A Note on the Maximum Rectilinear Crossing Number of Spiders
图$G$的最大直线交叉数是在平面上$G$的好的直线图中交叉的最大数目。在一个好的图形中，任何两条边最多相交于一个点（算上端点），没有三条边有一个公共的内点，并且边的内部不包含顶点。蜘蛛是$K_{1,k}$的一个亚类。我们提供了蜘蛛的最大直线交叉数的上界和下界。虽然关于无限图族的最大直线交叉数的结果不多，但我们的方法可以用来找到$K_{1,k}$的精确最大直线交叉数，其中每条边精确细分一次。这是计算任意树的最大直线交叉数的第一步。
2021-08-20 math.CO
A crossing lemma for multigraphs
设$G$是图的一个图，它有$n$顶点和$e>4n$边，其中没有两条邻边相交，且任何一对独立边至多相交一次.根据Ajtai、Chvátal、Newborn、Szemerédi和Leighton的著名交叉引理，对于合适的常数$c>0$，$G$中的交叉数至少为$c{e^3\over n^2}$。在一篇开创性的论文中，Székely将这个结果推广到多重图，建立了下界$c{e^3\over mn^2}$，其中$m$表示$G$中边的最大重数。我们摆脱的依赖$m$表明，在原来的交叉引理，交叉的数量至少是$c'{e^3\over n^2}$的一些$c'>0$，提供的“透镜”包围的每对平行边在$G$包含至少一个顶点。这解决了考夫曼的一个猜想。
2018-01-02 math.CO
Dyck paths and pattern-avoiding matchings
顶点集V={1，2，.，2n}避免给定的三条边的配置？Chen，Deng和Du已经证明了避免三个嵌套边的匹配的数量等于避免三个成对交叉边的匹配的数量。在本文中，我们考虑其他禁止配置的大小为3。我们提出了一个双射之间的匹配，避免三个交叉的边缘和匹配，避免一个边缘嵌套在两个交叉的边缘。这种双射使用长度为2n的非交叉Dyck路径对作为中间步骤。此外，我们还给出了一个双射，它将避免两条嵌套边与第三条边相交的匹配映射到避免一个无限族中所有配置的匹配上，该无限族包含由三条相交边组成的配置。我们使用这个双射来证明，对于大小n>3的匹配，避免三条交叉边比避免两条嵌套边与第三条边交叉更容易。在本文的更新版本中，我们添加了新的参考文献，这些文献在不同的背景下获得了类似的结果。
2007-06-26 math.CO
Point sets that minimize $(\le k)$-edges, 3-decomposable drawings, and the rectilinear crossing number of $K_{30}$
所有已知的$K_n$的交叉最小化几何图形共有两个属性，对于$n$是3的倍数。首先，对于所有$0\le k < n/3$，这些绘图的基础$n$ -点集具有精确的$3\binom{k+2}{2}$ $(\le k)$ -边.第二，所有这样的绘图都将$n$点划分为三个大小相等的组;最后一个属性在3-可分解性的概念下捕获。在本文中，我们证明了这些性质是紧密相关的：每一个$n$ -点集正好$3\binom{k+2}{2}$ $(\le k)$ -边的所有$0\le k < n/3$，是3-可分解的。作为应用，我们证明了$K_{30}$的直线交叉数为9726。
2011-03-29 math.CO
k-non-crossing trees and edge statistics modulo k
本文以$k$-非交叉树替代$k$-Dyck路径，通过子树对称性论证及借鉴Flajolet和Noy的方法，重新研究了模$k$的下降步统计问题。
2024-03-20 math.CO
Minor crossing number is additive over arbitrary cuts
本文证明了：如果$G$是一个最小边割$F$为3的图，且$G_1$，$G_2$是$G-F$的两个（增广）分支，则$G$的交叉数等于$G_1$和$G_2$的交叉数之和.结合已知结果，这意味着对于$d\in\{0, 1, 2, 3\}$，交叉数在$d$大小的边割上是可加的，而对于每个$d\ge 4$都有反例.该技术推广到表明，次要的交叉数是可加的任意大小的边割，以及提供边界的交叉数可加性在任意表面。指出了交叉数的精确计算和交叉临界图的几个应用，并给出了任意图与树的笛卡儿积的次交叉数的一个非常一般的下界.
2011-11-25 math.CO
Improvement on the crossing number of crossing-critical graphs
图$G$的交叉数是平面中所有$G$图上的最小边交叉数。一个图$G$是$k$ -交叉临界的，如果它的交叉数至少是$k$，但如果我们删除$G$的任何边，它的交叉数下降到$k$以下。有一些$k$交叉-临界图的示例，这些图不包含具有精确$k$交叉的图形。1993年，Richter和Richassen证明了如果$G$是$k$ -交叉临界的，那么它的交叉数至多是$2.5k+16$。我们改进了这个界限到$2k+6\sqrt{k}+44$。
2020-09-19 math.CO
The crossing number of folded hypercubes
图$G$的{ \it交叉数}是图$G$中边的最小成对交叉数。{ \it $n$ -维折叠超立方体} $FQ_n$是由$n$ -维超立方体通过添加所有互补边而获得的图。本文给出了$FQ_n$交叉数的上、下界.
2011-01-18 math.CO
On Fan-Crossing Graphs
扇形是具有单个公共端点的一组边。一个图是扇形交叉的，如果它允许在平面中绘图，使得每条边都被一个扇形的边穿过。此外，如果公共端点位于交叉边的同一侧，则它是扇形平面的。一个图是邻接交叉的，如果它允许一个绘图，使得交叉的边是相邻的。然后，它排除了独立的交叉，这是交叉的边缘没有共同的端点。邻接交叉允许三角形交叉，其中边与三角形的边交叉，这在扇形交叉图中被排除。我们证明了每一个邻接交叉图都是扇交叉图。因此，可以避免三角交叉。另一方面，有扇交叉图不是扇平面图，而对于每个扇交叉图，都有一个扇平面图在同一组顶点上，并具有相同的边数。因此，扇形交叉图和扇形平面图是不同的，但它们的密度没有不同，对于大小为n的图，最多有5 n- 10条边。
2017-12-19 cs.DM math.CO
Non-Crossing Perfect Matchings and Triangle-Free Geometric Graphs
我们研究的极值型问题所产生的问题：什么是边不相交的非交叉完美匹配的最大数量的一组S的2n个点在平面上，使他们的工会是一个三角形的几何图？我们通过考虑S的四种不同情况来处理这个问题。特别地，在一般位置上，我们得到了（i）在一般位置上存在n个边不交的非交叉完美匹配且其并为极大无三角形几何图的充分条件，以及（ii）边不交的非交叉完美匹配且其并为无三角形几何图的个数的下界.
2017-09-13 math.CO
Crossings and Nestings of Two Edges in Set Partitions
令$π$和$λ$是具有相同块数目的两个集合分区。假设$π$是$[n]$的一个分区。对于任何整数$l, m \geq 0$，令$\mathcal{T}(π, l)$为$[n+l]$的分区的集合，其对最后的$n$元素的限制与$π$同构，并且令$\mathcal{T}(π, l, m)$为$\mathcal{T}(π,l)$的子集，其由恰好具有$m$块的那些分区组成。类似地定义$\mathcal{T}(λ, l)$和$\mathcal{T}(λ, l,m)$。我们证明，如果统计$cr$（$ne$），交叉（嵌套）的两个边缘的数量，在$l =0, 1$的集合$\mathcal{T}(π, l)$和$\mathcal{T}(λ, l)$上重合，那么它在$\mathcal{T}(π, l,m)$和$\mathcal{T}(λ, l,m)$上重合所有$l, m \geq 0$。这些结果扩展了Klazar关于匹配的交叉点和嵌套的分布所得到的结果。
2007-10-09 math.CO
On identities concerning the numbers of crossings and nestings of two edges in matchings
设M，N是[2n]={1，2，...，2n}（可能M=N），对于一个非负整数l，设T（M，l）是[2n+2l]上那些匹配的集合，这些匹配可以从M通过在所有方面连续地将l乘以第一边而获得，对于T（N，l）也是类似的。让s，t在{cr，ne}中，其中cr是交叉数的统计（在匹配中），ne是嵌套数的统计（可能s=t）。我们证明了：如果统计量s和t在匹配集T（M，l）和T（N，l）上重合（l= 0，1），那么对于每个l >= 0，它们在这些匹配集上一定重合;对于cr和ne的联合统计量也有类似的恒等式。这些结果是一个一般的身份，其中交叉和嵌套的加权元素从阿贝尔群的实例。
2005-03-01 math.CO
On the pseudolinear crossing number
如果存在伪线布置使得每条伪线仅包含图形的一条边，则图形的绘制是{ \em伪线性}。图$G$的{ \em伪线性交叉数}是图$G$的伪线性图中边的最小成对交叉数。我们建立了几个事实的伪线性交叉数，包括它的计算复杂性和它的关系，通常的交叉数和直线交叉数。这项调查的动机是开放的问题和问题所提出的马库斯谢弗在他的全面调查的许多变种的交叉数的一个图。
2014-04-29 math.CO
Non-crossing Monotone Paths and Binary Trees in Edge-ordered Complete Geometric Graphs
一个边序图是一个边全序的图。边序图中的一条路$P=v_1v_2\ldots v_k$，如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) > (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为增路;如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) < (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为减路。我们说$P$是单调的，如果它是增加或减少。边序图中的根树$T$称为单调树，如果从根到叶子的每条路都是递增的，或者从根到叶子的每条路都是递减的。让$G$是一个图。在$G$的直线绘图$D$中，其顶点被绘制为平面中的不同点，其边缘是直线段。设$\overlineα(G)$是最大整数，使得在任何边标号下$G$ %的每个边序直线图包含长度为$\overlineα(G)$的单调非交叉路径。设$\overlineτ(G)$是最大整数，使得$G$ %的每个边序直线图在任何边标号下都包含大小为$\overlineτ(G)$的单调非交叉完全二叉树。在本文中，我们表明，$\overline α(K_n) = Ω(\log\log n)$，$\overline α(K_n) = O(\log n)$，$\overline τ(K_n) = Ω(\log\log \log n)$和$\overline τ(K_n) = O(\sqrt{n \log n})$。
2020-01-21 math.CO
On the k-planar local crossing number
给定一个固定的正整数$k$，图$G$的平面局部交叉数$k$ -平面局部交叉数，记为$\text{LCR}_k(G)$，是使$G$能被分解成$k$子图的最小正整数$L$，每个子图都能在平面中画出，使得没有边交叉超过$L$次.在本文中，我们证明了在一定的自然限制下，比率$\text{LCR}_k(G)/\text{LCR}_1(G)$是$1/k^2$阶的，这类似于Pach等人最近关于$k$ -平面交叉数（定义为最小正整数$C$，对于该最小正整数$C$，存在$k$ -平面图的$G$，具有$C$总边交叉）的结果。作为推论，我们证明，在类似的限制下，人们可以得到一个$k$ -平面图的$G$与\emph{both}的总数量的边缘交叉以及最大次数的任何边缘交叉基本上匹配的最佳已知的界限。我们的证明依赖于交叉数不等式和几个概率工具，如测量的浓度和Lovász局部引理。
2018-04-06 math.CO
An upper bound for the crossing number of augmented cubes
图$G$的{ \it good drawing}是这样的图，其中边是非自相交的，并且每两条边最多有一个公共点，该公共点是公共端顶点或交叉点。图$G$的{ \it交叉数}是在平面中$G$的良好绘图中边的最小成对交叉数。由S.A. Choudum和V. Sunitha提出的互连网络是一种重要的互连网络，具有良好的拓扑性质和应用。本文得到了$AQ_n$小于$26/324^{n}-(2n^2+7/2n-6)2^{n-2}$的交叉数的上界。
2012-10-23 math.CO
New lower bounds for the number of $(\leq k)$-edges and the rectilinear crossing number of $K_n$
本文给出了平面上$n$点集在一般位置上的$(\leq k)$ -边数的一个新的下界。我们证明了对于$0 \leq k \leq\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor$，$(\leq k)$ -边的个数至少为$$ E_k(S) \geq 3\binom{k+2}{2} + \sum_{j=\lfloor\frac{n}{3}\rfloor}^k (3j-n+3), $$，这对于$k\geq \lfloor\tfrac{n}{3}\rfloor$，改进了[J. Balogh，G. Salazar，（$\leq k$）-集，凸四边形和$K_n$的直线交叉数的改进界限。作为一个主要的结果，我们得到了一个新的下界的直线交叉数的完全图，或换句话说，在平面上的PDMATHAMN点在一般位置确定的凸四边形的最小数目。我们证明了交叉数至少是$$ \Bigl({41/108}+ε\Bigr) \binom{n}{4} + O(n^3) \geq 0.379631 \binom{n}{4} + O(n^3), $$，这改进了[J. Balogh，G. Salazar，Improved bounds for the number of（$\leq k$）-sets，convex quadrature，and the rectangular crossing number of $0.380…
2006-10-25 math.CO
Drawing Graphs with Orthogonal Crossings
通过在n个顶点上画一个图G的折线图，我们可以理解G在平面上的一个图，使得每个边都由连接其两个相应顶点的多边形弧表示。我们把多边形弧的转折点称为弯曲。我们考虑一类图，承认一个多线绘图，其中每一个边缘有最多一个弯曲（分别。两个弯曲）并且任何两个边缘只能以直角相交。证明了这类图的边数至多为O（n）（resp.时间复杂度O（n \log^2 n））。这加强了Didimo等人最近的结果。
2010-02-15 math.CO
Unit distance graphs with few crossings per edge
ELTE Eötvös Loránd University（布达佩斯罗兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
研究了单位距离图的边数上限，针对k=1时改进了上界，k=2时首次给出非平凡上界，并给出了k=2的下界构造。
2026-03-20 math.CO
Book crossing numbers of the complete graph and small local convex crossing numbers
本研究改进了完全图$K_n$在$k\neq 14$时的$k$页书交叉数下界，确定了$2 < n/k \neq 3$时的书交叉数，并给出局部交叉数$\neq 4$的凸图最大边数。
2024-05-17 math.CO
Nested cycles with no geometric crossings
在1975年，Erdans提出了以下问题：什么是最小函数$f(n)$，使得所有具有$n$顶点和$f(n)$边的图都包含两个边不相交的圈$C_1$和$C_2$，使得$C_2$的顶点集是$C_1$的顶点集的子集，并且它们的顶点的循环排序相互尊重？我们证明了最佳线性界$f(n)=O(n)$使用次线性扩展。
2021-09-09 math.CO
Crossings, colorings, and cliques
Albertson证明了如果图$G$有色数$r$，则$G$的交叉数至少是完全图$K_r$的交叉数.这个猜想在$r=5$情形下等价于四色定理。Oporowski和Zhao对$r=6$进行了验证。本文利用Dirac、Gallai、Kostochka和Stiebitz给出的关于临界图边数的下界，以及Pach等人关于图的交叉数的边数和顶点数的下界，证明了关于$7 \leq r \leq 12$的猜想.
2010-06-18 math.CO
Computing Vertex and Edge Connectivity of Graphs Embedded with Crossings
本文将基于面距离的关键洞察推广至更广泛的带交叉平面嵌入图类，为最优 k-平面图、有界交叉数图等提供了计算顶点和边连通性的线性时间算法。
2025-10-13 cs.DS math.CO
The crossing number of cubes with small order
图$G$的{ \it交叉数}是图$G$中边的最小成对交叉数。本文给出了阶数不超过4的超立方体的几种变形的交叉数的精确值，包括交叉立方体、局部扭曲立方体和莫比乌斯立方体。
2013-10-05 math.CO
On disjoint crossing families in geometric graphs
几何图是在平面上绘制的图，其顶点由点和边表示为直线段。一个几何图包含一个（k，l）-交叉族，如果存在一对边子集E_1，E_2，使得|E_1| = k，|E_2| = 1，E_1中的边是两两交叉的，E_2中的边是两两交叉的，且E_1中的每条边与E_2中的每条边不相交.我们猜想，对任意固定的k，l，每个n-顶点几何图不含（k，l）-交叉族，至多有c_{k,l} n条边，其中c_{k,l}是只依赖于k和l的常数.本文通过证明几何图F的极值函数与F的两个完全不相交副本的极值函数之间的关系的一个更一般的结果，证明了每个不含（k，k）-交叉族的n-顶点几何图至多有c_kn \log n条边，其中c_k是只依赖于k的常数.我们还解决了不含（2，1）-交叉族的几何图的猜想。作为一个直接应用，这意味着对于任何3个顶点的圆图F，每个不包含其交图是F的匹配的n-顶点几何图至多有O（n）条边。
2011-03-25 cs.DM math.CO
Edge-Removal and Non-Crossing Perfect Matchings
该研究针对完全几何图的边移除与非交叉完美匹配存在性问题，分别给出凸包边界点受限情形的可移除边数结论，以及随机点集下的概率下界，并探讨了对应上界。
2011-07-12 math.CO math.PR
Polylogarithmic Bounds for Nested Cycles without Geometric Crossings
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
该研究解决了Erdős提出的问题，通过多项对数界限证明了在具有足够多边的图中存在k个边不相交且无几何交叉的嵌套循环。
2026-05-21 math.CO
A new width parameter of graphs based on edge cuts: $α$-edge-crossing width
该研究提出新图宽度参数$α$-边交叉宽度，明确其与已有宽度参数的层级关系，给出对应近似算法，并基于该参数得到列表着色与预着色扩展问题的FPT算法，填补了树划分宽度与边割宽度间的复杂度空白。
2025-07-30 cs.DM cs.DS math.CO
Geometric $(1+\varepsilon)$-Spanners with Few Crossings
California State University Northridge（加州州立大学北岭分校）；Tufts University（塔夫茨大学）
针对平面上n个点和ε>0，构造具有O(n/ε)条边且交叉数有改进的(1+ε)-生成树，每条边交叉数为Õ(1/ε³)，总数为Õ(n/ε⁴)，并给出一些特定点集下(1+ε)-生成树交叉数的下界情况。
2026-10-20 cs.CG math.CO
Simultaneous Embeddings with Few Bends and Crossings
两个平面图$R$和$B$的固定边同时嵌入（SEFE）是当限制到$R$和$B$的公共顶点和边时，$R$和$B$的一对平面图重合。证明了当$R$和$B$允许一个SEFE时，它们也允许一个SEFE，其中每条边是一条几乎没有弯曲的多边形曲线，每对边几乎没有交叉。具体而言：（1）如果$R$和$B$是树，则每个边一个弯曲和每个边对四个交叉就足够了（并且有时需要每个边一个弯曲），（2）如果$R$是平面图并且$B$是树，则每个边六个弯曲和每个边对八个交叉就足够了，以及（3）如果$R$和$B$是平面图，则每个边六个弯曲和每个边对十六个交叉就足够了。我们的结果改进了Grilli等人（GD'14）的论文，该论文证明了每条边有9个弯曲就足够了，改进了Chan等人（GD'14）的论文，该论文证明了每条边对有24个交叉就足够了。
2015-08-31 cs.CG cs.DS math.CO
The number of crossings in multigraphs with no empty lens
设$G$是一个具有$n$顶点和$e>4n$边的多重图，在平面上画出使得任意两条平行边构成一条简单闭曲线，其中至少有一个顶点在其内部，至少有一个顶点在其外部.帕奇和托特（A Crossing Lemma for Multigraphs，SoCG 2018）扩展了Ajtai等人的Crossing Lemma。（Crossing-free subgraphs，North-Holland Mathematics Studies，1982）（ComplexityissuesinVLSI，FoundationsofComputingseries，1983）通过表明如果没有两个邻边交叉并且每对非邻边交叉至多一次，则对于适当的常数$α>0$，$G$中的边缘交叉的数目至少为$αe^3/n^2$。如果允许非平行边交叉任意次数，情况就完全不同了。证明了在这种情况下，$G$中的交叉数至少为$αe^{2.5}/n^{1.5}$。这个界限的数量级无法提高。
2021-10-19 cs.CG math.CO
On the Number of Edges of Fan-Crossing Free Graphs
在平面上画的有n个顶点的图对于k > 1是无k-扇交叉的，如果没有k+1条边$g,e_1,...e_k$，使得$e_1,e_2,...e_k$有一个公共端点，并且$g$穿过所有的$e_i$。本文证明了2-扇交自由图的最大边数的紧界为4 n-8，直边图的最大边数的紧界为4 n-9。当k > 2时，我们证明了3（k-1）（n-2）条边的上界.我们还讨论了单调图性质的推广。
2013-11-08 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Tree-Based Phylogenetic Networks with Minimum Number of Crossings
在生物遗传学中，基于树的网络被用来模拟和可视化物种的进化历史，其中发生了网状事件，如水平基因转移。形式上，基于树的网络$N$由系统发生树$T$（有根、二元、叶标记树）和跨越$T$的边之间的所谓网状边组成。网络$N$通常通过用几种不同样式之一向下绘制$T$、平面和网状边缘来可视化。一个美学标准是最小化树边缘和网状边缘之间的交叉数量。这个优化问题还没有被研究过。我们表明，如果网状边缘绘制x-单调，问题是NP-完全的，但固定参数听话的网状边缘的数量。另一方面，如果将网格边缘画成“耳朵”状，则可以在二次时间内解决交叉最小化问题。
2020-08-20 cs.DM math.CO
On the size of planarly connected crossing graphs
我们证明了，如果一个$n$ -顶点图$G$可以画在平面上，使得每对交叉边是独立的，有一个交叉自由的边缘，连接他们的端点，那么$G$有$O(n)$边。允许这样绘图的图与拟平面图和极大$1$ -平面图和扇-可平面图有关.
2016-08-30 cs.CG math.CO
The minimum crossing number and minimum size of maximal 1-plane graphs with given connectivity
本文研究了3≤k≤7的k-连通极大1-平面图，分别建立了其交叉数和边数的下界。
2025-04-30 math.CO
On the crossing profile of rectilinear drawings of $K_n$
本文引入图的交叉轮廓，研究完全图 $K_n$ 直线图画中各交叉次数边数的序列，并刻画其前 $k$ 项之和极值的渐近行为。
2025-01-09 math.CO
On topological graphs with at most four crossings per edge
我们证明了，如果一个图$G$与$n \geq 3$顶点可以画在平面上，使其每一个边缘是参与最多四个交叉，那么$G$有最多$6n-12$边缘。这解决了Pach、Radoičić、Tardos和Tóth的一个猜想，并为著名的交叉引理给出了一个更好的界：具有$n$顶点和$m$边的（不太稀疏）图$G$的交叉数$\mbox{cr}(G)$至少为$c\frac{m^3}{n^2}$，其中$c > 1/29$。已知该界限是紧的，除了常数$c$之外，其先前的最佳下限是$1/31.1$。作为另一个推论，我们得到了Albertson猜想的一些进展：Albertson证明了如果图$G$的色数是$r$，则$\mbox{cr}(G) \geq \mbox{cr}(K_r)$ . Albertson、Cranston和Fox对$r \leq 12$进行了验证，Barát和Tóth对$r \leq 16$进行了验证。我们的结果表明Albertson猜想对$r \leq 18$成立.
2019-03-24 cs.CG math.CO
The crossing number of the generalized Petersen graph $P(3k,k)$ in the projective plane
图$G$在曲面$Σ$中的交叉数，记为$cr_Σ(G)$，是$G$在$Σ$中的一个图中边的最小成对交叉数。设$k$是满足$k\geq 3$的整数，广义Petersen图$P(3k,k)$是顶点集$V(P(3k,k))=\{u_i, v_i| i=1,2,\cdots,3k\}$，边集$E(P(3k,k))=\{u_iu_{i+1}, u_iv_i, v_iv_{k+i}| i=1,2,\cdots,3k\},$，下标取模$3k.$的图。本文研究了$P(3k,k)$在射影平面上的交叉数。当$3\le k\le 7,$时，我们确定$cr_{N_1}(P(3k,k))$的精确值为$k-2$，而对于$k\ge 8,$，我们得到$k-2\le cr_{N_1}(P(3k,k))\le k-1.$
2021-04-23 math.CO
An Ongoing Project to Improve the Rectilinear and the Pseudolinear Crossing Constants
平面上的图形是{ \it pseudolinear}，如果图形的边可以扩展为形成伪线排列的双无限曲线，即任何一对边恰好交叉一次。特殊情况是{ \it rectangular}图形，其中图形的边绘制为直线段。图的直线（伪线性）交叉数是图的任何直线（伪线性）图中交叉的边对的最小数目。在本文中，我们描述了一个正在进行的项目，不断获得更好的渐近上界的直线和伪线性交叉数的完全图$K_n$。
2020-07-15 cs.CG math.CO
Approximating the rectilinear crossing number
图的直线图$G$是一种映射，它为平面中的每个顶点指定一个点，并为每个边指定一条连接相应两点的直线段。图$G$的直线交叉数，$\overline{cr}(G)$，是在$G$的任何直线图中交叉边的最小数目。确定或估计$\overline{cr}(G)$似乎是一个困难的问题，并决定$\overline{cr}(G)\leq k$是否已知是NP难的。事实上，$\overline{cr}(K_n)$的渐近行为仍然是未知的。在本文中，我们提出了一个确定性的$n^{2+o(1)}$ -时间算法，找到一个直线绘制的任何$n$ -顶点图$G$与$\overline{cr}(G) + o(n^4)$交叉边。结合Ajtai等人和Leighton的交叉引理，这个结果意味着对于任何稠密$n$ -顶点图$G$，可以有效地找到具有$(1 + o(1))\overline{cr}(G)$交叉边的$G$的直线图。
2016-09-07 cs.CG math.CO
A Note on the 2-Colored Rectilinear Crossing Number of Random Point Sets in the Unit Square
本文研究单位正方形中随机四点集的边着色交叉问题，证明同色交叉边概率为1/4，并给出随机绘制下使单色交叉数期望降至交叉总数1/2-7/50的着色方案。
2023-12-04 cs.CG math.CO
On the Maximum Number of Crossings in Star-Simple Drawings of $K_n$ with No Empty Lens
图的星型简单图是相邻边不相交的图。相反，对两个独立边之间的交叉数没有限制。当允许空透镜时（由2-循环界定的两条边引起的排列中的面），两条独立的边可以在星形简单图中任意多次交叉。我们考虑没有空透镜的$K_n$的星型简单图。在这种情况下，我们证明了上界的$3((n-4)!)$的最大数目的交叉之间的任何一对边缘。因此，交叉的总数是有限的，并且上界为$n!$。
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
Improvement on the decay of crossing numbers
我们证明了图的交叉数在以下意义下以连续的方式衰减。对于任意n>0，存在一个delta>0使得对于足够大的n，每个具有n个顶点和m > n^{1+ n}条边的图G，有一个至多（1-delta）m条边的子图G'，交叉数至少（1-delta）cr（G）.这推广了J. Fox和Cs.托斯
2012-01-26 cs.DM math.CO
Adding one edge to planar graphs makes crossing number and 1-planarity hard
一个图是近平面的，如果它可以通过添加一条边从平面图获得。我们发现了一个令人惊讶的事实，即计算近平面图的交叉数是NP-困难的。一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多与另一个边相交。我们证明了判定一个给定的近平面图是否是1-平面图是NP-困难的。在这两个减少的主要思想是考虑的问题，同时绘制两个平面图内的磁盘，其一些顶点固定在边界的磁盘。这导致了锚定嵌入的概念，这是独立的利益。作为一个有趣的结果，我们得到了一个新的，几何证明的NP-完全性的交叉数的问题，即使是限制在三次图。这就解决了一个关于林书豪的问题。
2012-03-27 cs.CC cs.CG math.CO
The maximum size of adjacency-crossing graphs
本文证明了n顶点邻接交叉图的边数上界为5n-10，直线段绘制时为5n-11，且两界限均紧致，并提供了比相关独立工作更简单直接的证明。
2023-09-12 cs.DM math.CO
Toward the Rectilinear Crossing Number of $K_n$: New Drawings, Upper Bounds, and Asymptotics
Scheinerman和Wilf（1994）指出：“确定完全图K_n的直交数是图嵌入研究中的一个重要公开问题。“K_n的直线图是平面上n个顶点的排列，每对顶点都由一条线段边连接。我们假设没有三个顶点是共线的，并且没有三条边相交于一个点，除非该点是所有三条边的端点。K_n的直线交叉数是在K_n的所有直线图上可达到的最少边交叉数。对于每个n，我们构造一个直线图K_n，具有最少的边交叉和最好的渐近已知的日期。此外，我们还给出了K_n的几种具有良好渐近性的可供选择的无穷图族.最后，我们提到了一些新老问题。
2000-09-28 cs.CG cs.DM math.CO
Structure of Graphs with Locally Restricted Crossings
我们考虑嵌入在拓扑曲面上的图的大小、树宽和局部交叉数（每条边的最大交叉数）之间的关系。我们发现，一个$n$顶点图嵌入在表面上的亏格$g$与最多$k$交叉每边有树宽$O(\sqrt{(g+1)(k+1)n})$和分层树宽$O((g+1)k)$，这些边界是紧的常数因子。作为一种特殊情况，具有$n$顶点的$k$ -平面图具有树宽$O(\sqrt{(k+1)n})$和分层树宽$O(k+1)$，它们是紧界，改进了以前已知的$O((k+1)^{3/4}n^{1/2})$树宽界.对于定义在任意曲面上的映射图，也证明了类似的结果。最后，我们证明了对于$g<m$，每个$m$ -边图都可以嵌入到亏格~ $g$的一个表面上，每条边都有$O((m/(g+1))\log^2 g)$交叉，这是紧于一个多对数因子的。
2016-02-20 cs.CG cs.DM math.CO
On the 2-colored crossing number
设$D$是一个图的直线图。$D$的直线2-色交叉数是在$D$的边的所有可能的2-着色中，相同颜色的边之间的最小交叉数。首先，我们给出了完全图$K_n$的直线2-色交叉数的上下界。为了得到这个结果，我们证明了渐近界可以从最佳和近最佳的情况下，很少的顶点。我们获得这样的实例使用的组合的数学和整数规划。其次，对于$K_n$的任意固定图，我们改进了其直线2-色交叉数与直线交叉数之比的界。
2019-09-11 cs.CG math.CO
Crossing and intersecting families of geometric graphs on point sets
设$S$是平面中一般位置的一组$n$点。如果连接$S$的点对的两条线段有一个公共的内点，则这两条线段相交。两个顶点在$S$中的顶点不相交的几何图相交，如果有两条边相交，每个图有一条边。一组顶点在$S$中的顶点不相交的几何图，如果其中任意两个相交，则称为相交图。我们发现，存在一个常数$c$，使得从任何家庭的$n$相互交叉的三角形，人们总是可以获得一个家庭的至少$n^c$相互交叉的$2$ -路径（其中每一个是删除的结果，从一个三角形的边缘），然后提供一个例子，这意味着$c$不能被视为大于$2/3$。对于每一个$n$，我们确定一个哈密顿圈在一组$n$点上可能具有的最大交叉数。接下来，我们构造一个点集，其最长完美匹配不包含交叉。我们还考虑边缘组成的一个水平和一个垂直线段连接点对$S$，我们称之为肘，并证明在任何点集$S$存在一个家庭的$\lfloor n/4 \rfloor$顶点不相交相互交叉肘。此外，我们展示了一个点集，承认不超过$n/3$相互交叉肘。最后，我们研究了相交图族，这不一定是顶点不相交的。一组顶点在$S$中的边不相交图称为相交族，如果对于其中的任意两个图，我们可以在每个图中选择一条边使它们相交。本文证明了Lara和Rubio-Montiel的一个猜想，即任何$n$点在一般位置上的集合$S$都包含一个元素数为二次的相交三角形族.在整个工作中还得到了一些其他的结果。
2022-11-17 cs.CG math.CO
The crossing number of the generalized Petersen graph P(10, 3) is six
图的交叉数是指图在平面上的所有图中边交叉的最少数目。本文证明了广义Petersen图P（10，3）的交叉数等于6。
2012-11-19 cs.DM math.CO
The 2-page crossing number of $K_n$
大约在1958年，Hill描述了如何画出具有[Z（n）：=1/4 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-2}{2} % \rfloor \lfloor \frac{n-3}{2} \rfloor ]交叉的完全图$K_n$，并证明了$K_n$的交叉数$\crg (K_{n})$正好是Z（n）。这也被称为盖伊猜想，因为他后来推广了它。到本世纪末，发现了具有Z（n）交叉的$K_{n}$的基本不同的绘图。这些绘图是\emph{2-page book drawings}，即所有顶点都在$\ell$（脊柱）上的绘图，并且每个边缘都完全包含在$\ell$定义的两个半平面（页面）之一中。$K_{n} $的\emph{2-page crossing number}，用$ν_{2}(K_{n})$表示，是由$K_{n}% $的2页书籍绘图确定的最小交叉数。由于$\crg(K_{n}) \leν_{2}(K_{n})$和$ν_{2}(K_{n}) \le Z(n)$，希尔猜想的一个自然步骤是%（形式上）较弱的猜想$ν_{2}(K_{n}) = Z(n)$，由Vrt 'o推广。据我们所知，这个自然猜想是由Imrich Vrt 'o在2007年首次提出的。在本文之前，已知的$ν_2(K_n)$的结果…
2012-06-25 cs.CG math.CO
A Note on the $k$-colored Crossing Ratio of Dense Geometric Graphs
本文证明每个稠密几何图的边可用k种颜色着色，使同色相交边对比例至多为1/k减去某正常数，推广了Aichholzer等人关于完全几何图k=2的结果。
2023-10-31 cs.CG math.CO
Edge crossings in random linear arrangements
在空间网络中，顶点在一定的空间中排列，边可以交叉。当在1维网格中排列顶点时，当在顶点序列上方绘制时，边可能会交叉，就像在语言和生物网络中发生的那样。在这里，我们调查的一般问题的随机安排的顶点的边缘交叉点的分布。我们推广现有的公式期望这个数字在随机线性安排的树到任何网络，并推导出一个表达式的方差的数量的交叉在任意布局依赖于一个新的表征的代数结构的方差在任意空间。给出了完全图、完全二部图、圈图、单正则图和各种树（星树、拟星树和线性树）的期望和方差的紧致公式。在这些网络中，作为网络规模的函数的期望和方差的缩放是渐近幂律的随机线性安排。我们的工作为进一步研究和应用一维格或研究高维格或其他嵌入中交叉数的分布铺平了道路。
2020-02-21 cs.DM math.CO physics.soc-ph
Crossing Number is Hard for Kernelization
图交叉数问题cr（G）<=k，要求在平面上画一个至多有k个边交叉的图G。虽然这个问题是在一般众所周知的困难，它是固定参数易处理的参数k [Grohe].这暗示了一个密切相关的问题，即这个问题是否有一个多项式核，这意味着是否每个cr（G）<=k的实例都可以在多项式时间内简化为k中大小多项式的等价实例（并且独立于|G|）。我们对这个问题的回答是否定的。沿着证明，我们表明，瓷砖交叉数问题的扭曲的平面瓷砖是NP-困难的，这一直是一个开放的问题，一段时间了，然后采用交叉组合的复杂性技术。我们的结果已经成立的特殊情况下，图的平面图通过添加一个边缘。
2016-02-18 cs.CC math.CO
