New tools for sparse graph embeddings: Hybrid expanders and application to nested cycles
Bocconi University（博科尼大学）；University of Oxford（牛津大学）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）
该研究引入兼具次线性扩张与强常数因子扩张特性的混合扩张器，证明平均度达2^ω(log^*n)的图含此类子图，将树嵌入等工具引入稀疏图，还解决了Erdős相关工作中Thomassen提出的嵌套环问题。
2026-10-14 math.CO
On the Crossing Numbers of Cartesian Products of Small Graphs with Paths, Cycles and Stars
有大量的研究致力于计算图族的交叉数，这些图族是由具有任意大的路径、圈和星的小图的笛卡儿积产生的。对于具有四个或更少顶点的图，这些都已经计算过了，但是对于具有五个或更多顶点的图，仍然存在各种差距。我们通过确定15个这样的家庭的交叉数为这一领域做出了贡献。
2021-06-07 math.CO
Matchings avoiding ordered patterns
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；University of Pannonia（佩奇大学）
本文研究了有序图中避免非分离和非嵌套匹配的Turán型问题，给出了最大边数的精确值和范围。
2025-12-20 math.CO
Monochromatic spanning trees and matchings in ordered complete graphs
本研究细化有序完全图中单色生成树与匹配的存在性，证明禁止一种关系时必有单色生成树，并给出匹配 Ramsey 数的加强猜想及部分证明。
2023-11-12 math.CO
A linear bound for nested cycles without geometric crossings
Nankai University（南开大学）；Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）
该研究针对无几何交叉的嵌套环族的最少边数问题，改进了此前的通用界，得到对固定$k\ge3$的更优上界，特别给出$n(\log n)^{o(1)}$的界。
2026-09-09 cs.DM math.CO
Counting Hamiltonian cycles in 2-tiled graphs
1930年，Kuratowski证明了$K_{3,3}$和$K_5$是仅有的两个极小非平面图。Robertson和Seymour对任意曲面推广了禁子集的有限性。Širáregon和Kochol证明了对于任何$k\ge 2$都有无穷多个$k$ -交叉-临界图，即使仅限于简单的$3$ -连通图.最近，$2$ -交叉-临界图已经被Bokal，Oporowski，Richter和Salazar完全刻画。本文给出了大型2-交叉临界图的一种简化描述，并利用这种简化来计算这类图中的哈密顿圈。我们将这种方法推广到计算所有2-平铺图中的哈密顿圈的算法，从而推广了Bodroža-Pantić，Kwong，Doroslovački和Pantić关于$n = 2$的结果。
2021-02-16 math.CO
A Hanani-Tutte Theorem for Cycles
本文提出环的 Hanani–Tutte 型判定准则，证明任意两环交叉数均为偶数即可平面化，并推广至任意曲面且与已有基本定理等价。
2024-06-12 math.CO
Large Non-Planar Graphs and an Application to Crossing-Critical Graphs
证明了对任意正整数k，存在整数N使得任意至少有N个顶点的4-连通非可平面图都有一个子图同构于K_{4,k}，K_{4,k}是由长度为2k+1的圈通过在距离为k的每对顶点之间添加一条边而得到的图，或从长度为k的循环中通过将彼此相邻的两个顶点添加到循环上的每个顶点而获得的图。我们还证明了一个版本的细分，而不是未成年人，并放松连接，让3-削减与一侧平面和有界的大小。我们证明了对于任意整数k，只有1000个3-连通2-交叉-临界图与由长度为2k的圈通过连接所有对角对顶点而得到的图同构。
2010-11-10 math.CO
Polynomiality, Wall Crossings and Tropical Geometry of Rational Double Hurwitz Cycles
研究了有理双Hurwitz圈，即在两个固定分支点上有一个映射到射影直线上的有理稳定曲线的轨迹。推广双Hurwitz数观察到的现象，这样的周期是分段多项式的特殊分歧的条目，多项式和壁交叉室有一个明确的和“模块化”的描述。本文的一个主要目标是同时进行这项调查的相应对象在热带几何，强调一个精确的组合之间的经典和热带赫维茨理论的对偶性。
2013-05-19 math.AG math.CO
On the Orchard crossing number of prisms, ladders and other related graphs
本文研究了几类基于圈的图的Orchard交叉数。这些包括不相交的循环，共享一个顶点的循环和共享一条边的循环。具体来说，我们专注于棱镜和梯形图。
2011-11-23 cs.CG cs.DM math.CO
Towards Crossing-Free Hamiltonian Cycles in Simple Drawings of Complete Graphs
本文将完全图简单绘制中无交叉哈密顿圈的经典猜想加强为任意两顶点间存在无交叉哈密顿路径，并证明其对强 c-monotone 绘制和柱面绘制等类别成立，同时梳理各类简单绘制在弱同构下的包含关系。
2024-03-04 cs.CG math.CO
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
Counting Plane Graphs: Perfect Matchings, Spanning Cycles, and Kasteleyn's Technique
我们推导出改进的上界的交叉自由直边生成循环（也称为汉密尔顿旅游和简单的pathizations），可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上的数量。更具体地说，我们限制了可以嵌入点集的生成环（或完美匹配）的数量与可以嵌入点集的三角剖分的数量之间的比率。相应的界限是循环的$O(1.8181^N)$和匹配的$O(1.1067^N)$。这意味着一个新的上限$O(54.543^N)$的交叉自由直边跨越循环的数量，可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上（改进以前的最佳上限$O(68.664^N)$）。我们的分析是基于Kasteleyn的线性代数技术。
2011-09-26 cs.DM math.CO
Homomorphic Preimages of Geometric Cycles
本文研究几何图到几何环的同态原像刻画问题，利用几何同态与同态偏序集，给出了 n<6 时几何图 C_n-可着色的充要条件。
2015-07-10 math.CO
Dual Circumference and Collinear Sets
我们表明，如果一个$n$ -顶点三角$T$的最大程度$Δ$有一个对偶，其中包含一个周期的长度$\ell$，那么$T$有一个非交叉直线图中的一些\emph{collinear set}的$Ω(\ell/Δ^4)$顶点位于一条线上。利用目前3-正则3-连通图中最长圈长度的下界，这意味着每一个最大度的$n$ -顶点平面图$Δ$都有一个大小为$Ω(n^{0.8}/Δ^4)$的共线集.最近，Dujmović et.等人（SODA 2019）表明，如果$S$是三角测量$T$中的共线集，则对于具有$|X|=|S|$的任何点集$X\subset\mathbb{R}^2$，$T$具有非交叉直线图，其中$S$的顶点绘制在$X$中的点上。正因为如此，共线集在图形绘制和相关领域有许多应用。
2020-09-04 math.CO
The Non-commutative Topological Vertex and Wall Crossing Phenomena
我们提出了一个推广的拓扑顶点，我们称之为“非交换拓扑顶点”。这给出了没有紧4-圈的复曲面卡-丘流形的开BPS不变量，其中我们有D 0/D2/D 6-膜包裹全纯0/2/6-圈，以及D2-膜包裹圆盘，其边界在D4-膜包裹非紧拉格朗日3-圈上。利用最近提出的晶体熔化模型，组合定义了顶点，并依赖于无穷远处闭弦模的值。一个特殊腔室中的顶点给出了与普通拓扑顶点所计算的相同的答案。证明了复曲面Calabi-Yau流形X的非交换拓扑顶点的恒等式表示为X的轨道折叠的闭BPS配分函数的特殊化，从而给出了顶点的闭表达式.我们还阐明了仿射A_L李代数的Weyl群在Chambers上的作用，并评论了我们的结果对精化BPS不变量的推广。
2009-10-28 hep-th math.AG math.CO
On $k$-planar Graphs without Short Cycles
本文研究了禁止短环对 $k$-平面图边密度的影响，针对禁止 $3$-环、$4$-环或两者的情况，利用放电法、非平面图密度公式及交叉引理等技术，给出了不同 $k$ 值下最大边数的显式上下界。
2024-08-28 cs.DM math.CO
Long Cycles and Spanning Subgraphs of Locally Maximal 1-planar Graphs
一个图是$1$ -平面的，如果它在平面中有一个绘图，使得每条边最多与另一条边相交一次。此外，如果这个图有额外的性质，即对于两个边的每个交叉，这些边的端点诱导出一个完全子图，则该图是局部极大$1$ -平面的。对$3$ -连通局部极大$1$ -可平面图$G$，证明了生成$3$ -连通平面子图的存在性，并证明了当$G$至多有3个$3$ -点割时，$G$是Hamilton图;当$G$至多有4个$3$ -点割时，$G$是可迹图.此外，还得到了无穷多个不可迹的$5$ -连通$1$ -可平面图.
2019-12-17 math.CO
On the Maximum Number of Crossings in Star-Simple Drawings of $K_n$ with No Empty Lens
图的星型简单图是相邻边不相交的图。相反，对两个独立边之间的交叉数没有限制。当允许空透镜时（由2-循环界定的两条边引起的排列中的面），两条独立的边可以在星形简单图中任意多次交叉。我们考虑没有空透镜的$K_n$的星型简单图。在这种情况下，我们证明了上界的$3((n-4)!)$的最大数目的交叉之间的任何一对边缘。因此，交叉的总数是有限的，并且上界为$n!$。
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
Rainbow cycles in flip graphs
三角剖分的翻转图具有凸$n$ -边形的所有三角剖分作为顶点，并且具有在恰好一条边不同的任何两个三角剖分之间的边。图中的$r$ -彩虹循环是三角剖分的每个内边恰好出现$r$次的循环。彩虹循环的概念以一种自然的方式延伸到其他翻转图。在本文中，我们研究了三种不同的翻转图上的$r$ -彩虹圈的存在性：前面提到的翻转图的三角形的凸$n$ -gon，翻转图的平面树上的任意一组$n$点，和翻转图的非交叉完美匹配的一组$n$点在凸位置。此外，我们考虑两个翻转图类的非几何对象：翻转图的排列$\{1,2,\dots,n\}$和翻转图的$k$元素子集的$\{1,2,\dots,n\}$。在这五种情况下，我们分别证明了不同$r$、$n$和~ $k$值时彩虹环的存在性和不存在性。
2018-02-15 cs.CG math.CO
Counting Triangulations and other Crossing-free Structures via Onion Layers
设$P$是平面中的一组$n$点。$P$上的无交叉结构是顶点集为$P$的平面图。无交叉结构的实例包括$P$的三角剖分，跨越$P$的环，也称为$P$的三角剖分等。在本文中，我们开发了一个通用的技术来计算输入集$P$的无交叉结构的数量。我们应用该技术来获得算法计算的三角剖分，匹配，和生成周期的$P$。我们的算法的运行时间是由$n^{O(k)}$，其中$k$是$P$的洋葱层数的上限。特别地，对于$k = O(1)$，我们的算法在多项式时间内运行。此外，我们表明，我们的算法计数三角形是从来没有慢于$O^{*}(3.1414^{n})$，即使当$k = Θ(n)$。考虑到有几个充分研究的配置点，至少$Ω(3.464^{n})$三角形，有些甚至与$Ω(8^{n})$三角形，我们的算法渐近优于任何枚举算法的这种情况下。事实上，人们普遍认为，任何$n$点集必须至少具有$Ω(3.464^{n})$三角剖分。如果这是真的，那么我们的算法是严格的三角形计数的数量次线性。我们还表明，我们的技术是一般的，足以解决"限制三角测量计数问题"，我们证明是$W[2]$-硬的参数$k$。这意味着一个"没有免费的午餐"的结果：为了是固定参数易处理的，我们的一般算法必须依赖于特定于所考虑的结构类的附加属性。
2013-12-17 cs.CC cs.CG cs.DS
