A Cayley-Bacharach theorem for points in $\mathbb{P}^n$
Giulio Caviglia, Alessandro De Stefani
证明了射影空间$\mathbb{P}^n$中位于$n$超曲面的完全交上的点的Cayley-Bacharach型定理.这是可能的新的界限增长的希尔伯特函数的几乎完全交叉。
We prove a Cayley-Bacharach-type theorem for points in projective space $\mathbb{P}^n$ that lie on a complete intersection of $n$ hypersurfaces. This is made possible by new bounds on the growth of the Hilbert function of almost complete intersections.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Cayley-Bacharach Formulas
Cayley-Bacharach定理指出，所有通过平面上八个给定点的三次曲线也通过唯一的第九个点。我们将该点写成其他八个中的显式有理函数。
Virtual residue and generalized Cayley- Bacharach Theorem
利用Grothendieck剩余的推广--虚剩余，将Cayley-Bacharach定理推广到正维数的情形。
On the Dedekind different of a Cayley-Bacharach scheme
给定域$K$上的射影空间$\mathbb{P}^n_K$中的0维概型$\mathbb{X}$，利用其齐次坐标环的Dedekind差的代数结构刻画了$\mathbb{X}$的Cayley-Bacharach性质.利用Dedekind公式对Cayley-Bacharach格式的导模和余模进行了刻画，利用余模的迹研究了具有极小Dedekind差的Cayley-Bacharach格式，并证明了几乎Gorenstein和几乎Gorenstein格式的各种结果.
On the Noether and the Cayley-Bacharach theorems with PD multiplicities
本文证明了用PD算子描述重数的Noether定理。尽管已知的模拟版本，在这种情况下，所提供的条件是必要和充分的。我们还证明了Cayley-Bacharach定理与PD多重性。据我们所知，这是这个定理在多个相交情况下的第一个推广。
Cayley-Bacharach theorems with excess vanishing
Griffiths和Harris在1978年证明了，如果E是n维光滑射影簇上的秩为n的向量丛，并且如果s是E在有限集Z上简单消失的一段，那么（K_X + det E）的任何一段在Z上除了一个点以外的所有点都消失，也必须在剩下的一个点上消失。这推广了经典的Cayley-Bacharach定理，该定理出现在E是射影空间上的线丛的直和时。在最近的一篇论文中，Mu-Lin Li提出了一个扩展，允许s的零轨迹有正维分量的可能性，但他的结果需要一个分裂假设，在实践中很少得到满足。我们表明，乘数理想导致一个相当干净的声明的情况下，多余的消失。在此过程中，我们对Tan-Viehweg和Sun的结果进行了简化和加强。
The Cayley-Bacharach property and the Levinson-Ullery conjecture
本文证明了Levinson-Ullery猜想在d=4且r≥1的情况下的成立，研究了有限点集在射影空间中的几何配置性质。
A Cayley-Bacharach theorem and plane configurations
本文研究了由Cayley-Bacharach条件所隐含的射影空间中有限点集上的线性条件。特别是，通过限制满足Cayley-Bacharach条件的点的数量，我们迫使它们位于低维线性空间的并上。这些结果的动机调查的程度的不合理性的完全交叉口，这是控制的最小程度的合理映射到射影空间。作为我们的主要定理的应用，我们描述了某些余维2的完全相交的这种映射的纤维。
Cayley-Bacharach and evaluation codes on complete intersections
在最近的工作中，J. Hansen使用上同调方法找到了由射影平面中的约化完全相交所确定的求值码的最小距离的下界。本文将Hansen的结果从P^2推广到P^m，并证明了Hansen工作中的假设可以被削弱.证明是简洁的，并结合凯莱-Bacharach定理和界的评价代码从减少零计划。
Matroids satisfying the matroidal Cayley--Bacharach property and ranks of covering flats
设$M$是满足Cayley-Bacharach条件的拟阵类似物的拟阵。给定一个数$k \ge 2$，我们表明，有没有非平凡的约束上的秩的$k$元组的单位覆盖的基础集$M$。这解决了一个问题的Levinson-Ullery动机的早期结果表明，边界的数量点满足Cayley-Bacharach条件迫使他们躺在低维线性子空间。我们还探讨了一般的问题，什么样的拟阵满足拟阵凯莱-Bacharach条件的一个给定的程度和它的关系的几何广义置换面体和图形拟阵。
Geometry of Points Satisfying Cayley-Bacharach Conditions and Applications
本文研究复射影空间中满足Cayley-Bacharach条件的点关于给定次数的完备线性超曲面系的几何。特别地，我们改进了Lopez和Pirola的一个结果，证明了如果$k\geq 1$和$Γ=\{P_1,\dots,P_d\}\subset \mathbb{P}^n$是一组关于$|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(k)|$满足Cayley-Bacharach条件的不同点，且有$d\leq h(k-h+3)-1$和$3\leq h\leq 5$，则$Γ$位于一条度为$h-1$的曲线上.然后将这一结果应用于$\mathbb{P}^3$中光滑曲面上曲线的线性级数的研究。此外，我们还讨论了$\mathbb{P}^n$的光滑超曲面和余维$2$的完备交上与零迹的对应关系.
Grid-free linear hypergraphs via Cayley-Bacharach
本文通过Cayley-Bacharach构造了无r×r网格的线性超图，解决了r≥3时的超图构造问题。
Error terms for the motives of discriminant complements and a Cayley-Bacharach theorem
本文在简化假设下证明了关于Cayley-Bacharach集的相关猜想，推导其位于低次曲线的结论，并以此估计光滑超曲面空间归一化motive的误差项，同时证明高维下motive的收敛性等判别式补空间相关结果。
Matroidal Cayley-Bacharach and independence/dependence of geometric properties of matroids
考虑拟阵的次$a$ Cayley-Bacharach性质（有限点集不能对次$a$超曲面施加独立条件）的拟阵模拟与拟阵的几何性质之间的关系.如果拟阵多面体的问题是nestohedra，我们表明，最小程度拟阵Cayley-Bacharach属性表示$MCB(a)$是由用于构建它们的建筑集的结构。该分析也适用于其他学位$a$。此外，它似乎并不影响组合等价类的拟阵多面体。然而，有密切的联系，以最小的非平凡程度$a$和几何的拟阵的问题，铺路拟阵（这是广义通用之间的拟阵的一个给定的秩）和拟阵构造出超可解超平面安排。铺路拟阵的情况仍然与建筑集的性质有关，因为它与拟阵的Chow环（希尔伯特级数）密切相关，Chow环是奇妙紧化的上同调的组合模型。最后，我们对超可解直线和超平面的分析给出了一族拟阵，这些拟阵与平面曲线上的点所施加的独立性条件自然相关，或者可以递归分析。
Generalizing the Converse to Pascal's Theorem via Hyperplane Arrangements and the Cayley-Bacharach Theorem
使用一个新的角度来看，超平面安排的启发，我们推广逆帕斯卡定理，有时也被称为Braikenridge-Maclaurin定理。特别是，我们表明，如果2k线满足一个给定的线，绿色，在k个三重点，如果我们的颜色，其余的线，使每个三重点在于一个红色和蓝色的线，然后交叉点的红色和蓝色的线躺在一个独特的曲线度k-1。我们还使用这些想法，以延长第二次推广的Braikenridge-Maclaurin定理，由于莫比乌斯。最后，我们使用Terracini引理和割线变种，以表明这一过程中构建了一个密集的曲线集的空间中的平面曲线的程度d，为d <= 5。该过程不能产生更高次数的密集曲线集。这篇说明书用几个练习加以点缀，以逗乐读者。
The Kähler Different of a Set of Points in $\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n$
给定特征为零的域上的多投射空间$\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n$中的点的ACM集$\mathbb{X}$，我们有兴趣研究$\mathbb{X}$的Kähler差分和Cayley-Bacharach性质.在$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$中，Cayley-Bacharach性质与完全交性质一致，并利用Kähler差分刻画了它。然而，该结果在$n>1$或$m>1$的$\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n$中不成立。本文从Kähler差分及其Hilbert函数出发，证明了$\mathbb{X}$是$(d_1,...,d_m,d'_1,...,d'_n)$型完全交的充要条件是它具有Cayley-Bachrach性质且Kähler差分在一定程度上非零.当$\mathbb{X}$具有$(\star)$ -性质时，我们用正则投影下的分量刻画了$\mathbb{X}$的Cayley-Bacharach性质.
The Kähler different of a 0-dimensional scheme
给定域$K$上的射影$n$ -空间$\mathbb{P}^n_K$中的0维格式$\mathbb{X}$，我们有兴趣研究$\mathbb{X}$的Kähler差分及其应用.利用Kähler差分，我们刻画了$\mathbb{X}$在某些情况下的类属位置和Cayley-Bacharach性质.当$\mathbb{X}$处于一般位置时，我们证明了关于算术Gorenstein格式的Apéry-Gorenstein-Samuel定理的一个推广.我们还刻画了0维完全相交的Kähler不同和Cayley-Bacharach属性。
Multivariate Lagrange Interpolation and an Application of Cayley-Bacharach Theorem For it
本文深入研究了多元拉格朗日插值，提出了充分交的概念，利用Bezout定理等证明了沿充分交代数流形的多项式空间维数，并基于Mysovskikh定理给出了适定节点集存在性的刻画条件，最后通过推广的Cayley-Bacharach定理解决了低维代数流形上的插值问题。
Covering gonality of symmetric products of curves and Cayley-Bacharach condition on Grassmannians
本文研究亏格至少为 k+1 的曲线的 k 重对称积的覆盖 gonality，证明当 k=2,3,4 时等于曲线本身的 gonality，关键工具是 Grassmann 流形上的 Cayley-Bacharach 条件及其线性子空间几何。
Waring decompositions of special ternary forms with different Hilbert functions
证明了三元型的存在性，它允许非极性点集的基数等于Waring秩，但具有不同的Hilbert函数和不同的正则性。这是利用联络理论和Cayley-Bacharach性质的点集在射影平面
Kaehler differentials for fat point schemes in P^1xP^1
设$X$是特征为零的域$K$上的$P^1 \times P^1$中的$K$ -有理点的集合，$Y$是$ X$支持的胖点方案，$R_Y$是$Y$的双凸坐标环.本文研究Kaehler微分$Ω^1_{R_Y/K}$的模.我们明确地通过一个齐次短精确序列描述这个二阶$R_Y$ -模块，并计算其Hilbert函数在一些特殊情况下，特别是当支持$X$是一个完全的交集或几乎完全的交集在$P^1 \times P^1$。此外，我们引入了一个Kaehler不同的$Y$和使用它来表征减少脂肪点计划在$P^1 \times P^1$具有Cayley-Bacharach性质。
The gonality of complete intersection curves
本文的目的是证明，对于射影空间中的完全相交曲线$C$（除少数例外），任何满足$\text{deg}\, f^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^r}(1) <\text{deg}\, C$的态射$f: C \to \mathbb{P}^r$都可以从线性空间投影得到.特别地，我们得到了这类曲线的共角性的界，并计算了一般完全相交曲线的共角性。我们还证明了一个特殊的情况下，著名的凯莱-Bacharach代数Eisenbud，绿色，哈里斯。
Complex tori constructed from Cayley-Dickson algebras
本文通过凯莱-迪克森代数与其整数子环的张量积的商构造复环面$S_{\mathbb{B}_{1,p,q}}$，证明其自同态环满秩且与$j$-不变量1728的椭圆曲线$E$的$2^{2p+3q}$个拷贝直和同构。
Hyperplane section $\mathbb{OP}^2_0$ of the complex Cayley plane as the homogeneous space $\mathrm{F_4/P_4}$
证明了例外复李群$F_4$在复Cayley平面$\mathbb{OP}^2$的超平面截面上具有传递作用.我们的证据是直接的和建设性的。我们使用一个明确的实现的矢量和自旋行动的$\Spin(9,\C) \leq F_4$。此外，我们确定的$F_4$ -作用的稳定作为一个抛物子群$P_4$（与Levi因子$B_3T_1$）的复李群$F_4$。在实际情况下，我们得到一个类似的实现$F_4^{(-20)}/P_4$。
On the intersection points of two plane algebraic curves
我们证明了一个集合$\mathcal X\subset \mathbb{C}^2,\ \#{\mathcal X}=mn,\ m\le n, $是两个平面代数曲线的交点集合，分别是$m$和$n,$，当且仅当满足下列条件：a）任何含有除一个点以外的所有$\mathcal X$点的$m+n-3$度曲线，b）没有次数小于$\mathcal X,$的曲线包含$\mathcal X.$的全部。只有当”方向"的这个结果分别遵循Ceyley-Bacharach和Noether定理。
On the Complex Cayley Grassmannian
我们在（复）Cayley Grassmannian $X$上定义了一个环面作用.利用这个作用，我们证明了$X$是一个奇异簇.我们还证明了奇异轨迹是光滑的，并具有与$\mathbb{CP}^5$相同的上同调环。此外，我们确定的奇异轨迹的商$G_2^\mathbb{C}$的抛物子群。
On The Geometry and Topology of Cayley Condition in Poncelet Porism for Triangles
研究三角形Poncelet定理中Cayley条件的微分几何与拓扑性质，证明Cayley集是光滑连通的9维复流形，构造模空间并计算基本群，通过j-不变量分析其纤维丛结构。
An Invariant of Algebraic Curves from the Pascal Theorem
本文通过重新解读帕斯卡定理，发现了一个新的代数曲线几何不变量，并将帕斯卡定理推广到三次及更高次代数曲线的情形。
Conformal limits in Cayley components and $Θ$-positive opers
本文研究具有 $Θ$-正结构的简单实李群对应的 $G^{\mathbb{R}}$-Hitchin 方程共形极限，识别出可极限化为 oper 的平坦联络族，并定义 $Θ$-正 oper。
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