Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
The polytope of non-crossing graphs on a planar point set
对于$\R^2$中$n$点的有限集$\A$，定义了一个$(3n-3)$维简单多面体，它的面偏序集同构于具有顶点集$\A$的"非交叉标记图“的偏序集，其中标记图定义为几何图及其顶点子集. $\A$上的非交叉图的偏序集表现为该多面体中的一个面的星形的补。多面体有一个唯一的最大有界面，其维数为$2n_i +n -3$，其中$n_i$是$\conv(\A)$内部$\A$的点数。这个多面体的顶点都是$\A$的伪三角剖分，边是两种类型的翻转：传统的对角翻转（在伪三角剖分中）和删除或插入一条边。作为我们的建设的副产品，我们证明了所有的伪三角形是无穷小刚性图。
2003-05-30 math.CO math.MG
Matchings avoiding ordered patterns
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；University of Pannonia（佩奇大学）
本文研究了有序图中避免非分离和非嵌套匹配的Turán型问题，给出了最大边数的精确值和范围。
2025-12-20 math.CO
Monochromatic spanning trees and matchings in ordered complete graphs
本研究细化有序完全图中单色生成树与匹配的存在性，证明禁止一种关系时必有单色生成树，并给出匹配 Ramsey 数的加强猜想及部分证明。
2023-11-12 math.CO
Dual Circumference and Collinear Sets
我们表明，如果一个$n$ -顶点三角$T$的最大程度$Δ$有一个对偶，其中包含一个周期的长度$\ell$，那么$T$有一个非交叉直线图中的一些\emph{collinear set}的$Ω(\ell/Δ^4)$顶点位于一条线上。利用目前3-正则3-连通图中最长圈长度的下界，这意味着每一个最大度的$n$ -顶点平面图$Δ$都有一个大小为$Ω(n^{0.8}/Δ^4)$的共线集.最近，Dujmović et.等人（SODA 2019）表明，如果$S$是三角测量$T$中的共线集，则对于具有$|X|=|S|$的任何点集$X\subset\mathbb{R}^2$，$T$具有非交叉直线图，其中$S$的顶点绘制在$X$中的点上。正因为如此，共线集在图形绘制和相关领域有许多应用。
2020-09-04 math.CO
On Hardness of the Joint Crossing Number
联合交叉数问题要求同时将两个不相交的图嵌入到一个曲面中，使得（两个图之间的）边交叉数最小化。它由Negami在2001年引入，与曲面三角剖分中的对角翻转有关，随后以一般形式研究了小亏格曲面。我们证明，所有的普遍认为这个问题的变种是NP-硬已经在可定向表面的亏格6，减少从一个特殊的变种的锚定交叉数问题的Cabello和Mohar。
2015-09-06 cs.DM math.CO
A linear bound for nested cycles without geometric crossings
Nankai University（南开大学）；Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）
该研究针对无几何交叉的嵌套环族的最少边数问题，改进了此前的通用界，得到对固定$k\ge3$的更优上界，特别给出$n(\log n)^{o(1)}$的界。
2026-09-09 cs.DM math.CO
Sampling planar tanglegrams and pairs of disjoint triangulations
本文将平面缠结图的均匀随机生成问题归结为不相交三角剖分对的采样问题，通过推广翻转操作构造连通正则翻转图，并证明随机游走收敛到均匀分布，同时给出近最优直径界。
2023-04-11 math.CO math.PR
Rainbow cycles in flip graphs
三角剖分的翻转图具有凸$n$ -边形的所有三角剖分作为顶点，并且具有在恰好一条边不同的任何两个三角剖分之间的边。图中的$r$ -彩虹循环是三角剖分的每个内边恰好出现$r$次的循环。彩虹循环的概念以一种自然的方式延伸到其他翻转图。在本文中，我们研究了三种不同的翻转图上的$r$ -彩虹圈的存在性：前面提到的翻转图的三角形的凸$n$ -gon，翻转图的平面树上的任意一组$n$点，和翻转图的非交叉完美匹配的一组$n$点在凸位置。此外，我们考虑两个翻转图类的非几何对象：翻转图的排列$\{1,2,\dots,n\}$和翻转图的$k$元素子集的$\{1,2,\dots,n\}$。在这五种情况下，我们分别证明了不同$r$、$n$和~ $k$值时彩虹环的存在性和不存在性。
2018-02-15 cs.CG math.CO
Connected Dominating Sets in Triangulations
University of Ottawa（渥太华大学）
本文证明任意n顶点三角剖分存在大小至多10n/21的连通支配集，等价于存在至少11n/21个叶子的生成树，改进了此前n/2的界，并应用于SEFENOMAP图绘制问题及亏格g曲面三角剖分。
2026-11-04 cs.DM math.CO
Flows on graphs with cycles, locally gentle algebras, and the Mutoperhedron
Université de Liège（列日大学）；LACIM, Université du Québec à Montréal（蒙特利尔大学）；School of Mathematics, University of Leeds（利兹大学）；Department of Mathematics, Dartmouth College（达特茅斯学院）
研究通过局部温和代数与突变多面体的关系，揭示了图流锥的三角化结构及其与g-向量扇的对应关系。
2026-03-16 math.CO math.RT
Strong convexity in flip-graphs
Université Paris 13（巴黎第十三大学）；Sun Yat-Sen University（中山大学）
该研究探讨翻转图的强凸性，证明了与凸多边形顶点集相关翻转图中三角形的相关性质，指出添加两个点后对应的子图未必强凸，并得出弧交叉数无法以小于3/2因子近似三角剖分距离的结论。
2026-09-02 math.CO math.GT
Counting Plane Graphs: Perfect Matchings, Spanning Cycles, and Kasteleyn's Technique
我们推导出改进的上界的交叉自由直边生成循环（也称为汉密尔顿旅游和简单的pathizations），可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上的数量。更具体地说，我们限制了可以嵌入点集的生成环（或完美匹配）的数量与可以嵌入点集的三角剖分的数量之间的比率。相应的界限是循环的$O(1.8181^N)$和匹配的$O(1.1067^N)$。这意味着一个新的上限$O(54.543^N)$的交叉自由直边跨越循环的数量，可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上（改进以前的最佳上限$O(68.664^N)$）。我们的分析是基于Kasteleyn的线性代数技术。
2011-09-26 cs.DM math.CO
Degenerate crossing number and signed reversal distance
CNRS（法国国家科学研究中心）；INRIA（法国信息与自动化研究所）；Univ Gustave Eiffel（巴黎-东 Gustave 埃菲尔大学）；LIGM（信息学与多媒体实验室）
本文研究了退化交叉数与非定向亏格的关系，证明了在特定嵌入方案中两者相等，并推翻了Mohar的更强猜想。
2025-12-09 cs.CG math.CO
Multitriangulations and tropical Pfaffians
本文研究了$k$-结合多面体与Pfaffian簇的联系，通过刻画Gröbner锥证明$k$-三角剖分为代数拟阵的基，并揭示了其热带几何嵌入及与簇代数$\mathbf{g}$-向量扇的同构关系。
2022-12-29 math.AG math.CO
Implementation of Sprouts: a graph drawing game
Sprouts是一款由John Conway和Michael Paterson于1967年发明的双人纸牌游戏。在游戏中，玩家根据简单的规则轮流将点按曲线连接起来，直到一个玩家无法移动。Sprouts的游戏非常受欢迎，看起来很简单，所以它可能会让人惊讶，基本上没有可用的AI Sprouts玩家。这种缺乏计算机对手的情况是由于游戏隐藏了令人惊讶的高组合复杂性，并且实现它涉及迷人的编程挑战。我们克服了所有的实现障碍，并在游戏存在50多年后，创建了第一个具有强大人工智能的用户友好的Sprouts应用程序。特别是，我们结合结果从理论的nimbers与新的方法的基础上德洛内三角剖分和交叉保持力导向算法开发一个AI萌芽球员发挥完美的游戏上多达11点。
2021-10-03 cs.DM math.CO
