Face-hitting Dominating Sets in Planar Graphs
本文证明无孤立点、自环和2面的平面多重图可二分为两个支配且面命中的顶点集，并据此改进特定平面三角剖分的支配集上界。
2024-03-05 cs.DM math.CO
Dominating Sets in Triangulations on Surfaces
图G的一个控制集D是一个集合，使得G的每个顶点v要么在该集合中，要么与该集合中的一个顶点相邻。Matheson和Tarjan（1996）证明了任意n-顶点平面三角剖分都有一个大小不超过n/3的控制集，并且当n足够大时，给出了n/4的界。King和Pelsmajer最近证明了这一点，最大度至多为6。Plummer和Za（2009）以及Honjo、Kawarabayashi和Nakamoto（2009）将n/3界扩展到曲面上的三角剖分。我们证明了两个相关的结果：（i）存在一个常数c，使得任何最大度不超过6的n顶点平面三角剖分都有一个大小不超过n/6 + c的控制集。(ii)对于任意曲面S，非负t，且n> 0，存在C使得对于S上任意n-顶点三角剖分且至多t个顶点的度数不为6，存在大小至多为n（1/6 + n）+ C的控制集。作为证明的一部分，我们还证明了任何一个非可定向曲面的n-顶点三角剖分有一个长度不超过2sqrt（n）的不可收缩圈。Albertson和Hutchinson（1986）证明了对于非球面的可定向曲面的n-顶点三角剖分有一个长度为sqrt（2n）的不可收缩圈，但对于非可定向曲面还没有类似的结果。
2011-03-29 math.CO
Dominating Plane Triangulations
1996年，Tarjan和Matheson证明了：如果$G$是一个平面三角形圆盘，其顶点为$n$，则有$γ(G)\le n/3$，其中$γ(G)$表示$G$的控制数.此外，他们证实，对于足够大的$n$，常数$1/3$可以改进为$1/4$。他们的推测仍未确定。本文证明了：若$G$是一个以$|V(G)|=n$为顶点且最小度至少为4的Hamilton平面三角剖分，则$γ(G)\le\max\{\lceil 2n/7\rceil, \lfloor 5n/16\rfloor\}$ .紧接着，如果$G$是具有$n$顶点的4连通平面三角剖分，则$γ(G)\le\max\{\lceil 2n/7\rceil, \lfloor 5n/16\rfloor\} $。因此，如果$n\ge 26$，则$γ(G)\le \lfloor 5n/16\rfloor$。
2014-08-20 math.CO
Contributions to conjectures on planar graphs: Induced Subgraphs, Treewidth, and Dominating Sets
Tsuda University（津田塾大学）；University of the Ryukyus（冲绳大学）；Kanazawa Institute of Technology（金泽工业大学）
本文澄清了平面图中连通支配与导出外平面子图等概念的关系，构造了连通支配数超过 n/3 的平面三角剖分无限族，否定了 Bradshaw 等人的问题，并获得了有界树宽导出子图的新结果。
2025-10-28 cs.DM math.CO
Dominating maximal outerplane graphs and Hamiltonian plane triangulations
设$G$是一个图，$γ(G)$表示$G$的控制数，即$S$的最小顶点集的基数，使得$G$的每个顶点要么在$S$中，要么与$S$中的一个顶点相邻. Matheson和Tarjan证明了具有足够多$n$顶点的平面三角剖分具有$γ(G)\le n/4$。他们的推测仍未确定。本文证明了：（1）顶点为$n$的极大外平面图有$γ(G)\le \lceil \frac{n+k} 4\rceil$，其中$k$是$G$的边界上连续的2度顶点的距离至少为3的对的个数;（2）顶点为$n \ge 23$的Hamilton平面三角剖分$G$有$γ(G)\le 5n/16 $ .我们还指出了Li等人在[Discrete Appl. Math.198（2016）164-169]中最近发表的关于这个主题的几个不正确的结果，并提供了反例。
2019-03-06 math.CO
Paired and semipaired domination in triangulations
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学）
针对近三角剖分图，本文研究配对控制数与半配对控制数的上界，证明阶数n≥4时配对控制数不超过2⌊n/4⌋，n≥5时除少数例外半配对控制数不超过⌊2n/5⌋。
2026-09-03 math.CO
A bijection for essentially 4-connected toroidal triangulations
transmitting结构（也称为规则边标号）是定义在具有四边形外表面的4-连通平面三角剖分上的组合结构。它们已经被深入研究并用于许多应用程序（绘图算法，随机生成，枚举.）。在本文中，我们介绍和研究这些对象的环形情况下的推广。与平面上的情形相反，一个给定的环面三角剖分的环面横截结构集被划分为若干个分配格。我们展示了一个子集的环形横向结构，称为平衡，并表明它形成一个单一的分配格。然后，利用格的最小元素，我们能够枚举双射本质4-连通环面三角剖分。
2017-07-24 cs.DM math.CO
The domination number of plane triangulations
引入了一类称为弱近三角剖分的平面图，并证明了这类图在某些图运算下是闭的。然后利用弱近三角剖分的性质证明了$n>6$顶点上的每个平面三角剖分都有一个大小至多为$17n/53$的控制集。这改进了Matheson和Tarjan得到的界$n/3$。
2018-06-18 math.CO
Connected Domination in Plane Triangulations
本文研究平面三角剖分的连通支配数，计算至多13个顶点的全部情形，构造满足模3条件的极值图，并证明连通支配数与支配数之差可任意大。
2024-03-01 math.CO math.GT
Decomposing $4$-connected planar triangulations into two trees and one path
改进了Whitney的经典证明，证明了任何$4$连通的平面三角剖分都可以分解为一条Hamilton路径和两棵树.因此，每个$4$ -连通可平面图分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$2$。利用这个结果，我们证明了任何Hamilton平面三角剖分都可以分解为两棵树和一棵最大度的生成树，最大度至多为$3$。这些分解改进了Gonçalves [Covering可平面图with forests，one having bounded maximum degree. J. Comb. Theory，Ser. B，100（6）：729- 739，2010]，每个可平面图可以被分解成三个森林，其中一个森林的最大度至多为$4$。我们还表明，我们的结果是最好的可能。
2018-04-20 cs.DM math.CO
Below all subsets for Minimal Connected Dominating Set
图$G$中的顶点子集$S$是支配集，如果不包含在$S$中的每个顶点在$S$中都有邻居.如果由$S$导出的子图$G[S]$是连通的，则支配集$S$是连通支配集。连通控制集$S$是极小连通控制集，如果没有$S$的真子集也是连通支配集.证明了存在一个常数$\varepsilon > 10^{-50}$，使得$n$顶点上的图$G$至多有$O(2^{(1-\varepsilon)n})$最小连通控制集.对于同样的$\varepsilon$，我们也给出了一个具有运行时间的算法$2^{(1-\varepsilon)n}\cdot n^{O(1)}$来枚举输入图$G$中的所有最小连通支配集.
2016-11-02 cs.DM cs.DS math.CO
Hamiltonian-connectedness of triangulations with few separating triangles
证明了至多含有一个分离三角形的3-连通三角剖分是Hamilton连通的。为了证明这个定理的最强形式的界，我们证明了对于任何$s\geq4$，都存在3-连通三角剖分，其中$s$将非Hamilton连通的三角剖分。我们还提出了计算结果表明，所有的'小' 3-连通三角形，最多3个分离的三角形是汉密尔顿连接。
2016-05-04 math.CO
A model of trees for 5-connected planar triangulations
LIGM, CNRS, Univ Gustave Eiffel, ESIEE Paris（拉格朗日计算与建模实验室，法国国家科学研究中心，古斯塔夫·埃菲尔大学，巴黎ESIEE学院）
本研究建立了5c-三角剖分与满足内边局部约束的5-正则平面树的双射关系，推导了相关生成函数的显式表达式，并为5-连通平面三角剖分的高效均匀随机生成和简洁编码提供了可行途径。
2025-10-28 math.CO
Total domination in plane triangulations
本文研究近三角剖分的全支配数，证明除两个例外情形外，任意 $n\ge5$ 阶近三角剖分均满足 $\gamma_t(G)\le\lfloor2n/5\rfloor$。
2020-11-09 cs.CG math.CO
Linear separation of connected dominating sets in graphs
图的连通控制集是指导出连通子图的顶点的控制集。继类似的研究在文献中有关的独立集，控制集，和总控制集，本文研究的一类图，其中的连通控制集可以从其他顶点子集的线性权函数。更确切地说，我们说一个图是连通支配的，如果它允许与它的顶点相关的非负实权重，使得一个顶点集是连通支配集当且仅当相应的权重之和超过某个阈值。我们刻画了在这个非遗传类的图的最小割集的集合的性质。我们给出了遗传情况下的几个刻画，即当每个连通诱导子图都要求是连通域的时候。用禁止诱导子图刻画这类图意味着它适当地推广了两类著名的弦图：块图和平凡完美图。最后，我们研究了连通域图的某些算法方面。建立在与最小割集和性质的超图和布尔函数的连接，我们表明，我们的方法导致新的多项式可解的情况下的加权连通支配集问题。
2018-06-11 cs.DM cs.DS math.CO
Hamiltonian cycles in 4-connected planar and projective planar triangulations with few 4-separators
惠特尼在1931年证明了每一个4连通平面三角剖分是哈密尔顿的。后来在1979年，Hakimi，Schmeichel和Schlassen证明了$n$顶点上的每个三角剖分至少有$2(n - 2)(n - 4)$哈密顿圈。沿着这个方向，Brinkmann，Souffriau和Van Cleemput建立了4连通平面三角剖分中哈密顿圈个数的线性下界。与此形成鲜明对比的是，Alahmadi、Aldred和Aldassen证明了平面或射影平面的每个5-连通三角剖分都有指数数量的哈密顿圈。这给出了研究具有少量4-分隔符的4-连通三角剖分的哈密顿圈的个数的动机。最近，Liu和Yu证明了每一个具有$O(n / \log n)$ 4-分隔符的4-连通平面三角剖分都有二次方个哈密顿圈.通过调整Alahmadi等人的框架，我们加强了前面提到的最后两个结果。证明了每个具有$O(n)$ 4-分隔符的4-连通平面或射影平面三角网都有指数多个哈密顿圈。
2021-04-26 math.CO
Connected Dominating Sets in Graphs With Stability Number Three
在图G的独立数a（G）=3且无诱导无弦圈C7的特殊情况下，证明了存在顶点数n（D）≤ 4的连通控制集D.利用连通控制集的概念，定义了一个新的不变量h（G），它不超过Hadwiger数.对于所考虑的图，证明了h（G）>=n（G）/4.
2017-03-20 math.CO
4-Connected Triangulations on Few Lines
我们发现，4-连通平面三角剖分可以重绘，使边缘表示的直段和顶点覆盖的一组至多$\sqrt{2n}$线，其中每一个水平或垂直。这同样适用于这种三角剖分的所有子图。证明是基于相应的结果图的平面格，它利用正交链和反链的家庭。
2019-08-14 math.CO
Counting the number of weakly connected dominating sets of graphs
设$G=(V(G),E(G))$是一个单图.一个非空集$S\subseteq V (G)$是$G$中的弱连通控制集，如果从$G$中去掉连接$V (G)\setminus S$中任意两个顶点的所有边得到的子图是连通的.本文考虑了一些图，研究了它们的弱连通控制集的个数。
2017-03-03 math.CO
Coupon-Coloring and total domination in Hamiltonian planar triangulations
我们考虑图的顶点的所谓的券染色，其中每个颜色出现在每个开邻域中，我们的目标是确定这样的染色中的颜色的最大数目。换句话说，每一个色类都是图的全控制集，并且我们研究了图的全域数。我们在每个极大外可平面图中确定了这个参数，并证明了每个Hamilton极大可平面图的domatic数至少为2，部分回答了Goddard和Henning的一个猜想.
2017-08-05 math.CO
On the maximum number of minimal connected dominating sets in convex bipartite graphs
众所周知，一般图的最小连通控制集的计数是非常困难的。目前，只知道集合的枚举速度比$\mathcal{O}^{*}(2^n)$稍快，并且算法非常重要。此外，在构造枚举算法时，似乎很难使用二分性作为结构辅助。因此，据我们所知，没有已知的输入敏感算法枚举最小支配集，或其相关的集合之一，在二分图比一般的图。本文给出了二部图的一些非平凡子类，即凸图的第一个输入敏感计数算法。给出了一个计算凸二部图在时间上的所有最小连通控制集的算法$\mathcal{O}(1.7254^{n})$，其中$n$是输入图的顶点数.我们的算法意味着一个相应的上界的最小连通支配集的数量为这个图类。我们通过提供一个凸二部图来补充这个结果，这个凸二部图至少有$3^{(n-2)/3}$最小连通控制集。
2019-08-06 cs.DM cs.DS math.CO
Connected sums of $Z$-knotted triangulations
一个嵌入图称为$z$ -纽结图，如果它包含唯一的Z字形（直到反转）。考虑了$z$ -纽结三角剖分，即面为三角形的$z$ -纽结嵌入图，并描述了两个$z$ -纽结三角剖分的连通和是$z$ -纽结的所有情形.
2017-08-14 math.AT math.CO
The eternal dominating set problem for interval graphs
我们证明了，在游戏中，所有的警卫在同一个回合中，永恒的控制和cn-connected覆盖数一致的区间图。作为一个副产品，得到了永恒支配集问题的线性算法。
2018-08-29 cs.DM math.CO
Rainbow Connection Number and Connected Dominating Sets
连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路连通，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数.本文证明了对每个最小度至少为2的连通图G，彩虹连通数的上界为γ c（G）+ 2，其中γ c（G）是G的连通控制数.对于许多特殊的图类，直径（G）\leq rc（G）\leq直径（G）+ c，1 \leq c \leq 4形式的界作为这个结果的简单推论。这包括区间图、无AT图、圆弧图、阈值图和链图，所有这些图的最小度至少为2并且是连通的。我们还证明了每一个无桥弦图G都有rc（G）\leq 3.radius（G）.在大多数情况下，我们还证明了边界的紧密性。将这一思想推广到两步控制集上，证明了对任意n阶最小度为δ的连通图，彩虹连通数的上界为3 n/（δ + 1）+ 3.这解决了Schiermeyer（2009）的一个公开问题，改进了Krivelevich和Yuster（2010）以前最著名的20 n/δ的界限。此外，通过Caro et al.（2008）的构建，该界限被认为是紧到加性因子。
2010-10-12 cs.DM math.CO
A Note on the Maximum Number of Minimal Connected Dominating Sets in a Graph
构造性地证明了$n$阶连通无向图的最小连通控制集的最大可能个数在$Ω(1.489^n)$中.这改进了以前已知的$Ω(1.4422^n)$的下界，并减少了一般图以及一些特殊的图类中的最小连通支配集的输入敏感枚举的上界之间的差距。
2021-11-11 cs.CC math.CO
Disjoint connected dominating sets in pseudorandom graphs
本文研究伪随机图中不相交连通支配集的数量，证明$d$-正则（弱）伪随机图包含渐近最优的$(1+o(1))d/\ln d$个不相交CDS，并由此推出随机$d$-正则图的相应结论。
2024-10-21 math.CO
Independent Dominating Sets in Directed Graphs
本文研究了最近由Cary，Cary和Prabhu提出的有向图的独立控制问题。我们提供了一个简短的算法证明，所有有向无圈图包含一个独立的控制集。利用线性代数工具，证明了任意偶数周期的强连通图至少有两个独立的控制集，推广了Cary，Cary和Prabhu的一些结果.通过构造几个无限图族的例子，证明了确定图的周期不足以确定独立控制集的存在性。通过给出两个无限图族，证明了Vizing猜想的直接类比对有向图的独立控制数不成立。首次研究了有向图的独立控制的时间复杂性，证明了有向无圈图和偶周期强连通图的独立控制集的存在性属于时间复杂性类$P$ .对于周期大于$1$的有向图，我们还给出了一个判定独立控制集存在性的算法。
2019-10-12 cs.DM math.CO
A Note on Connected Dominating Set in Graphs Without Long Paths And Cycles
连通控制数$γ_c$和控制数$γ$的比从上到下严格有界为3。Zverovich证明了对每一个连通的无$(P_5,C_5)$图，$γ_c = γ$ .在本文中，我们研究了$γ$和$γ_c$的相互依赖性的$(P_k,C_k)$ -自由图类，$k \ge 6$。我们证明了，对于每一个连接的$(P_6,C_6)$ -自由图，$γ_c \le γ+ 1$保持，并有一个家庭的$(P_6,C_6)$ -自由图与任意大的值$γ$达到这个界限。此外，对于每个连通的$(P_8,C_8)$ -free图，$γ_c / γ\le 2$，和存在一族$γ$达到这个界的$(P_7,C_7)$ -free图.在$(P_9,C_9)$ -free图类中，一般界$γ_c / γ\le 3$是渐近尖的.
2013-03-12 cs.DM math.CO
Circumference of essentially 4-connected planar triangulations
一个$3$ -连通图$G$本质上是$4$ -连通的，如果对于$G$的任何$3$ -割$S\subseteq V(G)$，$G-S$的至多一个分支至少包含两个顶点.证明了$n$顶点上的本质$4$连通极大可平面图$G$包含一个长度至少为$\frac{2}{3}(n+4)$的圈，并且这个界是尖锐的.
2021-01-27 math.CO
Four-connected triangulations of planar point sets
本文考虑在多项式时间内判定给定的平面点集$P$的$n$点是否允许4-连通三角剖分的问题。给出了识别$P$的一个充分必要条件，并给出了构造$P$的四连通三角剖分的$O(n^3)$算法.因此，我们的算法解决了计算几何和几何图论中一个长期存在的开放问题。我们还提供了一个简单的方法来构建一个非复杂的三角剖分的$P$，需要$O(n^2)$的步骤。该方法为点集的四连通三角剖分的结构提供了新的认识。
2013-10-07 cs.CG math.CO math.MG
On the number of outer connected dominating sets of graphs
本文研究图的外连通支配集，引入系数为该集合数目的多项式，得出其性质并计算了特定图的多项式。
2024-02-16 math.CO
On the number of 4-contractible edges in plane triangulations
National Institute of Technology, Miyakonojo College（宫崎工业高等专门学校）；School of Engineering, Kwansei Gakuin University（关西学院大学工学部）；Faculty of Education, University of Miyazaki（宫崎大学教育学部）；School of Network and Information, Senshu University（专修大学网络信息学部）
本文改进了Ando和Egawa关于4连通图中保持4连通性的可缩边下界定理，特别是针对4连通的平面三角剖分，证明了当图阶数至少为7时，至少包含|V_{≥5}|+2个保持4连通性的可缩边，并确定了极值图。
2026-04-03 math.CO
Counting $k$-cycles in $5$-connected planar triangulations
该研究证明了5-连通平面三角剖分中5圈数上界为9n-50且紧，并给出k≥6时k圈数的渐近紧上界C(k)·n^{⌊k/3⌋}。
2025-08-06 math.CO
Disconnected cuts in 4-connected planar graphs
本文研究4-连通平面图的极小割集，证明其所有极小割集连通当且仅当该图为近三角剖分，并基于此给出寻找不连通割集的线性时间算法框架。
2023-12-13 cs.DM math.CO
Minimum Wiener Index of Triangulations and Quadrangulations
一个连通图的Wiener指数是所有无序顶点对之间的距离之和。给出了连通度至少为$c$的简单三角剖分和四边形剖分的最小Wiener指标的计算公式，并给出了达到这些值的极值结构.我们的主要工具是设置上界的最大程度在高度连通的三角剖分和四边形。
2021-12-21 math.CO
A Schnyder-type drawing algorithm for 5-connected triangulations
本文为5-连通三角剖分定义Schnyder型组合结构，并证明基于重心放置的绘图算法可生成平面直线图。
2023-08-31 cs.CG math.CO
Enumerating minimal dominating sets and variants in chordal bipartite graphs
针对弦二部图极小支配集枚举的公开问题，提出多项式延迟与空间的枚举算法，并解决其全支配、连通支配变体的枚举复杂度问题，同时证明相关技术无法直接推广到一般二部图。
2025-08-04 cs.DM cs.DS math.CO
New Results on Vertices that Belong to Every Minimum Locating-Dominating Code
University of Turku（图尔库大学）
本文研究了图中所有最小定位支配码必含的顶点，证明其数量上限及比值，并展示该比值可达2/5，同时确定路径图中不同最小定位支配码的数量。
2026-04-27 cs.DM math.CO
Counting Hamiltonian cycles in planar triangulations
Hakimi，Schmeichel，and Schiassen在1979年证明了每个$4$连通的平面三角剖分$G$在$n$顶点上至少有$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，等式当且仅当$G$是双轮.本文证明了在$n$顶点上的每个$4$连通平面三角剖分都有$Ω(n^2)$哈密顿圈.证明了若$G$是$n$顶点上的$4$连通平面三角网，且$G$中任意两个$4$度顶点之间的距离至少为$3$，则$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.
2021-11-22 math.CO
Algorithmic Complexity of Secure Connected Domination in Graphs
设$G = (V,E)$是一个简单的无向连通图.一个连通（全）支配集$S \subseteq V$是$G$的一个安全连通（全）支配集，如果对于每个$ u \in V \setminus S$，存在$v \in S$使得$uv \in E$和$(S \setminus \lbrace v \rbrace) \cup \lbrace u \rbrace $是$G$的一个连通（全）支配集.用$ γ_{sc} (G) (γ_{st}(G))$表示$G$的安全连通（全）支配集的最小基数，称为$G$的安全连通（全）控制数。本文证明了即使仅限于分裂图或二部图，对应于安全连通控制数和安全全控制数的判定问题也是NP-完全的。NP完全约化也表明这些问题是w[2]-困难的。我们还证明了块图和阈值图中的安全连通控制问题是线性时间可解的。
2020-02-03 cs.CC cs.DM math.CO
Linear algorithms on Steiner domination of trees
连通图$G$中的一个顶点集$W$称为Steiner控制集，如果$W$既是Steiner控制集又是Steiner控制集. Steiner控制数$γ_{st}(G)$是$G$的Steiner控制集的最小基数。本文提出了一个求树$T$的最小Steiner控制集的线性算法。
2020-02-28 cs.DM math.CO
Flip graphs of coloured triangulations of convex polygons
本文研究凸多边形彩色三角剖分的翻转图，探讨其连通分量，并基于Gravier和Payan的结果，将四色定理与2-彩色三角剖分翻转图的连通性联系起来。
2024-02-09 math.CO
Simultaneously Dominating all Spanning Trees of a Graph
研究了同时支配给定图的所有生成树的问题。我们证明了在2-连通图上，一个顶点子集支配图的所有生成树当且仅当它是一个顶点覆盖。利用这一事实，我们提出了一个精确的算法，找到一个同时控制集的最小尺寸使用的甲骨文找到一个最小的顶点覆盖。该算法可以在多项式时间内运行在几个图形类，如二分图或弦图。我们证明了，没有多项式时间算法，找到一个完美的图上的最小同时控制集，除非P=NP。最后，我们给出了一个求最小同时控制集的2-近似算法。
2020-12-16 cs.DM math.CO
Cyclically Colored Triangulations: Enumeration and Connectedness of Reconfiguration Graphs
Rio de Janeiro State University (UERJ)（里约热内卢州立大学）
该研究针对循环着色凸多边形有效三角剖分的重构图，通过根边分解方法分别解决了3色情形的连通性猜想与计数递推，证明了4色及以上翻转图的连通性，建立了统一的结构分析框架。
2026-08-27 math.CO
Connected domination in grid graphs
给定一个无向单图，如果该图的一个顶点子集中的每个顶点都与该子集中的至少一个顶点相邻，则该子集是{ \em控制集}。图的顶点的子集是{ \em连通控制集}，如果该子集是控制集，并且由该子集导出的子图是连通的。本文确定了$m \times n$格图的连通控制集的最小基数，称为{ \em连通控制数}，它是任意$m$和$n$的连通控制集.
2021-09-29 cs.DS math.CO
Number of Hamiltonian cycles in planar triangulations
惠特尼在1931年证明了4-连通平面三角剖分是哈密尔顿的。Hakimi、Schmeichel和Schlassen在1979年证明了，如果$G$是一个4连通的平面三角网，其顶点是$n$，那么$G$至少包含$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，当且仅当$G$是一个双轮时，$G$相等。另一方面，最近的结果Alahmadi，Aldred，和Aldassen国家，有指数许多哈密顿圈在5-连通平面三角形。本文研究了4-连通平面$n$ -顶点三角剖分$G$，它不具有太多的分离4-圈或最小度为5。证明了若$G$有$O(n/{\log}_2 n)$分隔4-圈则$G$有$Ω(n^2)$哈密顿圈，若$δ(G)\ge 5$有$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.这两个结果改进了以前的工作。此外，证明涉及一个“双轮”结构，提供了进一步的证据，上述猜想。
2021-04-13 math.CO
Domination structure in 3-connected graphs
本文从最近的角度研究了3-连通图的结构。它规定了3-连通图的最小控制集。同时，我们计算了结构的个数，得到了结构的上界。利用它，在多项式时间内确定了3-连通图的最小控制集。
2019-10-01 math.CO
Reconstructing surface triangulations by their intersection matrices
有限单纯复形的交矩阵的每一个元素都是其各自单纯形的交的秩。我们证明了这样的矩阵定义了一个封闭的连通曲面的三角剖分同构。
2014-02-24 math.CO
Maximum Number of Minimum Dominating and Minimum Total Dominating Sets
给定一个控制（或全控制）数γ>=2的连通图，我们求出控制集和全控制集的最大个数m_γ和m_{γ,T}.当γ= 2时给出了一个精确的答案，当γ>=3时给出了下界.
2013-08-14 math.CO
Reconfiguration of Dominating Sets
我们探讨了一个重新配置版本的支配集问题，在图$G$的支配集是一组$S$的顶点，使每个顶点是在$S$或有一个邻居在$S$。在重构问题中，目标是确定是否存在连接给定可行解$s$和$t$的可行解序列，使得每对连续解根据指定的邻接关系相邻。两个控制集是相邻的，如果一个可以通过添加或删除一个顶点而形成另一个。对于各种值的$k$，我们认为属性的$D_k(G)$，图形组成的一个顶点，每个控制集的大小最多$k$和边缘指定的邻接关系。解决一个开放的问题所提出的哈斯和Seyffarth，我们证明，$D_{Γ(G)+1}(G)$不一定是连接的，为$Γ(G)$的最大基数的最小支配集$G$。即使当图被约束为平面的、有界树宽的或对于$b \ge 3$为$b$ -partite时，该结果也成立。此外，我们构造了一个无限图族，使得$D_{γ(G)+1}(G)$具有指数直径，其中$γ(G)$是控制集的最小尺寸。在积极的一面，我们表明，$D_{n-m}(G)$是连通的，线性直径的任何图$G$上的$n$顶点至少有$m+1$独立的边缘。
2014-01-30 cs.DM math.CO
On the circumference, connectivity and dominating cycles
每个具有最小度$δ$和连通度$κ$的4-连通图要么有一个长度至少为$4δ-2κ$的圈，要么有一个控制圈。
2009-06-10 math.CO
Nash Williams Conjecture and the Dominating Cycle Conjecture
Nash-Williams猜想指出，每个4-正则4-连通图都有一个哈密顿圈.我们证明了这个猜想的一个修正等价于支配圈猜想。
2015-08-11 math.CO
On the Parameterized Complexity of Reconfiguration of Connected Dominating Sets
在优化问题$\mathcal{Q}$的重新配置版本中，输入是$\mathcal{Q}$的实例和两个可行解$S$和$T$。目的是确定$S$和$T$之间是否存在逐步转换，使得所有中间步骤也构成可行的解决方案。在这项工作中，我们研究了参数化的复杂性的\textsc{Connected Dominating Set Reconfiguration}问题（\textsc{CDS-R)}。在以前的工作中，\textsc{Dominating Set Reconfiguration}问题（\textsc{DS-R}）参数化的$k$，在一个重新配置序列中的控制集的最大允许的大小，是固定的参数易处理的所有图，不包括一个biclique $K_{d,d}$作为一个子图，对于一些常数$d \geq 1$。我们发现，额外的连接约束使问题更加困难，即，\textsc{CDS-R}是\textsf{W} $[1]$ -硬参数化的$k+\ell$，最大允许的大小的支配集加上长度的重新配置序列，已经在$5$ -退化图。在积极的一面，我们表明，\textsc{CDS-R}参数化的$k$是固定参数易处理的，事实上承认一个多项式核平面图。
2019-10-01 cs.CC cs.DM cs.DS
On the complexity of the outer-connected bondage and the outer-connected reinforcement problems
设$G=(V,E)$是一个图。如果不在$S$中的每个顶点都与$S$中的一个顶点相邻，则子集$S \subseteq V$是$G$的控制集。图$G=(V,E) $的集合$\tilde{D} \subseteq V$称为$G$的外连通控制集，如果（1）$\tilde{D}$是$G$的控制集，（2）由$V \setminus \tilde{D}$导出的$G$的子图$G [V \setminus \tilde{D}]$是连通的. $G$的所有外连通控制集中的最小尺寸称为$G$的外连通控制数，记为$\tildeγ_c(G)$。我们定义图$G$的外连通束缚数为从$G$中移除的边的最小数目，其结果是图的外连通控制数大于$G$的外连通控制数。另外，图$G$的外连通加强数被定义为最小边数，其添加到$G$导致图具有外连通控制数，该控制数小于$G$的控制数。本文证明了外连通约束数和外连通加强数的判定问题是$\mathbf{NP}$ -困难的。此外，几类图的束缚数的确切值被确定。
2018-02-02 cs.CC cs.DM math.CO
