A simple bijection between binary trees and colored ternary trees
在这篇短文中，我们首先给出了二叉树和有色三元树之间的一个简单的双射，然后导出了一个与广义Catalan数有关的新恒等式。
2008-05-09 math.CO
A Unified Combinatorial Approach to Several Poincare Series Identities
Mendes最近证明了一个恒等式，它将等变多项式映射空间的Poincaré级数从$\mathbb{R}^{n}$简化为$Sym^{2}(\mathbb{R}^{n})$的一个子表示.我们将展示如何证明这个身份使用一个相当简单的整数分区双射。首先，我们从表示论给出了一个相似的著名恒等式的双射证明。然后，我们表明，这种双射可以推广到证明其他庞加莱系列的身份，包括一个版本的身份由门德斯以及它的改进。
2010-11-11 math.CO math.GR math.RT
Flagged Schur polynomial duality via a lattice path bijection
本文通过在推广的格上进行路径计数论证，证明了Flagged Schur多项式的恒等式，揭示了行列flag的对偶性，并推广了Gessel-Viennot与Aitken的经典对偶定理。
2023-09-11 math.CO
Kronecker products and the RSK correspondence
这项工作的出发点是一个身份，与规定的1-边缘和系数序列的一个线性组合的克罗内克系数的最小矩阵的数量。在本文中，我们提供了一个双射实现组合这个身份。因此，我们得到一个算法，每个最小的矩阵关联的最小组件，相对于优势顺序，在克罗内克产品，和组合描述的相应克罗内克系数的最小矩阵和Tableau插入。我们的双射如下从广义的双RSK对应3维二进制矩阵，我们的状态和证明。用同样的工具，我们也得到了一个推广的RSK对应的3维整数矩阵。
2010-03-23 math.CO math.RT
Bijections for generalized Wilf equivalences
本研究提出从组合恒等式的容斥证明出发、用递归减法构造直接双射的方法，将其用于逆序序列连续模式的广义Wilf等价研究，给出了已有结论的直接双射证明及更强模式关系的新双射证明。
2024-10-29 math.CO
Combinatorial approach to Andrews-Gordon and Bressoud type identities
本研究受Warnaar工作启发，通过构造整数分拆相关集合间显式保权重保长度双射，给出Andrews-Gordon与Bressoud恒等式和式侧的组合解释，还发现并证明了奇偶条件相反的Kurşungöz恒等式的q级数版本，同时证明了一批该类已知及新恒等式。
2024-03-08 math.CO math.NT
Combinatorial Telescoping for an Identity of Andrews on Parity in Partitions
在Chen，Hou和Mu给出的交错和的组合伸缩方法的基础上，我们给出了正项和上分拆恒等式的组合伸缩方法.通过对正项之和所对应的组合对象进行分类，建立了导致伸缩关系的双射。我们说明了这个想法，给出一个组合伸缩关系的经典身份的麦克马洪。最近，Andrews提出了一个问题，即在q-小雅可比多项式上寻找一个恒等式的组合证明，这个恒等式是基于一个递推关系导出的.我们发现一个组合分类的某些三元组的分区和一个序列的双射。通过消去的方法，我们看到存在一个包含Andrews恒等式的递归关系的对合。
2011-06-15 math.CO math.NT
A bijection for descent sets of permutations with only even and only odd cycles
本文针对排列循环奇偶长度的等式细化给出双射证明，利用已知双射将问题转化为字，并构建了 Lyndon 因子奇偶长度间的保权双射。
2025-04-07 math.CO
Bijective Proofs of Gould's and Rothe's Identities
我们首先给出了一个双射证明古尔德的身份在模型的二进制字。然后利用一个双射从Gould恒等式再次推出Rothe恒等式，这也是$q$ -Chu-Vandermonde公式的一个双和推广.
2010-05-24 math.CO
Bijective Approaches for Schmidt-Type Theorems
我们提供了新的施密特型的结果，通过调查两个双射，这是涉及分区的部分只在给定的指数。莫克的双射，第一个，最初是作为施密特定理的证明。我们表明，一个版本的西尔维斯特的双射是等价的莫克的双射适用于2-模块图，这意味着现有的结果和新的生成函数的身份的改进。然后，我们开发了一个双射的基础上出现在最近的论文安德鲁斯和基思的想法，将分区计数在索引$r$，$t+r$，$2t+r, \dots$对应于$t$着色分区。这导致了一个实质性的概括身份的桥梁和Uncu，并补充了类似的调查李和Yee。
2022-10-14 math.CO
Rigged configuration bijection and proof of the $X=M$ conjecture for nonexceptional affine types
我们建立了一个双射之间的操纵配置和最高权元素的张量积的Kirillov-Reshetikhin晶体的所有非例外类型。证明的一个关键思想是将两个对象嵌入到更大的简单类型$A_n^{(1)}$或$D_n^{(1)}$的集合中，它们的双射已经建立。因此，我们解决了$X=M$猜想在充分的一般性的非例外类型。此外，双射扩展到一个经典的晶体同构，并发送组合$R$ -矩阵的单位映射上操纵配置。
2018-09-07 math.CO math.QA
A combinatorial bijection on $k$-noncrossing partitions
对于任意整数$k\geq2$，我们组合地证明了下面的欧拉（二项式）变换恒等式$$ \NC_{n+1}^{(k)}(t)=t\sum_{i=0}^n{n\choose i}\NW_{i}^{(k)}(t), $$，其中$\NC_{m}^{(k)}(t)$（分别为~ $\NW_{m}^{(k)}(t)$）是$\{1,\ldots,m\}$的没有$k$交叉的分区的权重之和$t^\text{number of blocks}$（分别为增强的$k$ -交叉口）。特殊的$k=2$和$t=1$情形，断言Motzkin数的欧拉变换是Catalan数，由Donaghey在1977年发现。$k=3$和$t=1$的结果，在最近的一项研究中自然产生的模式避免上升序列和反转序列，只是证明了分析。
2019-09-16 math.CO
Euler-Mahonian distributions of type $B_n$
Adin、Brenti和Roichman介绍了统计量对$(\ndes, \nmaj)$和$(\fdes, \fmaj)$。他们证明了这些对在超八面体群$B_n$上均匀分布，并且可以被认为是“欧拉-马奥尼”，因为它们推广了Carlitz恒等式。此外，他们问是否存在一个双射证明他们的统计数据的均匀分布。我们给出了这样一个双射，以及广义Carlitz恒等式的一个新的证明。
2008-11-08 math.CO
Cauchy identities for Grothendieck polynomials and a dual RSK correspondence through pipe dreams
本文研究双重Grothendieck多项式的Cauchy恒等式，提出pipe dream矫正算法构建pipe dreams间的权重保持双射，并基于新流算子揭示其对称性，最终恢复对偶RSK对应变体。
2025-06-26 math.CO
Cycle type in Hall-Paige: A proof of the Friedlander-Gordon-Tannenbaum conjecture
有限群$G$的正形是双射$ϕ\colon G\to G$，使得$g\mapsto g^{-1}ϕ(g)$也是双射。在1981年，Friedlander，Gordon和Tannenbaum证明了当$G$是阿贝尔时，对于任何$k\geq 2$划分$|G|-1$，存在$G$的正形，固定恒等式并将剩余元素置换为不相交的$k$ -圈的乘积。我们证明了这个猜想的所有足够大的群体。
2023-03-28 math.CO math.GR
Matrix Identities on Weighted Partial Motzkin Paths
本文给出了Catalan数上的矩阵恒等式和Shapiro，Woan和Getu利用Riordan阵列导出的序列$(1, 4, 4^2, 4^3, ...)$的组合解释.通过给出带提升线的加权部分Motzkin路与加权自由Motzkin路之间的一个双射，得到了任意$k \geq 2$的加权Motzkin路个数与序列$(1, k, k^2, k^3, ...)$的一个矩阵恒等式.通过扩展这一论点部分Motzkin路径与多个海拔线，我们给出了一个身份最近获得的卡梅隆和Nkwanta的组合证明。还给出了有色Dyck路上的矩阵恒等式，从而得到序列$(1, t^2+t, (t^2+t)^2, ...)$的矩阵恒等式.
2005-09-12 math.CO
A new proof of an Eğecioğlu--Remmel inverse Kostka matrix problem via a Garsia--Milne involution involving Sym and NSym
本文通过引入隧道钩覆盖和反向双射，给出了Eğecioğlu--Remmel逆Kostka矩阵问题的全新证明，不同于Loehr和Mendes的结果。
2025-11-22 math.CO
Beck-type identities: new combinatorial proofs and a theorem for parts congruent to $t$ mod $r$
令$\mathcal O_r(n)$是$n$的$r$ -常规分区的集合，$\mathcal D_r(n)$是$n$的分区的集合，其中部分重复最多$r-1$次，$\mathcal O_{1,r}(n)$是恰好一个部分（可能重复）可被$r$整除的分区的集合，并且令$\mathcal D_{1,r}(n)$是其中恰好一个部分出现至少$r$次的分区的集合。如果$E_{r, t}(n)$是$\mathcal O_r(n)$中所有分区中与$t \pmod r$一致的部分的数量超过$\mathcal D_r(n)$中所有分区中至少出现$t$次的不同部分的数量，则为$E_{r, t}(n) = |\mathcal O_{1,r}(n)| = |\mathcal D_{1,r}(n)|$。我们证明了这一点分析和组合使用双射由于熊和基思。作为推论，我们得到第一个贝克型恒等式，即，$\mathcal{O}_r(n)$中的所有分区中的部件数量超过$\mathcal{D}_r(n)$中的所有分区中的部件数量的部分等于$(r - 1)|\mathcal{O}_{1,r}(n)|$，也等于$(r - 1)|\mathcal{D}_{1,r}(n)|$。我们的工作提供了一个新的组合证明，这一结果，不使用Glaucet的双射。我们还给出了一个新的组合证明的Xiong-Keith双射的基础上的第二贝克型身份，已被证明…
2020-11-16 math.CO math.NT
Warnaar's bijection and colored partition identities, I
我们提供了一个一般的和统一的组合框架，一些有色划分的身份，其中包括五个，最近证明的分析B。Berndt，它们对应于H.施罗特河Russell和S.拉马努金我们的方法推广了S。Kim给出了这五个恒等式中两个的双射证明，即模7恒等式（也称为Farkas-Kra恒等式）和模3恒等式。作为我们的方法的结果，我们确定双射证明也为两个高度非平凡的身份模5和11，从而留下开放的组合只有一个模23。
2012-06-28 math.AC math.CO math.NT
A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities
本文利用Dyson秩的一个新推广的两个对称性，给出了第一个Rogers-Ramanujan恒等式的组合证明。这些对称是由直接双射建立的。
2005-09-19 math.CO
A new combinatorial identity for unicellular maps, via a direct bijective approach
单胞映射或单面映射是嵌入在可定向曲面中的图，使得其补图是拓扑圆盘。在本文中，我们给出了一个新的观点，这些对象的结构，通过描述任何单细胞映入一个单细胞映射的更小的亏格的分解。这给出了大小为$n$且属为$g$的单细胞图的数目$ε_g(n)$的一个新的组合恒等式。与Harer-Zagier递归公式类似，这个恒等式仅在一个参数（亏格）中递归。迭代构造给出了单胞映射和具有特殊顶点的平面树之间的显式双射，这给出了以下事实的组合解释（和证明）：$ε_g(n)$是$n$第卡塔兰数与$n$中的多项式的乘积。组合解释也给出了一个新的和简单的公式，该多项式。该问题的变体被认为是，如二分单胞映射，或单胞映射与立方顶点。
2010-06-25 math.CO
A new bijective proof of the $q$-Pfaff--Saalschütz identity with applications to quantum groups
University of Bristol（布里斯托大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文通过双射方法证明了q-皮夫-萨尔舒茨恒等式，并由此推导出量子二项系数的新乘法规则及量子群的新的整形式呈现。
2025-12-09 math.CO math.QA
Generalized Cauchy identities, trees and multidimensional Brownian motions. Part I: bijective proof of generalized Cauchy identities
在本系列文章中，我们研究柯西等式的多维推广的组合学与多维布朗运动和布朗桥等连续对象之间的联系。在第一部分的系列，我们提出了一个双射证明多维推广的柯西身份。我们的双射使用定向平面树配备了一些线性订单。
2006-06-13 math.CO math.PR
Combinatorial and algebraic proofs of Keller's $A_2\square A_2$ $q$-dilogarithm identity
University of North Carolina at Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）
该研究针对与平方积箭图$A_2\square A_2$相关的凯勒$q$-双对数恒等式，通过生成函数、带色分拆双射、四色弧代数三种方法，以迭代Durfee分解为核心完成了组合与代数证明，补充了该恒等式的新证明途径。
2026-08-06 math.AG math.CO
A Bijective Proof of an Unbalanced Wilf Equivalence
University of Florida（佛罗里达大学）
该研究通过构造双射，证明了两组特定模式集合之间的不平衡Wilf等价性。
2026-10-08 math.CO
Decomposition of Triply Rooted Trees
本文给出了三重有根树分解为三重有根树的一种方法。这导致了一个由Lacasse在PAC-Bayesian机器学习理论的研究中提出的恒等式的组合解释，并由Younsi通过使用多变量Abel多项式的Hurwitz恒等式证明。我们还给出了从$[n+1]$到$[n]$的函数集与$[n]$上的三重有根树之间的一个双射，从而得到了从$[n+1]$到$[n]$的函数关于$n+1$轨道中元素个数和周期点个数的精细计数.
2012-12-28 math.CO
The KOH terms and classes of unimodal N-modular diagrams
我们展示了如何适当修改的整数分区的N-模块图提供了一个很好的组合解释的通项Zeilberger的KOH身份。这个恒等式是奥哈拉著名的证明高斯多项式的单峰性作为一个组合恒等式的重新表述。特别是，我们确定，使用不同的双射，两个主要的自然类的模块化图的分区有界的部分和长度，KOH条款作为其生成函数。我们的一个结果极大地推广了J. Quinn等人最近的定理，它在量子物理学中有着惊人的应用。
2011-06-22 math.AC math.CO
New combinatorial proof of Gaussian polynomial and the monotonicity of the Garvan's $k$-rank
本文通过构造高斯多项式上的新双射，细化算法 Z，并给出广义 Rogers-Ramanujan 恒等式及 Garvan 的 $k$-秩单调性的组合证明。
2025-10-09 math.CO
A simple model of trees for unicellular maps
我们考虑单胞映射，或多边形胶合，固定的亏格。几年前，第一作者给出了一个递归双射变换单细胞地图到树，解释了存在的加泰罗尼亚数计算公式，这些对象。在本文中，我们给出了另一个双射，明确地描述了第一个双射的“递归部分”。因此，我们得到了一个非常简单的描述单细胞地图对由一个平面树和一个置换样结构。所有先前已知的公式作为一个直接的推论或简单的练习，从而以统一的方式为它们中的每一个给出双射证明。对于其中一些公式，这是第一个双射证明，例如Harer-Zagier递归公式，Lehman-Walsh公式和Goupil-Schaeffer公式。我们还讨论了几个应用程序，我们的建设：我们获得了一个新的证明身份有关的覆盖地图由于Bernardi和第一作者，并感谢以前的工作的第二作者，我们给出了一个新的表达式斯坦利字符多项式，评估不可约字符的对称群。最后，我们表明，我们的技术部分适用于单细胞3星座和相关的对象，我们称之为准星座。
2013-07-24 math.CO
An elaborate new proof of Cayley's formula
Aarhus University（奥胡斯大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；University of Illinois Urbana Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
该研究通过建立$A_{n-1}$型仿射Kac-Moody群对应的辫子簇Deodhar分量与$n$顶点标记树的双射，结合仿射Hecke代数相关公式与恒等式，给出了Cayley树计数公式的全新精妙证明。
2024-02-12 math.CO
Generalisations of Capparelli's and Primc's identities, I: coloured Frobenius partitions and combinatorial proofs
在这两个同伴文件中，我们给无限家庭的分区身份推广Primc的和Capparelli的身份，并研究其后果的理论上的晶体基地的仿射李代数$A_{n-1}^{(1)}.$在这第一篇论文中，我们专注于组合方面。通过构造一个$n^2 \times n^2$矩阵的差分条件，我们给出了Primc恒等式的$n^2$ -着色推广，Primc的原恒等式对应于$n=2$和$n=3$ .虽然在文献中大多数有色分区身份连接分区与不同的条件，以分区与同余条件，在我们的情况下，自然的方式来推广这些身份是分区与不同的条件，以有色弗罗贝纽斯分区。这给出了生成函数的一个非常简单的表达式。随着一个特殊的专业化的颜色变量，我们的推广也产生了一个分区身份与同余条件。然后，使用双射从我们的新概括Primc的身份，我们推导出一个多参数的家庭身份的$(n^2-1)$ -彩色分区概括Capparelli的身份，也在有色Frobenius分区。特殊情况$n=2$是Capparelli的恒等式，而情况$n=3$恢复了Meurman和Primc的恒等式。在第二篇论文中，我们将集中在晶体理论方面。我们将表明，我们在我们的$n^2$ -彩色概括Primc的身份，实际上是某些$A_{n-1}^{(1)}$晶体的能量函数定义的差异条件。然后，我们将使用这个结果来检索Kac-Peterson特征标公式，并导出一个新的特征标公式作为所有不可约的最高…
2020-07-09 math.CO math.NT math.QA
Some Observations on Dyson's New Symmetries of Partitions
我们利用戴森的概念的伴随的分区，以获得一个无限的家庭新的多项式类似的欧拉的五边形数定理。我们简化了Dyson的双射与crank <= k的分区和那些k在分区的秩集。此外，我们扩展戴森的伴随分区的麦克马洪的“模块”分区模2。这样我们就找到了高斯著名恒等式的一个新的组合证明。我们给出了一个直接的组合证明，当n>1时，n的曲柄k分拆与n的曲柄-k分拆是等距的。
2002-04-23 math.CO math.NT math.QA
A combinatorial proof of the Chan--Robbins--Yuen volume formula
Independent Researcher
针对Chan--Robbins--Yuen体积公式的组合证明这一开放问题，通过给每个顶点加一条到公共汇的额外边并计数非负整数流，结合双计数方法，最终得到该体积公式为卡特兰数的乘积，还给出了对应递推的显式双射与Postnikov提出的约化公式。
2026-10-15 math.CO
A Combinatorial Framework for the Pons-Batle Identity: Young Tableaux, Lattice Paths, and Limit Laws
Waseda University（早稻田大学）；TU Graz（格拉茨工业大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；National Sun Yat-sen University（国立中山大学）
本文通过组合方法证明了树-子网络的reticulation节点数与特定约束词数相等，并揭示了其极限分布的生成函数结构。
2026-05-08 cs.DM math.CO
Combinatorial proofs of two Euler type identities due to Andrews
我们证明组合的一些身份有关欧拉的分区身份（$n$的分区成不同的部分的数量等于$n$的分区成奇数部分的数量）。它们由Beck提出并由Andrews通过生成函数证明。令$a(n)$是$n$的分区的数目，使得偶数部分的集合恰好具有一个元素，$b(n)$是$n$的所有奇数分区中的部分的数目与$n$的所有不同分区中的部分的数目之间的差，并且$c(n)$是$n$的其中恰好一个部分被重复的分区的数目。然后是$a(n)=b(n)=c(n)$。等式$a(n)=c(n)$由Fu和Tang组合地（更一般地）证明。我们组合地证明了$a(n)=b(n)$和$b(n)=c(n)$ .我们的证明依赖于一个集和一个多集之间的双射，其中多集中的分区用位串装饰。令$c_1(n)$为$n$的分区数，使得恰好有一个部分出现三次，而所有其他部分仅出现一次，并令$b_1(n)$为$n$划分为不同部分的分区中的部分总数与$n$划分为奇数部分的分区中的不同部分总数之差。我们组合地证明了$c_1(n)=b_1(n)$ .除了Andrews的这些结果外，我们还组合地证明了$b_1(n)=a_1(n)$，其中$a_1(n)$对$n$的划分进行计数，使得偶数部分的集合恰好有一个元素并满足一些附加条件.我们还处理的情况下，正好一个部分出现两次，而所有其他部分只出现一次。
2018-06-29 math.CO math.NT
