Arbitrary Lagrangian-Eulerian hybridizable discontinuous Galerkin methods for incompressible flow with moving boundaries and interfaces
本文提出了一类任意拉格朗日-欧拉杂交间断Galerkin方法，用于求解具有运动边界和界面的不可压流动，包括具有表面张力的两相流动。
2019-12-16 cs.NA math.NA
A One-level Additive Schwarz Preconditioner for a Discontinuous Petrov-Galerkin Method
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；National Institute for Mathematical Sciences（韩国数学科学研究所）
针对Poisson问题的DPG方法，提出一种单层加性Schwarz预条件子，并分析其条件数。
2012-12-11 cs.NA math.NA
Convergence Analysis of the Lowest Order Weakly Penalized Adaptive Discontinuous Galerkin Methods
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Brown University（布朗大学）
本文通过构造辅助解并定义自适应算法，证明了在稳定参数足够大时，弱惩罚自适应间断伽辽金方法的收缩性质，从而建立了收敛性。
2012-09-11 cs.NA math.NA
An adaptive sparse grid local discontinuous Galerkin method for Hamilton-Jacobi equations in high dimensions
我们感兴趣的是数值求解哈密顿-雅可比（HJ）方程，这出现在最优控制和许多其他应用。通常，这样的方程是在高维中提出的，这带来了巨大的数值挑战。提出了一类求解高维Hamilton-Jacobi方程的自适应稀疏网格（也称为自适应多分辨率）局部间断Galerkin（DG）方法。通过使用稀疏网格技术，我们可以处理适度高维的情况。自适应性被纳入捕捉扭结和其他局部结构的解决方案。多尺度小波的多分辨分析主要采用两类多尺度小波，即正交Alpert多尺度小波和插值多尺度小波。在四个维度的数值试验，以验证该方法的性能。
2020-05-29 cs.NA math.NA
An interface-tracking space-time hybridizable/embedded discontinuous Galerkin method for nonlinear free-surface flows
本文提出一种时空可混合/嵌入式间断伽辽金方法，用于非线性自由表面流，通过水平集函数追踪双流体尖锐界面，实现无需平滑或额外稳定项的界面追踪。
2021-10-26 cs.NA math.NA
Local Fourier analysis of multigrid for hybridized and embedded discontinuous Galerkin methods
本文针对HDG和EDG离散的拉普拉斯算子提出带雅可比与Vanka松弛的几何多重网格方法，并通过局部傅里叶分析证明EDG多重网格效率接近连续伽辽金且优于HDG。
2020-06-19 cs.NA math.NA
Hybrid mixed discontinuous Galerkin finite element method for incompressible miscible displacement problem
针对不可压混溶驱动问题，构造了一种新的混合间断Galerkin有限元（HMDGFE）方法.在该方法中，采用混合有限元（HMFE）方法求解压力和速度方程，并构造了一种新的混合间断Galerkin方法，利用迎风技术求解浓度方程。与其他传统的间断Galerkin方法相比，新方法能够以更少的未知量和更稀疏的时间序列来处理全局系统。分析了该方法的相合性和守恒性，给出了稳定性和最优误差估计。
2022-09-04 cs.NA math.NA
Superconvergence of discontinuous Petrov-Galerkin approximations in linear elasticity
改进了已有的间断Petrov-Galerkin法求解线弹性力学问题的先验收敛性结果。使用对偶参数，我们表明，可以获得更高的收敛速度的位移。为了证明超收敛性，我们引入了后处理技术，数值实验{ \color{black}证实}了我们的理论。
2022-09-19 cs.NA math.NA
A discontinuous Galerkin pressure correction scheme for the incompressible Navier-Stokes equations: stability and convergence
建立了求解不可压Navier-斯托克斯方程的间断Galerkin压力修正数值方法，并对该方法进行了分析。我们证明了该方案的无条件稳定性。通过推导先验误差估计建立离散速度的收敛性。数值结果验证了收敛速度。
2021-09-22 cs.NA math.NA
On the Stability of Continuous-Discontinuous Galerkin Methods for Advection-Diffusion-Reaction Problems
University of Leicester（莱斯特大学）；University of Durham（杜伦大学）
本文研究了一种耦合连续伽辽金与间断伽辽金方法的有限元法，并证明在对流场从连续区域非特征地流向间断区域时，该方法在流线扩散范数下是稳定的。
2012-11-05 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Finite Element Methods for 1D Rosenau Equation
本文将间断Galerkin有限元法应用于一维Rosenau方程。对于半离散格式和全离散格式，给出了一致性、先验界和最优误差估计等理论结果。数值实验验证了理论结果。Rosenau方程的衰减估计进行了验证。
2019-11-28 cs.NA math.NA
A novel regularization strategy for the local discontinuous Galerkin method for level-set reinitialization
在本文中，我们提出了一种新的正则化策略的局部间断Galerkin方法求解Hamilton-Jacobi方程的水平集重新初始化的背景下。新的正则化思想类似于基于有限体积子单元的间断伽辽金方法的激波捕获方案。在这种精神下，局部不连续Galerkin方法与迎风/顺风有限体积子单元离散，这是适用于低正则性的领域相结合。为了确保非结构网格的适用性，有限体积离散是基于最小二乘法。
2020-07-14 cs.NA math.NA
Agglomeration-Based Geometric Multigrid Solvers for Compact Discontinuous Galerkin Discretizations on Unstructured Meshes
我们提出了一个几何多重网格求解器的紧致间断伽辽金方法，通过建立一个层次的粗网格使用一个简单的凝聚方法，处理任意元素的形状和尺寸。该方法可以很容易地推广到其他间断Galerkin离散，包括局部DG方法和内部惩罚方法。我们表现出优良的求解性能泊松方程，提供了一个通量制剂用于操作员粗化和一个合适的开关功能选择的数值通量。
2022-04-07 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Methods for an Elliptic Optimal Control Problem with a General State Equation and Pointwise State Constraints
针对一般多边形域上带逐点状态约束的椭圆最优控制问题，提出并分析间断伽辽金方法，建立误差估计并通过数值实验验证。
2023-03-09 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for the fractional diffusion equation with integral fractional Laplacian
在本文中，我们提供了一个框架，设计的局部间断Galerkin格式的积分分数拉普拉斯$(-Δ)^{s}$与$s\in(0,1)$在二维。我们从理论上证明并数值验证了该格式的数值稳定性和收敛性，其收敛速度不劣于$\mathcal{O}(h^{k+\frac{1}{2}})$。
2021-01-20 cs.NA math.NA
A priori error estimates of Adams-Bashforth discontinuous Galerkin methods for scalar nonlinear conservation laws
本文研究了Adams-Bashforth间断有限元方法在标量非线性守恒律中的收敛性，推导了两种方法的先验误差估计，时间最优，空间次优，满足CFL条件。
2017-02-10 cs.NA math.NA
High order discontinuous Galerkin methods on surfaces
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Warwick（华威大学）
本文研究了在隐式定义的三维曲面上求解二阶椭圆问题的高阶不连续伽辽金方法，通过改进Arnold等人的统一框架，证明了在能量范数和L2范数下的最优误差估计。
2014-04-09 cs.NA math.NA
Iterative Coupling of Mixed and Discontinuous Galerkin Methods for Poroelasticity
Helmut Schmidt University（赫尔穆特·施密特大学）
本文研究了混合与不连续Galerkin方法的迭代耦合，用于多孔介质中流体与机械变形的数值模拟，采用优化的固定应力分裂和不连续变分时间离散化，以消除多孔弹性中的非物理压力振荡。
2018-02-09 cs.NA math.NA
Error analysis for discontinuous Galerkin time-stepping methods for nonlinear parabolic equations via maximal regularity
该研究针对非线性抛物方程的间断Galerkin时间步进离散化，借鉴Runge-Kutta方法误差分析思路，基于非自治线性抛物方程对应方法的极大正则性，建立了先验与条件后验误差估计。
2024-12-11 cs.NA math.NA
Error estimation of a discontinuous Galerkin method for time fractional subdiffusion problems with nonsmooth data
本文对时间分数阶次扩散问题的分段常数间断Galerkin方法进行了数值分析。利用变分方法和Mittag-Leffler函数首次建立了弱解的正则性。在低正则性数据下，得到了几种最优误差估计。最后，通过数值实验对理论结果进行了验证.
2022-02-19 cs.NA math.NA
Improved a priori error estimates for a discontinuous Galerkin pressure correction scheme for the Navier-Stokes equations
将压力修正格式与内点罚间断Galerkin方法相结合求解含时Navier-斯托克斯方程。最佳的误差估计的L $^2$规范的时间和空间中的速度。还建立了速度和压力的离散时间导数的误差界。
2021-12-07 cs.NA math.NA
An optimal convergence analysis of the hybrid Raviart-Thomas mixed discontinuous Galerkin method for the Helmholtz equation
提出了求解Helmholtz方程的Raviart-Thomas混合间断Galerkin（HRTMDG）方法。在一个新的能量范数下，证明了HRTMDG方法的存在唯一性，并给出了收敛性分析。相应的误差估计表明，HRTMDG方法具有最佳的$L^2$ -范数收敛精度，且与波数无关。
2020-09-03 cs.NA math.NA
Error estimates for a class of discontinuous Galerkin methods for nonsmooth problems via convex duality relations
针对非线性非光滑变分问题，设计并分析了一类内罚间断Galerkin方法。离散的对偶关系，导致最佳的误差估计的情况下，总变差正则化最小化或障碍问题。分析提供了明确的估计，精确地确定稳定参数的作用。数值实验支持的估计的最优性。
2020-04-20 cs.NA math.NA
An energy-based discontinuous Galerkin method for semilinear wave equations
我们推广了[SIAM J. Num.]中提出的基于能量的间断伽辽金方法。肛门，53（6）：2705-2726，2015.]二阶半线性波动方程的稳定性和收敛性分析，以及数值实验证明最佳收敛的某些选择的元素间通量。正弦戈登方程的应用包括呼吸子，扭结和反扭结孤子的模拟。
2020-01-27 cs.NA math.NA
Implementation of the Continuous-Discontinuous Galerkin Finite Element Method
对于定常对流-扩散问题，如果不对网格或方法进行附加控制，标准连续Galerkin方法是不稳定的。内罚间断伽辽金方法是稳定的，但代价是自由度的增加。在[5]中提出的混合方法将连续方法的计算复杂性与不连续方法的稳定性结合起来，而没有显著增加自由度。我们讨论了这种方法的实现使用有限元库deal.ii，并提出了一些数值实验。
2012-01-13 cs.NA math.NA
A strongly conservative hybridizable discontinuous Galerkin method for the coupled time-dependent Navier-Stokes and Darcy problem
对于耦合的不定常Navier-Stokes和Darcy问题，提出了一种强守恒和压力鲁棒的杂交间断Galerkin方法.我们证明了一个解决方案的存在性和唯一性，并提出了一个最佳的先验误差分析的全离散问题时，使用向后欧拉时间步进。通过数值算例验证了理论结果。
2023-03-17 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a Local Discontinuous Galerkin approximation for nonlinear systems with balanced Orlicz-structure
本文研究了具有平衡Orlicz结构系统的局部间断Galerkin（LDG）逼近。我们提出了一个新的数值通量，它产生最佳的收敛速度的线性animator函数。特别是，我们的方法产生了一个统一的治疗问题与$(p,δ)$ -结构的任意$p \in (1,\infty)$和$δ\ge 0$。
2022-08-03 cs.NA math.NA
Homogeneous multigrid for embedded discontinuous Galerkin methods
我们介绍了一个均匀的多重网格方法的意义上，它使用相同的嵌入式间断伽辽金（EDG）离散方案的泊松方程的所有级别。特别地，我们使用[LuRK2020]中开发的注入算子用于HDG，并在椭圆正则性假设下证明了该方法的最优收敛性。数值实验强调了我们的分析结果。
2021-01-29 cs.NA math.NA
Numerical analysis of a hybridized discontinuous Galerkin method for the Cahn-Hilliard problem
采用可杂交间断Galerkin方法对混合形式的Cahn-Hilliard方程进行离散。对于任意的化学能密度，得到了该问题的数值解的存在唯一性.证明了该方案是无条件稳定的。该方法的收敛性是通过推导一个先验的误差估计，是有效的金斯堡-林道化学能密度和凸区域。本文还包含离散函数工具，即离散Agmon和Gagliardo-Nirenberg不等式，证明了它们在可杂交的不连续Galerkin空间中是有效的。
2023-02-27 cs.NA math.NA
Stable discretisations of high-order discontinuous Galerkin methods on equidistant and scattered points
在这项工作中，我们提出并研究了稳定的高阶配置型离散间断Galerkin方法的等距和分散的配置点。我们这样做是通过将离散最小二乘的概念到不连续的Galerkin框架。离散最小二乘逼近使我们能够在任意配置点上构造稳定的高阶精度近似，而离散最小二乘求积规则使我们能够对其进行稳定的精确数值积分。这两种方法都是利用离散正交多项式的基来有效地计算的。因此，建议的离散概括已知类的离散的不连续Galerkin方法，如不连续Galerkin配置谱元法。我们能够证明所提出的离散化的保守性和线性$L^2$ -稳定性。最后，数值试验研究其精度，并证明其扩展到非线性守恒律，系统，长期模拟，并在两个空间维度的变系数问题。
2020-01-02 cs.NA math.NA
Space-time hybridizable discontinuous Galerkin method for advection-diffusion on deforming domains: The advection-dominated regime
本研究针对变形域上的含时对流扩散方程，提出时空可杂交间断Galerkin方法，证明其在对流占优情形下的稳定性并推导先验时空误差估计，通过数值算例验证理论结果。
2023-08-23 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin methods for semilinear elliptic boundary value problem
提出并分析了求解半线性椭圆型方程的间断Galerkin（DG）格式。利用Brouwer的不动点方法，建立了DG有限元离散格式，并证明了相应的存在唯一性定理。给出了DG范数和$L^2$范数下的最优先验误差估计.数值结果也证实了所提出的方法的效率。
2021-01-26 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Immersed Finite Element Methods for Parabolic Interface Problems
Shandong Normal University（山东师范大学）；Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种用于求解抛物界面问题的不连续伽辽金浸入有限元方法，分析了半离散和全离散方案，并证明了其最优收敛性，通过数值实验验证了理论结果。
2015-09-30 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Method for the Air Pollution Model
Wuyi University（五邑大学）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文采用间断伽辽金方法求解二维空气污染模型，证明了半离散常微分方程组解的存在唯一性，并给出了数值误差估计。
2011-08-10 cs.NA math.NA
A locking-free discontinuous Galerkin method for linear elastic Steklov eigenvalue problem
本文提出了线弹性力学中Steklov本征值问题的Nitsche型间断Galerkin有限元法。先验误差估计进行了分析，在低正则性条件下，和鲁棒性方面的几乎不可压缩材料（锁定自由）被证明。最后，通过数值实验验证了该方法的有效性和鲁棒性.
2022-12-25 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis for The Biharmonic Equation
本文提出并分析了用于二维和三维计算域中biharmonic方程的间断伽辽金等几何分析方法，通过非重叠子域构建B-Spline近似空间，并给出离散范数下的先验误差估计及数值实验验证。
2018-05-11 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Approach to Large Bending Deformation of a Bilayer Plate with Isometry Constraint
我们提出了一个计算模型的薄弹性双层，经历大的弯曲等距变形时，由非机械刺激。我们提出了Bartels等人（2018）中讨论的变分公式的不连续Galerkin近似。我们展示了它的优点和良好的计算性能与感兴趣的配置在工程和医学和狄利克雷或自由边界条件。
2020-08-12 cs.NA math.NA
Solution of the time-harmonic Maxwell equations using discontinuous Galerkin methods
本文采用间断伽辽金方法离散时谐麦克斯韦方程，并在二维情形下数值比较了文献中不同椭圆型麦克斯韦方程策略的收敛性。
2007-04-11 cs.NA math.NA
Embedded Trefftz discontinuous Galerkin methods
本文提出嵌入式 Trefftz 间断 Galerkin 方法，通过构造嵌入算子获得 Trefftz 型子空间而无需显式 Trefftz 函数，可处理非齐次源与变系数，并显著减少全局未知量、计算时间且提升 Helmholtz 问题精度。
2023-04-26 cs.NA math.NA
Positivity and Maximum Principle Preserving Discontinuous Galerkin Finite Element Schemes for a Coupled Flow and Transport
本文提出局部守恒通量概念，证明其可使最低阶间断伽辽金格式在耦合流动输运中保持正性和最大值原理，并通过数值实验验证。
2024-05-25 cs.NA math.NA
Analysis of new stabilized hp discontinuous Galerkin methods for elasticity problem
Henan University（河南大学）
本文提出三种新的hp不连续伽辽金方法用于弹性问题，并通过超惩罚技术证明了能量范数和L²范数下的最优收敛阶，最后通过数值实验验证了理论结果。
2016-02-09 cs.NA math.NA
Convergence of Adaptive Mixed Interior Penalty Discontinuous Galerkin Methods for H(curl)-Elliptic Problems
本文研究了H（curl）-椭圆问题的自适应混合内罚间断Galerkin方法的收敛性。通过引入一个新的中间变量，得到了H（curl）-椭圆问题的混合模型。然后讨论了基于内罚间断Galerkin逼近的连续变分问题和离散变分问题。其次，我们构造了相应的后验误差指标，并证明了能量误差和尺度误差指标之和的收缩性。最后通过数值实验验证了理论结果。
2023-01-04 cs.NA math.NA
A discontinuous Galerkin method for nonlinear biharmonic Schrödinger equations
针对非线性双调和薛定谔方程，提出并分析了一种全离散格式，该格式空间离散采用超弱局部间断Galerkin格式，时间离散采用Crank-Nicolson方法.我们首先将问题转化为一个具有二阶空间导数的系统，然后将超弱间断Galerkin方法应用于该系统。与局部间断Galerkin方法相比，该格式具有更少的辅助变量，计算效率更高，且无条件稳定，不需要任何惩罚项，同时保持了非线性双调和薛定谔方程的重要性质--质量守恒和哈密顿守恒.我们还得到了最优的L2误差估计的半离散计划，测量的解决方案和辅助变量与一般的非线性项。一些数值研究证明和支持我们的理论研究结果。
2022-04-14 cs.NA math.NA
Multiresolution-analysis for stochastic hyperbolic conservation laws
提出了求解随机守恒律的多分辨分析方法。采用一种新的自适应策略和高维确定性问题，一个不连续的伽辽金（DG）求解器。DG空间的多分辨率分析建议的适应策略。数值结果表明，在一般随机分布的情况下，新的自适应策略的DG求解器的性能显着提高。在计算实验中验证了效率的增益。
2023-01-27 cs.NA math.NA math.PR
A Posterior Error Estimator for Mixed Interior Penalty Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the H(curl)-Elliptic Problems
本文设计了H（curl）-椭圆问题混合内罚间断Galerkin方法的第一残差型后验误差估计。然后，我们证明了我们的残差基于后验误差指标是可靠的和有效的。最后，我们提出了一些数值实验，以验证性能的自适应网格细化过程中的指标。
2023-01-04 cs.NA math.NA
Energy-based discontinuous Galerkin difference methods for second-order wave equations
我们将新构造的Galerkin差分基与基于能量的间断Galerkin方法结合起来求解二阶波动方程。与传统的间断Galerkin方法相比，所得到的方法的逼近性能是优秀的，并且允许的时间步长是大的。组合方法的一个缺点是局部质量矩阵的反演成本。我们证明，常系数问题的笛卡尔网格，这个瓶颈可以通过使用修改后的Galerkin差分基础。对于变系数或非笛卡尔网格，这种技术是不可能的，我们改为使用预处理共轭梯度法迭代反演质量矩阵。通过仔细选择预条件子，我们可以证明最佳复杂性，尽管常数更大。
2021-05-04 cs.NA math.NA
A positivity preserving strategy for entropy stable discontinuous Galerkin discretizations of the compressible Euler and Navier-Stokes equations
求解可压缩Euler和Navier-斯托克斯方程的高阶熵稳定间断Galerkin方法要求热力学量为正以保证其适定性。在这项工作中，我们引入了一个积极的极限策略的熵稳定的间断Galerkin离散构造混合高阶解与低阶保正离散。对于可压缩Euler和Navier-斯托克斯方程，所提出的低阶离散方法是半离散熵稳定的，所提出的极限策略是保正的.数值实验证实了所提出的策略的高阶精度和鲁棒性。
2022-09-16 cs.NA math.NA
Fourier Continuation Discontinuous Galerkin Methods for Linear Hyperbolic Problems
傅立叶延拓是一种用于创建非周期函数的周期扩展以获得高精度傅立叶展开的方法。这些方法已被用于偏微分方程求解器，并已证明高阶收敛和光谱精确的色散关系在数值实验中。不连续Galerkin（DG）方法越来越多地用于求解偏微分方程，并且与所有Galerkin公式一样，具有强大的框架来证明稳定性和收敛性。在这里，我们建议使用傅立叶延拓形成一个新的基础DG框架。
2021-04-30 cs.NA math.NA
Local Discontinuous Galerkin Methods for Solving Convection-Diffusion and Cahn-Hilliard Equations on Surfaces
本文提出了求解静态2D流形上二阶和四阶时间依赖偏微分方程的局部间断Galerkin方法，该方法通过平面三角形剖分和数值通量设计实现二阶精度和能量稳定，并通过数值实验验证了其有效性。
2024-01-04 cs.NA math.NA
Analysis of a new stabilized discontinuous Galerkin method for the reaction-diffusion problem with discontinuous coefficient
School of Mathematics and Statistics, Henan University（河南大学数学与统计学院）；Institute of Applied Mathematics, Henan University（河南大学应用数学研究所）
本文提出一种新的稳定化不连续伽辽金方法，通过在元素界面处的法向通量引入额外稳定项，满足局部守恒性，并通过Inf-Sup条件证明了新方法的正确性，通过二维实验验证了先验误差估计。
2014-11-24 cs.NA math.NA
Conservative discontinuous Galerkin/Hermite Spectral Method for the Vlasov-Poisson System
对于Vlasov-Poisson方程组，我们提出了一类在速度变量上采用Hermite多项式的双曲型方程组的守恒间断Galerkin方法。这些方案被设计成系统地尽可能精确，具有可证明的质量守恒和可能的总能量守恒。这些性质在一般情况下是很难实现的其他数值方法框架内模拟的Vlasov-Poisson系统。该方案采用间断Galerkin离散的Vlasov和泊松方程，从而在一致的描述的分布函数和电场。进行了数值模拟，以验证的精度和守恒性质的顺序。
2020-04-06 cs.NA math.NA
The Hybrid Discontinuous Galerkin method for elliptic problems and applications in vertical ocean-slice modeling
单元法有限体积法保证了局部和整体质量守恒。有限体积法不满足的性质。在缺点方面，有限体积法需要非平凡的修改来获得高阶近似，这与有限体积法不同。间断Galerkin方法具有局部保守性和高阶性，是海岸海洋数值模拟的自然发展。因此，作为一个引物，我们考虑垂直海洋切片模型的密度效应。为了求解这些非定常的偏微分方程，我们发展了一种压力投影法。我们提出了一个混合间断Galerkin解决方案所需的泊松问题在每个时间步。其目的是减少计算成本的经典应用程序的间断伽辽金方法。首先提出了一种求解椭圆问题的混合间断Galerkin方法。结果表明，高阶实现粗网格上产生快速和准确的近似。
2022-01-10 cs.NA math.NA
A hybridizable discontinuous Galerkin method for the coupled Navier-Stokes/Biot problem
本文提出一种可混合不连续Galerkin方法求解耦合Navier-Stokes/Biot问题，给出稳定性条件与先验误差估计，并通过数值算例验证。
2023-08-29 cs.NA math.NA
A Local Discontinuous Galerkin approximation for the $p$-Navier-Stokes system, Part II: Convergence rates for the velocity
本文证明了本文第一部分提出的局部间断Galerkin（LDG）逼近对$p$ -Navier-Stokes型系统和具有$p\in (2,\infty)$的$p$ -Stokes型系统的收敛速度。对于线性模拟函数，其收敛速度是最优的。数值实验结果支持了这一结论。
2023-03-22 cs.NA math.NA
