Pseudo-Riemannian metrics with prescribed scalar curvature
我们考虑以下推广的一个著名的问题，在黎曼几何：当是一个光滑的实值函数s在一个给定的紧凑的n维流形M（有或无边界）的数量曲率的一些光滑的伪黎曼度量的指数q的M？我们证明了对于每个s，如果2<q<n-2，这是这种情况，只要M允许一个指数为q的度量。事实上，如果2<q<n-2，则M上指数为q的伪黎曼度量空间的每个连通分支都包含一个具有数量曲率s的度量。我们也证明了指数为1或2的伪黎曼度量的几个定理。
2004-09-22 math.DG
Prescribed Angle Surfaces Associated with Torse-Forming Vector Fields in Riemannian Manifolds
Firat University（菲拉特大学）；Firat University, Graduate School of Natural and Applied Sciences（菲拉特大学自然科学与应用科学学院）
本文研究了与曲率形成向量场相关的规定角度超曲面，分析了其内在和外在曲率，并在特定条件下对这些超曲面进行了分类。
2026-05-10 math.DG
A duality for prescribed mean curvature graphs in Riemannian and Lorentzian Killing submersions
本文针对黎曼与洛伦兹 Killing 淹没中的类空图建立共形二元性，交换平均曲率与丛曲率并互逆 Killing 长度，由此得到洛伦兹-闵可夫斯基空间中预定平均曲率完整图的存在性及与临界平均曲率相关的存在与不存在条件。
2023-06-22 math.DG
Local $C^0$-estimate and existence theorems for some prescribed curvature problems on complete noncompact Riemannian manifolds
本文研究完备非紧黎曼流形上的一类预定曲率问题。更精确地说，我们得到了局部$C^0$ -估计的渐近条件下，这是有效的最佳的，并证明了存在的完全共形度量与规定的曲率函数。我们的战略的一个关键组成部分是Aviles-McOwen的结果或其完全非线性版本的存在性与规定的曲率函数流形上的边界。
2021-01-13 math.AP math.DG
Riemannian metrics with prescribed volume and finite parts of Dirichlet spectrum
本文证明了在带光滑边界的紧流形上，可以构造黎曼度量同时实现规定的体积和任意给定的有限Dirichlet特征值序列。
2023-08-06 math.DG
On the prescribed $Q$-curvature problem in Riemannian manifolds
我们证明了存在的度量规定的$Q$ -曲率的自然假设下的符号的规定功能和背景度量。在四维情形下，我们也得到了只需要限制欧拉示性数的曲率形式的存在性结果。此外，我们得到了一个处方结果，使我们能够得出结论，任何光滑函数$\mathbb{R}^n$上可以实现为$Q$ -曲率的黎曼度量。
2019-03-21 math.AP math.DG
Killing graphs with prescribed mean curvature
证明了在一大类黎曼流形中具有指定中曲率的Killing图的存在唯一性。
2006-12-15 math.DG
Conformal Killing graphs with prescribed mean curvature
本文证明了在一大类黎曼流形中具有预定中曲率函数的图的存在性和唯一性，这类流形包括具有共形Killing向量场的空间.
2009-04-08 math.DG
Small spheres with prescribed nonconstant mean curvature in Riemannian manifolds
本文证明了在无边界光滑黎曼流形中，函数非退化临界点附近存在由平均曲率与该函数成比例的球面构成的唯一叶状结构，并指出放宽非退化假设会丧失该叶状结构性质。
2024-02-12 math.AP math.DG
Existence Serrin type results for the Dirichlet problem for the prescribed mean curvature equation in Riemannian manifolds
给定一个完备的$n$维黎曼流形$M$，研究了$M\times\mathbb{R}$中具有给定中曲率$H=H(x,z)$的垂直图的存在性。精确地说，我们证明了在光滑有界区域$Ω\subset M$中垂直中曲率方程的狄利克雷问题对任意光滑边界数据都有解，如果对于每个$y\in\partialΩ$，$(n-1)\mathcal{H}_{\partialΩ}(y)\geq n\sup\limits_{z\in\mathbb{R}}\left|{H(y,z)}\right|$提供函数$H$也满足$\mathrm{Ricc}_x\geq n\sup\limits_{z\in\mathbb{R}}\left\|\nabla_x H(x,z)\right\|-\dfrac{n^2}{n-1}\inf\limits_{z\in\mathbb{R}}\left(H(x,z)\right)^2$.在$M=\mathbb{H}^n$的情况下，如果条件$\sup\limits_{Ω\times\mathbb{R}}\left|{H(x,z)}\right|\leq \frac{n-1}{n}$在涉及Ricci曲率的条件的位置成立，我们也建立存在性结果。最后，当$M$是一个Hadamard流形，其截面曲率$K$满足$-c^2\leq K\leq -1$，对某些$c>1$，我们得到了一个相关的结果.推广了Ser…
2019-12-03 math.DG
Yamabe Flow with prescribed scalar curvature
本文研究了具有负数量曲率的紧致黎曼流形上对应于指定数量曲率问题的Yamabe流。在适当的条件下，证明了在给定的数量曲率函数下，该流的长时间存在性和收敛性。
2017-05-19 math.DG
Prescribed Scalar Curvature Problem under Conformal Deformation of A Riemannian Metric with Dirichlet Boundary Condition
本文首先证明了对于所有具有非空光滑边界且维数至少为3的紧致黎曼流形，存在一个度量，它逐点共形于原度量，内部具有常数数量曲率，边界上也具有常数数量曲率，并将边界看作是它自己的维数至少为2的流形.然后，我们显示了一系列规定的数量曲率的结果，在内部和边界上，逐点保形变形。这类结果既是Kazdan和Warner的“三分定理”在不同类型流形上的类比和推广。这类问题的关键是求一个带Dirichlet边界条件的Yamabe方程的正的光滑解。
2022-08-24 math.AP math.DG
The Prescribed Ricci Curvature Problem on Three-Dimensional Unimodular Lie Groups
设G是三维幺模李群，T是G上左不变对称（0，2）-张量场.给出了T上存在由左不变黎曼度量g和正常数c组成的对（g，c）使得Ric（g）= cT的充要条件，其中Ric（g）是g的里奇曲率.我们还讨论了这类对的唯一性，并证明了在几乎所有的情况下，至多存在一个正常数c，使得Ric（g）= cT对于某个左不变的黎曼度量g是可解的.
2017-10-09 math.DG
Prescribed Riemannian Symmetries
给定紧致连通李群$G$在光滑紧致流形$M$上的光滑自由作用，证明了在自同构群恰好是$G$的$M$上的$G$不变黎曼度量空间在所有$G$不变度量空间中是开稠密的，只要$M$的维数比$G$的维数“足够大”.因此，每个紧连通李群都可以实现为某个紧连通黎曼流形的自同构群;这恢复了Bedford-Dadok和Saerens-Zame在不太严格的维数条件下的先前工作。一路上，我们还表明，在较少的限制条件下的尺寸和行动，空间的$G$不变的度量，其自同构群保持的$G$轨道是密集的$G_δ$在空间的所有$G$不变的度量。
2021-03-25 math.DG math.MG
Existence of curves with constant geodesic curvature in a Riemannian 2-sphere
证明了在任意黎曼2-球面上，对几乎所有给定曲率，均存在常测地曲率的浸入闭曲线。为了实现这一点，我们开发了一个加权长度泛函的最小-最大方案。
2021-06-23 math.DG
Extremal domains for the first eigenvalue in a general Riemannian manifold
本文证明了在任意紧黎曼流形中Laplace-Beltrami算子第一特征值的小体积极值域的存在性。这个结果推广了F. Pacard和第二作者在那里存在的非退化临界点的数量曲率的黎曼流形是必要的。
2013-02-18 math.DG
Closed Weingarten hypersurfaces in semi-riemannian manifolds
证明了半黎曼流形中在有障碍的条件下，具有预定曲率的闭超曲面的存在性。
2003-04-27 math.DG
The problem of prescribed critical functions
设$(M,g)$是维数为$n \geq 4$的紧致黎曼流形，它与球面$S^n$不共形同构.证明了$M$上的光滑函数$f$是度量$\tilde{g}$与$g$共形的临界函数当且仅当存在$x \in M$使得$f(x)>0$ .
2007-03-23 math.DG
Existence and uniqueness of $t$-graphs of prescribed mean curvature in Heisenberg groups
本文研究任意维Riemannian Heisenberg群中$t$-图的给定平均曲率方程，刻画无Dirichlet边界数据时经典解的存在唯一性条件，并推广至非常数平均曲率及次Riemannian情形。
2024-05-10 math.AP math.DG
Existence of nonparametric solutions for a capillary problem in warped products
本文证明了一类具有Killing向量场的黎曼流形中的非参数毛细问题存在解。换句话说，我们证明了具有指定的中曲率和指定的边界接触角的Killing图的存在性。这些结果对于任意黎曼流形上定义的非均匀引力场影响下的定常超曲面的建模是有用的。
2013-07-10 math.DG
The prescribed Ricci curvature problem for naturally reductive metrics on non-compact simple Lie groups
本文研究了非紧单李群上左不变自然约化 Riemannian 度量的预定 Ricci 曲率问题，给出了底层方程可解性的若干条件并讨论了相关例子。
2020-08-18 math.DG
The non-linear Plateau problem in non-positively curved manifolds
利用Perron方法，证明了非正曲率完备黎曼流形内具有指定边界的指定特殊拉格朗日曲率超曲面的存在性。
2010-04-02 math.DG
Lipschitz maps with prescribed local Lipschitz constants
该研究在完备黎曼流形框架下，构造出在给定闭子集上与原Lipschitz映射一致、且局部Lipschitz常数等于指定连续控制函数的Lipschitz映射，解决了指定局部常数的Lipschitz映射延拓问题。
2024-03-12 math.CA math.DG
Curvature estimates for Weingarten hypersurfaces in Riemannian manifolds
我们证明了一般曲率函数的曲率估计。作为应用，我们证明了具有给定曲率的闭严格凸超曲面$F$的存在性，其中$F$的定义锥是$\C_+$ .仅假设$F$是单调的、对称的、1次齐次的、凹的并且是$C^{m,\al}$类、$m\ge4$类。
2008-01-25 math.DG
Constructing electrically charged Riemannian manifolds with minimal boundary, prescribed asymptotics, and controlled mass
在2015年，Mantoulidis和Schoen构造了具有非负数量曲率的$3$维渐近欧氏流形，其ADM质量可以任意接近黎曼彭罗斯不等式的最优值，而最外层极小曲面的内在几何可以“远离”圆形。由此产生的流形，称为扩展，在几何上不“接近”空间史瓦西流形。这表明黎曼彭罗斯不等式的不稳定性。后来，Cabrera Pacheco和Miao根据$n+1$的尺寸进行了改造。在Alaee、Cabrera Pacheco和Cederbaum以及Cabrera Pacheco、Cederbaum和McCormick最近的论文中，分别对渐近欧几里德带电黎曼流形和渐近双曲黎曼流形进行了类似的构造，得到了$3$ -维延拓。本文通过构造$n\geq2$在$n+1$维数上的带电荷的渐近双曲或渐近欧氏扩张，综合推广了上述结果.我们详细研究了这些流形的次极值，考虑到迄今为止未研究的情况下的极值与电荷的扩展，并允许更一般的条件，我们的扩展度量。除了建议一个自然的广义黎曼彭罗斯不等式的不稳定性，构造的扩展给洞察到一个特设的广义概念的Bartnik质量，类似于Bartnik质量估计的极小曲面证明Mantoulidis和Schoen通过他们的扩展，并统一的Bartnik质量估计在上述各种情况下。
2023-01-11 gr-qc math.DG
Constructing Riemannian metrics with prescribed nodal sets for Laplacian eigenfunctions
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
该研究构造了具有预设节点集的黎曼度量，使得拉普拉斯特征函数的零集与给定配置一致，并证明了特征值与体积的关系。
2025-12-21 math.AP math.DG math.SP
Prescribed Ricci curvature near an Einstein manifold with boundary
该研究针对带边界的紧致爱因斯坦黎曼流形，证明了关联度量与其Ricci曲率、边界诱导共形类、边界平均曲率的映射在基准度量附近局部可逆，同时研究了反变Ricci算子及爱因斯坦算子等相关算子。
2025-03-24 math.DG
Maxima of Curvature Functionals and the Prescribed Ricci Curvature Problem on Homogeneous Spaces
考虑一个紧李群$G$和一个闭李群$H<G$。设$\mathcal M$是齐性空间$M=G/H$上的$G$不变黎曼度量集.通过研究$\mathcal M$上数量曲率泛函的变分性质，得到了$M$上里奇曲率问题解的存在性定理.为了说明这一结果的适用性，我们探讨的情况下，$M$是一个广义Wallach空间和广义旗流形。
2018-08-31 math.DG
Conformal Scalar-Flat Metrics with Prescribed Boundary Mean Curvature
Zhejiang University（浙江大学）；Westlake Institute for Advanced Study, Westlake University（西湖大学前沿技术研究中心，西湖大学）
研究在紧致黎曼流形上寻找共形度量，使得内部标量曲率为零且边界平均曲率为指定函数，通过构造局部测试函数解决了Escobar工作中大部分未解决问题并建立了新的可解性条件。
2026-05-11 math.DG
Multiplicity one for equivariant min-max theory in prescribed homology classes
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文研究了在给定同调类中等价min-max理论的单重性，并证明了存在无限多个$G$-不变极小超曲面，同时建立了具有$G$-索引上界的等价min-max理论。
2026-01-14 math.DG
Lie groups as 4-dimensional Riemannian or pseudo-Riemannian almost product manifolds with nonintegrable structure
考虑了李群作为四维伪黎曼流形的情形。该流形以两种方式具有几乎乘积结构和Killing度量。在第一种情况下得到了具有不可积结构的黎曼几乎乘积流形，在第二种情况下得到了伪黎曼几乎乘积流形。每一个都属于一个4-参数流形族，这是其特征几何。
2008-04-25 math.DG
A note on hyperbolic flows in sub-Riemannian Structures
曲率和约化曲率是辛流形上哈密顿系统、拉格朗日分布对的基本微分不变式。它表明，约化曲率的负性意味着双曲性的任何紧凑的不变集的哈密顿流限制到一个指定的能量水平。本文研究具有对称性的次黎曼结构中自然力学系统最小作用量曲线的哈密顿流。我们给出了约化流（在约化由对称性引起的首次积分后）为双曲的充分条件，并给出了Anosov流的新例子。
2010-08-21 math.DG
The prescribed Ricci curvature problem on 5-dimensional nilpotent Lie groups
本文在5维幂零李群上，利用Milnor型定理技术证明了预定Ricci曲率问题中度量与正常数对的全局存在性。
2024-03-13 math.DG
Quasi-Frobenius algebras and their integrable N-parametric deformations generated by compatible (N x N)-metrics of constant Riemannian curvature
我们证明了相容的（N × N）-度量束的常数黎曼曲率的描述是等价于一类特殊的可积N-参数变形的拟Frobenius（一般来说，非交换）代数。
2002-09-20 hep-th math-ph math.DG
The Prescribed Ricci Curvature Problem for Homogeneous Metrics
本文综述齐性空间上 Riemannian 度量的预定 Ricci 曲率问题，梳理寻找满足 Ricci 曲率等于给定张量场之度量的最新研究进展。
2020-08-13 math.DG
On surfaces with a prescribed curvilinear projection of one field of principal directions
考虑一类Riemannian 3-空间中的面图，其中一个主方向场具有到曲面$Π$上的预定投影。当两个主曲率都给定在$Π$中的一条直线上时，给出了确定这类曲面的一个问题。几何问题减少到柯西问题的拟线性偏微分方程的，在一定条件下的数据，是双曲的，并承认一个唯一的解决方案。证明了空间型中的平行曲面在较弱的正则性假设下为几何问题提供了一类特殊的整体解。这样的解可以通过迭代函数序列来找到。
2010-03-10 math.DG
Fully nonlinear equations on Riemannian manifolds with negative curvature
我们考虑在负曲率的情况下，将一个度量共形变形为一个具有Ricci张量特征值的预定对称函数的度量的问题。
2003-06-09 math.AP math.DG
Fully nonlinear prescribed curvature problems on closed manifolds with negative curvature
School of Mathematics, Hefei University of Technology（合肥工业大学数学学院）
本文研究了闭合负曲率流形上基于修改Schouten张量的非线性给定曲率问题，证明在满足特定结构条件时，此类问题总能被解决。
2025-12-22 math.AP math.DG
Existence of a capillary surface with prescribed contact angle in $M\times\R$
研究了$M\times\R$中具有预定边界接触角条件的预定中曲率方程，其中$M^n$是$\R^{n+1}$中的黎曼子流形.主要目的是建立了解的先验梯度估计，由此得到了解的长时间存在性。
2014-06-03 math.AP math.DG
Existence of constant mean curvature 2-spheres in Riemannian 3-spheres
证明了在任意黎曼3-球面中，对几乎所有给定的中曲率，以及当3-球面是正曲的时，对所有给定的中曲率，都存在分支浸入常中曲率2-球面.为了实现这一点，我们开发了一个加权Dirichlet能量泛函的最小-最大方案。在我们的方法中有三个主要成分：一个双调和近似程序，以获得新的功能，导数估计的最小-最大值，以获得能量上界的最小-最大序列的几乎每一个选择的中曲率，和Morse指数估计，以获得另一个统一的能量界所需的剩余常数中曲率的存在下，正曲率。
2021-10-22 math.AP math.DG
Sub-Riemannian geodesics on nested principal bundles
我们研究了两个非完整系统上测地线之间的相互作用，这两个系统通过李群的作用而相互关联。经过一些几何上的简化，我们利用哈密顿形式给出了测地线的参数形式。我们提出了几个几何的例子，包括Gromoll-Meyer奇异球和扭量空间的非完整结构。
2020-09-02 math.DG
The $1$-parametric $h$-principle for smooth conformal immersions of surfaces
本文通过h原理方法研究闭黎曼面的共形浸入问题，证明了相关映射在路径连通分量集上的双射性质。
2026-03-03 math.DG
On a Local Radial Rigidity Phenomenon of Elliptic Systems on Riemannian Manifolds
Purdue University Fort Wayne（普渡大学韦恩堡分校）；Biola University（拜欧拉大学）
本文通过将一般阶椭圆系统约化为欧拉型奇异常微分方程，研究其局部径向刚性现象，并应用于共形几何中的Yamabe和Paneitz型预定曲率问题、调和映射的高阶类似问题以及Kähler流形上的Calabi型问题。
2026-05-30 math.AP math.CA math.DG
On DeTurck uniqueness theorems for Ricci tensor
黎曼几何中的里奇曲率问题是：给定一个光滑流形$M$和一个对称的2-张量$r$，在$M$上构造一个度量，其Ricci张量等于$r$。特别地，DeTurck和Koiso证明了以下著名的结果：里奇曲率唯一地决定任何具有非负截面曲率的紧致Einstein流形上的Levi-Civita联络。本文推广了DeTurck和Koiso关于具有非负截面曲率的黎曼流形的结果。此外，我们将我们的结果推广到具有非负截面曲率和有限总数量曲率的完全非紧黎曼流形。
2015-11-14 math.DG
On $δ$-homogeneous Riemannian manifolds
本文研究了V.N.黎曼流形情形下的Berestovskii和C. P. Plaut $δ$ -齐性空间。每个这样的流形都有非负的截面曲率。任何$δ$ -齐次黎曼流形的泛覆盖本身也是$δ$ -齐次的。反过来，每一个单连通黎曼$δ$ -齐次流形都是欧氏空间和紧致单连通不可分解齐次流形的直积;这个积中的所有因子本身都是$δ$ -齐次的。我们发现了$δ$ -齐性黎曼空间的不同刻画，这意味着任何这样的空间都是测地轨道（g. o.）并且每个正规齐次黎曼流形都是$δ$ -齐次的.政府性质和$δ$ -齐性都是闭全测地子流形所继承的。然后，我们找到所有可能的候选人紧凑的单连通不可分解的黎曼$δ$ -齐次非正规流形的正欧拉示性数和先验不等式的参数相应的家庭黎曼$δ$ -齐次度量他们（必然是两个参数）。我们证明了只有两个可能的候选族：非正规（广义）旗流形$SO(2l+1)/U(l)$和$Sp(l)/U(1)\cdot Sp(l-1)$，$l\geq 2$，由W. Ziller，H. Tamaru，D.V. Alekseevsky和A. Arvanitoyeorgos。最后证明了$SO(5)/U(2)=Sp(2)/U(1)\cdot Sp(1)$上相应的双参数黎曼度量族满足上述（严格！）不等式，真正产生$δ$ -齐性空间，这是不正常的，不是自然约化的任何等距群。
2007-02-09 math.DG
Annular type surfaces with fixed boundary and with prescribed, almost constant mean curvature
证明了具有指定的几乎恒定的中曲率的环形参数曲面的存在性和不存在性，该曲面的特征是$\mathbb{R}^{3}$中波曲面或节曲面的紧部分的法线图，其边界由两个相同半径的同轴圆组成.
2022-11-04 math.AP math.DG
Mean curvature flows with prescribed singular sets
Columbia University（哥伦比亚大学）
研究构造了在R^{m+n}中相对于近欧几里得度量的光滑度量的均凸古老解，其首次奇点集恰好为K×{0}。
2026-04-15 math.AP math.DG
New examples of extremal domains for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator in a Riemannian manifold with boundary
在一类有边界的黎曼流形中，我们构造了Laplace-Beltrami算子第一特征值的小体积极值域的新例子。这些区域接近于以流形边界的中曲率函数的非退化临界点为中心的小半径的半球，并且它们的边界与流形的边界正交。
2014-06-20 math.AP math.DG
Maps with prescribed tension fields
我们考虑映射到非正曲率的黎曼流形，并开始发展一个系统的偏微分方程理论。我们用它的能量、它的张力场的$L^2$-范数和依赖于同伦类的拓扑项来控制它的Sobolev $H^{2,2}$ -范数.我们还解决了狄氏问题没有一个基本的变分结构，作为一个扩展的主题调和映射的潜力。
2003-12-11 math.AP math.DG
A Uniform Estimate for Scalar Curvature Equation on Manifolds of dimension 4
在四维黎曼流形上，对于给定的数量曲率方程，在给定曲率上的Lipschitz条件下，如果我们控制方程解的极小值，我们得到了方程解的一致估计.
2006-08-01 math.AP math.DG
Failure of the parametric h-principle for maps with prescribed jacobian
设M和N是n维闭流形，且N具有体积形式σ.设μ是M上的正合n-形式。阿诺德然后问了一个问题：什么时候可以找到一个映射f：;N，使得f*σ=μ。在1973年Eliashberg和Gromov表明，这个问题是，在深层次意义上，平凡：它满足h-原则，每当一个人可以找到一个丛映射f_bdl：T M到T N这是度0的基础上，并导致μ一个可以homotop这个地图的解决方案f。也就是说，如果满足朴素拓扑条件，则可以找到解。在这个问题中没有进一步有趣的几何学。我们证明了相应的参数h-原理失效--如果考虑从σ导出μ的映射族，可以在解空间中找到h-原理所不能预测的有趣拓扑。此外，这种映射的同伦类型是量子化的：对于某些形式族，同伦类型保持不变，只在离散值处跳跃。
2005-12-06 math.AT math.DG math.GT
Translating surfaces of the non-parametric mean curvature flow in Lorentz manifold $M^{2}\times\mathbb{R}$
本文对Lorentz流形$M^{2}\times\mathbb{R}$，其中$M^{2}$是具有非负高斯曲率的$2$维完备曲面，研究了$M^{2}$中紧严格凸区域上的类空图，这些类空图是由具有预定接触角边界条件的非参数中曲率流演化而来的，并证明了解收敛于仅通过平移运动的解.
2018-05-20 math.DG
On the Dirichlet problem for harmonic maps with prescribed singularities
设$\M$是一个经典的秩为1的非紧型黎曼全局对称空间.本文证明了到$\M$中的调和映射的Dirichlet问题的解的存在性和唯一性，其中该调和映射沿该区域的闭子流形具有指定的奇点。这推广了我们以前的工作，这样的映射到双曲平面构造。当$\M$是复双曲平面时，这个问题可应用于广义相对论中同轴旋转带电黑洞的平衡位形.
1994-08-26 dg-ga math.DG
Noncompact complete Riemannian manifolds with dense eigenvalues embedded in the essential spectrum of the Laplacian
我们证明了存在渐近平坦或双曲黎曼流形的径向曲率的行为尖锐的标准与规定的本征值集嵌入在谱的拉普拉斯算子。特别地，我们构造了具有稠密嵌入点谱和尖锐曲率边界的流形。
2018-12-28 math-ph math.DG math.MP
