Solutions of modular bootstrap constraints from quantum codes
模不变性对二维共形场论的配分函数施加了严格的约束。许多基本结果严格遵循模不变性，从而产生了数值模引导程序。在这里，我们报告了一种方法来分配给一个特定的家庭的量子纠错码的“代码CFTs”CFTs的家庭，它形成了一个子集的Narain CFTs空间。这种对应关系将2d CFT配分函数的模不变性减少到由表征对应代码的多元多项式服从的几个简单代数关系。使用这种关系，我们构建了许多明确的例子，物理上不同的等谱理论，以及许多例子的nonholomorphic函数，满足所有的基本性质的二维CFT配分函数，但没有与任何已知的CFT。
2021-07-03 hep-th
AdS$_3$ wormholes from a modular bootstrap
在最近的工作中，我们计算了具有负宇宙学常数的三维引力在拓扑为环面乘区间的空间上的路径积分。在这里，我们采用了模块化的自助程序，以表明振幅是完全固定的一致性条件和一些基本的输入重力。这种自举法特别适用于CFTs的集合，而不是单个实例。我们还比较了三维重力结果与Narain系综。前者是很好的近似在低温下的随机矩阵理论ananimals，我们推测，这种行为是通用的CFTs在大中心荷与混沌谱的重运营商的合奏。
2021-01-18 hep-th
Genus Two Modular Bootstrap
研究了二维CFT的亏格2配分函数的Virasoro共形块分解，通过在一个Z3不变的Riemann曲面上展开，该曲面是Riemann球面在四点处分支的三重覆盖，并探讨了亏格2模不变性和酉性的约束.特别是，我们发现“临界表面”，限制CFT的结构常数超出了什么是通过交叉方程上的球。
2018-12-04 hep-th
Improving Modular Bootstrap Bounds with Integrality
本文在数值模引导中引入整性约束，通过多个示例改进算子维度间隙界、识别离散饱和点，并在中心荷接近1时收紧上界。
2023-08-17 hep-th
S-matrices in the holomorphic modular bootstrap approach
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）；Centre for Operator Algebras, Geometry, Matter and Spacetime, Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院算子代数、几何、物质与时空中心）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学数学研究所）；AEI Potsdam（波茨坦阿诺尔德·爱因斯坦研究所）
本文提出了一种基于全纯模 Bootstrap 方法和 MLDE 的方法，通过 S 矩阵的整数性质确定其精确公式，并通过示例展示了该方法的实用性。
2026-02-16 hep-th
Holomorphic quasi-modular bootstrap
本文将全纯模自举推广到带味情形，通过约束手征代数的特殊零态并结合拟模微分方程，完全确定未扭曲与扭曲扇区谱，并揭示零态在模群及谱流平移下的隐藏结构。
2025-05-06 hep-th math-ph math.MP
Updating the holomorphic modular bootstrap
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）；Centre for Operator Algebras, Geometry, Matter and Spacetime, Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院算子代数、几何、物质与时空中心）
本文更新了全纯模形式bootstrap，结合了最近通过模线性微分方程计算精确S矩阵的结果，并确定了允许指数模一的可接受解，适用于最多六个字符和Wronskian指数小于6的MLDE，以及有效中央荷c_eff ≤ 24的解。
2026-04-27 hep-th
Classification of RCFT from Holomorphic Modular Bootstrap: A Status Report
自1988年首次提出以来，从全纯Bootstrap方法对二维有理共形场论进行分类已经取得了很大进展。该方法首先假设一个给定阶的一般全纯模线性微分方程，并对解的级数展开式中的系数施加非负可积性要求，然后将其识别为容许特征，由此构造一个模不变的配分函数.在这份简短的说明中，概述了该项目的现状。
2019-10-07 hep-th math.NT
Four-point correlation modular bootstrap for OPE densities
本文将光锥自举法应用于二维共形场论中标量的四点函数。我们包括整个Virasoro对称性，并考虑非理性的理论与真空和没有保守电流的频谱的差距。对于这些理论，我们计算了Virasoro真空OPE谱分解的大维数极限（h/c>>1）。然后，我们提出了一个核分析，推广了频谱分解超过h/c>>1。最后，我们估计了包含光谱中最轻的算子对OPE谱密度的修正。
2021-10-25 hep-th
Chiral Modular Bootstrap
利用模自举法证明了酉紧致二维共形场论（含$c, \bar{c}>1$）的最轻原场具有共形权$h_1\le \frac{c}{12}+\mathcal{O}(1)$，这意味着最轻原场的维数上界依赖于它们的自旋.特别地，如果最轻的初级场的集合包括自旋与维度比$\frac{j}Δ\approx 1$的极值或接近极值的状态，则对应的维度是$Δ\le \frac{c}{12}+\mathcal{O}(1)$。由AdS/CFT对应，我们得到了三维引力下黑洞谱的一个上界.结果表明，如果第一主场具有大自旋，则相应的三维引力场存在极值或近极值BTZ黑洞。
2019-09-29 hep-th
Modular Bootstrap, Elliptic Points, and Quantum Gravity
二维CFTs的模块化引导程序可以被看作是对椭圆点及其环面配分函数的尖点处的一致性条件的物理后果的系统探索。在$τ=i$（由模逆$S$稳定的椭圆点）的研究是由Hellerman发起的，他发现了最相关的标度维数$Δ$的一般上限。同样，在$τ=i\infty$（由模块化平移$T$稳定的尖点）处的解析性产生了扭曲间隙的上限。在这里，我们研究在$τ=\exp[2iπ/3]$，椭圆点稳定的$S T$的一致性条件。在大c极限下，我们发现了一个更强的上界，即$Δ<\frac{c-1}{12}+0.092$，它非常接近于$AdS_3/CFT_2$对应的引力对偶中BTZ黑洞的最小质量阈值.
2020-04-26 hep-th
Numerical Methods in the Conformal Bootstrap
我们提出了一个低入门级的共形引导。我们回顾并获得了几个基本的界限，使用线性规划在Mathematica的机器精度，使结果访问，即使是最没有受过教育的计算机用户。本文还探讨了极值泛函方法和行列式方法。最后，我们尝试将模不变性语句写成twist算子的交叉对称方程，并使用4-pt算子进行模自举。
2017-09-05 hep-th
Modular Bootstrap of Boundary N=2 Liouville Theory
本文介绍了我们最近对边界N=2 Liouville理论动力学的研究。利用N=2超共形代数的表示理论和模bootstrap方法，导出了N=2 Liouville理论的三类边界态. 1类和2类膜是N= 0，1刘维尔理论的ZZ和FZZT膜的类似物，而3类膜来自U（1）自由度。我们将我们的结果与SL（2;R）/U（1）超陪集的结果进行了比较，SL（2;R）/U（1）超陪集是N=2 Liouville理论的T-对偶，描述了2d黑洞的几何形状。我们发现与SL（2;R）/U（1）理论中用DBI作用量半经典分析得到的已知结果很好的一致。我们还对N=2 Liouville理论的对偶性作了评论。
2004-09-25 hep-th
Holomorphic modular bootstrap revisited
本文通过分析有理共形场论的特征所满足的模微分方程，重新讨论了有理场论的“全纯模自举”分类。利用${\rm PSL}(2,\mathbb{Z}_n)$的表示理论，我们描述了一种方法来分类允许中心荷和重量$(c,h_i)$的理论与任何数量的字符$d$。这使我们能够避免以前在文献中遇到的各种瓶颈，并导致一致的字符的分类$d=5$的模块化微分方程是唯一固定的$(c,h_i)$。在此过程中，我们确定了固定$d\leq 5$的朗斯基索引允许值的全套约束。
2021-08-17 hep-th math.NT math.QA
Scalar Modular Bootstrap and Zeros of the Riemann Zeta Function
利用调和分析技术，导出了一个只作用于具有$U(1)^c$对称性的二维共形场论的标量原算符的交叉方程。从这个交叉方程，我们得出的标量间隙的所有这些理论的界限。值得注意的是，我们的交叉方程包含了黎曼zeta函数的所有非平凡零点的信息。因此，我们将黎曼假设纯粹地重新表述为关于某些二维共形场论中标量算子的渐近密度的陈述。我们讨论的推广理论只有Virasoro对称性。
2022-09-20 hep-th
Quantum corrections to the BTZ black hole extremality bound from the conformal bootstrap
任何具有$c>1$且不具有Virasoro以外对称性的幺正紧致二维CFT在大自旋时对$\bar{h}>\bar{h}_\text{extr}\sim \frac{c-1}{24}$具有参数大的初级态密度，其普遍形式由模不变性决定。通过在模块化引导中包括轻初级算子和由它们构造的多扭曲复合物的贡献，我们发现$\bar{h}_\text{extr}$在大自旋展开中接收校正，我们在有限的$c$上计算。该分析使用的模块化S-变换作为一个傅立叶变换上的初级状态的密度的制定。对于具有引力修正的理论，$\bar{h}_\text{extr}$被解释为旋转BTZ黑洞的极值边界，接受量子修正，我们通过禁止量子修正几何中的裸奇点在一个循环中计算。在半经典的$c\to\infty$极限下，用模自举法再现了这一重力结果.
2019-06-11 hep-th
Modular Bootstrap Revisited
本文利用模自举法对中心荷c > 1的二维么正紧致共形场论的谱进行了约束。上界的差距在任何自旋的主要运营商的尺寸，以及在标量原色的尺寸，计算数值的中心荷的功能，使用半定规划。我们的边界完善了Hellerman和Friedan-Keller的边界，并且在某些情况下被已知的CFTs饱和。特别是，我们表明，酉CFTs与c < 8必须承认相关的变形，并存在一个非平凡的约束上的间隙的标量原色为c < 25。我们还研究了在扭曲的差距，边界上的运营商的退化的存在下的尺寸差距的界限，并演示了如何“极值谱”，最大限度地提高退化的差距可以确定数值。
2016-08-22 cond-mat.str-el hep-th
$\mathbb{Z}_N$ Symmetries, Anomalies, and the Modular Bootstrap
我们探讨了具有内部$\mathbb{Z}_N$整体对称性的（1+1）$d$么正共形场论的约束条件，通过使用模引导来约束最轻的保序标量原算符.在我们已经发现的其他约束中，我们证明了$\mathbb{Z}_N$ -对称相关/边际算子的存在，如果$N-1 \le c\le 9-N$为$N\leq4$，则端点被可以嵌入到$(\mathfrak{e}_8)_1$中的各种WZW模型饱和。它的存在意味着，强大的无间隙固定点是不可能的，如果只有一个$\mathbb{Z}_N$对称性，在这个范围内的$c$是强加微观。我们还获得了更强，更精细的界限，依赖于t Hooft异常的$\mathbb{Z}_N$对称性。
2021-05-29 cond-mat.str-el hep-th
Parity and the modular bootstrap
我们考虑酉，模不变，二维CFTs的奇偶变换下是不变的$P$。将$P$与模逆$S$相结合，得到$SP$变换的连续不动点族。沿着正的左移和右移温度的直线存在这个不动点轨迹的一个特定子集，满足$β_L β_R = 4π^2$。我们使用这个固定的轨迹来证明哈特曼，凯勒和斯托伊卡的猜想，一个大的$c$ CFT $_2$的自由能与适当的稀疏的低洼频谱相匹配的AdS $_3$重力在所有温度和所有角势。我们还利用固定轨迹推广了模自举方程，得到了算子谱上的新约束，并对当$c>1$时扭转带隙小于$(c-1)/12$的说法提供了新的证明.在大$c$，我们表明，运营商的第一个激发小学的尺寸在于在$(h,\overline{h})$ -平面，是显着小于$h+\overline{h}<c/6$的区域。我们的结果的自由能和限制的运营商频谱扩展到理论没有宇称对称性，通过建设一个辅助宇称不变的配分函数。
2018-07-31 hep-th
Lightcone Modular Bootstrap and Pure Gravity
利用光锥极限下的模自举法，研究了具有有限扭转带隙的二维共形场论中的大自旋谱。通过递归求解与不同$PSL(2,\mathbb{Z})$元素相关的模交叉方程，我们确定了双通道中真空对大自旋态密度的普遍贡献。我们的结果采取了$PSL(2,\mathbb{Z})$元素的总和的形式，其领导项推广了通常的Cardy公式，以更广泛的制度。奇怪的是，真空对态密度的贡献在一个特定的极限下变为负值，这可以被扭曲度不大于$c-1\over16$的非真空Virasoro原色的贡献所抵消。这意味着在任何$c>1$紧致的、带有真空的么正共形场论中，扭转间隙上的$c-1\over 16$有一个新的上界，这特别意味着纯AdS $_3$引力不存在。我们在Maloney、Witten和Keller的纯引力配分函数中证实了这种负态密度。我们将我们的讨论推广到具有$\mathcal{N}=(1,1)$超对称性的理论，并得到类似的结果。
2019-07-07 hep-th
The Geometry of the Modular Bootstrap
本文研究模引导的几何，将 Taylor 系数约束化为半定规划以推导能隙等界，并提出整性条件的解析施加方法，揭示低阶即可排除高阶允许区域。
2024-01-25 hep-th
Beurling-Selberg Extremization and Modular Bootstrap at High Energies
我们认为以前推导的上限和下限的运营商的数量在窗口中的缩放尺寸$[Δ- δ,Δ+ δ]$在渐近大$Δ$在二维酉模块不变的CFTs。这些界限取决于选择的功能，majorize和minorize区间$[Δ- δ,Δ+ δ]$的特征函数，并具有有限支持的傅立叶变换。在这个选择上的边界的优化结果恰好是在解析数论中广为人知的Beurling-Selberg极值化问题。我们回顾这个问题的解决方案，并提出相应的界限上的运营商的数量为任何$δ\geq 0$。当$2δ\in \mathbb Z_{\geq 0}$的边界是饱和的已知的配分函数与整数间隔的光谱。类似的结果适用于$c>1$理论中的固定自旋和Virasoro原色的算子。
2020-05-22 hep-th
Neural Spectral Bias and Conformal Correlators II: Modular and Annulus Bootstrap
King's College London（伦敦国王学院）；University of Crete（克里特大学）
该研究基于模块化不变性等开发神经网络引导框架重建二维CFT配分函数，对环面和环面配分函数分别处理，以锚定引导形式提出问题，用轻量级神经网络解决，利用谱偏置统一相关约束，能高精度从稀疏数据重建配分函数。
2026-07-29 hep-th
Modular Bootstrap for Boundary N=2 Liouville Theory
我们研究了边界N=2的Liouville理论的基础上的“模块化的Bootstrap”的方法。作为基本的共形块，我们引入了N=2超共形代数（SCA）的不可约特征标在谱流上的真和的“扩展特征标”，并阐明了它们在有理中心荷模型中的模变换性质.然后，我们尝试根据模数据对描述一致D-膜的Cardy状态进行分类。我们构造了位于强耦合区域的ZZ-膜（hep-th/0101152）和沿着Liouville方向延伸的FZZ-膜（hep-th/0001012，hep-th/0009138）的类似物。前者在描述变形Calabi-Yau奇点中包围消失圈的BPS D-膜方面发挥了重要作用，再现了消失圈的正确相交数。我们还讨论了由N=2 Liouville和$\hat{c}(\equiv c/3)=5$构成的2d 0型（和II型）弦真空中的非BPS D-膜.不稳定的D 0-膜被发现作为上述的ZZ-膜类似物，和FZZT-膜类似物是稳定的，因为存在的质量间隙，尽管缺乏GSO投影。
2004-01-29 hep-th
High Energy Modular Bootstrap, Global Symmetries and Defects
我们推导出Cardy公式的运营商在不同部门的酉$2$维CFT的拓扑缺陷线的存在下，把一个上限和下限的数量的状态与标度尺寸的间隔$[Δ-δ,Δ+δ]$为大$Δ$在固定的$δ$。因此，我们证明了，给定任何酉模不变$2$ D CFT对称下有限的全球对称$G$（忠实地行事），所有的不可约表示的$G$出现在频谱的untwisted部门的状态的增长是Cardy样的，并成比例的“平方”的维数的irrep。在Schwarzian极限下，结果与体规范理论下的JT引力的结果一致。如果对称性是非反常的，则结果适用于任何被群元素扭曲的扇区。对于$c>1$，这些陈述适用于Virasoro原色。此外，该结果适用于大的c CFTs。我们也将我们的结果推广到连续$U(1)$组。
2020-07-14 hep-th
Averaging over codes and an $SU(2)$ modular bootstrap
本文通过将纠错码构造推广至非手征情形，建立具有 $SU(2)^n$ 对称性的二维共形场论离散系综，并证明等权平均配分函数由模图像求和给出，具有随 $n$ 线性增长的大间隙，进而推测亏格-2 配分函数以揭示虫洞连通贡献。
2023-11-16 hep-th
Signs, growth and admissibility of quasi-characters and the holomorphic modular bootstrap for RCFT
ICTS Bengaluru（印度理论科学研究所班加罗尔）
研究通过全纯模 Bootstrap 方法分析RCFT的分区函数，利用准特征函数的符号和增长特性，结合Frobenius递推关系估计系数增长，证明符号交替并稳定，为任意Wronskian索引的RCFT分区函数提供可行路径。
2026-05-01 hep-th math-ph math.MP
Fast Conformal Bootstrap and Constraints on 3d Gravity
共形场论的交叉方程可以被系统地截断为有限的、封闭的多项式方程组。在某些情况下，截断方程的解在所有酉CFTs的空间上设置严格的界限。我们描述的条件下，这持有，并使用结果开发一个快速算法模块化的引导在二维CFT。然后，我们将其应用到计算光谱间隙非常高的精度，找到超过一千个运营商的缩放尺寸，并将数值引导到大中心荷的制度，相关的全息。这导致了三维引力中黑洞光谱的新边界。我们提供的数值证据表明，在大的中心荷$c$的无自旋模块化自举的光谱间隙的渐近约束，是$Δ_1 \lesssim c/9.1$。
2019-03-14 cond-mat.stat-mech hep-th
Descending into the Modular Bootstrap
University of Southern California（南加州大学）；Boston University（波士顿大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；The NSF Institute for Artificial Intelligence and Fundamental Interactions（美国国家科学基金会人工智能与基本相互作用研究所）
本文通过机器学习优化高效搜索二维共形场论的模形式Bootstrap解，发现中央荷在1到8/7之间的候选CFT，并提出更严格的谱间隙约束。
2026-08-04 cs.LG hep-ph hep-th
Modular bootstrap for D4-D2-D0 indices on compact Calabi-Yau threefolds
该研究针对b₂=1的完全交Calabi-Yau三维流形上的IIA型弦论，通过模自举方法分析D4-D2-D0束缚态BPS指标的生成级数，得到r=1时的无穷DT不变量预测，并将r=2情形的极项确定留作开放问题。
2024-01-30 hep-th math.AG
Bootstrapping Boundaries and Branes
二维共形场论（CFTs）的共形边界条件的研究有着悠久的历史，从一维量子链中杂质的描述到弦论中D-膜的表述。然而，景观的共形边界在很大程度上是未知的，包括在理性的CFTs，其中的本地运营商的数据是完全确定的。我们发起了一个系统的自举研究共形边界的二维CFTs调查的自举方程，所产生的开闭一致性条件的环配分函数具有相同的边界。我们发现，这个简单的自举方程，当与幺正性相结合，导致令人惊讶的强约束的容许边界状态。特别是，我们推导出稳定的边界条件，这提供了一个严格的诊断潜在的D-膜衰变的张力（边界熵）的普遍界限。我们还找到了独特的解决方案的引导问题的稳定膜在一些合理的CFTs。一路上，我们观察到一个奇怪的连接之间的环形引导和球包装问题，这是一个自然的扩展以前的工作模块化引导。我们还得到了大中心荷下的边界熵的界。这些可能对AdS $_3$上纯引力中的世界末日膜有影响。
2021-12-07 hep-th
Lessons from the Ramond sector
我们重新审视了（1+1）$d$费米子共形场论中环面配分函数的一致性，将传统的模不变性/协变性成分与玻色化/费米子化对偶的现代理解相结合。通过简单地检查经常被忽视的雷蒙部门，可以吸取各种教训。对于bootstrap文献中的几个极值/扭结模函数，我们可以排除或识别潜在的理论。我们还重新访问的${\cal N} = 1$ Maloney-Witten配分函数计算的频谱在Ramond部门，并进一步扩展到包括种子Ramond字符的模和。最后，我们进行了完整的${\cal N} = 1$ RNS模块化引导，并获得了新的普遍结果的存在相关的变形保持不同数量的超对称性。
2020-08-06 hep-th
Unlocking the Wronskian Tower: A Simplification of the Holomorphic Modular Bootstrap
ICTS Bengaluru（印度理论科学研究所班加罗尔中心）
该研究针对有理共形场论特征标求解模线性微分方程难题，引入微分算子，将高$\ell$值解与低$\ell$值解联系，保持相关性质，简化高$\ell$拟特征标构造，为组织候选特征标提供新途径，并应用于证明关于$\ell = 2$拟特征标符号的猜想。
2026-08-26 hep-th math-ph math.MP
Bootstrapping Lieb-Schultz-Mattis anomalies
本文将LSM定理的微观假设纳入共形自举，结合模自举与缺陷算符相关函数自举，得到具有投影实现的Z_N×Z_N对称性的(1+1)维CFT局域算符的普适界限，并发现奇数N时带电算符的非平凡界限及独特扭结。
2022-07-21 cond-mat.str-el hep-th
Spin-cobordisms, surgeries and fermionic modular bootstrap
本文研究了具有全局有限群对称性的一般费米子量子场论，提出通过入流从体3d iTQFT直接确定模变换的方法，并基于spin-cobordisms分类提供了spin-bordism不变量的显式组合表达式，探讨了't Hooft反常对红外共形场论谱的约束。
2022-08-29 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Lightcone Modular Bootstrap and Tauberian Theory: A Cardy-like Formula for Near-extremal Black Holes
本文利用光锥模Bootstrap与Tauberian理论，证明了具有非零twist gap的2D CFT在大自旋下存在类Cardy增长的Virasoro原态，并从近极端旋转BTZ黑洞角度给出了对应的有效条件。
2023-07-31 hep-th math-ph math.MP
Modular invariant holographic correlators for $\mathcal{N}=4$ SYM with general gauge group
研究了规范群为$G=SU(N)$，$SO(2N+1)$，$SO(2N)$或$USp(2N)$的$\mathcal{N}=4$ SYM在大$N$下的应力张量四点函数.当$G=SU(N)$时，该理论与具有复杂弦耦合$τ_s$的$AdS_5\times S^5$上的IIB型弦理论是对偶的，而对于其他情况，它与$AdS_5\times S^5/\mathbb{Z}_2$上的轨道理论是对偶的。在所有的情况下，我们使用的分析引导和本地化的限制计算1-循环和更高的衍生树级校正的相关器的领先超重力近似。我们微扰的证据表明，本地化约束在大$N$和有限的复杂耦合$τ$限制可以写入每个$G$的爱森斯坦系列是模块不变的$τ_s\proptoτ$，这使我们能够固定在该限制的相关器中的保护条款。在所有的情况下，我们发现，平坦的空间限制的相关器精确匹配的IIB型S-矩阵。我们还发现了一个封闭的形式表达的$SU(N)$ 1圈梅林振幅与超重力顶点。最后，我们比较我们的分析预测在大$N$和有限的$τ$从数值引导在大$N$制度的界限，并发现它们是不饱和的任何$G$和任何$τ$，这表明没有物理理论饱和这些引导界限。
2021-12-27 hep-th
N=2 Liouville Theory with Boundary
本文研究了在边界存在的情况下，N=2的具有任意中心荷的Liouville理论.在回顾了球上的理论并导出了一些重要的结构常数之后，我们从两种方法研究了理论的边界态，一种是使用环振幅的模变换性质，另一种是使用包含简并体算符的圆盘两点函数的自举。提出了描述边界状态的边界相互作用，得到了边界状态与边界相互作用的精确对应关系。从模自举方法和边界算子的反射关系出发，研究了D-膜之间的开弦谱，为该方案提供了一致性检验。
2006-12-22 hep-th
Weyl bound for trilinear periods via conformal bootstrap
本文利用物理学中的共形自举方法，研究余紧格上同权全纯模形式乘积在Laplace特征基展开中的系数衰减，并在算术格情形下给出了三重积L-函数谱方面Weyl界的新实例。
2025-08-28 hep-th math.NT
Aspects of the S transformation Bootstrap
我们回顾和系统化的两个（解析）自举技术在二维共形场论使用的S-模变换。第一个给出了普遍的结果，在渐近制度的极端温度。随着已知结果的介绍，我们使用这种技术也得到渐近公式的Zamolodchikov递归系数，匹配以前的progratures从数值和Regge渐近分析。第二种技术侧重于中间温度。我们用它来勾画一个方法来推导非对角平方OPE系数的界限，以及在非负对角OPE系数的情况下改进现有的谱界限。
2020-02-05 cond-mat.stat-mech hep-th
Bootstrapping Non-Invertible Symmetries
本文利用数值模自举方法，对具有有限非可逆全局对称性的1+1维共形场论中最轻的保持或破坏对称性的局域算符推导出普适上界，从而约束由非可逆对称性保护的稳健无隙相。
2023-06-28 cond-mat.str-el hep-th
Non-saturation of Bootstrap Bounds by Hyperbolic Orbifolds
本工作研究了共形bootstrap应用于双曲轨形时Laplace特征值界的饱和性问题，在数值收敛假设下证明这些界未被实际饱和，并利用与模形式Rankin-Cohen括号的联系推导出OPE系数公式。
2025-11-04 hep-th math-ph math.MP
Modular linear differential equations for four-point sphere conformal blocks
我们构造模线性微分方程（MLDEs）w.r.t.子群的模块组的解决方案是Virasoro共形块出现在扩展的交叉对称4点相关的领域。这使用了交叉转换和模块转换之间的连接。我们专注于二阶MLDE的情况下，所有相同的和成对相同的运营商的相关器。中心荷、上述算子的维数以及中间算子的维数都用这种MLDE中出现的参数来表示。在这样做时，$q$ -扩展的解决方案的MLDE相比，Virasoro块，因此，Zamolodchikov的椭圆递归公式提供了一个重要的输入。利用各个子群的作用，建立了包含相关3点系数的自举方程，并根据MLDE参数求解。我们提出了明确的例子，MLDE对应的BPZ和新的非BPZ方程，以及酉和非酉CFTs。
2022-11-09 hep-th
Cutting corners: exciting and magical bounds from the cusp bootstrap
Perimeter Institute for Theoretical Physics（Perimeter理论物理研究所）；Yale University（耶鲁大学）；New York University（纽约大学）；Institute for Advanced Study（普林斯顿高等研究院）
该研究利用共形场论中的尖点自举，证明单态尖点为最轻尖点，还发现解析“神奇”泛函可给出直角裸尖点维数的最优普适下界。
2026-09-04 cond-mat.str-el hep-th
Constraints on Flavored 2d CFT Partition Functions
我们研究了模块化不变性的影响，2D CFT配分函数与阿贝尔或非阿贝尔电流时的化学势的电荷被打开，即当配分函数“调味”。我们首先对这种配分函数的模变换的变换律作了新的证明。然后，我们继续应用模块引导技术来限制理论中的带电态谱。我们改进了以前的上界的状态与最大的“质荷”比在这样的理论，以及上界的重量最轻的带电状态和电荷的最弱的带电状态的理论。我们应用极值泛函方法的理论，饱和这样的界限，并在几种情况下，我们发现由此产生的预测的占领数是精确的整数。因为这样的理论有时不饱和的状态的整个空间上的边界，但饱和的状态的中性扇区的边界，我们发现，添加风味允许极值函数的方法来解决一些配分函数，否则将无法访问。
2018-05-04 hep-th
Minimal lectures on two-dimensional conformal field theory
我们提供了一个简短的，但自成一体的审查二维共形场论，从基本原则的一些最简单的模型。一方面从维拉索罗代数的表示，另一方面从态场对应，我们推导出沃德恒等式和关联函数的Belavin-Polyakov-Zamolodchikov方程。然后，我们解释的共形引导方法的原则，并介绍共形块。这使我们能够定义和解决极小模型和刘维理论。特别地，我们研究了它们的三点和四点函数，并讨论了它们的存在性和唯一性。在附录中，我们介绍了自由玻色子理论（具有任意中心荷），以及极小模型中的模自举。
2019-03-13 hep-th math-ph math.MP
Bounds on CFTs with $W_3$ algebras and AdS$_3$ higher spin theories
二维共形场论中第一激发态的标度维数满足一个普适的上界。使用模块化的引导，我们将这一结果推广到CFTs与$W_3$代数是一般的对偶更高的自旋理论在AdS $_3$。在幺正性和模不变性的假设下，我们证明了最轻带电态的共形权$h$，$\bar{h}$在中心电荷$c$，$\bar{c}$较大的极限下满足$h < c/12 + O(1)$和$\bar{h} < \bar{c}/12 + O(1)$.此外，我们表明，在此限制下，任何一致的CFT与$W_3$电流必须包含至少一个状态的$W_3$电荷$w$服从$|w| > 4 |h-c/24| /\sqrt{10 πc} + O(1)$。我们讨论的暗示存在更强的界限和评论的解释，我们的结果在双高自旋理论。
2017-10-11 hep-th
Torus one-point functions in critical loop models
Institut de physique théorique, CEA, CNRS, Université Paris-Saclay（法国原子能和替代能源委员会、国家科学研究中心、巴黎萨克雷大学理论物理研究所）；Laboratoire de Physique de l’École Normale Supérieure, ENS, Université PSL, CNRS, Sorbonne Université, Université Paris Cité, Paris, France（巴黎高等师范学院、巴黎文理研究大学、国家科学研究中心、索邦大学、巴黎西岱大学法国物理学实验室）
研究通过数值 Bootstrap 方法计算环面临界环模型中的一点函数，发现其可表示为不同中央电荷下球面四点函数，且球面交叉对称性导致环面模自洽性。
2026-04-27 hep-th math-ph math.MP
