The 4/3 problem for germs of isolated plane curve singularities
Patricio Almirón
在这项调查中，我们概述了不同的方法和解决方案所提出的问题Dimca和Greuel的商的Milnor和Tjurina数。
In this survey we overview the different approaches and solutions of a question posed by Dimca and Greuel about the quotient of the Milnor and Tjurina numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Resolution of Singularities of Germs in Characteristic Positive Associated with Valuation Rings of Iterated Divisor Type
本文证明了正特征的簇芽的超曲面奇点可以通过光滑子簇的中心的迭代么半群变换来解决，如果我们有一个迭代因子型的赋值环与该芽相关联.此外，我们介绍的基本概念，研究奇点的分解的芽，如空间芽，迭代解析monoidal变换与正规交叉，维尔斯特拉斯表示，减少序列，等等。
Motivic Milnor fibre for nondegenerate function germs on toric singularities
研究了复曲面簇上的函数芽，这些复曲面簇因其牛顿图而非退化。我们用他们的牛顿图来表示他们的动机米尔诺纤维。我们扩展的motivic附近的纤维的情况下，环形变性的公式。我们通过一些例子来说明这一点。
On the decomposition of a 2D-complex germ with non-isolated singularities
给出了具有非孤立奇点的二维复芽的半代数集分解。这种分解由四类组成：定义在Seifert纤维流形上的黎曼锥、赋予Cheeger-Nagase度量的加厚环面上的拓扑锥、赋予Hsiang-Pati度量的映射环面上的拓扑锥和链环奇点的管状邻域上的拓扑锥。在这种分解中，存在着在构成链路的流形上度量圆锥的半代数集。该胚芽被重构为描述其几何行为的模型的双Lipschitz等价。
$D$-local algebraic fundamental groups of germs of normal complex analytic singularities
本文将正规复解析奇点的局部代数基本群的概念推广到某些称为$D$ -局部代数基本群的投射有限群上，证明了$D$ -局部代数基本群的Lefshetz型定理.例如，该定理给出了某类四维奇点的局部代数基本群的有限性，并将对三维纯对数终端奇点的分类有用。
Lipschitz normal embedding among superisolated singularities
复解析空间的任一芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的外度量和芽上的黎曼度量。一个复解析芽称为Lipschitz正规嵌入（LNE），如果它的内外度量是bilipschitz等价的. LNE似乎是相当罕见的表面奇点;唯一已知的LNE表面芽以外的平凡的情况下（直锥）是最小的奇点。本文证明了超孤立超曲面奇点是LNE的当且仅当它的射影切锥只有普通奇点。这提供了一个无限家庭的LNE奇点，这是根本不同的类的最小奇点。
Blow-Nash types of simple singularities
我们解决问题的分类下吹纳什等价的简单纳什函数芽。我们指出，这种分类与真正的分析分类是一致的。证明了简单芽与非简单芽不可能是Blow-Nash等价的。该方法是基于计算相关系数的实zeta函数相关联的纳什芽通过motivic集成。
The Abel map for surface singularities III. Elliptic germs
如果$(\widetilde{X},E)\to (X,o)$是复法向曲面奇异性的分解，$c_1:{\rm Pic}(\widetilde{X})\to H^2(\widetilde{X},{\mathbb Z})$是Chern类映射，则${\rm Pic}^{l'}(\widetilde{X}):= c_1^{-1}(l')$具有（Brill-Noether型）分层$W_{l', k}:= \{{\mathcal L}\in {\rm Pic}^{l'}(\widetilde{X})\,:\, h^1({\mathcal L})=k\}$ .在本文中，我们确定它的椭圆奇性与分层根据循环的固定组件。对于椭圆奇点，我们也用Abel映射刻画了端点曲线条件和弱端点曲线条件，给出了它们的几个刻画，最后证明了它们是等价的.
On simple $Z_2$-invariant and corner function germs
V.I.Arnold对简单的（即没有用于分类的模块）奇点（函数芽）和简单的边界奇点（相对于群$Z_2$的作用$σ(x_1; y_1, \ldots, y_n)=(-x_1; y_1, \ldots, y_n)$不变的函数芽）进行了分类。特别是，它表明，一个功能芽（分别是一个边界奇异芽）是简单的，当且仅当交叉形式（分别限制的交叉形式的子空间的反不变循环）的芽在$3+4s$变量稳定等价于一个正在考虑的是负定的，当且仅当（等变）monodromy群在相应的子空间是有限的。我们制定和证明类似物的功能芽不变的任意行动的组$Z_2$，也为角奇点这些声明。
Deformations of isolated cyclic quotient singularities in arbitrary characteristic
该研究证明了孤立循环商奇点在任意特征下均可变形，并验证了相关猜想。
The Yau's characterization of isolated homogeneous hypersurface singularities
利用Milnor数的不连续性和Chaojasiewicz指数，给出了孤立齐次超曲面奇异性的简单证明.
Equivariant geometry of cubic threefolds with non-isolated singularities
本文研究有限群在具有非孤立奇点的三次三重流形上作用的可线性化性问题，属于等变几何范畴。
Inner Lipschitz Geometry of Complex Surface Germs with Non-Isolated Singularities: A Complete Classification
本文通过归一化映射坐标函数的数值不变量和适当好解消的组合学，给出了非孤立奇点复曲面芽内部Lipschitz几何的完全不变量，将Birbrair-Neumann-Pichon的结果推广到非孤立情形。
Classification of Complex Singularities with Non-Degenerate Newton Boundary
在他开创性的工作分类的奇异性方面的权利和稳定等价的芽，阿诺德列出了规范形式的所有孤立的超曲面奇点超过复数与模态小于或等于2或米尔诺数小于或等于16。此外，他还描述了一种算法分类器，它确定了给定的这种奇点的类型。本文将Arnold的工作推广到一类关于模态和Milnor数无界的奇点。我们开发了一个算法分类器，它确定了一个标准形式的任何奇点与corank小于或等于2，这是等价于一个胚芽与非退化牛顿边界的意义下的Kouchnirenko。为了实现分类器，我们证明了一个标准形定理：假设K是射流空间的μ常数层，其中包含具有非退化牛顿边界的芽。我们首先观察到K中的所有芽都等价于具有相同的固定非退化牛顿边界的某个芽。然后，我们证明，所有的权利，等价类的芽在K可以覆盖一个单一的正规形式从一个适当选择的特殊纤维的正规基础。所有算法都在计算机代数系统Singular的库arnold.lib中实现。
Deforming nonnormal isolated surface singularities and constructing 3-folds with $\mathbb{P}^1$ as exceptional set
通常，人们假设孤立的表面奇点是法向的。本文的目的是表明，它可以是有用的，看看非正常的奇点。通过变形它们可以构造有趣的法向奇点，例如孤立的、非Cohen-Macaulay三重奇点。它们是由光滑的有理曲线的一个小收缩引起的，该曲线的法丛有一个充分正的子丛。我们从它们的非正规一般超平面截面来研究这类奇点。
Moduli Spaces of Germs of Semiquasihomogeneous Legendrian Curves
通过对曲线奇点的Kodaira-Spencer映射的一个接触模拟，我们构造了一个接触等价的等奇异Legendrian曲线奇点的模空间.我们专注于勒让德曲线的特定情况下，这是一个平面曲线与一个Puiridix对余法线。
Gorenstein isolated quotient singularities over C
本文综述了由H给出的复数域上孤立商奇点的分类。Zassenhaus，G. Vincent和G. A.狼作为应用，我们描述了C上的Gorenstein孤立商奇点，推广了K. Kurano和S.西
Equimultiplicity of families of map germs from $\mathbb{C}^2$ to $\mathbb{C}^3$
1971年，Zagliki提出了奇点理论中的一些问题。其中一个问题是所谓的，今天，Zubalki的多重性猜想。在这项工作中，我们考虑这个猜想的家庭版本。对一类特殊的非孤立奇点，我们肯定地回答了Zapriki的多重性猜想.
Sufficiency of non-isolated singularities
本文利用Jasojasiewicz不等式给出了在零点处具有非孤立奇点的$C^k$ -映射芽是合痕的一个充分条件.
Morse numbers of function germs with isolated singularities
本文为具有分层孤立奇点的全纯函数芽引入一组 Morse 数，把经典 Milnor 数推广至奇异基空间。
Hodge ideal and spectrum of weighted homogeneous isolated singularities
本文在加权齐次孤立奇点的情况下，给出了Mustael-Popa最近发展的Hodge谱和Hodge理想之间的联系.
On smooth surfaces in projective four-space lying on quartic hypersurfaces with isolated singularities
证明了射影四维空间中的一个非一般型的光滑曲面，如果它位于一个具有孤立奇点的四次超曲面上，它的度至多为27（实际上我们证明了一个稍微更一般的结果）。
Picard numbers of complex Delsarte surfaces with only isolated ADE-singularities
我们给出了一个分类的Delsarte曲面只有ADE奇点。利用这一点，我们给出了这类曲面的Picard数的闭公式。
Equinormalizability and topologically triviality of deformations of isolated curve singularities over smooth base spaces
给出了$\geq 1$维光滑底空间上孤立（不一定约化）曲线奇点形变的等正规化的$δ$常数判据.对于单参数孤立曲线奇点族，我们证明了它们的拓扑平凡性等价于弱同时分解的承认。
On Isolated Real Singularities II
本文将“论孤立实奇点I”一文的结果应用于实$ADE$ -奇点的研究。我们表明，上述结果使我们能够找到真正的$ADE$ -奇性曲线的Milnor纤维的同调群。作为一个推论，我们展示了如何推导出相同的$ADE$ -奇点在更高的余维，在这种情况下，给出了一个几乎完整的答案。其次是讨论简单实奇点的分类问题。
A Griffiths' Theorem for varieties with isolated singularities
由格里菲斯的基本工作知道，在适当的假设下，同调和代数等价不符合一般超曲面部分的光滑射影簇$Y$。在本文中，我们证明了同样的结果的情况下$Y$有孤立奇点。
On the number of branches of real curve singularities
本文提出了一种计算从$R^n$到$R^m$的实解析曲线芽的分支数和从$R^2$到$R^3$的解析芽的二重点集的半分支数的方法，其中m大于或等于n，在原点有一个奇点。
Topology of smoothings of non-isolated singularities of complex surfaces
证明了非孤立约化复曲面奇点光滑化的Milnor纤维的边界是图流形。此外，我们给出了一种方法，Némethi和Szilard以前的工作的启发，计算相关的管道图。
On the generalized Nash problem for smooth germs and adjacencies of curve singularities
本文研究光滑曲面芽上弧的广义Nash问题：给定其特殊点上的两个素除子，判断其中一个的弧空间是否包含在另一个的弧空间中.我们证明了这个问题是组合的，并探讨了它与几个平面曲线奇点邻接概念的关系。
Geometry of non-degenerate locally tame non-isolated singularities
我们给出了一个标准来测试几何属性，如惠特尼equisingularity和托姆的$a_f$条件的新家庭（可能是非孤立的）超曲面奇点，“表现良好”相对于他们的牛顿图。作为一个重要的推论，我们得到在这样的家庭的所有成员有同构的Milnor纤维。
Homological index for 1-forms and a Milnor number for isolated singularities
受X的启发，我们引入了具有孤立奇点的复解析簇芽上的全纯1-形式的同调指数的概念。Gómez-Mont和G.- M.格鲁埃尔对于孤立的完全相交奇点，它与两个作者早先定义的指数一致。从这个指数中减去另一个称为径向的指数，我们得到一个不依赖于1-形式的奇点不变量。对于孤立的完全相交奇点，这个不变量与Milnor数一致。我们计算任意曲线奇点的这个不变量，并将其与R. O. Buchweitz和G. M.格鲁埃尔对于这样的奇点。
Birationally rigid Fano hypersurfaces with isolated singularities
证明了射影空间中具有一般位置的孤立奇点的指数为1的一般Fano超曲面是双有理刚性的。因此，它不能被一个有理映射纤维化为一个更小维度的非圆簇。双有理自映射群要么是平凡的，要么是二阶循环的。
The higher Du Bois and higher rational properties for isolated singularities
本文研究孤立奇点的更高Du Bois与更高有理性质，在局部完全交情形下给出完整刻画，证明k-Du Bois蕴含(k-1)-有理，并建立不变量间新关系及伴随定理反转的快速证明。
Classification of Lipschitz unimodal function germs
本文为孤立奇点引入Lipschitz模概念，完整分类了余秩2且4-jet非零的Lipschitz单模奇点，并证明6-jet消失时模至少为2，给出上界。
Double spaces with isolated singularities
证明了在具有孤立奇点的次$2n$超曲面$F\subset\mathbb{P}^{n}$上的$\mathbb{P}^{n}$分支的双覆盖的非理性性，使得$n\ge 4$和超曲面$F$的每个奇点是普通的，即其切锥的投影是光滑的，其重数不超过$2(n-2)$ .
Minkowski Inequalities and non-isolated hypersurface singularities
本文研究非孤立超曲面奇点，通过带不等式的 Lê-Iomdine 公式并结合 Teissier 的截面 Milnor 数 Minkowski 不等式，建立了关于 Lê 数的 Minkowski 不等式。
Equisingularity of families of isolated determinantal singularities
研究了孤立行列式奇点族的拓扑平凡性和Whitney等奇异性。一方面，我们利用消失的欧拉示性数给出了这类奇点的Lê-Ramanujam型定理.另一方面，我们推广了Teissier和Gaffney关于超曲面和完全相交的Whitney等奇异性的结果，分别在极重性的恒定性方面。
Generic vector fields on isolated complex hypersurface germs
本文研究孤立超曲面奇点上的全纯向量场，推导出全纯向量场存在的全局障碍。通过GSV指数刻画向量场的最小可能指数，并证明其与Tjurina-Greuel数的关系。进一步证明当向量场可延拓到C^{n+1}时，指数相等，且此类延拓构成开密集集。
Double coverings of octic arrangements with isolated singularities
本文构造了206个具有不同欧拉数的Calabi-Yau流形的例子。所有构造的例子都是$P^3$沿八度曲面分支的双覆盖的光滑模型。我们允许11种类型的（不一定孤立的）奇点的分支轨迹。因此，我们扩大了数学研究的例子类。AG/9902057。对于每一个考虑的例子，我们计算欧拉数，并给出一个精确的描述的奇点的分解。
On isolated singularities with noninvertible finite endomorphism
本文证明了：如果$ϕ:(X,0)\to (X,0)$是孤立奇点的有限自同态，使得$\operatorname{deg}(ϕ)\geq 2$和$ϕ$在余维1上相等，则$X$是$\mathbb{Q}$ -Gorenstein和对数正则的.
Milnor monodromies and mixed Hodge structures for non-isolated hypersurface singularities
研究了非孤立超曲面奇异性的Milnor monodromies，证明了对于Monodromies的某些特征值，Milnor纤维的约化上同调群集中在中等程度上.作为这个结果的应用，我们给出了它们的Jordan标准形的某些部分的显式公式。
Vanishing cycles of smoothable isolated Cohen-Macaulay codimension 2 singularities of type 2
我们推广了A. Frühbis-Krüger和作者[arXiv：1501.01915]的消失拓扑的这些奇点的标题。通过研究Tjurina变换中可能存在非孤立奇点的情形，我们揭示了在3维和2维空间中总是存在一个与奇点的行列式结构密切相关的2次特殊消失环.
On irreducible germs of generic morphisms
本文研究射影平面一般态射中分支曲线芽具有互素幂次型奇点的不可约芽，刻画其等奇变形等价类。
On factoriality of threefolds with isolated singularities
本文研究了完全相交的三重$X \subset \mathbb{P}^n$的存在性，并给出了它们的阶乘性的一些充分条件。
On the Vanishing Topology of Isolated Cohen-Macaulay Codimension 2 Singularities
孤立的Cohen-Macaulay余维2奇点与孤立的完全相交奇点有许多共同的特征，但它们也表现出一些引人注目的新行为。达蒙和派克最近在研究消失拓扑和欧拉示性数时观察到了一个这样的例子，他们把这类奇点作为例子。在这篇文章中，我们通过明确地确定贝蒂数来进一步探索他们的发现，并解释新的现象。这里的一个重要工具是Tjurina修改有关的科恩-麦考利余维2奇点的有限数量的完整的交叉奇点。
Non-compact Newton boundary and Whitney equisingularity for non-isolated singularities
在一个未发表的讲义中，J. Briançon观察到，如果$\{f_t\}$是一族孤立的复超曲面奇点，使得$f_t$的牛顿边界独立于$t$，并且$f_t$是非退化的，那么相应的超曲面族$\{f_t^{-1}(0)\}$是惠特尼等奇异的（因此是拓扑等奇异的）。第二作者在相当技术性的条件下，首次将这一论断推广到具有非孤立奇点的族。本文在较简单的条件下给出了一个新的推广。
The Topology of Surface Singularities
本文研究复表面奇点的拓扑结构，通过分析表面germ的链接来描述其拓扑特性。
Smoothings of schemes with non-isolated singularities
本文研究非孤立奇点格式的变形和Q-Gorenstein变形理论。我们得到的障碍空间的存在的变形和局部变形存在的全球性。最后，我们得到了域$k$上有限型纯格式和约化概形具有光滑性和Q-Gorenstein光滑性的显式判据.
Nakai conjectures for isolated weighted homogeneous hypersurface singularities
本文验证了Nakai猜想在孤立齐次超曲面奇点情况下的成立，探讨微分算子与奇点检测的关系。
Cohomological Chow Groups of codimension one of varieties with isolated singularities
本文研究了具有孤立奇点的代数簇的上同调Chow群，通过不同条件下的计算揭示了其结构特性。
Generic sections of essentially isolated determinantal singularities
研究了W. Ebeling和S. Gusein-Zade，作为孤立奇点的推广。我们证明了在尺寸$3$的EIDS的一般超平面部分的Milnor数的极小定理，推广了以前的结果由J. Snoussi在尺寸$2$。我们定义了EIDS的强通用超平面部分，并表明它们仍然是EIDS。利用强一般超平面，推广了Lê D. T.关于米尔诺数的恒定性。
Logarithmic comparison theorem versus Gauss-Manin system for isolated singularities
对于拟齐次孤立超曲面奇点，Holland和Mond已经明确地刻画了对数比较定理。在非拟齐次情形下，利用奇异性的Gauss-Manin系统给出了对数比较定理成立的一个必要条件。它特别表明，对数比较定理可以成立的非拟齐次奇点，只有当1是一个特征值的monodromy。
On isolated log canonical singularities with index one
本文给出了一种研究指数为1的孤立对数正则奇点的方法。我们的方法依赖于极小模型程序。主要目的之一是证明我们的不变量与Ishii的Hodge理论不变量是一致的。
Thom polynomials for maps of curves with isolated singularities
特征类中的Thom（剩余）多项式用于函数空间的几何分析。他们作为一种工具，在描述类庞加莱双子品种的功能规定的类型。给出了复曲线上具有孤立奇点和多奇点的函数空间中剩余多项式的显式泛表达式。这些表达式导致一个分层的Hurwitz空间的部分明确的描述。
Remarks on eigenspectra of isolated singularities
本文引入一种扩展Steenbrink谱变体的演算，用于描述带自同构的孤立奇点的Hodge理论不变量，计算了拟齐次情形的特征谱，并给出奇点界定与VHS单值性的三个应用。
A remark on isolated symplectic singularities with trivial local fundamental group
本文提出了一种简单方法构造任意维度的孤立辛奇点，其局部基本群为平凡群，回应了Beauville的问题。
Lipschitz Normal Embeddings and Determinantal Singularities
代数簇的芽自然地配备有两个不同的度量，直到bilipschitz等价。内度量和外度量。如果两个度量是bilipschitz等价的，则称为通常嵌入的一个变种Lipschitz的胚芽。本文证明了模型行列式奇点，即秩小于给定数的$m\times n$矩阵空间，是Lipschitz正规嵌入的。我们还将讨论一些困难的情况下推广这一结果一般行列式奇点。
On graded stable derived categories of isolated Gorenstein quotient singularities
利用Orlov（arXiv：math/0503632）的一个结果，证明了Gorenstein孤立商奇点的分次稳定导出范畴中存在完全例外集合.我们还证明了多项式环的Gorenstein Veronese子环关于有限群的作用的等变分次稳定导出范畴具有完全强例外集，即使相应的商奇点既不是孤立的也不是Gorenstein的.
Injectivity and Vanishing for the Du Bois Complexes of Isolated Singularities
本文证明了具有孤立奇点的簇的 Du Bois 复形上同调的单射定理，并推导出更高阶 Du Bois 复形上同调的消没性，同时讨论了非孤立情形下的推广、猜想以及交复形的类似结果。
The Hodge spectrum of analytic germs on isolated surface singularities
利用拓扑方法证明了定义在孤立曲面奇点上的解析芽的Hodge谱的连续性。为此，我们引入一个类似的塞弗特矩阵（断裂塞弗特矩阵），并与它相关的莱文-崔斯特瑞姆签名，定义为零同源链接在任意三维流形。此外，我们建立了Murasugi型不等式的存在下的协边的链接。证明了断裂的Seifert矩阵决定了Hodge谱，Murasugi型不等式可以理解为谱不连续不等式.
Equisingularity of families of functions on isolated determinantal singularities
研究了一类函数芽$\{f_t\colon(X_t,0)\to (\mathbb{C},0)\}$的等奇异性，其中$(X_t,0)$是$d$维孤立的行列式奇点.我们定义的$(d-1)$极性多重性的纤维$X_t\cap f_t^{-1}(0)$和我们如何显示的极性多重性的恒定性有关的米尔诺尔数的恒定性的$f_t$和惠特尼equisingularity的家庭。
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