的组件的数量，检查偏序集的特殊结构的全循环子有向图固定的底层无向图。在对称有向图的情况下，这种分解将证实我们的有向图的色多项式与基础无向图的色多项式相等。
2022-04-28 math.CO
Closed-form expansions for the bivariate chromatic polynomial of paths and cycles
我们建立了封闭形式的展开式的数量染色的道路或循环的n个顶点的颜色从1，...，x，使得邻顶点被不同地着色或具有来自y+1，. X.
2012-01-18 math.CO
A bivariate chromatic polynomial for signed graphs
本文研究了Dohmen-Pönitz-Tittmann的二元色多项式$c_Γ(k,l)$，它对图$Γ$的所有$(k+l)$ -着色进行计数，使得如果邻顶点是$\le k$，则它们得到不同的颜色.我们的第一个贡献是将$c_Γ(k,l)$推广到有符号图上，得到了一个包含-排除公式和几个特殊的评价，例如，到编码平衡子图的多项式。我们的第二个目标是推导出组合互易定理$c_Γ(k,l)$和它的签名图类似物，让人想起斯坦利的互易定理连接色多项式的非循环方向。
2014-06-07 math.CO
$λ$-Chromatic Polynomials and Polytope Geometry
National Institute of Technology, Srinagar（斯利那加国家技术学院）
本文研究图的$λ$-色多项式，该多项式计数使用给定有限颜色集的不同$L(2,1)$-着色数量，通过内部-外部多面体框架下的格点枚举给出组合解释，并利用格路枚举和块-间隙技术计算完全图、完全二部图及多部图的$λ$-色多项式。
2026-05-29 math.CO
Chromatic Polynomial and Heaps of Pieces
斯坦利在他的论文[斯坦利，理查德P：图的非循环定向在：离散数学5（1973），Nr. 2，S. 171-178.]提供了当用负整数代替色多项式时的解释。格林和Zaslavsky解释系数的色多项式在[格林，柯蒂斯; Zaslavsky，托马斯：关于解释惠特尼数通过安排超平面，zonotopes，非氡分区，和方向的图形。见：美国数学学会学报280（1983），1月，Nr。1，S. 97-97.]我们将开发一个对合的factorisations堆件和使用这种对合，我们将提供双射证明结果从这两个文件。
2019-03-16 math.CO
A new polynomial on compositions of integers: on distinguishing caterpillars from their symmetric chromatic function
本文提出了一种判定两棵非同构毛毛虫树是否具有相同对称函数的代数方法--色多项式的推广。在整数上的所有组合的集合上，我们引入：一个操作，我们称之为组合乘积;和一个组合多项式，我们称之为组合格多项式或L-多项式，它模仿了Noble和Welsh的加权图多项式。我们证明了一个唯一的不可约分解定理，并建立了一个连接的L-多项式的组合和它的不可约分解，即扭转不可约因子不改变L，并猜想这是唯一的方式产生这样的组合。最后，我们找到一个充分条件，两个毛毛虫有一个不同的对称函数推广的色多项式，并使用这个条件来表明，如果我们的猜想是成立的，那么对称函数推广的色多项式区分一大类毛毛虫。
2012-08-08 math.CO
Marked graphs and the chromatic symmetric function
本文的主要结果是引入了标记图和与之相关的标记图多项式（$M$ -多项式）。这些多项式可以通过删除-压缩操作来定义。这些多项式是由Noble和Welsh引入的$W$ -多项式的推广，以及由Ellis-Monaghan和Moffatt引入的$\mathbf{V}$ -多项式的特殊化。此外，我们描述了一个重要的特殊化的$M$ -多项式，我们称之为$D$ -多项式。在对称函数的\emph{star-basis}中，我们给出了一个计算图的色对称函数的有效算法。作为这些工具的一个应用，我们证明了直径不超过5的真树可以由其色对称函数重构。
2022-02-23 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. IV. A near-polynomial bound for excluding the five-vertex path
一个图G是H-自由的，如果它没有与H同构的诱导子图.证明了团数为$ω\ge 3$的无$P_5$图的色数至多为$ω^{\log_2(ω)}$ .由于Esperet、Lemoine、Maffray和Morel的研究，以前最好的结果是指数上界$(5/27)3^ω$。多项式界意味着著名的Erdos-Hajnal猜想对$P_5$成立，这是最小的开放情况。因此，有很大的兴趣，是否有一个多项式界的$P_5$ -自由图，我们的结果是一个尝试，以接近。
2022-10-02 math.CO
Binomial Inequalities for Chromatic, Flow, and Tension Polynomials
图的色多项式的分类是一个著名的和开放的问题，至少可以追溯到20世纪70年代初。对于这个分类问题，人们可能会要求一个色多项式的系数之间的必要的不等式，我们贡献这样的不等式时，色多项式$χ_G(n) = χ^*_0 \binom {n+d} d + χ^*_1 \binom {n+d-1} d + \dots + χ^*_d \binom n d$是书面的二项式系数的基础。例如，我们证明了对于$0 \le j \le \frac{ d }{ 2 }$，$χ^*_{ j } \le χ^*_{ d-j }$。类似的结果举行的流量和张力多项式枚举模块或积分无处零流量/张力的图。我们的定理遵循色，流，张力，和顺序多项式之间的连接，以及Ehrhart多项式的格多面体，承认单模三角剖分。我们的研究结果使用Ehrhart不等式由于Athanasiadis和Stapledon，并与最近的工作由Hersh-Swartz和Breuer-Dall，其中类似于我们的一些不等式是使用代数组合方法推导出来的。
2021-05-08 math.CO
Melting lollipop chromatic quasisymmetric functions and Schur expansion of unicellular LLT polynomials
本文推广并利用了Lee \cite{Lee}提出的LLT多项式的线性关系。利用色拟对称函数和单胞LLT多项式通过体积代换相关，因此它们满足相同的线性关系的事实，我们可以将线性关系应用于这两组函数。结果，在色拟对称函数方面，我们发现了一类$e$ -正图，称为\emph{melting lollipop graphs}，并明确地证明了$e$ -单峰性.在单胞LLT方面，我们得到了对应于某些图集的LLT多项式的Schur展开式，这些图集包括：完全图、路图、棒棒糖图和融化棒棒糖图。
2018-12-09 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. III. Excluding a double star
双星是一棵树有两个内部顶点。已知Gyárfás-Sumner猜想对双星成立，即对每一双星$H$，存在一个函数$f$使得如果$G$不包含$H$作为诱导子图，则$χ(G)\le f(ω(G))$（其中$χ, ω$是$G$的色数和团数）。在这里，我们证明了$f$可以被选择为多项式。
2021-08-16 math.CO
Acyclic Orientations and the Chromatic Polynomial of Signed Graphs
给出了符号图（对称图）的无圈定向与染色之间的一个新的对应关系。Goodall等人引入了一个二元色多项式$χ_G(k,l)$，它使用颜色$0,\pm1,\dots,\pm k$以及$l-1$对称颜色$0_1,\dots,0_{l-1}$来计算有符号着色的数量。我们证明了二元色多项式$|χ_G(-1,2)|$的评价等于符号图的非循环方向数模交换源和汇产生的等价关系。我们提出了三个证明这一事实，证明使用环面超平面安排，证明使用删除压缩，和直接证明。
2022-09-03 math.CO
A Polynomial Time Algorithm to Find the Star Chromatic Index of Trees
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.在本文中，我们提出了一个多项式时间算法，找到一个最佳的星边着色的每棵树。我们还提供了一些严格的界限上的星色指数的树的直径最多为4，并使用这些界限，我们找到了一个公式，某些家庭的树的星色指数。
2018-12-23 math.CO
New Bounds for Chromatic Polynomials and Chromatic Roots
若$G$是$n$阶的$k$ -色图，则已知对每个$x\in \mathbb{N}$，$G$的色多项式$π(G,x)$至多为$x(x-1)\cdots (x-(k-1))x^{n-k} = (x)_{\downarrow k}x^{n-k}$.在这里，我们通过证明对于每个$x\in \mathbb{N},$都有\[ π(G,x) \leq (x)_{\downarrow k} (x-1)^{Δ(G)-k+1} x^{n-1-Δ(G)}\]来改进这个界，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。其次，我们证明了，如果$G$是一个连接的$k$ -色图的顺序$n$，$k\geq 4$然后$π(G,x)$是最多$(x)_{\downarrow k}(x-1)^{n-k}$为每个真正的$x\geq n-2+\left( {n \choose 2} -{k \choose 2}-n+k \right)^2$（它已被证明，这个不等式成立所有$x \geq k$）。最后，我们提供了一个上界的色根的模，这是一个改进的稠密图的已知界限。
2016-11-29 math.CO
New expressions for order polynomials and chromatic polynomials
设$G=(V,E)$是一个简单图，它的色多项式是$V=\{1,2,\cdots,n\}$和$χ(G,x)$.对于$V$的元素的排序$π=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$，令$δ_G(π)$为$i$的数量，其中$1\le i\le n-1$，具有$v_i<v_{i+1}$或$v_iv_{i+1}\in E$。设${\cal W}(G)$是$V$的子集$\{a,b,c\}$的集合，其中$a<b<c$，它导出一个以$ac$为唯一边的子图。我们表明，${\cal W}(G)=\emptyset$当且仅当$(-1)^nχ(G,-x)=\sum_π {x+δ_G(π)\choose n}$，其中的总和运行在所有$n!$排序$π$的$V$。为了证明这个结果，我们建立了偏序集的阶多项式的一个类似结果，并应用Stanley关于色多项式与阶多项式之间关系的工作。
2019-09-05 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number VIII. Excluding a path and a complete multipartite graph
本文证明了对任意的路H和任意的整数d，存在多项式f使得任意的色数大于f（t）的图G或者包含H作为诱导子图，或者包含部分基数为t的完全d-部图作为子图.对于t = 1和一般d这是一个经典的定理Gyárfás，并为d = 2和一般t这是一个定理Bonamy等人。
2023-03-21 math.CO
A quasisymmetric function generalization of the chromatic symmetric function
图$G$的色对称函数$X_G$是由Stanley引入的.本文引入了一个拟对称的推广$X^k_G$，称为$G$的$k$ -色拟对称函数，并证明了它在拟对称函数的基本基上是正的.继专业化的$X_G$ $χ_G(λ)$，色多项式，我们还定义了一个推广$χ^k_G(λ)$，并表明，评价这个多项式的负值推广了一个定理的斯坦利有关非循环方向的色多项式。
2011-01-03 math.CO
On Weak Chromatic Polynomials of Mixed Graphs
一个\emph{mixed graph}是一个有向边（称为弧）和无向边的图。如果来自${1,2,...,k}$的颜色被分配给每个顶点，使得如果$uv$是边，则$u$和$v$具有不同的颜色，并且$u$的颜色小于或等于（分别为），则顶点的$k$ -着色是正确的。严格小于）$v$的颜色，如果$uv$是弧。弱者（Resp.）一个混合图的（强）色多项式计算了正确$k$ -染色的个数。利用偏序集的序多项式，建立了弱色多项式的一个互反定理，给出了在负整数上求值的解释。
2013-06-17 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number. I. Excluding a biclique and an induced tree
H是一棵树。Rodl证明了不包含H作为诱导子图，也不包含完全二部图$K_{t,t}$作为子图的图有界色数. Kierstead和Penrice加强了这一点，表明这样的图有界退化。这里我们给出了进一步的加强，证明了对于每一棵树H，退化度至多是关于t的多项式。这就回答了Bonamy、Pilipczuk、Rzazewski、Rzarasse和Walczak的一个问题。
2021-07-25 math.CO
Categorification of Chromatic, Dichromatic and Penrose Polynomials
University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；Hiroshima University（广岛大学）
本文通过适当变量选择，将染色、双染色和Penrose多项式范畴化，利用双graded同调理论的欧拉特征解释染色评估，并探讨了颜色集上的关联代数结构。
2025-12-24 math.CO
List-Coloring and Chromatic-Choosability -- A Dynamic Survey
Amrita Vishwa Vidyapeetham（阿迈塔维迪亚佩特大学）；Indian Institute of Technology-Madras（印度理工学院马德拉斯分校）
本文综述了列表染色和色可选择性的主要进展，重点介绍了已知等式成立的图类、存在非平凡间隙的图类以及证明这些结果的主要方法。
2026-07-01 math.CO
An equivalent formulation of chromatic quasi-polynomials
给定一个中心积分排列，该排列模正整数$q$的约简产生$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\ell$中的子群排列。Kamiya-Takemura-Terao（2008）引入了特征拟多项式的概念，用于评估子群排列的补的基数。Chen-Wang（2012）发现了一个类似但更一般的设置，即通过将积分排列限制为$\mathbb{R}^\ell$的子空间来替换积分排列，并评估$q$ -约化补的基数也将导致$q$中的拟多项式。在一项独立的研究中，Brändén-Moci（2014）定义了所谓的色拟多项式，并开始了对有限元素列表上的$q$ -着色的研究，这些元素在一个由色生成的阿贝尔群中。本文的主要目的是证明Chen-Wang拟多项式与Brändén-Moci拟色多项式在拟多项式枚举同构集的基数意义下是等价的。
2018-03-23 math.CO
Chromatic polynomials of complementary (n,k)-clique pairs
我们引入了一类由任意数量的边连接的两个团组成的图对。一个图对的成员具有这样的性质：一个图的连通桥边集是另一个图的连通桥边集的补。我们证明了这样一对图的色多项式之间的精确关系，表明它们具有相同的分裂域，并且每个图的非循环方向的数量由另一个图的正确顶点着色的数量决定。
2011-06-07 math.CO
The Amazing Chromatic Polynomial
设G是一个点为V，边为E的组合图.图G的正常染色是指给顶点分配颜色，使得没有边连接两个相同颜色的顶点。这些是著名的四色定理中考虑的着色。证明了用t种颜色对G进行真染色的次数是关于t的多项式，称为G的色多项式。这个多项式有许多奇妙的性质。它也有一个令人惊讶的习惯，即出现在先验的与图着色无关的上下文中。我们将调查三个这样的例子，涉及非循环方向，超平面安排，和增加森林。此外，对称函数和代数几何的连接将被提及。
2021-06-07 math.CO
Polynomial bounds for chromatic number VII. Disjoint holes
图$G$中的洞是长度至少为4的诱导圈，并且$G$中的$k$-多孔是成对不相交且不相邻的洞的集合。众所周知，如果$G$不包含任何洞，那么它的色数等于它的团数。本文证明了，对任何$k$，如果$k$不含$k$-多孔，则它的色数至多是它的团数的多项式函数.我们证明，如果我们要求所有的洞都是奇数或长度为4，以及如果我们要求洞比任何固定常数长或长度为4，同样的结果也成立。这是多项式$χ$ -有界的图类的更广泛研究的一部分。
2022-02-18 math.CO
Some results on the maximal chromatic polynomials of $2$-connected $k$-chromatic graphs
本文证明了Brown和Erey关于$2$-连通$k$-色图最大色多项式猜想成立的两个充分条件：图的团数为$k$或独立数为$2$。
2023-10-25 math.CO
Recursion relations for chromatic coefficients for graphs and hypergraphs
我们建立了图或超图的色多项式中系数的一组递归关系。作为应用，我们推广了Whitney的超图破环定理，并给出了$r$ -完全超图的色多项式的线性系数关于指数函数的Taylor多项式的根的显式表达式.
2020-06-06 math.CO
Generalized chromatic polynomials of graphs from Heaps of pieces
设$G$是一个单图，$\mathcal{L}(G)$是与$G$相关联的自由部分交换李代数.本文利用块堆证明了$G$的广义$\textbf k$ -色多项式关于$\mathcal{L}(G)$的级空间维数的一个表达式。这将给我们一个新的解释的色多项式的多线性堆和林登长度。Stanley，Greene和Zaslavsky关于$G$的无环取向的经典结果作为推论得到.一个堆有唯一的最小块被称为金字塔和我们的主要定理证明使用金字塔的性质。为此，我们证明了金字塔的两个重要性质，即金字塔比例引理，以及金字塔和林登堆引理。在最后一节中，我们将介绍$(m,λ)$ -标记的非循环方向，这是类似于斯坦利的$λ$ -兼容对。作为我们主要定理的应用，利用这个$(m,λ)$标记的非循环定向，我们将证明色多项式的导数的互易定理。
2019-07-20 math.CO
Automatic Generation of Generating Functions for Chromatic Polynomials for Grid Graphs (and more general creatures) of Fixed (but arbitrary!) Width
这篇简短的文章，献给我们敬爱的大师Philippe FLAJOLET（1948-2011），是计算机生成的组合研究的案例研究，其中计算机，完全靠自己，正在使用转移矩阵方法来推导（严格！）图的无穷序列的色多项式的有理生成函数，推广了用长度为n的路径取笛卡儿积的动作，n= 1，2，. .
2011-03-31 math.CO
Chromatic symmetric functions and polynomial invariants of trees
本文通过研究色对称函数与其他不变量的关系探讨Stanley问题，证明了Crew猜想、广义度序列与子树多项式的等价性，并构造任意大树族推广了Eisenstat和Gordon猜想。
2024-07-23 math.CO
Upper Bound for the Coefficients of Chromatic polynomials
本文对一般图的色多项式中的一项系数的大小的上界作了改进。如果$a_r$是色多项式$P(G,q)$中的$q^r$项的系数，其中$q$是颜色的数量，那么我们找到$a_r \le {e \choose v-r} - {e-g+2 \choose v-r-g+2} + {e-k_g-g+2 \choose v-r-g+2} - \sum _{n=1}^{k_g-\ell_g}\sum_{m=1}^{\ell_g-1} {e-g+1-n-m \choose v-r-g} - δ_{g,3}\sum_{n=1}^{k_g+\ell_{g+1}^*-\ell_g} {e-\ell_g-g+1-n \choose v-r-g}$，其中$k_g$是长度为$g$的电路的数量，$\ell_g$和$\ell_{g+1}^*$是文本中定义的某些数字。
2001-02-27 math.CO
