Alexander invariants for virtual knots
给定一个虚纽结$K$，我们构造一个称为虚纽结群的群$VG_K$，并且我们使用$VG_K$的基本理想来定义$K$的不变量，称为虚亚历山大不变量。例如，与$k=0$理想是一个多项式$H_K(s,t,q)$在三个变量，我们称之为虚拟亚历山大多项式，我们表明，它是密切相关的广义亚历山大多项式$G_K(s,t)$介绍Sawollek，考夫曼，雷德福，和西尔弗威廉姆斯。我们定义了一个自然规范化的虚拟亚历山大多项式，并证明它满足绞公式。我们还介绍了扭曲的虚拟亚历山大多项式相关联的虚拟结$K$和表示$\varrho \colon VG_K \to GL_n(R)$，我们定义了一个规范化的扭曲虚拟亚历山大多项式。作为应用，我们从虚拟Alexander多项式和扭曲的虚拟Alexander多项式导出了虚拟结点的虚拟交叉数的界。
2015-04-09 math.GT
Alexander groups of long virtual knots
定义了虚拟长纽结的Alexander群系统，并证明了任何虚拟纽结都是无穷多个虚拟长纽结的闭包。Manturov关于存在一对不对易的长虚纽结的结果被重新证明。
2004-05-24 math.GT
On a Generalization of Alexander Polynomial for Long Virtual Knots
我们构造了新的不变多项式的长虚拟纽结。它是Alexander多项式的推广。我们用$ζ$来表示它，这意味着与用于虚拟链路的$ζ$ -多项式的类比。$ζ$ -多项式的次数估计虚拟交叉数。本文描述了$ζ$ -多项式在研究关于虚交叉数的极小长虚图中的应用。
2009-06-23 math.GT
The Alexander polynomial for Virtual Twist Knots
我们定义了一个家庭的虚拟结推广的经典扭曲结。我们开发了一个递归公式的亚历山大多项式$Δ_0$（定义银和威廉姆斯）这些虚拟的扭曲结。这些结果被应用于提供证据的猜想，一个虚拟的纽结的奇扭可以得到从$Δ_0$。
2015-08-26 math.GT
Alexander and writhe polynomials for virtual knots
我们给出了一个新的解释的亚历山大多项式$Δ_0$的虚拟节由于Sawollek和银和威廉姆斯，并用它来表明，对于任何虚拟节，$Δ_0$确定writhe多项式的程和高（相当于考夫曼的仿射指数多项式）。我们还利用它定义了一个二阶writhe多项式，并给出了一些应用。
2016-01-26 math.GT
Alexander- and Markov-type theorems for virtual trivalent braids
我们证明了虚拟空间三价图和虚拟三价辫子的亚历山大和马尔可夫型定理。我们提供了两个版本的马尔可夫型定理：一个使用类似于经典辫子的情况下，另一个是基于L-移动的代数方法。
2018-12-17 math.GT
The first Alexander Z[Z]-modules of surface-links and of virtual links
我们刻画了4-球面中带状面链的第一个Alexander Z[Z]-模，并给出了4-球面中带状面链的第一个Alexander Z [Z]-模和4-球面中面链的第一个Alexander Z[Z]-模.利用带状环链的结果，我们还刻画了虚环链的第一类Alexander Z[Z]-模，其中虚环链的分支数是固定的。对于一般的曲面链，给出了关于第一Alexander Z[Z]-模的总亏格的估计.我们证明了所有表面-环的第一Alexander Z[Z]-模上的分次结构，然后证明了经典环、表面-环和高维流形-环的第一Alexander Z[Z]-模上的分次结构.
2009-04-12 math.GT
Alexander invariants of periodic virtual knots
我们发现，每个周期性的虚拟结可以实现为一个周期性的虚拟辫子的封闭，并使用此研究周期性的虚拟结的亚历山大不变量。如果$K$是一个$q$ -周期和几乎经典的结，我们表明，它的商结$K_*$也几乎是经典的，并在$q=p^r$是一个素数的权力的情况下，我们建立了一个类似的Murasugi的同余关系的亚历山大多项式的$K$和$K_*$在整数模$p$。这个结果被应用到确定虚拟结$K$的可能周期的问题。一个推论是，如果$K$是一个具有非平凡Alexander多项式的几乎经典纽结，那么它是$p$ -周期的，只有100个素数$p$。结合宇称和Manturov投影，我们的方法提供了一个一般的虚拟纽结必须满足的条件，以便是$q$ -周期的。
2017-06-08 math.GT
Virtual concordance and the generalized Alexander polynomial
我们使用Bar-Natan Zh-对应来识别虚拟节点的广义Alexander多项式与两个部件焊接连杆的Alexander多项式。我们证明了Zh映射在协调下是函子的，Satoh的Tube映射（从焊接连接到$S^4$中的带状打结环面）在协调下也是函子的.此外，我们扩展了陈，米尔诺和希尔曼的经典结果的下中心序列的链接群的链接在加厚的表面。我们的主要结果是，广义亚历山大多项式为零的任何结增厚的表面，这是和谐的一个同调平凡的结。特别地，这表明它在虚拟切片结上消失。我们应用它来完成计算的切片属的虚拟节点与四个交叉，并确定非sliceness为一些5-交叉和6-交叉虚拟节点。
2020-01-14 math.GT
Virtual knot groups and almost classical knots
我们定义了一个组值不变的虚拟节点，并将其与其他各种组值不变的虚拟节点，包括扩展组的西尔弗-威廉姆斯和quandle组的Manturov和Bardakov-Bellingeri。一个虚纽结称为几乎经典的，如果它允许一个图的亚历山大编号，在这种情况下，我们表明，作为一个自由积的群因子通常纽结群和Z。我们建立了一个类似的公式，模p几乎经典的结，我们使用这些结果来推导出障碍的虚拟结K模p几乎经典。作为加厚曲面中的纽结，几乎经典的纽结对应于那些同调平凡的纽结。我们表明，他们承认塞弗特表面和亚历山大不变量相关的无限循环覆盖的同源性。我们证明了第一个亚历山大理想是主要的，恢复的结果首先证明了中村等人。使用不同的方法。由此产生的亚历山大多项式示出，以满足绞关系，其程度给出了一个下界的塞弗特属。我们制表几乎经典的结6交叉，并确定其亚历山大多项式和虚拟属。
2016-12-11 math.GT
Crowell's derived group and twisted polynomials
置换表示的导出群，由R. H.克罗威尔，统一了纽结理论的许多概念。我们调查克罗威尔的建设，并提供新的应用。定义了纽结的扭Alexander群.利用它，我们得到了扭Alexander模和扭Alexander多项式.此外，我们推广了著名的定理Neutroth和Stallings的充要条件，为一个结纤维化。虚拟亚历山大多项式为虚拟结提供了障碍，如果该结具有亚历山大编号的图，则该虚拟结必须消失。定义了虚纽结的扩展群，并利用它得到了一个更敏感的障碍物。
2006-08-04 math.GT
Virtual Parity Alexander Polynomial
本文在BDGGHN [1]和Kaestner及Kauffman [10]的工作基础上定义了奇偶虚Alexander多项式。探讨了这一不变量的性质，并计算了一些例子。特别是，不变量表明，许多虚拟结不能解开交叉变化只有奇数交叉。
2019-07-19 math.GN math.GT
Alexander-Lin twisted polynomials
X.S.本文将Lin的扭Alexander纽结多项式的原始定义推广到任意群上.本文推广了J. Cha的阻塞定理。由L.考夫曼有平凡的琼斯多项式也被认为有一个忠实的表示，产生一个平凡的扭曲亚历山大多项式。
2009-08-13 math.GT
On Alexander-Conway Polynomials for Virtual Knots and Links
一个多项式不变量的虚拟链接，所产生的不变量的链接在加厚的表面介绍了Jaeger，考夫曼和Saleur，定义和它的性质进行了研究。实例表明，该不变量可以检测虚结点和虚链环的手征性甚至不可逆性。此外，它示出的多项式满足康威型绞关系-相反，亚历山大多项式来自虚拟链接组。
2001-01-06 math.CO math.GT
Alexander polynomials of ribbon knots and virtual knots
本文研究了结带结和虚拟结的亚历山大多项式，通过结带的内在奇异性信息确定了结带结的亚历山大多项式，并给出了计算公式，同时定义了半亚历山大多项式并给出了其简化公式。
2026-05-20 math.GN math.GT
Bi-oriented Quantum Algebras, and a Generalized Alexander Polynomial for Virtual Links
本文讨论了虚节点和虚链接的广义Alexander多项式的构造，以及将该不变量转化为量子链接不变量。广义亚历山大模的代数背景是用双量子来表述的，双量子是戴维·乔伊斯量子的推广（反过来，它又是纽结或链环的基本群的推广）。然后，我们介绍了一个双向量子代数的概念，它提供了一个代数的相关量子不变量的背景。
2001-12-31 math.GT math.RA
Multivariate Alexander quandles, V. Constructing the medial quandle of a link
本文提出通过减少的亚历山大模的周边结构来构建链接的媒介淬火方法。
2024-09-03 math.GT
Parity Biquandles
我们使用交叉宇称来构造一个广义的双量子点，我们称之为宇称双量子点。这些结构包括所有的双量子点作为标准示例，称为偶宇称双量子点。此外，我们发现所有的宇称倍对于一个特定的建设命名的z-奇偶亚历山大Biquandle，我们表明，相关的多项式产生一个下界的奇数交叉的数量，以及实际的交叉和虚拟交叉的虚拟结的总数。此外，我们将这种结构扩展到链接，以获得一个虚拟链路的组件之间的交叉点的数量的下界。
2011-03-15 math.GT
Polynomial knot and link invariants from the virtual biquandle
虚纽结或虚链环的Alexander双量子是二元Laurent多项式环上的模，它是虚纽结或虚链环的不变量。这个模的基本理想则是虚合痕的不变量，它决定了虚结点的广义亚历山大多项式（也称为Sawollek多项式）和经典结点的经典亚历山大多项式。对于一个固定的单项序$<$，这些理想的Gröbner基是可计算的，可比较的不变量，它完全确定了基本理想，并推广和统一了经典和广义亚历山大多项式。我们提供的例子来说明这些不变量的有用性，并提出问题，为今后的工作。
2012-07-06 math.GT math.QA
Braid presentation of virtual knots and welded knots
本文介绍了L.考夫曼提出了虚拟辫子的概念。它与R.芬河Rimanyi和C.洛克证明了关于虚结和虚辫的Alexander定理和Markov定理。焊接结和编织也证明了类似的结果。
2000-08-14 math.GT
New invariants for virtual knots via spanning surfaces
该研究定义了加厚曲面上纽结的三类张成曲面，提出新的Seifert矩阵、Alexander型多项式等不变量，构造了加厚曲面上纽结的Heegaard Floer同调并给出虚拟纽结的Floer同调定义，还用δ-不变量阻碍纽结的稳定化关系。
2024-04-17 math.GT
Liftings of knots in $S_{g} \times S^{1}$ and covering of virtual knots
本文利用 $S_{g} \ imes S^{1}$ 中的纽结，为给定虚拟纽结构造模 $m$ 几乎经典的 $m$ 重覆盖，提供了一种新方法。
2024-08-21 math.GT
An invariant for open virtual strings
扩展的Alexander群被用来定义开虚拟字符串的不变量。非交换开弦和一个带状和谐障碍的例子。给出了一个非带状切片虚拟开弦的例子。定义扩展到开n-字符串。
2004-12-28 math.GT
Flat-virtual knot: introduction and some invariants
该研究围绕从经典纽结到虚拟纽结的映射构建需求展开，定义了平坦虚拟纽结，得到了加厚环面中纽结到平坦虚拟纽结的系列映射，并给出了对应的类Alexander多项式与图像值Kauffman括号不变量。
2024-03-17 math.GT
Characterization and Further Applications of the Bar-Natan Zh-Construction
该研究给出了Bar-Natan Zh构造的近经典链环刻画定理，由此得到其纯几何描述、Dye-Kauffman-Miyazawa多项式的简单推导，并证明广群类着色不变量可通过该构造扩展为新不变量。
2023-07-21 math.GT
Relating virtual knot invariants to links in $\mathbb{S}^{3}$
根据$\mathbb{S}^3$中链环的不变量给出了一些虚结不变量的几何解释。亚历山大多项式的几乎经典的结被证明是专业化的多变量亚历山大多项式的某些两个组件的边界链接的形式$J \sqcup K$与$J$纤维结。交叉的指数是构造虚结不变量的一个常见成分，它与某些三分量链$J \sqcup K_1 \sqcup K_2$的Milnor三重连接数有关，其中$J$是三叶形或8字形的连接和。我们的主要技术工具是虚拟封面。Manturov和第一作者的这项技术将虚拟结$\upsilon$与链路$J \sqcup K$相关联，其中$J$是纤维化的，而$\text{lk}(J,K)=0$是纤维化的。在这里，我们将虚拟覆盖扩展到所有多部件链接$L=J \sqcup K$，其中$K$为结。它表明，一个unknotted组件$J_0$可以添加到$L$，使$J_0 \sqcup J$纤维和$K$有代数交集数为零与纤维的$J_0 \sqcup J$。这被称为纤维稳定。它提供了一个途径，研究所有的链接与虚拟结。
2018-07-25 math.GT
Singular twisted links and singular twisted virtual braids
本文引入奇异扭曲纽结理论，证明了奇异扭曲链的Alexander定理与Markov定理，并定义了奇异扭曲虚拟辫的幺半群结构及其约化表示。
2024-03-26 math.GT
Twisted virtual braids and twisted links
本文研究扭曲虚拟辫子，证明扭曲链环的 Alexander 型与 Markov 型定理，并给出扭曲虚拟辫子群的群表示及约化表示。
2023-10-05 math.GT
Alexander invariants of ribbon tangles and planar algebras
带状缠结是圆环面和圆柱面在$4$ -球~ $B^4$中的适当嵌入，“绑定”$3$ -流形只有带状盘作为奇点。我们构造了一个亚历山大不变量$\mathsf{A}$的带状缠结配备了一个表示的基本群的外部在一个自由阿尔贝群$G$。这个不变量在缠结的某个范畴$\mathsf{R}ib_G$中诱导了一个函子，它限制了带状编织物的Burau-Gassner表示的外幂，这在本文中类似于通常的编织物。我们定义了一个电路代数$\mathsf{C}ob_G$上的操作的光滑协边，启发由琼斯介绍的图解平面代数，并证明了不变量$\mathsf{A}$与该代数的组成交换。另一方面，丝带缠结承认图解表示，正确焊接图。我们给出了一个简单的组合描述$\mathsf{A}$和代数$\mathsf{C}ob_G$，并观察到，我们的建设是一个拓扑化身的亚历山大不变量的阿奇博尔德。当被限制在没有虚拟交叉的图中时，$\mathsf{A}$提供了一个对通常的亚历山大多项式的纯粹局部描述，并扩展了毕格罗、卡塔布里加和第二作者的构造。
2016-02-19 math.GT
Quotient Quandles and the Fundamental Latin Alexander Quandle
由Joyce和Matveev定义的基本困境是有向经典纽结的完全不变量。我们考虑从基本quandle的不变量定义的结的不变量。特别是，我们介绍了一个结的基本拉丁亚历山大quandle，并考虑其Gröbner基值不变量，推广的亚历山大多项式。我们通过例子表明，不变量不是由广义亚历山大多项式的虚拟节点。
2014-04-24 math.GT math.QA
Alexander-Conway invariants of tangles
我们考虑一个代数（古典或虚拟）缠结在一个有序的电路operad和介绍康威型不变量的缠结尊重这个代数结构。由此产生的不变量包含的康威多项式和米尔诺尔的μ不变量的字符串链接的部分情况下的系数。将Conway多项式推广到虚缠结上，满足通常的Conway skein关系，其系数是GPV有限型不变量。作为一个副产品，我们也得到了一个简单的表示的辫群，使康威多项式作为一定的扭曲的痕迹。
2010-11-29 math.GT math.QA
Virtual Seifert Surfaces
在加厚表面$Σ\times [0,1]$中具有同调平凡的代表性$\mathscr{K}$的虚拟结被称为几乎经典（AC）结。$\mathscr{K}$然后界定Seifert曲面$F\subset Σ\times [0,1]$。AC节点的Seifert曲面对于计算协调不变量和切片障碍是有用的。然而，在$Σ\times [0,1]$中的Seifert曲面很难构造。在这里，我们介绍虚拟塞弗特表面的AC结。这些是表示$F \subset Σ\times [0,1]$的平面图。给出了由高斯图构造虚拟塞弗特曲面的算法。这适用于计算签名和亚历山大多项式的AC结。还研究了AC纽结的一个典型亏格。它被证明是不同于Stoimenow-Tchernov-Vdodorov的虚典型亏格。
2017-12-15 math.GT
Signature and concordance of virtual knots
我们引入了虚拟节点的Tristram-Levine签名，并使用它们来研究虚拟节点的一致性。首先定义的签名几乎经典的结，这是虚拟的结承认同调平凡的表示。的签名和$ω$ -签名给出了几乎经典的结的拓扑片属上的界限，他们被应用到解决最近的问题染料，Kaestner和考夫曼的虚拟片属的经典结。一个猜想的拓扑切片属制定和确认所有经典的结与多达11个交叉和2150的2175的12个交叉结。塞弗特配对是用来定义有向亚历山大多项式，我们满足福克斯米尔诺准则时，几乎经典的结切片。我们引入虚拟盘带表面，并使用它们来建立几乎经典结的塞弗特矩阵的实现定理。作为结果，我们推断，任何整数多项式$Δ(t)$满足$Δ(1)=1$出现的亚历山大多项式的几乎经典的结。在最后一节中，我们利用宇称投影和Turaev的纽结覆盖将Tristram-Levine签名推广到所有的虚拟纽结。一个关键步骤是一个定理，说奇偶投影保持协调的虚拟节点。这个定理意味着签名、$ω$ -签名和Fox-Milnor准则可以被提升以给出所有虚拟节点的切片障碍。有76个几乎经典的结，最多有6个交叉点，我们使用我们的不变量来确定所有这些的切片状态和除了4个之外的所有切片属。最后的表2总结了我们的发现。
2018-07-06 math.GT
Lie superalgebra invariants and almost classical knots
The Ohio State University at Marion（俄亥俄州立大学马里昂分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文通过量子拓扑方法研究近经典结，定义了基于李超代数的量子不变量，统一了经典和虚拟链接的多项式，并证明了这些不变量与经典情况的不同。
2025-12-26 math.GT
Virtual Knot Invariants from Group Biquandles and Their Cocycles
通过和田的表示，群论的方法，提出区分岸野的虚拟结的unknot。利用Wada的辫群表示，对任意群构造双量子。这些biquandles的Cocycle不变量进行了研究。这些不变量被用来证明Alexander数和棋盘着色的不存在性。
2007-03-20 math.GT math.QA
Markov Theorem For Free Links
自由链路的概念是虚链路的广义概念。本文定义了自由辫群，证明了所有自由链都可以作为自由辫的闭包的Alexander定理，并证明了一个Markov定理，给出了两个自由辫有相同自由链闭包的充要条件.我们的结果可望对研究自由纽结和自由链环的拓扑不变量有一定的参考价值。
2012-06-05 math.GT
Pure virtual braids, resonance, and formality
研究了纯虚辫群及其上三角子群的共振簇、下中心序列秩和Chen秩.作为应用，我们给出了这类群的1-形式问题的完整答案。在这个过程中，我们探讨了亚历山大型不变量的有限生成群和几个与之相关的分次李代数之间的各种连接，并讨论了可能的扩展共振陈秩公式在这种情况下。
2016-10-13 math.GR math.GT
Concordances to prime hyperbolic virtual knots
设$Σ_0,Σ_1$为闭合定向曲面。两个定向纽结$K_0 \subset Σ_0 \times [0,1]$和$K_1 \subset Σ_1 \times [0,1]$被称为（实际上）协调的，如果存在一个紧凑的定向$3$ -流形$W$和一个在$W \times [0,1]$中光滑且适当嵌入的环$A$，使得$\partial W=Σ_1 \sqcup -Σ_0$和$\partial A=K_1 \sqcup -K_0$。这种一致性的概念，由于图拉耶夫，相当于虚拟的一致性结，由于考夫曼。在Matveev意义下的素虚结是这样一种结，对于它，没有加厚的表面代表$K \subset Σ\times [0,1]$允许沿着与$K$相交于两点的分离垂直环的非平凡分解。这里我们证明了每个纽结$K \subset Σ\times [0,1]$与一个素卫星纽结和一个素双曲纽结是协调的。对于同调平凡结在$Σ\times [0,1]$，我们证明这是可以做到的，使亚历山大多项式被保存。这推广了Bleiler、Kirby-Lickorish、Livingston、Myers、Nakanishi和Soma关于经典纽结一致性的相应结果。虚节点的新挑战在于证明其素性。与经典情况相反，不是$Σ\times [0,1]$中的每个双曲纽结都是素数，也不是每个复合纽结都是卫星纽结。我们的研究结果是使用概括的缠结在$3$ -…
2020-03-29 math.GT
Brunnian planar braids and simplicial groups
本文研究Brunnian孪生群及其推广，证明多于两链的Brunnian孪生群是自由群，给出2-球面Brunnian doodle成为Brunnian孪生闭包的充要条件，并探讨纯孪生群的单纯结构以组合描述2-球面同伦群。
2023-12-27 math.GR math.GT
On Filamentations and Virtual Knots
本文讨论了有向弦图的表示。当有向弦图上不能实现平行表示时，则相应的平虚纽结是非平凡的。如果一个平面纽结图是非平凡的，那么任何阴影是平面图的虚图也一定是非平凡的。我们介绍了一类平面图，其中不存在的演示。这个类给出了第一个例子的一个无限集的虚拟结的琼斯多项式和基本群都平凡评估。相关的广义亚历山大多项式的虚拟结在这个类原来是不同的，证明类确实是无限的。
2002-07-28 math.CO math.GT
Twisted braids
本文推广虚拟结理论，证明扭曲链环可表示为扭曲辫的闭包，并给出扭曲辫群和平坦扭曲辫群的简化表示，类比经典Alexander和Markov定理。
2024-05-25 math.GT
Finite Type Invariants of w-Knotted Objects I: w-Knots and the Alexander Polynomial
这是一系列研究w-打结物体（w-结，w-辫子，w-缠结等）的论文中的第一篇，这使得一类打结的物体比它们通常的对应物更复杂但更脆弱。W-braids群由Fenn-Rimanyi-Rourke研究（称为“{w}elded braids”），并被证明同构于自由群Fn的“基共轭”自同构的McCool群。Brendle-Hatcher，追溯到Goldsmith，已经证明这组是R3中的一组飞行环的电影。Satoh研究了几类w-纽结对象（作为“{w}eakly-virtual”），并证明它们与R4中的某些纽结曲面密切相关。所以w-纽结对象在代数和拓扑上都很有趣。本文研究w-纽结对象的有限型不变量。继Berceanu-Papadima之后，我们构造了W-辫子和W-缠结的同态泛有限型不变量（“展开式”）.我们发现，普遍的有限型不变量的w-结本质上是亚历山大多项式。我们发现w-纽结对象的“箭图”空间Aw与不一定度量化的李代数有关。许多关于w-纽结对象的问题与李代数的问题是等价的。最值得注意的是，我们发现，一个同态展开的w-knotted泡沫是本质上相同的解决方案的Kashiwara-Vergne猜想（KV），从而给出了拓扑解释的工作Alekseev-Torossian工作KV和Drinfel'd缔合。不过，w结的真正价值可能会在以后出现，因为我们希望它们能作为虚拟结研究的一个例子。我们期望v-打结对象…
2015-07-01 math.GT math.QA
Milnor's concordance invariants for knots on surfaces
在$3$球$S^3$中的链路的Milnor $\barμ$不变量在与边界链路一致的任何链路上消失。特别地，它们在$S^3$中的任何纽结上都是平凡的。这里我们考虑加厚曲面$Σ\times [0,1]$中的节点，其中$Σ$是闭合的和定向的。我们构造新的协调不变量，通过适应陈米尔诺理论的链接在$S^3$的一个虚拟的结群的扩展。一个关键的成分是巴尔-纳坦$\textit{Zh}$地图，它允许几何解释的集团扩展。群扩张本身最初由Silver-Williams定义。我们扩展的$\barμ$ -不变量阻碍了加厚曲面中同调平凡节点的一致性。我们使用它们给出了具有平凡拉斯穆森不变量、分次亏格、仿射指数（或蠕动）多项式和广义亚历山大多项式的非切片虚拟结的新例子。此外，我们完成了切片状态分类的所有虚拟节点多达5个经典的交叉点，并减少到4个（92800）的虚拟节点的数量多达6个经典的交叉点具有未知的切片状态。我们的主要应用是Turaev的协调组$\mathscr{VC}$的长结的表面上。Boden和Nagel证明了$S^3$中经典纽结的协调群$\mathscr{C}$嵌入到$\mathscr{VC}$的中心。在对比经典的结和谐组，我们表明$\mathscr{VC}$是不是阿贝尔，回答Turaev提出的问题。
2021-05-09 math.GT
Virtual planar braid groups and permutations
本文完整刻画了虚拟孪生群到对称群的同态，由此确定其自同构群结构，并证明孪生群嵌入虚拟孪生群，类比辫群结果。
2023-10-27 math.GR math.GT
Coarse Alexander duality for pairs and applications
本文建立切赫同调的相对版本并证明粗亚历山大对偶的相对形式，进而利用 Jordan 环不变量证明存在一个实际 Kleinian 但本身非 Kleinian 的 3-流形群。
2024-04-30 math.AT math.GR math.GT
$U_q(\mathfrak{gl}(m|n))$ bounds on the minimal genus of virtual links
The Ohio State University at Marion（俄亥俄州立大学马里昂分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文基于量子超群$U_q(\mathfrak{gl}(m|n))$提出虚拟链接最小亏格的下界，改进了传统方法，并应用于结的亏格性质研究。
2025-12-26 math.GT
Bilinear Enhancements of Quandle Invariants
本文受辛quandle运算启发，利用有限quandle和向量空间上满足特定条件的双线性形式，构造了有向经典与虚拟纽结和链环的增强计数不变量，并通过例子验证了增强的恰当性。
2023-04-14 math.GT math.QA
Commutator subgroups and crystallographic quotients of virtual extensions of symmetric groups
本文研究对称群虚拟扩张的换位子群与晶体学商群，给出纯虚拟三重群及两个换位子群的显式有限表示，并证明 $VL_n/PVL_n^{'}$ 为晶体学群且构造了无穷多个挠元素。
2023-03-17 math.GR math.GT
Mock Seifert matrices and unoriented algebraic concordance
本文通过Mock Seifert矩阵定义无向代数协边群，证明其阿贝尔且无限生成，并用于研究虚拟纽结协边等不变量。
2023-05-12 math.GT
Structure and automorphisms of pure virtual twin groups
本文研究纯虚拟孪生群的结构与自同构，证明其为具有平凡中心的不可约直角 Artin 群，给出精确展示及无限秩自由群迭代半直积分解，完整刻画其自同构群，并由此推出虚拟孪生群剩余有限及纯虚拟孪生群具有 $R_\infty$-性质。
2022-08-13 math.GR math.GT
